第一節 第一節 第一節

第六章 第六章

第六章 第六章 實踐期之資料分析 實踐期之資料分析 實踐期之資料分析 實踐期之資料分析

依據實踐期所決定之探討方式，本研究採用「最大公因數與最小公倍數之診 斷試題」與「學生背景資料問卷」為資料蒐集的工具，訪談了國一高、中、低三 種不同能力與不同性別之學生，希望藉由訪談可以了解國一學生在解最大公因數 與最小公倍數相關試題時的困難，進而了解學生在解最大公因數與最小公倍數相 關試題時，分不清楚要使用最大公因數或最小公倍數的原因。

由於本階段正式研究的訪談資料非常多，為了讓讀者閱讀方便，以下將先以 整體的方式來描述不同能力、不同性別學生的綜合表現，再分別針對各研究問題 來分析各能力學生在各方面的表現情形。本章共分四節，第一節以整體量化分析 的方式來分析各能力學生在本研究試題的綜合表現；第二節針對本研究的研究問 題一、研究問題二與研究問題三來分析各能力學生對於本研究試題的題意與該學 生對於各基本概念的理解情形；第三節針對本研究的研究問題四、研究問題五與 研究問題六來分析各能力學生的解題策略與判斷題目中不必要條件與多於一個 答案的表現情形；第四節針對本研究問題七來分析各能力學生判斷本研究試題該 使用因數或倍數的方法，至於研究問題八將綜合前七個研究問題之結果於第七章 進行討論。

第一節 第一節 第一節

第一節 不同能力學生 不同能力學生 不同能力學生 不同能力學生在 在 在 在「 「 「 「最大公因數與最小公倍數 最大公因數與最小公倍數 最大公因數與最小公倍數 最大公因數與最小公倍數 之診斷試題

之診斷試題 之診斷試題

之診斷試題」 」 」 」的綜合表現分析 的綜合表現分析 的綜合表現分析 的綜合表現分析

下頁表 6-1-1 為不同能力學生在兩個試題得分的平均值與標準差，兩試題的 總分各為 8 分。從表 6-1-1 試題一與試題二之總合來比較三個能力的學生可知，

高能力學生的表現優於中能力學生的表現，且中能力學生的表現亦優於低能力學

生的表現，且能力愈低其內學生表現的差異性也相對愈大，如個別從兩試題來

看，情況亦同；此外，高能力學生與低能力學生在試題二得分的平均表現比其在

試題一得分的平均表現來的好，僅中能力學生在試題一得分的平均表現優於試題 二得分的平均表現。

下表 6-1-2 為不同性別學生在兩個試題得分的平均值與標準差，對試題一來 說，男生整體的平均得分高於女生整體的平均得分，而對於試題二來說，男女生 整體的平均得分是相等的，但對此兩個試題來說，男生得分較女生得分來得分 散；如從試題一與試題二之總合來比較男女生的表現可發現，男生的平均表現優 於女生，且男生的得分較女生來得分散，但男女間的差距不大。

表 6-1-1 不同能力學生在試題一與試題二得分之平均值與標準差 高能力 中能力 低能力

試題一 6.75 (1.04)

5.63 (1.19)

3.38 (2.72) 試題二 7.13

( .99)

4.38 (2.07)

3.75 (2.82) 試題一與

試題二總合

13.88 (1.73)

10 (3.07)

7.13 (5.41)

表 6-1-2 不同性別學生在試題一與試題二得分之平均值與標準差 男生 女生

試題一 5.42 (2.39)

5.08 (2.19) 試題二 5.08

(2.61)

5.08 (2.5) 試題一與

試題二總合

10.50 (4.74)

10.17 (4.55)

試題一的二因子變異數分析(two-way ANOVA)結果顯示，整個模型的 F 考驗 為 F(5,18)=2.61，P< .0604，該檢驗並未達顯著，但由於α值的設定十分主觀，

且該考驗 P 值亦非常接近 .05 的顯著水準，值得進一步深入探討。下頁表 6-1-3

為不同能力與不同性別學生在試題一的平均得分之二因子變異數分析結果表，由

該表可知能力與性別變數之間並沒有顯著的交互作用(interaction effect)，而性別

的主要效應(main effect)未達顯著水準，但能力之主要效應則達顯著水準，

F(2,18)= 6.30，P< .0084，顯示出三組不同能力的學生在試題一的平均分數在統 計上達顯著差異，且能力這個因子的關聯強度ω

值為 33.06%，顯示出能力的差 別可以解釋學生在試題一分數的變異量約 33%，另外在性別、能力與性別的交互 作用之因子的關聯強度ω

則非常接近 0 。

試題二的二因子變異數分析結果顯示，整個模型的 F 考驗為 F(5,18)=2.06，

P< .1184，該檢驗並未達顯著。由於試題一的因子關聯強度ω

值頗高，所以亦想 了解試題二的ω

值；下表 6-1-4 為不同能力與不同性別學生在試題二的平均得分 之二因子變異數分析結果表，由該表可知能力與性別變數之間並沒有顯著的交互 作用，而性別的主要效應未達顯著水準，但能力之主要效應則達顯著水準，

F(2,18)=5.07，P< .0179，顯示出三組不同能力的學生在試題二的平均分數在統計 上達顯著差異，且能力這個因子的關聯強度ω

值為 27.81%，顯示出能力的差別 可以解釋學生在試題二分數的變異量約 28%，另外在性別與能力和性別的交互作 用之因子的關聯強度ω

則非常接近 0 。

表 6-1-3 不同能力與不同性別學生在試題一的平均得分之二因子變異數分析表 變異來源 SS df MS F P 值

能力 47.25 2 23.625 6.30 0.0084 性別 0.667 1 0.667 0.18 0.6783 能力*性別 1.083 2 0.541 0.14 0.8665

誤差 67.5 18 3.75 總合 116.5 23

表 6-1-4 不同能力與不同性別學生在試題二的平均得分之二因子變異數分析表 變異來源 SS df MS F P 值

能力 51.583 2 25.792 5.07 0.0179

性別 0 1 0 0 1.0000

能力*性別 0.75 2 0.375 0.07 0.9292 誤差 91.5 18 5.0833

總合 143.83 23

由以上分析結果可知性別對於學生在試題一與試題二的表現之變異量並沒 有很大的解釋度，而能力變數對兩試題的影響較大，且其可以解釋試題分數的變 異量約為 30%。由下圖 6-1-1 與圖 6-1-2 各能力男女生於試題一與試題二的平均 分數折線圖可看出三個能力學生在試題一與試題二的表現之差異，高能力與中能 力學生在試題一的表現明顯優於低能力學生的表現，另外對於試題二來說，高能 力學生的表現亦明顯優於中能力與低能力學生的表現。

