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二、 、 、 、中能力學生 中能力學生 中能力學生 中能力學生「 「 「判斷該找因數或倍數 「 判斷該找因數或倍數 判斷該找因數或倍數」 判斷該找因數或倍數 」 」 」的方法 的方法 的方法 的方法
對於「最大公因數與最小公倍數診斷試題」來說，中能力學生判斷該找因數 或倍數的方法共有三種，分別為：(一)判斷未知數是被除數或除數、(二)判斷未 知數的大小、(三)用題目中的「整除」來判斷。中能力學生中僅男生 S13 未使用 任何方法而以嘗試錯誤的方法來找出因數與倍數，僅女生 S6 因為不具備因數概 念而皆以找倍數的方法解題。以下將各分別說明中能力學生在各方法的判斷方 式。
(一)判斷未知數是被除數或除數來決定要找因數還是倍數
S2 是中能力男生中唯一使用判斷題目中的未知數是被除數還是除數的方法 來決定要找因數還是倍數者，見以下的原案：
199. Q：好！你有沒有印象有另外一個數學名詞叫做因數？
200. S2：有呀！公因數，還有最大公因數
………
219. Q：在我講最大公因數之前，你有想到嗎？
220. S2：沒有
S2 在解試題一與試題二時皆以短除法求出最小公倍數，主要是因為 S2 忘記 了因數的相關概念，而在研究者問及是否對因數有印象後，S2 才想起與因數相 關的概念(行 199-200、219-220)。
201. Q：好，那就這一題(試題一)來說，你為什麼會想到倍數而不是想到因數？
202. S2：因為因數比它們(12和16)還要小呀！所以就除不盡
203. Q：那這一題，你怎麼判斷要比它們大？
204. S2：因為它們要找的是被除數
205. Q：那你覺得這個題目(試題一)跟最大公因數還是最小公倍數有關？
206. S2：最小公倍數
207. Q：理由就是剛剛講的？
208. S2：對
209. Q：那這一題(試題二)咧？跟哪個有關？
210. S2：最大公因數
211. Q：為什麼？
212. S2：因為它們要找除數
213. Q：你怎麼判斷什麼時候找被除數，什麼時候找除數？
214. S2：因為它(第二題)是一個比較大的數可以被比較小的數整除
在 S2 記起因數等相關概念後，即可從試題一中判斷出要找的是被除數(行 204)、試題二要找的是除數(行 212)，而 S2 認為「一個大的數除以一個小的數才 能整除」(行 214)，因此判斷出試題一要找的數必須比 12 和 16 大才能除得盡(行 202)，所以 S2 認為試題一與最小公倍數有關(行 206)、試題二與最大公因數有關 (行 210)。
(二)經由判斷未知數的大小來決定要找因數或倍數
三位中能力學生以判斷題目中未知數的大小來決定要找因數或倍數，以中能 力男生 S24 的原案為例：
【試題一】
14. Q：你看完這個題目之後，你會想到這個題目可能會用到什麼數學觀念？
15. S24：小六教的公因數跟公倍數
16. Q：那這一題是用到公因數還是公倍數？
17. S24：公倍數
18. Q：你怎麼判斷的？
19. S24：因為公因數求出來會太小
20. Q：為什麼比它們小就不可能？
21. S24：因為這樣就沒辦法整除
………
128. Q：為什麼可以被12整除就是要找12的倍數，不是因數？
129. S24：(停了7 sec)因為這個數可以整除12，所以是12的倍數，不會比12
小，要比12大
S24 從試題一中的「這個數可以被 12 整除」(行 129，S24 講解時將整除關 係混淆)而認為這個數會比 12 大，所以要找的這個數會是 12 的倍數(行 129)，所 以 S24 認為試題一與公倍數有關(行 17)，如果找公因數的話則會太小(行 19)而無 法整除(行 21)。
(三)用題目中的「整除」來判斷
中能力學生中以題目中的「整除」來判斷要找因數或倍數之方法者有三位，
以中能力男生 S17 的原案為例：
176. Q：那如果就因數倍數來看，這一題(試題一)跟因數、倍數哪一個有關係？
177. S17：因數
178. Q：你怎麼判斷的？
179. S17：因為可以被整除
180. Q：所以剛剛這一題(第二題)跟因數還是倍數有關？
181. S17：因數
182. Q：理由是什麼？
183. S17：跟剛剛一樣
184. Q：所以你看到可以被整除就會認為跟因數有關？
185. S17：對
………
188. Q：那，不會想到倍數？
189. S17：不會 190. Q：為什麼？
191. S17：不知道
192. Q：是因為你剛剛講因數的時候你都用除法，講倍數用乘法，所以剛剛那
個除，你就會想到因數？
193. S17：嗯
194. Q：所以，只要跟除有關，你就會想到因數不會想到倍數？
195. S17：嗯
在 S17 的概念中「乘法」與「倍數」有關、「除法」與「因數」有關(行 192-193)，
因此 S17 從試題一與試題二中的「可以被整除」(行 179)來判斷兩個試題皆與因
數概念有關(行 176-177，180-181，184-185，194-195)。
此外再以中能力男生 S13 的原案為例：
260. Q：為什麼你從題目就可以想到要用這個方法？
261. S13：因為就是，什麼數可以被什麼除
………
266. Q：那怎麼判斷什麼時候要全部乘起來？什麼時候只要乘旁邊就好了？
267. S13：算錯再代進去看看
268. Q：喔！你就是都試試看就對了，看哪一個是對的
269. S13：對
270. Q：所以你分不太清楚什麼時候要用哪一個囉？
271. S13：對
S13 先從題目中的整除判斷與最大公因數或最小公倍數有關(行 260-261)，但 S13 並不確定要找哪一個(行 270-271)，所以 S13 就兩者都試試看(行 268-269)，
再將答案代回試題看哪個答案有符合題目的要求(行 266-267)；S13 最後可以成功 找出正確的答案之原因在於 S13 了解題目中「a 被 b 整除」之數字間的關係(見本 章第二節中「整除」概念的討論)，才有判法在將算出的結果代回試題驗算時不 發生錯誤。