407 條件機率與貝氏定理

(1)

醫院統計某地區成人的健康檢查資料：體重過重的占 45％，有脂肪肝的占 30 ％。今任選一成年人，已知此成年人的體重過重，那麼他也有脂肪肝的機率還會是 30％嗎？「在某事件發生的條件下，求另一事件發生的機率」是本單元的重點。 ▲ 圖 1

甲條件機率

第二冊學過：一項試驗中所有可能發生的結果所成的集合，稱為這個試驗的 樣本空間（通常以集合 S 表示）；樣本空間 S 的任一子集都稱為一個事件。若 S 中每個樣本點出現的機會均等，則事件 A 發生的機率為

   

n A

_{ }

P A

n S



，其中

_{n S}

 

與

n A

 

分別為 S 及 A 的樣本點個數。例如：擲一粒公正骰子一次，其 樣本空間為



1, 2,3, 4,5, 6



，因為擲出點數大於 3 的事件為



4,5, 6



，所以擲出點數大於 3 的機率為

3 1

6 2



。但「在擲出點數為偶數的條件下」，擲出點數大於 3 的機率還會是

1

2

嗎？我們說明如下。 設 A 表示擲出點數為偶數的事件，B 表示擲出點數大於 3 的事件，即



2, 4, 6 ,

 

4,5, 6



A



B



， 如圖 2 所示。因為已知擲出點數為偶數（即事件 A 發生），所以點數大於 3（即事 件 B 也要發生）的機率就是「

A B



在 A 中所占的比例」，即

(2)





 

2

3 n A B

n A

 

。上式中的

n A B



_{ }



n A



可以解讀成「在樣本空間 A 中，事件

A B



發生的機率」。也 就是說，在已知事件 A 發生的條件下，可以解讀成樣本空間由原先的 S 限縮到 A。 ▲ 圖 2 一般而言，我們把「在事件 A 發生的條件下，事件 B 發生的機率」，稱為條 件機率，記作

P B A

 

。利用「

_{A B}



在 A 中所占的比例」的算法可知：在事件 A 發生的條件下，事件 B 發生的機率為

 

n A B



_{ }



P B A

n A





，再將分子與分母同時除以

_{n S}

 

，得

 



 



 





 

n A B

P A B

n S

P B A

n A

P A

n S





。 ▲ 圖 3 將以上內容整理如下。

(3)

條件機率 當

_{A B}

_,

為兩事件且

_{P A }

  0

時，將「在事件 A 發生的條件下，事件 B 發生的機 率」稱為條件機率，以符號

P B A

 

表示，也就是

 

n A B



_{ }



P A B



_{ }



P B A

n A

P A





。符號

P B A

 

讀作「在 A 發生的條件下，B 發生的機率」。 練習求條件機率。 【例题 1】 擲一粒公正骰子一次。在出現點數為質數的條件下， 求擲出點數小於 5 的機率。 Ans：【詳解】 設 A 表示擲出點數為質數的事件， B 表示擲出點數小於 5 的事件。 根據題意，得



2,3,5 ,





1, 2,3, 4



A



B



，且

A B

 

 

2,3

， 故在 A 發生的條件下，B 發生的機率為

 



_{ }



2

3 n A B

P B A

n A





。 【隨堂練習 1】 一副撲克牌共有 52 張，從中隨機抽取一張。在抽到花色為紅心的條件下， 求抽到點數為 6 的機率。

(4)

Ans：【詳解】 設 A 表示抽到花色為紅心的事件， B 表示抽到點數為 6 的事件。 依題意，得

n A 

  13

且

n A B



 

 1

 



_{ }



1

13 n A B

P B A

n A





。符號 P(B∣A)與 P(A∣B)的意義不同，不可混淆，舉例說明如下。 【例题 2】 某班的學生中，有 28 人會游自由式，有 20 人會游仰式，有 12 人兩式都會。 今從班上任選一學生，試回答下列問題： (1) 已知此學生會游自由式，求他也會游仰式的機率。 (2) 已知此學生會游仰式，求他也會游自由式的機率。 Ans：【詳解】 設 A 表示選出者會游自由式的事件， B 表示選出者會游仰式的事件。 根據題意，得

 

28,

 

20,





12 n A



n B



n A B

 

。 (1) 在A 發生的條件下，B 發生的機率為

 



_{ }



12 3

28 7

n A B

P B A

n A





 

。

(5)

(2) 在B 發生的條件下，A 發生的機率為

 



_{ }



12 3

20 5

n A B

P AB

n B





 

。 【隨堂練習 2】 班上某日午餐的訂購中，有 30 人訂購炒飯，有 18 人訂購飲料，有 12 人兩 者都訂購。今從班上任選一學生，試回答下列問題： (1) 已知此學生訂購炒飯，求他也訂購飲料的機率。 (2) 已知此學生訂購飲料，求他也訂購炒飯的機率。 Ans：【詳解】 設 A 表示選出者訂購炒飯的事件， B 表示選出者訂購飲料的事件。 依題意，得

n A

 



30,

n B

 



18,

n A B



 



12

 



_{ }



12 2

30 5

n A B

P B A

n A





 

。 (2) 在B 發生的條件下，A 發生的機率為

 



_{ }



12 2

18 3

n A B

P AB

n B





 

。來看一道與引言有關的例題。

(6)