圖 6-1-1 各能力男女生於試題一 圖 6-1-2 各能力男女生於試題二 之平均分數折線圖 之平均分數折線圖

從各能力學生對試題的答案來看，研究者將答案類型分成以下三種：(a)找 出全部答案或僅找出最小公倍數(最大公因數)為答案、(b)僅找出一個非最小公倍 數的公倍數(非最大公因數的公因數)為答案、與(c)錯誤答案或完全空白。因本研 究的訪談對象僅高能力男生 S3 在回答試題二時答出了完整的答案，所以研究者 將「找出全部答案」與「僅找出最小公倍數(最大公因數)」兩種答案合併成(a) 的答案類型。下表 6-1-5 為各能力學生在試題一與試題二所回答的答案類型之人 數與百分比，由表 6-1-5 可知，試題一與試題二中各類型答案的回答率差不多，

如從答錯率來看，兩試題的答錯率分別為 .25 和 .38，佔了約三分之一左右，而 這些答錯的學生皆來自中能力與低能力的學生。

表 6-1-5 試題一與試題二答對與答錯人數與百分比 答案類型

試題

a b c 試題一 8( .33) 10( .42) 6( .25) 試題二 9( .38) 6( .25) 9( .38)

0 2 4 6 8

高能力 中能力 低能力

平均分數

男生 女生 0

2 4 6 8

高能力 中能力 低能力

平均分數

男生 女生

總括來說，對本研究之「最大公因數與最小公倍數之診斷試題」來說，高能 力學生的表現優於中能力學生的表現，且中能力學生的表現也優於低能力學生的 表現，此外以整體來看，男生的表現優於女生的表現，但其間的差異並不大；如 從答錯的人數來看，約有三分之一的學生會答錯本試題。

此外，本研究另一個目的是想了解因數、倍數、公因數、公倍數、最大公因 數、最小公倍數等基本概念與本試題的關係，採用迴歸建模的方式進行，因此選 擇了各學生在訪談中所得到的因數、倍數、公因數、公倍數、最大公因數、最小 公倍數概念之得分與該生每週參加數學科校外補習的時數等七個變項來當作預 測變項，因為預測變項很多，所以使用後退選擇法(backward)來建立回歸模式，

並以α= .10 作為保留變項在迴歸模式的判準。下表 6-1-6 與下頁表 6-1-7 分別為 各變項間的 Pearson 線性相關係數與各變項的平均、標準差。

表 6-1-6 各變項間的 Pearson 線性相關係數

因數 倍數 公因數 公倍數 最大公因數 最小公倍數 補習時數

因數 1

倍數 .406 1

公因數 .509 .455 1

公倍數 .284 .498 .517 1

最大公因數 .570 .295 .596 .440 1

最小公倍數 .148 .526 .400 .692 .655 1

補習時數 .114 .233 - .007 - .228 .290 .204 1

試題一 .445 .483 .508 .534 .612 .622 .400

試題二 .538 .408 .672 .604 .799 .647 .220

試題 .517 .464 .621 .596 .767 .644 .317

註 1.「補習時數」指的是該生每週參加校外數學科補習的時數

註 2.「試題」指的是試題一與試題二的總合

表 6-1-7 各變項的平均與標準差

因數 倍數 公因數 公倍數 最大公因數 最小公倍數 補習時數 試題一 試題二

平均 2.04 2.08 1.5 2.08 1.46 1.88 2.81 5.25 5.08

標準差 1.16 1.10 1.22 1.18 1.35 1.30 2.52 2.25 2.50

對於試題一來說，使用後退選擇法建立回歸模式最後所決定的模式之變項有 三，分別為該生的公倍數、最大公因數概念之得分與該生每週參加數學科校外補 習的時數，此模式的 F 考驗為 F(3,20)=11.73，P< .0001，其 R-Square=0.6376，

Adjusted R-Square=0.5832，意即公倍數、最大公因數與每週參加數學科校外補習 的時數之變項可以解釋試題一之變異數的 60%左右。下表 6-1-8 為迴歸分析的結 果，由該表可知各自變項的 p 值皆小於 .1 的水準，VIF 值均相當低，表示這些 變項之間並沒有很高的共線性存在，以這三個變項來預測試題一的迴歸模型如 下：

試題一的得分 = 1.51 + 0.92 × （公倍數概念的得分）

+ 0.55 × （最大公因數概念的得分）

+0.36 × （每週參加數學科校外補習的平均時數）

表 6-1-8 試題一的預測變項之回歸係數參數表

變項 B 標準誤 t 值 p 值 VIF 截距 1.51 0.78 1.93 0.0674 0 公倍數 0.92 0.32 2.92 0.0084 1.4564 最大公因數 0.55 0.28 1.98 0.0622 1.5492 每週數學科校外補習時數 0.36 0.14 2.65 0.0155 1.3176

對於試題二來說，使用後退選擇法建立回歸模式最後所決定的模式之變項

有二，分別為該生的公倍數與最大公因數概念之得分，此模式的 F 考驗為

F(2,21)=26.64，P< .0001，其 R-Square=0.7173，Adjusted R-Square=0.6903，意即

公倍數與最大公因數之變項可以解釋試題二之變異數的 70%左右。下頁表 6-1-9

為迴歸分析的結果，由該表可知各自變項的 p 值皆小於 .1 的水準，VIF 值均相

當低，表示這些變項之間並沒有很高的共線性存在，以這三個變項來預測試題二

的迴歸模型如下：

試題二的得分 = 1.91 + 0.66 ×（公倍數概念的得分）

+ 1.23 × （最大公因數概念的得分）

表 6-1-9 試題二的預測變項之回歸係數參數表

變項 B 標準誤 t 值 p 值 VIF 截距 1.91 0.60 3.22 0.0041 0 公倍數 0.66 0.27 2.42 0.0249 1.2402 最大公因數 1.23 0.24 5.12 < .0001 1.2402

對於整個「最大公因數與最小公倍數之診斷試題」來說，使用後退選擇法 建立回歸模式最後所決定的模式之變項有三，分別為該生的公倍數、最大公因數 概念之得分與該生每週參加數學科校外補習的時數，此模式的 F 考驗為

F(3,20)=17.87，P< .0001，其 R-Square=0.7283，Adjusted R-Square=0.6876，意即 公倍數、最大公因數與每週參加數學科校外補習的時數之變項可以解釋試題一之 變異數的 70%左右。下表 6-1-10 為迴歸分析的結果，由該表可知各自變項的 p 值皆小於 .1 的水準，VIF 值均相當低，表示這些變項之間並沒有很高的共線性 存在，以這三個變項來預測「最大公因數與最小公倍數之診斷試題」的迴歸模型 如下：

