主成分分析法的旋轉變量修正

主成分分析法雖然本身即具有平移跟旋轉的不變性，但是這個特性只對於同一物體 而具有不同初始角度時方有作用，即當同一物體輸入時就算是中心位置不同且座標軸也 不同，但之後藉由乘上主成分分析法所求得的特徵向量還是能把物體主軸轉成一致的，

如圖4.1的飛機，對於不同的起始輸入座標，但同樣都是輸出圖4.2這三張投影圖。

圖4. 1編號第1119飛機，左圖為初始位置，右圖經過旋轉跟平移。

(a) (b) (c)

圖4. 2編號第1119飛機的三軸投影圖：(a)對第一主軸投影、(b)對第二主軸投影、(c) 對第三主軸投影。

但是對於相似物體，就可能會出現圖樣顛倒的情形，如圖4.2跟圖4.3為兩架不同 的飛機，但都是屬於兩翼型飛機類型。卻明顯可看出每張圖均左右相反。其原因是因為 當物體處於極為對稱的情況下，容易因為小部分的變化而造成主軸正向顛倒，而導致圖 與圖形成左右顛倒的情況，所以之後必須配合具有旋轉不變性的特徵抽取。

(a) (b)

(c) (d)

圖4. 3編號第1137的飛機三軸投影圖：(a)原始未經旋轉的圖形(b)對第一主軸投影、(c) 對第二主軸投影、(d)對第三主軸投影。

而除了顛倒以外更嚴重的情形是各主軸順序顛倒的情形，如下面兩架飛機的三主軸 投影圖，可明顯由圖4.4和圖4.5可看到兩架飛機的投影圖順序不一致，圖4.4的(a)應 該要對應到圖4.5的(b)，而圖4.4的(b)應該對應到圖4.5的(a)，且兩張圖的(c)旋轉了90 度，若只使用主成分分析的旋轉不變性，而之後的特徵抽取沒考慮旋轉變量的話，檢索 結果必然會出現錯誤。

(a) (b)

(c) (d)

圖4. 4編號第1160的飛機三軸投影圖：(a)原始未經旋轉的圖形(b)對第一主軸投影、(c) 對第二主軸投影、(d)對第三主軸投影。

(a) (b)

(c) (d)

圖4. 5編號1162的飛機三軸投影圖：(a)原始未經旋轉的圖形(b)對第一主軸投影、(c)對 第二主軸投影、(d)對第三主軸投影。

從以上兩例可知只作主成分分析並不足以克服旋轉變量，必須在之後抽取特徵時也

要具備有旋轉不變性，而傅立葉描述子跟Zernike矩正都具備這一特性。而對於主軸順 序顛倒，則必須要在相似度比對時，旋轉找尋最佳的對應方式，也就是旋轉主軸投影圖 並找出最相似的一組解。而因為是三對三的判斷，故只需判斷六種組合，其和最小則為 最相近，以此值定為這兩個物體的距離。而由以下實驗可看出，有做此修正能改善因主 軸順序顛倒而造成錯誤的檢索，而提昇效能。

在此直接針對PSB資料庫作整體的檢索判斷，以下兩種方法只差異在有作旋轉修正 跟不作旋轉修正直接作比對。由下表可知有作修正的方法可克服原本對於旋轉變量處理 不佳的物體做修正，進而提昇檢索的正確率。

表4. 1有無旋轉修正比較表。

方法 _NN first-tier second-tier E-measure DCG

有做修正 _{0.648 0.387 0.494 0.287 0.643}

直接比對 0.634 0.386 0.493 0.286 0.641

而在T. Funkhouser等人的論文[8]提出主成分分析的另一問題，對於部分物體具有

相似型態，但因為部分區域的比例或形狀不同形成主軸偏移的情況。但在實驗中發現對 於這種狀況，影響其實不大。在PSB資料庫中的基礎分類(base classification)中的測試(test) 分群中的907個模型中，發生主軸偏移的現象發生在不同長度或形狀的椅背，其椅子的 主軸發生偏移如圖4.7到圖4.9，但因為傅立葉描述子跟Zernike矩都具備旋轉不變性，

所以還是都能完整的檢索到正確的相似模型，如圖4.9對編號816的椅子在家具資料庫 做檢索，其檢索結果為完全正確，而整體來看在家具資料庫實驗時發現，餐廳椅的檢索 效果還是各個方法中最佳，如圖4.16。

(a) (b)

(c) (d)

圖4. 6編號810的椅子的三軸投影圖(椅背跟椅腳長度標準)：(a)原始未經旋轉的圖形(b) 對第一主軸投影、(c)對第二主軸投影、(d)對第三主軸投影。

(a) (b)

(c) (d)

圖4. 7編號814的椅子的三軸投影圖(椅背長度短，椅腳長度標準)：(a)原始未經旋轉的 圖形(b)對第一主軸投影、(c)對第二主軸投影、(d)對第三主軸投影。

(a) (b)

(c) (d)

圖4. 8編號816的椅子的三軸投影圖(椅背長度短，椅腳長度長)：(a)原始未經旋轉的圖 形(b)對第一主軸投影、(c)對第二主軸投影、(d)對第三主軸投影。

圖4. 9針對編號816在家具資料庫做檢索的結果，左上綠色的為檢索物體依序往右再往 下為檢索到的順序，藍色代表正確，紅色代表錯誤。

而發生更為嚴重的主軸未對齊現象是在第35號模型的胖鳥，第112號模型的胖兔，

跟第389號模型教堂。但其發生主軸無法對齊的原因主要是因為部分區域差異度太大，

或是整體比例已經完全不同。

以下以兔子的模型做例子，其中下面三個皆為兔子模型，但經過前處理後對主軸投 影，前兩隻兔子還是能正確辨識，各個投影圖都還是相似型態，但第三隻兔子卻產生主 軸跟前兩隻兔子的主軸沒對齊的情形，造成之後檢索錯誤。這種錯誤通常只會發生在基

本形狀已經有所改變，如圖4.12的兔子，其4隻腳已經跟身體黏合在一起了，跟前兩隻 兔子皆有明顯的四隻腳有所差異，而頭頸的部位也跟其他兩隻兔子有所差異，且身體明 顯比前兩隻圓滾跟胖，因此在計算主成分分析時才會出現錯誤的主軸，若要修正這種錯 誤，必須要找尋更佳的主軸評判工具，或者是藉由整個物體包含體積內部所有點都作主 成分分析，而不單只有表面作主成分分析，如此才能避免這種錯誤。

(a) (b)

(c) (d)

圖4. 10編號第110的兔子投影圖：(a)原始未經旋轉的圖形(b)對第一主軸投影、(c)對第

二主軸投影、(d)對第三主軸投影。

(a) (b)

(c) (d)

圖4. 11編號第111的兔子投影圖：(a)原始未經旋轉的圖形(b)對第一主軸投影、(c)對第

二主軸投影、(d)對第三主軸投影。

(a) (b)

(c) (d)

圖4. 12編號112的兔子投影圖：(a)原始未經旋轉的圖形(b)對第一主軸投影、(c)對第二

主軸投影、(d)對第三主軸投影。