某班男女生人數各半，男生中有 40％的人通過英檢，女生中有 60％的人通過 英檢。班上任選一學生，已知該生通過英檢，那麼此人是女生的機率為多少呢？
像這樣的機率問題，是日常生活中經常碰到的情境，我們可設A1表示選出者是男 生的事件，A2表示選出者是女生的事件，B 表示選出者通過英檢的事件。根據上 述可得 P A
1 0.5,P A
2 0.5,
1 0.4,
2 0.6P B A P B A ， 並將這些事件的關係以文氏圖與樹狀圖呈現如下。
(a) (b)
▲圖 5
由文氏圖或樹狀圖，可得某生通過英檢，此人是女生的機率為
0.5 0.6 3 0.6 0.5 0.4 0.5 0.6 5
。
上述的情境我們雖然是透過文氏圖或樹狀圖求得其機率，然而事實上其背後 是有著嚴謹的數學理論支持，稱之為貝氏定理。
貝氏定理是在十八世紀英國牧師貝斯（R. T. Bayes，1702～1761）的遺作中 發現的，今日已被廣泛的應用，介紹如下。
設A A A1, ,2 3為樣本空間 S 的三個事件，且滿足P A
i0
（i 1,2,3
）。當這三個事件兩兩互斥且A1 A2 A S3 時，我們把
A A A1, ,2 3
稱為樣本空間 S 的一 組分割，如圖 6(a)所示。`
(a) (b)
▲圖 6
當
A A A1, ,2 3
為樣本空間 S 的一組分割，且事件 B 為 S 的一個事件時，事件 B 也會被分割成A B A1 , 2B A, 3B兩兩互斥的三個事件，如圖 6(b)所示。因此，事件 B 發生的機率就是這三個兩兩互斥事件的機率總和，即
1
2
3
P B
P A B P A
B P A
B接下來，我們想知道的是：在事件 B 發生的條件下，事件A1發生的機率（即
1P A B ）是多少呢？由條件機率的定義得知：在事件 B 發生的條件下（
P B 0
），事件A1發生的機率為
1
1 1
1 2 3
P A B P A B
P A B
P B P A B P A B P A B
。
利用條件機率的乘法定理，可將上式中的每一個P A B
i
分別改寫成
i
i
i , 1, 2,3P A B P A P B A i 。 因此，
P A P B A
1
1
P A B
。同理，我們也可求得P A B
2 與P A B
3 。
由文氏圖或樹狀圖，得
(1) 任選一產品為不良品的機率為
1 6 1 4 1 3 9 3 100 2 100 6 100 200 。
(2) 某產品為不良品，此不良品為甲機器所生產的機率為
1 6 3 100 4
1 6 1 4 1 3 9 3 100 2 100 6 100
。【隨堂練習 11】
由樹狀圖可得從計算題答對的同學中任選一人，
此人屬於乙組的機率為
0.5 0.8 0.4 40 0.5 0.3 1 0.5 0.8 0.2 0.4 0.3 0.4 0.08 78
。故選(2)(3)(4)。
貝氏定理也可以應用在醫學檢驗後判斷是否確實染病的機率上。
【例题 12】
根據統計：某地區有 5％的人罹患某種傳染病，且患者經篩檢後呈現陽性的 機率為 99％；未患此病的人經篩檢後呈現陽性的機率為 0.2％。
(1) 從此地區任選一人接受檢驗，求此人檢驗結果為陽性的機率。
(2) 「偽陽性」表示某人經篩檢後呈現陽性但實際上沒生病。已知某人篩檢 呈現陽性，求此人為偽陽性的機率。
Ans：
【詳解】
先將各事件發生的情形及其機率以樹狀圖呈現如下。
再由樹狀圖，得
(1) 任選一人檢驗，結果為陽性反應的機率為
0.05 0.99 0.95 0.002 0.0514 。 (2) 某人篩檢後呈陽性，但他並未患病的機率為
0.95 0.002 19 0.0370 0.05 0.99 0.95 0.002 514
。
【隨堂練習 12】
承例題 12，已知某人檢驗結果呈陰性反應，求此人確實沒有染病的機率。
Ans：
【詳解】
由樹狀圖得知，
此檢驗結果為陰性反應的人確實沒有染病的機率為
0.95 0.998 9481
0.9995 0.05 0.01 0.95 0.998 9486
。例題 12 中利用貝氏定理求得偽陽性的機率，可做為判別需不需進行普篩的其 中一個參考數據。