「最大公因數與最小公倍數之診斷試題」

= 2.98 + 1.71 × （公倍數概念的得分）

+ 1.66 × （最大公因數概念的得分）

+0.49 × （每週參加數學科校外補習的平均時數）

表 6-1-10 最大公因數與最小公倍數之診斷試題的預測變項之回歸係數參數表

變項 B 標準誤 t 值 p 值 VIF

截距 2.98 1.37 2.18 0.0412 0

公倍數 1.71 0.55 3.10 0.0057 1.4964

最大公因數 1.66 0.49 3.40 0.0028 1.5492

每週數學科校外補習時數 0.49 0.24 2.05 0.0539 1.3176

第二節 第二節 第二節

第二節 對於 對於 對於「 對於 「 「 「最大公因數與最小公倍數之診斷試題 最大公因數與最小公倍數之診斷試題 最大公因數與最小公倍數之診斷試題 最大公因數與最小公倍數之診斷試題」 」 」 」 來說

來說 來說

來說， ， ，不同能力學生在 ， 不同能力學生在 不同能力學生在 不同能力學生在「 「 「 「題意 題意 題意 題意」 」 」 」與 與 與「 與 「 「 「各基本 各基本 各基本 各基本 概念 概念 概念

概念」 」 」 」的理解之比較 的理解之比較 的理解之比較 的理解之比較

本節將分別針對本研究問題一的「了解題意」 、研究問題二的「整除概念」

與研究問題三的「因數」 、 「倍數」 、 「公因數」 、 「公倍數」 、 「最大公因數」與「最 小公倍數」等基本概念之面向來分析不同能力學生在「題意」與「各基本概念」

的理解情形。

一 一

一 一、 、 、 、在 在 在 在「 「 「 「了解題意 了解題意 了解題意 了解題意」 」 」方面 」 方面 方面 方面

各能力學生對於題意的了解共有以下幾種情況：A.在解題之初就已經了解題 意、B.最初解題意，但最後有了解題意、C.誤解題意、D.僅了解題目中的表層結 構，但不了解題目中的某部分條件、E.最初無法了解題意，經過給予鷹架的試題 後才有辦法了解題意、E.完全無法了解題意。表 6-2-1 為高、中、低能力學生了 解題意之情形，由下表 6-2-1 可知多數高能力學生皆可理解題意，而中、低能力 學生較無法了解到題目的深層結構，低能力學生在了解題意的表現差異較大，部 分低能力學生更是完全無法理解題意。

表 6-2-1 各能力學生了解題意之情形 A B C D E F 總人數 高能力 4 3 1 0 0 0 8 中能力 3 0 0 3 2 0 8 低能力 1 2 0 3 0 2 8 總人數 8 5 1 6 2 2 24

以下將分別分析高、中、低能力學生在了解題意方面的詳細表現。

(一)高能力學生在「了解題意」方面的理解情形

多數高能力學生除了可以判斷出題目的表層結構，也就是題目中未知數和已

知數的間的關係之外，更可將題目中的條件分成細部條件來看，也有將題目轉譯

成數學符號的能力，來幫助自己更了解題意進而判斷如何解題，此外高能力學生 亦可清楚比較兩個試題間的異同。以高能力男生 S8 的原案為例：

【試題二】

66. Q

：那你把題目的意思說出來

67. S8

：喔！

念岀題目中兩個條件

嗯…我是想，它們是不是分成兩個式子，

一個是

除以

，一個是

除以這個數，既然是這樣的話，就已經 證明

會被…就是

可以除以

，它們都是…答案都是整數的話，

那我就可以不必理會

跟

這兩個數了

【試題一與試題二的比較】

87. Q

：那這一題跟剛剛那一題相不相同？

88. S8

：我覺得不相同，可是有一個類型，嗯…我看一下，都是整除整除的

89. Q

：那有其他相同的地方嗎？

90. S8

：就是，這一題

第二題

的話，它

就是可以被一個已知的數

跟一

個未知的數整除，另外這一題

第一題

的話，就是這個數跟一個已知 數

都可以被

整除

91. Q

：這是類似的地方？那還有沒有其他的？

92. S8

：都是要求正整數

93. Q

：那…有沒有不同的地方？

94. S8

：這一題

試題一

的話是，被除數除以

可以整除，阿這一題

試題二

是它

題目

把它

當成是被除數，把它

這個數

當成是除數，就這樣

S8 可以將試題二的 「84 可以被這個數和 14 整除」細分成兩個小條件(行 67)，

且在比較兩試題時，S8 除了可以比較兩題的表面特徵(行 88、92)，亦清楚說明 了題目中未知數和已知數間的關係(行 90)，此外，S8 亦可更深一層的判斷出兩 題目中未知數的角色(行 94)。

再以高能力女生 S18 看完題目後所列出的式子為例：

圖 6-2-1 S18 在解試題一的算式

如上頁圖 6-2-1 中 S18 解試題一時所列出的算式可知，S18 在看完題目後，

即將這個未知數設為 x，並依照題意列出兩個短除法的式子，由此可見 S18 有將 題目轉譯成數學式的能力，依此來幫助自己進一步了解題意。

此外，高能力學生即使在解題之初誤解題意，他們亦可在解題中或給予第一 個鷹架試題時自己發現錯誤，之後再重新看過一次題目後而了解題意。以高能力 男生 S9 的原案為例：

【試題一】

8. Q

：先請你用你的話說一下，這個題目的意思是什麼

9. S9

：

停了

不會講

10. Q

：你剛剛已經有講到一點點啦！你再把這句話的意思說一次

11. S9

：答案的數可以被這兩個

和

整除，另外這句也是

【試題二】

23. Q

：好，你剛剛說這個題目的意思是什麼？

24. S9

：可以被這個答案整除，也可以被

整除，就是說，答案是

的公因

數…

的公因數有這個答案和

，所以要求

和

的公因數

S9 最初將試題一誤解為「這個數可以被四個已知數整除」(行 11)，而對於 試題二，S9 有了解題目中未知數與已知數間的關係，但因為受了試題一的影響 而使用了和試題一類似的想法來解題(行 24)。

【給試題一的第一個鷹架】

161. Q

：如果我把題目改成這樣，你先念一遍

162. S9

：（念題）

163. Q

：這個題目跟剛剛那個題目有沒有一樣？

164. S9

：有一點不一樣

165. Q

：哪裡不一樣？

166. S9

：它說是，這個數和

都可以被

整除，所以這個數可以被

整除，

36

也可以被

整除

………

180. S9

：

停了

算錯了！

181. Q

：怎麼了？你怎麼看的？

182. S9

：因為，看到廢話

183. Q

：什麼意思？

184. S9

：其實它是問這個數可以被

整除，也可以被

整除，所以答案要 是

就可以了

…………

219. Q

：那我們來比較一下，這兩題真的不一樣嗎？

220. S9

：

停了

一樣

：怎麼看？

222. S9

：都可以被

整除

223. Q

：為什麼多了「一樣」這兩個數字後，你就比較清楚？

224. S9

：

停了

意思是一樣的，我剛剛沒看清楚

225. Q

：再看這一題

第二題

，它是什麼意思？

226. S9

：

是被除數，這兩個是除數，所以是

除以這兩個都可以整除，我

剛剛看錯了，因為會覺得它們要有關係

在研究者給予試題一的第一個鷹架後，S9 一開始認為此題目與試題一的意 思不太一樣(行 164、166)，但 S9 在仔細看一次試題一之後才發現自己誤解試題 一的題意(行 180、182、224)，而後 S9 才有真正了解兩個題目的意思(行 184、226)。