【例题 3】 醫院統計某地區成人的健康檢查資料：體重過重者占 45％，有脂肪肝者占 30％，兩者都有的占 25％。今任選一位成年人，試回答下列問題： (1) 已知此人體重過重，求他也有脂肪肝的機率。 (2) 已知此人有脂肪肝，求他體重沒有過重的機率。 Ans：【詳解】 設 A 表示體重過重的事件，B 表示有脂肪肝的事件。 根據題意，得

 

45  

30 ,





25 P A



％,

P B



％

P A B

 

％

 



_{ }



25

5

45

9 P A B

P B A

P A





％

_％



。 (2) 因為A 的補集

A

表示體重沒有過重的事件，且



   

_{ 30 25 5}

P A B P B P A B

 



 

％％％





。所以在B 發生的條件下，

A

發生的機率為

 



_{ }



5

1

30

6 P A B

P A B

P B



 



％

_％



。 【隨堂練習 3】 在訂購校慶紀念商品中，有

2

3

的人買馬克杯，有

4

5

的人買徽章， 有

1

2

的人兩種都買。今任選一人，試回答下列問題： (1) 已知此人買馬克杯，求他也買徽章的機率。 (2) 已知此人沒有買徽章，求他也沒有買馬克杯的機率。 Ans：【詳解】 設 A 表示有買馬克杯的事件，B 表示有買徽章的事件。

 

_

2  

_

4 

_{ }



1

(7)

(1) 在A 發生的條件下，B 發生的機率為

 



_{ }



1 ₂

3 2 4

3 P A B

P B A

P A





 

。 (2) 因為A 的補集

A

表示沒有買馬克杯的事件， B 的補集

B

表示沒有買徽章的事件，且





1 



1 

    



2 4 1

1

1 3 5 2

30 P A B



  



P A B

  

P A P B P A B











    

_

_

_

_

。故在

B

發生的條件下，

A

發生的機率為

 



_{ }



₃₀

1

4

1 ₁

6

5 P A B

P A B

P B







  

_





。 當兩事件 A 與 B 同時發生時，我們該如何求這兩個事件同時發生（即

A B



）的機率呢？由條件機率

P B A

 

P A B



_{ }



P A





可以得到





 

P A B

 

P A P B A

。上式稱為條件機率的乘法定理，它的意思是：兩事件 A 與 B 同時發生的機率





P A B



等於 「A 發生的機率」乘上「在 A 發生的條件下，B 發生的機率」。

(8)

【例题 4】 某人手機內存有歌曲共 8 首，其中 5 首為爵士樂，另外 3 首為抒情歌。今隨 機播放歌曲，播過的歌不再播放，設每首歌被播放的機率都相等，求下列各 事件的機率： (1) 第一首與第二首都播到爵士樂。 (2) 第一首播到爵士樂，但第二首播到抒情歌。 Ans：【詳解】 (1) 設A 表示第一首播到爵士樂的事件， B 表示第二首播到爵士樂的事件。由條件機率的乘法定理，得第一首與第二首都播到爵士樂的機率為





 

P A B

 

P A P B A

。 ①因為 8 首歌中有 5 首爵士樂，所以

  5

8 P A 

。 ②第一首播到爵士樂的條件下，因為播過的歌不再播放，可得剩下 7 首歌曲，其中 4 首為爵士樂，所以

 

4

7 P B A 

。綜合①, ②，得





 

5 4

5 8 7 14

P A B

 

P A P B A

  

。我們也可以利用樹狀圖求出此小題的答案：依題意將發生的情形及其機率以樹狀圖呈現如下。

(9)

其中的

4

7

就是在第一首播到爵士樂的條件下，第二首播到爵士樂的機率，即樹狀圖中的

4

7

就是

P B A

 

。再將樹狀圖中框出來的兩個數字相乘即為此小題的答案。 (2) 利用(1)的樹狀圖得第一首播到爵士樂，但第二首播到抒情歌的機率為

5 3 15

8 7 56

 

。 【隨堂練習 4】 承例題 4，求第一首與第二首都播到抒情歌的機率。 Ans：【詳解】利用例題的樹狀圖得第一首與第二首都播到抒情歌的機率為

3 2

3 8 7 28

 

。由例題 4 可知，條件機率的乘法原理也可用樹狀圖的概念來求機率。練習使用樹狀圖求機率。 【例题 5】 籤筒的 10 支籤中 3 支有獎。甲、乙兩人依序各抽一支籤， 且抽完後不放回。設每支籤被抽到的機率都相等， 求下列各事件的機率： (1) 甲中獎。 (2) 乙中獎。 Ans：

(10)

【詳解】先將甲、乙抽籤的情形及其機率以樹狀圖呈現如下。再由樹狀圖，得 (1) 甲中獎的機率為

3

10

。 (2) 因為乙中獎有「甲中獎且乙中獎」與「甲未中獎且乙中獎」兩種情形，所以乙中獎的機率為

3 2 7 3 3

10 9 10 9 10

   

。 【隨堂練習 5】 戳戳樂遊戲盒的 12 格中 5 格有獎。甲、乙兩人依序任意各戳 1 格， 求下列各事件的機率： (1) 甲、乙兩人都中獎。 (2) 甲中獎，但乙未中獎。 Ans：

(11)

【詳解】將甲、乙中獎的情形及其機率以樹狀圖呈現如下。 (1) 由樹狀圖得知，甲、乙兩人都中獎的機率為

5 4

5 12 11 33

 

。 (2) 由樹狀圖得知，甲中獎，但乙未中獎的機率為

5 7

35 12 11 132

 

。

(12)

乙獨立事件

條件機率告訴我們，一事件的發生與否，可能改變另一事件發生的機率，但是也有不互相影響的例子。例如：甲、乙兩人各擲一次公正骰子，並令 A 表示「甲擲出 6 點」的事件， B 表示「乙擲出 6 點」的事件。 顯然地，甲是否擲出 6 點並不會影響乙擲出 6 點的機率，反之亦然。也就是說，這兩個事件並不會互相影響。再例如：擲一粒公正骰子一次，並令 A 表示「出現質數點」的事件， B 表示「出現 1 點或 2 點」的事件。 因為

A





2,3,5 ,

  

B



1, 2

，且

A B

 

 

2

，所以 (1) 事件 B 發生的機率為

  2 1

6 3

P B  

； (2) 在事件 A 發生的條件下，事件 B 發生的機率為

 



_{ }



1

3 n A B

P B A

n A





。由(1)與(2)得知，

 

P B



P B A

。 也就是說，事件 B 發生的機率不因事件 A 的發生與否而受到影響，此時稱 A 與 B 為獨立事件。 然而，若令 C 表示「出現 1 點或 2 點或 3 點」的事件，因為

A C

 

 

2,3

，所以

 

3 1

6 2

P C  

，而

 



_{ }



2

3 n A C

P C A

n A





。 顯然事件 A 的發生會影響到事件 C 發生的機率。也就是說，A 與 C 並非獨立事

(13)

當 A 與 B 為獨立事件且

_{P A }

  0

時，可由條件機率的乘法定理，得





 

P A B

 

P A P B A

   

P A P B



。而當

_{P A }

  0

時，

_{P A B P A P B}



 

    

亦成立。根據以上，我們將兩事件獨立定義如下。 兩事件獨立的定義 當兩事件 A 與 B 滿足



    

P A B P A P B

 

時，稱 A 與 B 為獨立事件。 根據上述定義，檢驗兩事件是否獨立。 【例题 6】 擲一粒公正骰子一次，考慮下列三事件： A：出現奇數點，B：出現 1 點或 6 點，C：出現 2 點、3 點或 5 點。 (1) 試問 A 與 B 是否為獨立事件？ (2) 試問 A 與 C 是否為獨立事件？ Ans：【詳解】根據題意，得

 

3 1

 

2 1

 

3 1

,

6 2

6 3

6 2

P A

 

P B

 

P C

 

，且





1 _,





2 1

6 6 3

P A B

 

P A C

  

。 (1) 因為

P A B P A P B



 

    

，所以A 與 B 為獨立事件。 (2) 因為

P A C P A P C



 



 

，所以A 與 C 不為獨立事件。

(14)

【隨堂練習 6】 丟一枚均勻硬幣三次，考慮下列兩事件： A：至少出現兩次正面，B：三次都同一面。 試問 A 與 B 是否為獨立事件？ Ans：【詳解】根據題意，得

 

4 1

 

2 1

,

8 2

8 4

P A

 

P B

 

，且



 1

8 P A B

 

。因為

P A B



 



P A

 

．

P B

 

， 所以 A 與 B 為獨立事件。 由兩事件獨立的定義，得知：兩獨立事件同時發生的機率等於個別機率的乘積。 【例题 7】 根據統計：使用新手機後，三年內會換手機的機率為 0.8。已知甲、乙兩人 同時各使用一支新手機，且兩人換手機與否為獨立事件，求三年內 (1) 兩人都換手機的機率。 (2) 至少有一人換手機的機率。 Ans：【詳解】設

A B

,

分別表示甲，乙三年內換機的事件。根據題意，得

 

0.8,

 

0.8 P A



P B



。 (1) 因為A 與 B 為獨立事件，所以兩人都換機的機率為



     0.8 0.8 0.64

P A B P A P B

 

  

。 (2) 至少有一人換機的事件為

A B



，其機率為



     



P A B P A P B P A B

 







0.8 0.8 0.64 0.96

  



。

(15)

【隨堂練習 7】 已知兩事件 A 與 B 為獨立事件，且

 

1 ,





2

3 P A



P A B

 

，求 (1)

P B

 

。 (2)

P B A

 

。 Ans：【詳解】 (1) 因為A 與 B 為獨立事件，所以

_{P A B P A P B}



 

    

。利用取捨定理，得

P A B P A P B P A B P A P B P A P B



 

     





 

        





，即

2 1

 

1  

3 2

 

P B



2 P B

，解得

P B 

  1

3

。 (2) 因為A 與 B 為獨立事件，所以

 

  1

3 P B A



P B



。 當 A 與 B 為獨立事件時，A 與

B

也為獨立事件，證明如下： 因為 A 與 B 為獨立事件，所以

P A B P A P B



 

    

，且



   



P A B

 



P A P A B





     

P A P A P B





 



1  



P A

P B





   

P A P B



， 即 A 與

B

也為獨立事件。 ▲ 圖 4 同理可推得，

A

與 B 為獨立事件，且

A

與

B

也為獨立事件。

(16)

獨立事件的性質 若 A 與 B 為獨立事件，則有以下性質： (1)事件

A

與 B 為獨立事件。 (2)事件 A 與

B

為獨立事件。 (3)事件

A

與

B

為獨立事件。利用獨立事件的性質，做一道應用問題。 【例题 8】 設甲、乙射擊的命中率分別為

1

4

與

1

5

。 已知兩人各射一發，且兩人命中與否為獨立事件， 求下列各事件的機率： (1) 兩人都沒命中。 (2) 至少有一人命中。 Ans：【詳解】 設 A 與 B 分別表示甲、乙命中靶面的事件。 根據題意，得