在全部 8 位高能力的學生中，僅高能力女生 S11 無法在訪談中自己發現誤解 題意，見以下的原案：

【試題一】

16. Q

：你先跟我說一下這個題目的意思是什麼？

17. S11

：

停了

這個數可以同時被這四個整除

【試題二】 念完題目，開始解題

：不太會

42. Q

：那先把你的想法告訴我，你為什麼要這樣列式？

43. S11

：

停了

44. Q

：這個是在算什麼？

45. S11

：

跟

的

公因數

46. Q

：你從題目的哪裡判斷的？

47. S11

：這句話

48. Q

：這句話的意思是什麼？

49. S11

：

停了

不太知道

50. Q

：你看不太懂這句話的意思？那你為什麼會列出這個式子？

51. S11

：不知道

52. Q

：你為什麼會找因數？

53. S11

：

停了

不知道

54. Q

：你剛剛哪一題找倍數，那為什麼這一題就是找因數？

55. S11

：

停了

亂寫的

56. Q

：那你剛剛是什麼感覺讓你覺得是找因數？

57. S11

：

停了

因為它

被這個數除，所以應該會比它

小

………

68. Q

：你剛剛說這句話的意思是什麼？

69. S11

：

可以被這個數整除

：那

咧？

71. S11

：

停了

可以被

整除

S11 將試題一誤解為「這個未知數可以同時被 36、12、32 和 16 四個數整除」

(行 17)，而對於第二題來說，S11 自認為並不了解題意，且無法解釋出題目中兩 個條件的意思(行 48-49)，但在 S11 解釋自己找因數的判斷依據時，又可講出「84 被這個數除」(行 57)，因此在研究者詢問之下，S11 才講出題目中條件的意思(行 69、71)，由此可見，S11 可以了解試題二的題意，但因為受了試題一的影響，

S11 使用了和試題一類似的想法來解題。

(二)中能力學生在「了解題意」方面的理解情形

部分中能力學生可以在解題之初就了解題意，而另有部分的中能力學生則是 只了解題目中的表層結構，雖然他們可以了解題目中未知數和已知數間的關係，

但對題目中某些部分的條件卻有理解上的困難，例如： 「有一個正整數」 、 「整除」

與「未知數」等，以中能力男生 S2 的原案為例：

【試題一】

28. Q

：好，你先用你的話說一下題目的意思在說什麼

29. S2

：

停了

就一個數字跟

還有

都可以被

還有

除呀！

【試題二】

50. Q

：好，先請你說一下，你認為題目在講什麼？

51. S2

：就是，一個未知數和

除以

，未知數和

除以

都可以整除

【一二題比較】

56. Q

：好，這個題目跟剛剛那個題目有沒有相同？有沒有類似？

57. S2

：有吧

58. Q

：有哪裡類似？

59. S2

：就是都可以被整除

60. Q

：都可以被誰整除？

61. S2

：…

62. Q

：都有可以被整除的那個東西？

63. S2

：嗯

64. Q

：那不同的地方咧？有沒有？

65. S2

：第二題是這個數

可以被這兩個數

未知數和

整除，第一題是這

兩個數

未知數和

可以被

整除

S2 知道試題一的這個未知數和 32 還有 36 是相同的(行 29)，而試題二中的 這個未知數則是和 14 還有 30 是相同的(行 51)，但 S2 並不清楚題目中「被某數 整除」之關係()而將「哪個數除以哪個數」之關係混淆(行 51)。

此外，另有少部分的中能力學生無法了解題意，但在研究者給予鷹架的試題 後才有辦法了解題意，而透過鷹架試題的給予了解到這些學生無法了解題意的困 難所在，分別為無法將題目轉譯成數學式與無法將題目中的條件細分，以 S6 的 原案為例：