 

1 _,

 

1

4

5 P A



P B



A

與

B

也為獨立事件。故兩人都沒打中的機率為



    

P A B

 

 

P A P B



1

3

1

4

5

5 





 

_

_

_

_

 

_

_

。 (2) 利用取捨原理，得至少有一人命中的機率為



     



P A B P A P B P A B

 







(17)

       

P A P B P A P B







1 1 1 1 2

4 5 4 5 5

    

。上例的第(2)題也可以由笛摩根定律：



A B

  





A B



，得





₁





₁

3 2

5 5

P A B

  

P A B



   



。 【隨堂練習 8】 設甲、乙兩人在罰球線投籃投進的機率分別為 0.4 與 0.2。已知兩人各投一球， 且兩人投進與否為獨立事件，求下列各事件的機率： (1) 兩人都投進。 (2) 恰有一人投進。 Ans：【詳解】 設 A 與 B 分別表示甲、乙投進的事件。根據題意，得

 

0.4,

 

0.2 P A



P B



。 (1) 因為A 與 B 為獨立事件，所以兩人都投進的機率為





 

  0.4 0.2 0.08

P A B

 

P A

．

P B

  

。 (2) 恰有一人投進的機率為



 

        

P A B

 



P A B P A P B



 





P A P B





 



0.4 1 0.2

1 0.4 0.2 0.44

      

。獨立事件的理論可以應用在選手贏得比賽的機率。

(18)

【例题 8】 甲、乙兩選手參加 5 戰 3 勝制（即先勝 3 盤者贏得比賽）的網球單打比賽。 設甲單盤獲勝的機率為

3

4

，且每盤的比賽結果互不影響。已知甲選手前兩盤 皆敗，求甲贏得比賽的機率。 Ans：【詳解】先將甲、乙兩人比賽獲勝的情形及其機率以樹狀圖呈現如下（甲表甲勝，乙表乙勝）。再由樹狀圖，得甲贏得比賽的機率為

3 3 3 27

4 4 4 64

  

。 【隨堂練習 8】 甲、乙兩選手參加 3 戰 2 勝制（即先勝 2 局者贏得比賽）的羽球單打比賽。 已知甲單局獲勝的機率為

2

3

，且每局的比賽結果互不影響，求甲贏得比賽的 機率。 Ans：【詳解】先將甲、乙兩人比賽獲勝的情形及其機率以樹狀圖呈現如下（甲表甲勝，乙表乙勝）：再由樹狀圖，得甲贏得比賽的機率為

2 2 2 1 2 1 2 2 20

3 3 3 3 3 3 3 3 27

       

。

(19)

當遇到比賽因故中止且不再比賽的狀況時，該如何來分配比賽的獎金呢？以例題說明如下。 【例题 10】 甲、乙兩人比賽桌球（不得和局），約定先勝 3 局者可得獎金 7200 元。設 甲單局獲勝的機率為

2

3

，且每局的比賽結果互不影響。已知當比賽進行至甲 勝 2 局、乙勝 1 局時，因故中止且不再比賽，至於獎金的分配，則依若繼續 比賽兩人贏得比賽的機率之比例來分配，求甲應分得多少獎金。 Ans：【詳解】先將甲、乙兩人比賽獲勝的情形及其機率以樹狀圖呈現如下（甲表甲勝，乙表乙勝）。再由樹狀圖得知：若繼續比賽，則

(20)

(1) 甲贏得比賽的機率為

2 1 2 8

3 3 3 9

  

。 (2) 乙贏得比賽的機率為

1 1 1

3 3 9

 

。因此，兩人贏得比賽的機率之比例為 8：1。故甲應分得獎金

8 7200

6400

8 1



_



（元）。 【隨堂練習 10】 甲、乙兩人比賽下棋（不得和局），約定先勝 3 局者可得獎金 1600 元。設 甲、乙兩人實力相當，且每局的比賽結果互不影響。已知當比賽進行至前 2 局皆甲勝時，因故中止且不再比賽，至於獎金的分配，則依若繼續比賽兩人 贏得比賽的機率之比例來分配，求甲應分得多少獎金。 Ans：【詳解】先將甲、乙兩人比賽獲勝的情形及其機率以樹狀圖呈現如右（甲表甲勝，乙表乙勝）：再由樹狀圖得知：若繼續比賽，則 (1) 甲贏得比賽的機率為

1 1 1 1 1 1 7

2 2 2 2 2 2 8

     

。 (2) 乙贏得比賽的機率為

1 1 1 1

2 2 2 8

  

。因此，兩人贏得比賽的機率之比例為 7：1。故甲應分得獎金

1600

7 1400

7 1



_



（元）。

(21)

丙貝氏定理

某班男女生人數各半，男生中有 40％的人通過英檢，女生中有 60％的人通過英檢。班上任選一學生，已知該生通過英檢，那麼此人是女生的機率為多少呢？像這樣的機率問題，是日常生活中經常碰到的情境，我們可設

A

₁表示選出者是男生的事件，

A

₂表示選出者是女生的事件，B 表示選出者通過英檢的事件。根據上 述可得

 

1

0.5,

 

2

0.5,

P A



P A



 

1

0.4,

 

2

0.6 P B A



P B A



，並將這些事件的關係以文氏圖與樹狀圖呈現如下。 (a) (b) ▲圖 5 由文氏圖或樹狀圖，可得某生通過英檢，此人是女生的機率為

0.5 0.6

3 _0.6

0.5 0.4 0.5 0.6 5



_{ }

  