【試題一】

唸題目，想了

，就說不會做，再想了

，仍然說不會算

3. Q

：先請你講一下，你認為題目在說什麼

4. S6

：就是要求這個數

5. Q

：嗯，那它的一些條件是什麼東西？

6. S6

：

停了

它的條件喔，可能就是要算吧

7. Q

：你先跟我說，這句話

有一個正整數

懂不懂？

8. S6

：懂

9. Q

：那這句話

已知這個數和

都可以被

整除

咧？

10. S6

：這個數可以跟

，然後被

整除

11. Q

：你懂它的意思？

12. S6

：嗯

13. Q

：那這句話

且這個數和

也都可以被

整除

咧？

14. S6

：這個數和

也可以被

整除

【給鷹架的第一個試題】

20. Q

：如果我把題目改成這樣，你先念一次題目

21. S6

：

念題

22. Q

：這樣有沒有更了解題目的意思？

23. S6

：還是一樣耶

S6 雖然宣稱自己有了解試題一的意思，但 S6 無法找出試題中的條件(行 6)，

S6 可以了解試題一中未知數和已知數間的表層結構(行 10、14)，因此第一個鷹 架試題對 S6 來說沒有用處。

【給鷹架的第二個試題】

25. Q

：那如果改成這樣咧？先把題目念一次好了

26. S6

：

念題

27. Q

：那這樣有沒有更清楚一點？

28. S6

：…

29. Q

：有沒有想說可以怎麼解題了？

30. S6

：

停了

還是沒有

31. Q

：你的困難在哪？

32. S6

：懂這個題目但還是不知道怎麼算，不會列式

【給鷹架的第三個試題】

34. Q

：那如果再改成這樣，一樣，先把它念一次

35. S6

：

念題

36. Q

：那這樣會不會算？

37. S6

：我試看看

停了

：算不下去

40. Q

：好，你為什麼想要這樣算？你為什麼會列出那個式子？

41. A

：因為就是這樣一行一行算

42. Q

：這個式子式怎麼列出來的？

43. A

：就是框框除以

會等於

除以

44. Q

：你是從題目的哪裡判斷的？

45. A

：這兩個

46. Q

：那為什麼這兩個會相等？

47. A

：因為題目說這兩個式子都可以整除，所以我就把中間那個「和」變成

等於

48. Q

：它說這兩個式子都可以整除，就表示這兩個式子相等嗎？

49. A

：我覺得是這樣

50. Q

：好！所以你這樣列式子之後，算出來怎麼樣？

51. A

：最後發現兩個答案不一樣

52. Q

：你覺得這兩個框框填的數要一樣？為什麼？

53. S6

：因為它沒有說，這個跟這個答案不一樣

54. Q

：那它有說這兩個答案要一樣？

55. S6

：我是這樣覺得

56. Q

：那你是從哪裡判斷說這兩個數是要一樣的？

57. S6

：它講有一個正整數，它沒有講兩個

58. Q

：剛剛看了那麼多題目，它們的意思是同一個嗎？我們回來比較一下

59. S6

：有一樣

60. Q

：那剛剛你沒有辦法列出這樣的式子，你的困難在哪裡？

61. S6

：它沒有像這樣

有列出式子

，這樣我覺得會比較好算一點

62. Q

：它沒有式子出來？

63. S6

：對對對

64. Q

：所以，你是不太會將題目變成式子？

65. S6

：嗯

66. Q

：那你剛剛看第一題的時候，你有把剛剛這句話分成這兩句話嗎？

67. S6

：沒有

68. Q

：那你剛剛看的時候，你有辦法把剛剛這句話分成這兩個意思嗎？

69. S6

：好像也沒有

從之後所給予的第二個鷹架試題可發現，S6 無法進行解題的困難在於無法 將題目中的條件分成兩個小條件來看(行 66-69)且不知如何列式(行 31-32、61)；

在研究者給予 S6 鷹架的第三個試題後，S6 開始嘗試解題(行 37)，但仍在題目中 其他部分的轉譯上產生困難(行 46-49)；此外，S6 無法清楚了解題目中某些條件 所指的對象為何，因而干擾到 S6 本身解題的判斷，例如，S6 從題目中的「有一 個正整數」而認為「兩條件分別算出的答案應該樣相同」(行 56-57)。

【給鷹架的第四個試題】

71. Q

：那如果再改，你先把題目念一次

72. S6

：

念題

73. Q

：這樣你有沒有了解這個題目的意思？

74. S6

：就是說兩個這樣除出來的答案是不一樣的

75. Q

：那它的意思跟前面題目的意思一不一樣？

76. S6

：好像沒有

77. Q

：哪裡不一樣？

78. S6

：前面沒有說，兩個數代表不一樣

79. Q

：那這樣你會不會算？

80. S6

：

停了

應該會算一點

81. Q

：好那你試試看

82. S6

：

停了

計算

這樣

………

86. S6

：因為它這個數代表的兩個數都不一樣，所以就有兩個答案

………

【給鷹架的第五個試題】

90. Q

：那如果再換，你先把題目念一遍

91. S6

：

念題

停了

應該是這樣吧

92. Q

：好，那你為什麼要這樣想？

93. S6

：因為它們兩個都有一個共同的數，然後就可以除以它們兩個，所以我

覺得就是要乘以對方

………

112. Q

：好，那這個題目跟原本的那個題目有沒有一樣？

113. S6

：好像沒有

114. Q

：好，你來對照一下

115. S6

：

停了

只是它沒有把圖畫出來

116. Q

：那這個有畫圖，對你來說會比較清楚？

117. S6

：對

………

133. Q

：好，再讓你重新說一次，這個題目的意思是什麼？

134. S6

：這兩個跟這兩個的話，就是這個數就可以…

停了

就是，這個

數

正整數

要等於這兩個數

135. Q

：這句話

已知這個數和

都可以被

整除

的意思是什麼？

136. S6

：

停了

不知道要怎麼講

在給予第四個鷹架試題後，S6 又從題目中的「 所代表的數不一定會一樣」

而認為「兩條件分別算出的答案會有不同」(行 74)，最後，直到研究者呈現鷹架 的最後一個試題(題目已轉譯成圖形之表徵)，S6 才有辦法了解試題一的意思(行 93)；但當研究者要求 S6 再已自己的話講出試題一的意思時，S6 還是講不出來(行 133-136)，可見鷹架的試題對 S6 的幫助仍是有限的。

(三)低能力學生在「了解題意」方面的理解情形

低能力學生在了解題意方面的表現非常分散，有在最初解題就可了解題意

者，亦有最初將題目中的「和」唸為「ㄏㄜˊ」而誤以為有「加」的意思，但在

研究者告知將「和」唸為「ㄏㄢˋ」之後則可了解題意者，亦有僅了解題目中的 表層結構關係而無法理解題目中某些條件者，更有因為先備知識的不足，即使給 予鷹架試題也完全無法了解題意者。以低能力女生 S12 與 S5 的原案為例：

【試題一】

6. Q

：你認為題目的意思是什麼？

7. S12

：

停了

有一個正整數，這個數應該不可能是小數點，也不可能

是分數，如果算出來是分數或小數點，那就應該錯了

：然後咧？

9. S12

：沒有了

10. Q

：題目的這句話是什麼意思？能不能用你的話講一遍

11. S12

：正整數的和

ㄏㄜˊ

都可以…正整數

ㄏㄜˊ，可以被

整除

………

199. Q

：就這句話來說，已知這個數和

都可以被

整除，裡面有提到幾個

數？

200. S12

：兩個

：哪兩個數？

202. S12

：

和

203. Q

：好，那這裡有沒有不知道的數？

204. S12

：這個數的和ㄏㄜˊ

205. Q

：這個ㄏㄜˊ，是加的意思嗎？

206. S12

：嗯，呃，應該是和ㄏㄢˋ吧！

207. Q

：所以沒有加的意思囉？

208. S12

：對

209. Q

：好，這句話裡面有「這個數」不知道嘛！那在你的計算中為什麼沒有

出現這個東西？

210. S12

：有阿！這個除出來就是這個數

211. Q

：為什麼呀？

212. S12

：因為這個數和

都可以被

整除，

也可以

213. Q

：怎麼看

可以被

整除？

214. S12

：用

除以

215. Q

：所以就第一句話，這個數是

，那第二句話，這個數是

，那你為什

麼要將這兩個數加起來？

216. S12

：因為它問這個數是多少

217. Q

：那這邊提到的這個數，是不同的數？

218. S12

：對

219. Q

：所以雖然題目提到的都是「這個數」，但它們代表的是不同的數？

220. S12

：嗯

221. Q

：那跟前面這個正整數咧？也是不同的？

222. S12

：嗯

223. Q

：那這個正整數是在講那裡？

224. S12

：這四個數

、

、

、

S12 雖然認為自己有了解題目的意思，但 S12 並無法將題目中的條件解釋清 楚(行 7)，且 S12 將題目中的「和」唸為「ㄏㄜˊ」(行 11、204)，經過研究者詢 問之後，S12 才發現要念做「ㄏㄢˋ」(行 206)，另外，題目中的未知數是 S12 忽略的一部分(行 199-202)，且 S12 認為題目中的「有一個正整數」與出現三次 的「這個數」並不是代表同一個數(行 215-224)。