。上述的情境我們雖然是透過文氏圖或樹狀圖求得其機率，然而事實上其背後是有著嚴謹的數學理論支持，稱之為貝氏定理。貝氏定理是在十八世紀英國牧師貝斯（R. T. Bayes，1702～1761）的遺作中發現的，今日已被廣泛的應用，介紹如下。

(22)

設

A A A

₁

, ,

₂ ₃為樣本空間 S 的三個事件，且滿足

P A 

 

_i

0

（

i 

1,2,3

）。當這三個事件兩兩互斥且

A

₁

  

A

₂

A S

₃ 時，我們把



A A A

₁

, ,

₂ ₃



稱為樣本空間 S 的一 組分割，如圖 6(a)所示。 ` (a) (b) ▲圖 6 當



A A A

₁

, ,

₂ ₃



為樣本空間 S 的一組分割，且事件 B 為 S 的一個事件時，事件 B 也會被分割成

A B A

₁



,

₂



B A

,

₃



B

兩兩互斥的三個事件，如圖 6(b)所示。因此， 事件 B 發生的機率就是這三個兩兩互斥事件的機率總和，即

 



₁

 

₂





₃



P B



P A B P A

 

B P A



B

接下來，我們想知道的是：在事件 B 發生的條件下，事件

A

₁發生的機率（即

 

1

P A B

）是多少呢？由條件機率的定義得知：在事件 B 發生的條件下（

_{P B }

  0

），事件

A

₁發生的機率為

 



1

_{ }



_

_{ }



1



_

_

_

1 1 2 3

P A B

P B

P A B P A

B P A

B





_{ }

_

。利用條件機率的乘法定理，可將上式中的每一個

P A B



_i





分別改寫成



_i

  

_i

 

_i

,

1, 2,3

P A B

 

P A P B A i



。因此，

 

_{ }

P A P B A

_{ }

 

1

_{ }

 

1

_{ }

P A B



_

。

(23)

同理，我們也可求得

P A B

 

₂ 與

P A B

 

₃ 。擴及一般性，我們可以推得貝氏定理，敘述如下。 貝氏定理 設



A A

₁

, , ,

₂

A

n



為樣本空間 S 的一組分割，且 B 為 S 的任一個事件。若

P B 

  0

， 則在事件 B 發生的條件下，事件

A

k（

1 k n

 

）發生的機率為

 

_{ }

 

_{ }

 

_{ }

1 1 2 2 k k k n n

P A P B A

P A B

P A P B A



_

_{ }

。貝氏定理具有相當的實用性，它的公式看似複雜，但本質上是自然的，我們藉由樹狀圖的輔助，以例子說明如下。 【例题 11】 某工廠有甲、乙、丙三台機器，其產量分別占總產量的

1 1 1

, ,

3 2 6

，且依過去的 經驗知甲、乙、丙機器生產的產品中分別有 6％, 4％, 3％的不良品。 (1) 任選一產品，求該產品為不良品的機率。 (2) 已知某產品為不良品，求該產品為甲機器所生產的機率。 Ans：【詳解】設

A A A

₁

, ,

₂ ₃分別表示選出的產品是由甲、乙、丙機器所製造的事件； B 表示選出者為不良品的事件。根據題意，得

 

1

 

2

 

3

1 _,

3

2

6 P A



P A



P A



 

1

 

2

 

3

6 _,

4 _,

3

100

100 P B A



P B A



P B A



，並將這些事件的關係以文氏圖與樹狀圖呈現如下。

(24)

由文氏圖或樹狀圖，得 (1) 任選一產品為不良品的機率為

1

6

1

4

1

3

9 3 100 2 100 6 100 200



 



。 (2) 某產品為不良品，此不良品為甲機器所生產的機率為

1

6

4 3 100

1

6

1

4

1

3

9 3 100 2 100 6 100







 

。

(25)

【隨堂練習 11】 某校數學模擬考評分後將全校同學依總分由高到低排序：前 30％的同學屬於 甲組，後 20％的同學屬於丙組，其餘的同學屬於乙組。進一步分析同學的答 題情形，得到計算題答對率如下表。 甲組乙組丙組計算題答對率 100％ 80％ 40％選出所有正確的選項。 (1) 計算題答對的同學，一定屬於甲組 (2) 計算題答錯的同學，不可能屬於甲組 (3) 從丙組的同學中任選一人，此人計算題答對的機率為 0.4 (4) 從計算題答對的同學中任選一人，此人屬於乙組的機率大於 0.5。 Ans：【詳解】由題意可知，計算題答對的同學不一定屬於甲組。而因為甲組的同學計算題全部答對，所以計算題答錯的同學，不可能屬於甲組。因為丙組同學計算題答對率為 40%，所以從丙組的同學中任選一人，此人計算題答對的機率為 0.4。從全校同學中任選一人，設

A A A

₁

, ,

₂ ₃分別表示選出者屬於甲組、乙組、丙組的事件， B 表示選出者計算題答對的事件。 根據上述可得

 

1 2 2

 

3 3 1

0.3,

0.5,

0.2,

1,

0.8,

0.4 P A

P A

P B A



，並將這些事件的關係以樹狀圖呈現如下。

(26)

由樹狀圖可得從計算題答對的同學中任選一人，此人屬於乙組的機率為

0.5 0.8

0.4

40 _0.5

0.3 1 0.5 0.8 0.2 0.4 0.3 0.4 0.08 78



_

_{ }

    

 

。故選(2)(3)(4)。貝氏定理也可以應用在醫學檢驗後判斷是否確實染病的機率上。 【例题 12】 根據統計：某地區有 5％的人罹患某種傳染病，且患者經篩檢後呈現陽性的 機率為 99％；未患此病的人經篩檢後呈現陽性的機率為 0.2％。 (1) 從此地區任選一人接受檢驗，求此人檢驗結果為陽性的機率。 (2) 「偽陽性」表示某人經篩檢後呈現陽性但實際上沒生病。已知某人篩檢呈現陽性，求此人為偽陽性的機率。 Ans：

(27)

【詳解】先將各事件發生的情形及其機率以樹狀圖呈現如下。再由樹狀圖，得 (1) 任選一人檢驗，結果為陽性反應的機率為

0.05 0.99 0.95 0.002 0.0514









。 (2) 某人篩檢後呈陽性，但他並未患病的機率為

0.95 0.002

19 _0.0370

0.05 0.99 0.95 0.002 514



_

_







。 【隨堂練習 12】 承例題 12，已知某人檢驗結果呈陰性反應，求此人確實沒有染病的機率。 Ans：【詳解】由樹狀圖得知，此檢驗結果為陰性反應的人確實沒有染病的機率為

0.95 0.998

9481

0.9995

0.05 0.01 0.95 0.998 9486



_

_







。例題 12 中利用貝氏定理求得偽陽性的機率，可做為判別需不需進行普篩的其中一個參考數據。

(28)

丁機率的回顧—古典機率、客觀機率與主觀機率

機率一詞常常出現在日常生活中，在第二冊我們學過「古典機率」的定義： 設一試驗的樣本空間 S 之樣本點為有限個，且每個樣本點出現的機會均等，事件 A 發生的機率

   

n A

_{ }

A

P A

n S

S



 的樣本點個數

_{的樣本點個數}

。例如丟一枚均勻硬幣一次，正面出現的機率為

1

2

。除了古典機率外，還有其他定義機率的方式，以下介紹常見的兩種。（一）客觀機率將調查或試驗獲得的事件發生頻率當作該事件的機率，稱為「客觀機率」。例如美國高爾夫球手老虎伍茲在 2019 年獲得第 82 場美巡賽的冠軍，在此之前他總共參加了 359 場，我們就把「獲勝的頻率」當作他「比賽的勝率」，即他比賽的勝率為

82 ₂₃

360  ％

。由上述可知，客觀機率是統計多次試驗結果而來的，而且，此數據會隨著試驗次數或調查數據的不同而有所改變，因此，客觀機率並非是個不變的數值。許多生活經驗中的機率常屬於客觀機率。本單元的例題 3、7、9、10、11、 12 中的機率，是根據統計數據或依據過去經驗而得，這些皆屬客觀機率。（二）主觀機率在缺乏調查或試驗資料的情況下，觀察者對於某些事件會依過去的經驗或心理的感覺來判斷事件發生的機率，這是一種主觀判斷的結果，稱為「主觀機率」。例如：某生追求一位女孩，經過各種互動的跡象，認為可以追到該女孩的機率為

(29)

0.8，這就是主觀機率。又例如：某生對此次數學科考試準備充分，信心滿滿，評估此次考試及格的機率為 0.9，這也是主觀機率。無論是使用以上哪種定義，所得到的機率都必須滿足下列兩個條件： (1) 整個樣本空間發生的機率為 1。 (2) 任何事件 A 發生的機率

P A

 

必須滿足

₀



_{P A}

 



₁

。例如：明天中、韓棒球賽，如果認為中華隊獲勝的機率為 0.8，又認為韓國隊獲勝的機率為 0.5，這樣的機率是不合理的。法國著名的數學家拉普拉斯（P-S M. de Laplace，1749～1827）曾說：「機率必將成為人類知識中最重要的一部分，生活中大部分重要的問題都將只是機率的問題。」近年來，機率論迅速發展，不僅成為數學中一個重要的領域，獲得機率的各種方法，也常應用在各專業領域上，除了協助我們評估事件發生的可能性，也能做為許多決策的依據。 【隨堂練習】 選出所有正確的選項。 (1) 某人射擊 50 發，命中 10 發，可用

1

5

做為其命中率 (2) 某人射擊 50 發，命中 10 發，表示接下來 5 發他一定會命中一發 (3) 某人判斷今天有 3 成的機率會下雨，有 8 成的機率不下雨，這樣機率的判斷是不合理的 (4) 某人對其投資信心滿滿，認為百分之兩百會賺錢，這樣機率的判斷是不合理的。 Ans：【詳解】 (1) 某人射擊 50 發，命中 10 發，可用

1

5

做為其命中率。 (2) 某人射擊 50 發，命中 10 發，並不表示接下來 5 發他一定會命中一發。 (3) 因為

0.3 0.8 1.1 1

  

，所以這樣機率的判斷是不合理的。 (4) 因為

200% 2 1

 

，所以這樣機率的判斷是不合理的。故選(1)(3)(4)。

(30)

觀念澄清

0. 下列敘述對的打「」 (1) 若事件A 與 B 滿足 P(A)＞0 且 P(B)＞0，則

P AB

   



P B A

。 (2) 兩事件A 與 B 同時發生的機率





   

P A B

 

P A P B

．

。 (3) 若A 與 B 為獨立事件，則

A B

 

。 (4) 若



A A

₁

,

₂



為樣本空間的一組分割，且

 