【試題一】

念完題目，想了

，就說看不懂，再要求其想一下，想了

仍看不懂

4. Q

：你先說一下，你認為題目在說什麼

5. S5

：……那個…可以被整除

6. Q

：要不要講完整一點？如果有一個人沒有看過題目，你要講這個題目給

他聽，不是照著念喔！用你的話講給他聽，那你要怎麼說？

7. S5

：

停了

跟

可以整除，那

跟

也可以整除

8. Q

：那它要求的是什麼？

9. S5

：正數

10. Q

：那你剛剛提到「

跟

可以整除，

跟

也可以整除」，裡面好像

沒有提到那個正數耶？那你是不是有漏掉什麼？你要不要再看一下？

11. S5

：…

12. Q

：不然就這句

有一個正整數

來看，你懂嗎？

13. S5

：懂

14. Q

：好，那這句話

已知這個數和

都可以被

整除

咧？

15. S5

：

跟

都可以被整除

16. Q

：這句話裡面有提到幾個數？

17. S5

：兩個

：哪兩個？

19. S5

：

跟

20. Q

：好，你先把這句話念一遍

21. S5

：

念題

22. Q

：嗯，這裡面有沒有已知數跟未知數？

23. S5

：有

24. Q

：已知數是什麼？

25. S5

：

26. Q

：就只有

？

：跟

28. Q

：那未知數有沒有？

29. S5

：沒有

30. Q

：那它提到的這個數是什麼？

31. S5

：未知數

32. Q

：這個數是指什麼東西呀？

33. S5

：

停了

34. Q

：這個數是指前面這個正整數？

35. S5

：嗯

36. Q

：它的意思是說，這個數，就是前面這個正整數，這個數和

都可以被

12

整除，這樣有懂它的意思嗎？

37. S5

：…還好

S5 在看完題目之後，想了一下，很快就跟研究者講說看不懂題目的意思(行 3)，S5 僅有辦法察覺題目中已知數之間的關係(行 7)，而無法查覺未知數的存在 (行 14-29)。

【給予鷹架的第一個試題】

40. Q

：它的意思是說，前面還是一樣，有一個正整數，已知這個數和

一樣

都可以被

整除，這樣有沒有比較懂意思？

41. S5

：嗯

【給予鷹架的第二個試題】

100. Q

：那我如果把題目改成這樣，你會不會算？

101. S5

：

停了

應該是

除以什麼會變整數？

102. Q

：你覺得呢？

103. S5

：應該是

104. Q

：那你把計算過程寫出來

105. S5

：

停了

，計算

除以

嗯，還是不會

106. Q

：你這你為什麼要放

？

107. S5

：因為好像都是

然後除

108. Q

：那你是想到找什麼東西？

109. S5

：除出來的那個東西

110. Q

：那要整除嗎？

111. S5

：應該不用吧！

112. Q

：那這是你要的東西嗎？

113. S5

：不是

114. Q

：那你要的是什麼？

115. S5

：跟

除起來可以整除的數

116. Q

：那這個

是隨便找的嗎？

117. S5

：沒有，就是要找可以跟它除的

118. Q

：那你是怎麼找

出來的？

119. S5

：就想到

經過研究者給予鷹架的試題並告知題目的意思之後，S5 有了一些想法(行 101)，而 S5 又想到可能可以用 42 來算，所以就開始以直式計算 42 除以 16，但 因該生除法的計算上有困難(行 105、116-119)，所以此計算並不成功，由此可知 S5 在了解題意上有困難。

二 二 二

二、 、 、 、在 在 在 在「 「 「 「整除概 整除概 整除概 整除概念 念 念」 念 」 」的理解方面 」 的理解方面 的理解方面 的理解方面

下表 6-2-2 為不同能力學生對於整除概念的解釋情形，由表 6-2-2 可知各能 力學生解釋整除概念時，多數皆只會提到「沒有餘數」之條件，少數只提到「除 出來是整數」之條件，另外，僅少數高能力學生與中能力學生會同時提到此兩個 條件。

表 6-2-2 不同能力學生對於整除概念的解釋情形 整除概念

學生

除出來是整數且沒有餘數 除出來是整數 沒有餘數

高能力 男生：S3、S9、S8

女生：S11 女生：S4

男生：S20 女生：S16、S18 中能力

女生：S7、S22

男生 S2 男生 S13、S17、S24 女生 S6、S10

低能力 男生 S23

女生 S12

男生 S1、S15、S19

女生 S5、S14、S21

以下將分別分析高、中、低能力學生在整除概念的理解情形

(一)高能力學生在「整除概念」的理解情形

下表 6-2-3 為高能力學生對於整除概念的解釋情形，由表 6-2-3 可知半數高 能力學生在單獨提到整除概念時可以同時注意到「除出來的商為整數」與「沒有 餘數」兩個條件，其中男生的人數又多於女生的人數，另一半的高能力學生則是 只注意到當中一個條件而已，其中多數為只注意到「沒有餘數」這個條件。

表 6-2-3 高能力學生對整除概念的解釋情形 整 除 概 念 學 生

除出來是整數且沒有餘數 男生：S3、S9、 S8；女生：S11 除出來是整數 女生：S4、

沒有餘數 男生：S20；女生：S16、S18

值得注意的是，雖然單從整除的字面意思來看，高能力學生似乎有一半已經 掌握整除的重要條件，但如果單從兩數間的整除關係來看，高能力學生中就有不 少無法分清楚「a 被 b 整除」中兩數的關係到底是「a ÷ b」還是「b ÷ a」，可以單 獨了解此概念的高能力學生僅有高能力男生 S9、S20 與高能力女生 S18。以高能 力男生 S3 為例：

173. Q

：如果現在有個題目就寫說「這個數可以被

整除」 ，不管剛剛做的那

個題目，你要怎麼判斷誰除以誰？

174. S3

：會搞混啦！我會想有兩種情況，它是其中一種，可能用二選一吧

175. Q

：所以你會分不清楚囉？

176. S3

：嗯

S3 可以了解整除就是「除出來是整數且沒有餘數」 ，但 S3 卻無法分清楚「這

個數可以被 12 整除」這句話中未知數和已知數間的關係(行 174)，S3 之所以可

以做出正確判斷主要是利用了題目中其他數值來幫助他做判斷(見第三節中「不

必要條件之判斷」的結果)。

此外，高能力女生 S4 雖然可以講出「整除就是沒有小數點，要是整數」 ，但 S4 對於整除關係中「哪個數除以哪個數」的字面關係並不了解，見以下的原案：

76. Q

：所以你剛剛說

除以

可以得到整除？

77. S4

：嗯

78. Q

：

除以

是多少？

79. S4

：嗯

停了

，

80. Q

：你把式子寫一下好了！

除以

81. S4

：

寫出

82. Q

：ㄟ…到底是

除以

還是

除以

？

：

除以

S4 在訪談過程中提到「6 除以 12 可以整除」 ，但 S4 寫出的式子則是

「12 ÷ 6=2」(行 80-81)，由此可知，S4 在除法關係之中文敘述與數學算式之對照 並不清楚。

(二)中能力學生在「整除概念」的理解情形

下表 6-2-4 為中能力學生對於整除概念的解釋情形，由表 6-2-4 可知多數中 能力學生皆只提到「除出來沒有餘數」之條件，僅少數中能力女生可以同時注意 到「除出來的商是整數」且「沒有餘數」兩個條件。