₁

1

3 P A 

，則

 

₂

2

3 P A 

。 Ans：【詳解】 (1) ╳：因為

P AB

 

P A B



_{ }



,

P B A

 

P A B



_{ }



P B

P A





，所以 P(A∣B)與 P(B∣A)不一定相等。 (2) ╳：當A 與 B 為獨立事件時，





 

P A B

 

P A

．

P B

才會成立。 (3) ╳：當

_{P A }

  0

且

_{P B }

  0

時，

 

P A B



_{ }



 

0 P B A

P B

P A







，即

P A B



 

 0

，因此

A B

 

。 (4) ○：因為

A

₁與

A

₂是樣本空間的一組分割，即

A

₁

 

A S

₂ 且

P A



₁

 

A

₂



0

，所以利用

 



₁ ₂

     

₁ ₂ ₁ ₂



1 P S



P A

 

A

P A



P A



P A

 

A

，

 

2 P A 

(31)

一、基礎題

1. 同時擲兩粒公正骰子一次。已知這兩粒骰子的點數和為 6， 求其中一粒骰子出現 2 點的機率。 Ans：【詳解】 設 A 表示兩粒骰子的點數和為 6 的事件， B 表示其中有一粒骰子出現 2 點的事件。 依題意，得

A



         

1,5 , 2, 4 , 3,3 , 4, 2 , 5,1



，因此，

n A 

  5

且

n A B



 

 2

 



_{ }



2

5 n A B

P B A

n A





。 2. 某社區的住戶中，有

1

15

的住戶養狗，有

1

30

的住戶養貓， 有

1

40

的住戶兩種都養。今任選該社區一住戶， 試回答下列問題： (1) 已知此住戶養狗，求該住戶也養貓的機率。 (2) 已知此住戶養貓，求該住戶也養狗的機率。 Ans：【詳解】 設 A 表示選出者家裡養狗的事件， B 表示選出者家裡養貓的事件。 根據題意，得

 

1 _,

 

1 _,





1

15

30

40 P A



P B



P A B

 

。

(32)

(1) 在A 發生的條件下，B 發生的機率為

 



_{ }



₄₀

1

3

1 ₈

15 P A B

P B A

P A





 

。 (2) 在B 發生的條件下，A 發生的機率為

 



_{ }



₄₀

1

3

1 ₄

30 P A B

P AB

P B





 

。 3. 已知事件 A 與 B 滿足

 

1 ,

 

1 ,





1

2

3

4 P A



P B



P A B

 

， 求下列各機率：

(1) P(B∣A)。 (2) P(B∣A)。 (3) P(B∣A)。 Ans：【詳解】 (1)

 



_{ }



1

4 1 2

2 P A B

P B A

P A





 

。 (2)



   

 1 1 1

3 4 12

P A B

 

P B P A B



   

，因此

 



_{ }



1

12 1 6

1

2 P A B

P B A

P A



 

_





。 (3) 因為



     



1 1 1 7

2 3 4 12

P A B P A P B P A B

 







   

，

(33)

所以





1 

 5

12 P A B



  



P A B

 

，故

 



_{ }



₁₂

5

5 1 6

1

2 P A B

P B A

P A







  

_





。 4. 已知甲袋內有紅球 1 顆，白球 1 顆；乙袋內有白球 2 顆。 今從甲袋中取出一球放入乙袋，再從乙袋中取出一球放回 甲袋。設每顆球被取到的機率都相等，求操作完後甲袋恰有 2 顆白球的機率。 Ans：【詳解】操作完後甲袋恰有 2 顆白球，即從甲袋取一顆紅球放乙袋，再從乙袋取一顆白球放甲袋，其機率為

1 2 1

2 3 3

 

。 5. 設 A 與 B 為獨立事件，且

 

1 ,

 

1

2

3 P A



P B



。 選出所有正確的選項。 (1)



 5

6 P A B

 

(2)

 

1

3 P B A 

(3)

 

1

3 P AB 

(4)

 

1

3 P B A 

。 Ans：【詳解】 (1) 因為A 與 B 為獨立事件，所以



     1 1 1

2 3 6

P A B

 

P A P B

．

  

。

(34)

(2) 因為A 與 B 為獨立事件，所以

 

  1

3 P B A



P B



 

  1

2 P AB



P A



。 (4) 因為A 與 B 為獨立事件，所以B 與

A

也為獨立事件，因此

 

  1

3 P B A

 

P B



。故選項(2)(4)正確。 6. 設甲、乙兩人能解出數學問題的機率分別為 0.4 與 0.5。 已知兩人各自解同一數學問題，且兩人解出與否為獨立事件， 求下列各事件的機率： (1) 兩人都解出。 (2) 恰有一人解出。 (3) 至少有一人解出。 Ans：【詳解】設

A B

,

分別表示甲、乙解出此問題的事件，且

A B

,

為獨立事件。 (1)

P A B



 



P A

 

．

P B

  0.4 0.5 0.2

  

。 (2) 恰有一人解出此問題的情形為「甲解出乙沒解出」或「甲沒解出乙解出」，機率為



 

_{ 0.4 0.5 0.6 0.5 0.5}

P A B

 



P A B



     

。 (3) 至少有一人解出此問題的情形為「恰一人解出」或「兩人都解出」，且兩情形為互斥，故機率為

0.5 0.2 0.7

 

。

(35)

7. 甲、乙兩人比賽下棋，約定 5 戰 3 勝制（即先勝 3 局者贏 得比賽）。設兩人實力相當，且每局比賽的結果互不影響。 已知前兩局皆由甲獲勝，求甲贏得比賽的機率。 Ans：【詳解】先將甲、乙兩人比賽獲勝的情形及其機率以樹狀圖呈現如右（甲表甲勝，乙表乙勝），再由樹狀圖，得甲贏得比賽的機率為

1 1 1 1 1 1 7

2 2 2 2 2 2 8

     

。 8. 電視台闖三關遊戲規則如下：答對每題得獎金 5000 元， 並可繼續回答下一題，直到答錯或三題皆答完為止。 已知某挑戰者答題的正確率為

3

5

，且每一題答對與否 皆為獨立事件，求該挑戰者獲得獎金的期望值。 Ans：【詳解】獲得金額與其對應的機率如下：金額 5000 10000 15000 機率

3 2

6 5 5 25

 

3 3 2 18

5 5 5 125

  

3 3 3 27

5 5 5 125

  

獲得金額的期望值為

6

18

27 5000

10000

15000

5880

25

125

125  









（元）。

(36)

9. 某零售店分別從甲、乙、丙三家廠商進貨相同數量的公仔， 又甲、乙、丙三家廠商所提供的公仔中分別有

1 3 1

, ,

2 5 3

的 「熊大」公仔。今從這家零售店任選一隻「熊大」公仔， 求該公仔來自乙廠商的機率。 Ans：【詳解】根據題意，將這些事件的關係以樹狀圖呈現如右：任選一隻「熊大」公仔來自乙廠商的機率為

1 3

18 3 5

1 1 1 3 1 1 43

3 2 3 5 3 3





    

。

二、進階題

10. 設兩事件 A 與 B 滿足

P A 

  0.5

且

_{P A B}



 

 0.8

。 (1) 已知

A B

 

，求

P B

 

。 (2) 已知 A 與 B 為獨立事件，求

P B

 

。 Ans：【詳解】

(37)

(1) 因為

_{P A B P A P B P A B}



 

     









，所以

0.8 0.5

 

P B

 



0

，解得

P B 

  0.3

_{P A B P A P B}



 

    

。因此



     



       

P A B P A P B P A B

P A P B P A P B

 













，即

0.8 0.5

 

P B

 



0.5 P B

 

，解得

P B 

  0.6

。 11. 已知

A B

,

是兩獨立事件，

  1

7 P A 

且 A 和 B 都不發生 的機率是

5

14

，求

P B

 

。 Ans：【詳解】因為

_{A B}

_,

是兩獨立事件，所以

A

和

B

也是兩獨立事件。 A 和 B 都不發生的事件

A B

 



所發生的機率為



    

 





 

1

6

7 P A B

P A

P B

P A

P B

 

 



 





．

，得到

5

6  

14 7



P B

，即

P B 

  5

12

，因此，

 

1

5

7 12 12

P B  



。

(38)

12. 袋中有紅球 2 顆，白球 4 顆。甲、乙兩人依序輪流取球， 每次取一球，約定先取到紅球者勝。設每顆球被取到的 機率都相等。 (1) 已知球取出後均再放回，求甲在第二次取球時獲勝的機率。 (2) 已知球取出後不放回，求甲獲勝的機率。 Ans：【詳解】 (1) 球取出後均再放回，甲在第二次取球時獲勝，表示依序甲取到白球、乙取到白球、甲取到紅球，其機率為 2

4

2

4

6 6 27

   

 

 

。 (2) 甲要獲勝，可能的情形以樹狀圖呈現如下。球取出後不放回，甲獲勝的機率為

2 4 3 2 4 3 2 1 2 1 1 1 3

6 6 5 4 6 5 4 3 2 3 5 15 5

           

。 13. 某疾病分為兩種類型：第一類型的患者占 80％，使用藥物 治療的成功率為 70％；第二類型的患者占 20％，使用藥物 治療完全無效。今有一患此疾病的病人使用此藥物治療無效， 求該病人患第一類型的機率。 Ans：【詳解】根據題意，將這些事件的關係以樹狀圖呈現如下，

(39)

有一患此疾病的病人使用此藥物治療無效，該病人患第一類型疾病的機率為

0.8 0.3

6 0.8 0.3 0.2 1 11



_

  

。 14. 某飲料公司有甲、乙、丙三條生產線，其產量分別占總產量 的 50％, 30％, 20％，且知此三條生產線的產品中分別有 x％, 4％與 3％的瑕疵品。今任選一罐飲料，且在該罐飲料是 瑕疵品的條件下，發現該飲料來自甲廠的機率為

25

43

， 求 x 的值。 Ans：【詳解】根據題意，將這些事件的關係以樹狀圖呈現如下，此瑕疵品來自甲廠商的機率為

50

25 100 100

50

30

4

20

3 ₄₃

100 100 100 100 100 100

x















，解得

_x

₅

。

407 條件機率與貝氏定理

甲 條件機率

   

n A

 

P A

n S



n S

 

n A

 



1, 2,3, 4,5, 6





4,5, 6



3 1

6 2



1

2



2, 4, 6 ,

 

4,5, 6



A



B



A B







 

2

3

n A B

n A

 

n A B



 



n A



A B



P B A

 

A B



 

n A B



 



P B A

n A





n S

 

 



 



 

 





 

n A B

P A B

n S

P B A

n A

P A

甲條件機率

_{ }

_{n S}

_{ }

_{A B}

_{ }

_{n S}

_{A B}

_,

_{P A }

_{ }

_{ }

_{ }

_{ }