表 6-2-4 中能力學生對整除概念的解釋情形

整除概念 學生

除出來是整數且沒有餘數 女生：S7、S22 除出來是整數 男生：S2

沒有餘數 男生：S13、S17、S24；女生：S6、S10

雖然中能力學生中有兩位女生可以在單獨解釋整除概念時同時注意到「除出 來的商是整數」且「沒有餘數」兩個條件，但 S7 與 S22 卻在舉整除條件的正例 或解題時忽略了「除出來的商是整數」的條件，以 S7 的原案為例：

104. Q

：

除以

是

？

：嗯

106. Q

：你怎麼除的？

107. S7

：ㄟ，讓我想一下

停了

好像不是這個

停了

改成八分之 一

108. Q

：那這樣有整除？

109. S7

：應該是有吧

110. Q

：那你跟我說一下，什麼是整除

111. S7

：就是被那個數除完是整數，沒有說…餘

112. Q

：那這樣

除以

到底算不算整除？

113. S7

：

停了

應該吧！我也不是很確定

S7 雖然在解釋整除意思時有提到「除完是整數，沒有餘數」(行 111)，但 S7 卻無法確定 2 除以 16 算不算整除(行 112-113)。

如單獨從「a 被 b 整除」的概念來看，中能力學生中僅男生 S13 與 S24 可以 了解兩數間的整除關係，以 S13 的原案為例：

280. Q

：你剛剛說，某數可以被

除，某數用框框表示好了，是框框除以

？

還是

除以框框？

281. S13

：

停了

除以框框

282. Q

：你怎麼判斷的？

283. S13

：框框可以被

除，應該是第一個

284. Q

：框框可以被

除，它的意思就是框框可以除以

？

285. S13

：嗯

286. Q

：那，什麼時候才是

除以框框？

287. S13

：

可以被框框除

288. Q

：所以你這邊的判斷是說，這個數可以被

除，所以是

除以

，

所以不可能是

：對

S13 一開始認為「某數可以被 12 整除」的意思是「12 除以某數」(行 280-281)，

但隨即發現自己判斷錯誤(行 283)，S13 亦可了解「12 可以被某數整除」的意思

為「12 除以某數」(行 286-287)，因此 S13 才有辦法確定出要找 12 的倍數而不是

找 12 的因數，由此可見，S13 可以單獨了解「被某數整除」的意思。

(三)低能力學生在「整除概念」的理解情形

下表 6-2-5 為低能力學生對於整除概念的解釋情形，由表 6-2-5 可知多數低 能力學生皆只提到整除就是「沒有餘數」 ，少數低能力學生則是只單獨提到「除 出來的商是整數」的條件，值得注意的是，低能力學生在解釋整除概念時並沒有 同時提到兩個條件的人，此外，低能力女生 S5 雖然可以講出「整除就是除出來 沒有餘數」 ，但 S5 卻在找出整除例子的計算上遇到困難，S5 對於除法的計算是 有問題的，他無法以直式正確計算出兩數除出來的結果，見下圖 6-2-2。

表 6-2-5 低能力學生對整除概念的解釋情形 學生

除出來是整數 男生：S23；女生：S12

沒有餘數 男生：S1、S15、S19；女生：S5、S14、S21

圖 6-2-2 S5 在舉整除正例的算式

如單獨從「a 被 b 整除」的概念來看，低能例男生 S19 是低能力學生中唯一 可以了解兩數間整除關係者，見以下的原案：

【試題一】

191. Q

：你剛剛說要找

跟

的？

192. S19

：倍數

193. Q

：你剛剛是怎麼判斷的？

194. S19

：因為找倍數才可以被它們整除

195. Q

：那你為什麼不是找因數？

196. S19

：

停了

找因數會越找越小

197. Q

：這樣不對嗎？

198. S19

：

停了

這樣就不會整除啦

199. Q

：一定要用

除以

？不能用

除以

？

200. S19

：這樣就變成被

整除

201. Q

：所以你是從答案反推回去說沒辦法找因數？

202. S19

：嗯

203. Q

：那你一開始就有辦法判斷說，要找倍數而不是找因數？

204. S19

：嗯，因為找因數不對

S19 認為要找 12 的倍數才可以被 12 整除(行 194)，如果找 12 的因數──4 的話，則 4 就不可以被 12 整除(行 198)，如果以 12 除以 4 來看的話，它的意思 就變成「12 可以被 4 整除」(行 199-200)，由此可見 S19 可以了解「被某數整除」

的意思，也因為 S19 對此概念有正確的了解，才使 S19 可以找出兩個試題的答 案。

三 三 三

三、 、 、 、在 在 在 在「 「 「因數 「 因數 因數 因數」 」 」 」 、 、 、 、 「 「 「 「倍數 倍數 倍數 倍數」 」 」 」 、 、 、 、 「 「 「 「公因數 公因數 公因數 公因數」 」 」 」 、 、 、 、 「 「 「 「公倍數 公倍數 公倍數 公倍數」 」 」 」 、 、 、 、 「 「最大公因數 「 「 最大公因數 最大公因數 最大公因數」 」 」 」與 與 與「 與 「 「 「最 最 最 最 小公倍數 小公倍數 小公倍數

小公倍數」 」 」等基本概念的理解方面 」 等基本概念的理解方面 等基本概念的理解方面 等基本概念的理解方面

如將各學生對各概念的解釋、正例與反例分數相加來代表各學生對各概念的

總分(共 3 分)，可得到下頁表 6-2-6 與表 6-2-7，由表 6-2-6 可知從不同能力的角

度來看，高能力學生對於各概念的理解皆高於中、低能力的學生，而中能力學生

在因數、倍數、最大公因數與最小公倍數等概念的理解皆優於低能力學生，但在

公因數與公倍數兩概念的理解則比低能力學生來得差；由表 6-2-7 可知從不同性

別的角度來看，男生於倍數、公倍數、最大公因數與最小公倍數等概念的理解優

於女生，但在因數、公因數概念的理解上女生則略優於男生。

0 2 4 6 8 10

F M CF CM GCF LCM 概念

分數

解釋 正例 非例

0 2 4 6 8 10 12 14

F M CF CM GCF LCM 概念

分數 男

女

表 6-2-6 不同能力學生在各概念的平均得分與標準差 因數 倍數 公因數 公倍數 最大公因數 最小公倍數 高能力 2.75

( .46) 2.38 ( .92)

2.38 ( .92)

2.88 ( .35)

3 (0)

2.88 ( .35) 中能力 1.86

(1.13) 2 (1.2)

.75 (1.04)

1.5 (1.2)

1 (1.07)

1.5 (1.2) 低能力 1.5

(1.41) 1.88 (1.25)

1.38 (1.19)

1.88 (1.36)

.38 ( .74)

1.25 (1.49)

表 6-2-7 不同性別學生在各概念的平均得分與標準差 因數 倍數 公因數 公倍數 最大公因數 最小公倍數 男生 2

(1.28) 2.5 (1)

1.42 (1.24)

2.25 (1.22)

1.5 (1.38)

2.17 (1.27) 女生 2.08

(1.08) 1.67 (1.07)

1.58 (1.24)

1.92 (1.16)

1.42 (1.38)

1.58 (1.31)

以下將分別分析高、中、低能力學生在「因數」 、 「倍數」 、 「公因數」 、 「公倍數」、

「最大公因數」與「最小公倍數」等基本概念的理解情形。

(一)高能力學生在「因數」 、 「倍數」 、 「公因數」 、 「公倍數」 、 「最大公因數」與「最 小公倍數」等基本概念的理解情形

上圖 6-2-3 與圖 6-2-4 分別為高能力學生在各概念中解釋、正例與非例之得 分直方圖與高能力男女生在各概念之得分直方圖，由圖 6-2-3 可知對高能力學生 來說，要解釋這些概念比舉出此概念的正例和非例困難，當中又以舉出此概念的 圖 6-2-3 高能力學生在各概念中解釋、

正例與非例之得分直方圖 圖 6-2-4 高能力男女生在各概念之

得分直方圖

正例部分之表現最好，此外針對各概念的解釋情形來看，解釋因數、倍數、公因 數與公倍數概念對高能力學生來說要比解釋最大公因數和最小公倍數來的困 難。如從圖 6-2-4 的男女生之比較來看，高能力男女生在各概念理解表現的差距 都不大。

表 6-2-8 高能力學生對各基本概念的理解情形

解釋 正例 非例

答對率： .75 答對率：1 答對率：1

因

數 這個數可以被它的因數整除(S9 男)、

可以把一個數整除的數(S20 男)、

因數就是它們兩個互乘的一個被數(乘 數)跟一個被乘數(S16 女)

10 的因數有 1、2、5、

10(S9 男)、1 是 12 的因 數(S16 女)、2 和 5 都是 10 的因數(S18 女)

3 不是 10 的因數(S9 男、S18 女)

答對率： .625 答對率：1 答對率： .75

倍

數 一個數乘以一個整數，得出來的數就是 這個數的倍數(S3 男)、可以一直擴大(S9 男)、一個數乘以幾倍就是倍數(S16 女)

5 的倍數有：5、10、15、

20 等(S9 男)、12 是 3 的 倍數(S16 女)

7 不是 2 的倍數(S11 女)*任兩數都會有倍數 關係(S8 男)

答對率： .75 答對率： .75 答對率： .875

公 因 數

兩個數的公因數可以整除這兩個數(S9 男)、共同的因數(S20 男)、

它們兩個可以共同除的數(S11 女)、

*兩個數都可以整除的數(S18 女)

4 是 16 和 12 的公因數 (S4 女)、

*1、2、3、6 是 12 的公 因數(S8 男)

5 不是 12 和 16 的公因 數(S16 女)、

*20 不是 50 的公因數 (S9 男)

答對率： .875 答對率：1 答對率：1

公 倍 數

兩個數相乘就會得到乘積，這就是公倍 數(S8 男)、公倍數可以整除它們這兩個 數，不會有餘數(S9 男)、兩個數相同的 倍數，但不是最小的(S16 女)、

*這兩個數可以同時除以公倍數得到一 個整數(S4 女)

6 和 9 的公倍數有 18，

18 以外還有(S3 男)、

6 和 4 的公倍數是 12(S4 女)

9 不是 2 和 4 的公倍數 (S11 女)

答對率：1 答對率：1 答對率：1

最 大 公 因 數

這兩個數共同的因數，然後找一個最大 的(S16 女)

10 和 20 的最大公因數是 10(S20 男)

5 不是 15 和 16 的最大 公因數(S3 男)、

1、2、3、4、6 都不是 12 和 24 的最大公因數 (S18 女)

答對率：1 答對率：1 答對率： .875

最 小 公 倍 數

用短除法計算，左邊的數跟下面的數全 部相乘(S8 男)、因為公倍數有無限多 個，所以求最小的(S9 男)、

他們兩個共同倍數中最小的數(S18 女)

6 和 4 的最小公倍數是 12(S4 女)

11 不是 10 跟 15 的最小 公倍數(S20 男)

註 1：類似的解釋或例子將以當中某一個學生之內容為例

註 2：「*」表示「答案錯誤」

上頁表 6-2-8 為高能力學生在各基本概念的答對率與理解情形，由表 6-2-8 可知高能力學生在各概念的表現皆為正例優於非例且非例亦優於解釋的情況，另 外高能力學生會以乘法或除法的觀點來解釋因數，以乘法觀點解釋倍數，而對於 其他概念的解釋，高能力學生可以從字面上、概念的性質與求此概念的方法等方 面來解釋，但部分高能力學生在以除法關係解釋概念意義時，因對兩數間「哪個 數被哪個數除」之關係不清楚而在解釋時產生錯誤；此外在舉正例和非例方面，

高能力學生可以舉出一個或兩個以上的例子，僅高能力男生 S8 因忽略整除概念 中「除出來的商為整數」之條件而認為「任兩數都會有倍數關係」 ，而高能力男 生 S9 與 S8 皆在舉例時忽略或誤解「公」的概念而認為一個數有公因數。

(二)中能力學生在「因數」 、 「倍數」 、 「公因數」 、 「公倍數」 、 「最大公因數」與「最 小公倍數」等基本概念的理解情形

上圖 6-2-5 與圖 6-2-6 分別為中能力學生在各概念中解釋、正例與非例之得 分直方圖與中能力男女生在各概念之得分直方圖，由圖 6-2-5 可知對於因數、倍 數概念來說，中能力學生較有辦法舉出正例和反例而較無法解釋出這兩個概念的 意思，但隨著概念的加深，到了公因數、公倍數、最大公因數與最小公倍數等概 念反而變成較可以解釋這些概念的意思而較無法舉出這些概念的正例與非例；由

0 1 2 3 4 5 6 7 8

F M CF CM GCF LCM 概念

分數 解釋

正例 非例

0 2 4 6 8 10 12 14

F M CF CM GCF LCM 概念

分數 男

女

圖 6-2-5 中能力學生在各概念中解釋、

正例與非例之得分直方圖

圖 6-2-6 中能力男女生在各概念之

得分直方圖