B1-2-2-1：最大公因數
1. 填充︰
12 的因數有 1、2、3、4、6、12 18 的因數有 1、2、3、6、9、18 12 和 18 的公因數有 1、2、3、6 12 和 18 的最大公因數：（12 , 18）= 6 2. 利用短除法求 36 與 64 的最大公因數。
Ans：4
1. 填充︰
42 的因數有 1、2、3、6、7、14、21、42 63 的因數有 1、3、7、9、21、63 42 和 63 的公因數有 1、3、7、21
42 和 63 的最大公因數：（42 , 63）= 21 2. 利用短除法求 48 與 56 的最大公因數。
36 64 2
18 32 9 16
2 2×2＝4
48 56 2
24 28 12 14
2 2×2×2＝8
2
6 7
★ 教學提示
一、 教學目的：以列舉法與短除法求最大公因數。
二、 教學注意事項：
1. 【範例 1】
(1) 【第 1 題】：用列舉法找因數、公因數和最大公因數，其目 的是連結前一主題有關因數的概念。
(2) 【第 2 題】：喚起學生小學學過有關利用短除法求最大公因 數的舊經驗。
(3) 國中階段以(12, 18)來表示「12 和 18 的最大公因數」，但不 是看到這個符號就是求最大公因數，它也可以表示坐標平 面的位置…等。
2. 【練習】：說明同【範例 1】。
練習 範例 2
求出下列各組數的最大公因數：
1. （22 , 23）＝ 22
2. （22× 33 , 23 × 32）＝ 22×32
3. （22× 33× 52 , 23 × 32× 7）＝ 22×32
4. （22× 33× 52× 11 , 23× 32× 5×7）＝ 22 ×32× 5 5. （23× 3× 53 , 7 × 112 × 133）＝ 1
求下列各組數的最大公因數：
1. （3 , 33）＝ 3
2. （3× 54 , 33× 52）＝ 3× 52
3. （3× 54× 17 , 33 × 52 × 19）＝ 3×52 4. （22× 5× 73 , 23 × 52 ×7×13）＝ 22×5×7 5. （32 × 5× 7 , 23× 112）＝ 1
★ 教學提示
一、 教學目的：由標準分解式求兩數的最大公因數。
二、 教學注意事項：
1. 題目以編序法設計，教師在教學上應循序漸進說明題目之間的關 連。
2. 【範例 2】教學重點有三：
(1) 兩數的公因數：能同時整除兩數的因數。
以【第 1 題】、【第 2 題】為例：
【第 1 題】：（22 , 23）的公因數有 1、2、22。
【第 2 題】：（22× 33 , 23 × 32）的公因數有 1、2、22、3、32、 2×3、2×32、22×3、22×32。
(2) 兩數的最大公因數：公因數中最大的一個就是最大公因 數。
如【第 1 題】22，【第 2 題】22×32，並由【第 1 題】、【第 2 題】中說明。
歸納上兩題的結果得求最大公因數的方法如下：
底數不相同的質因數不取。
底數相同的質因數指數取較小的次數，例如：（22× 33 , 23 ×32）中 22與 23取 22，33與 32取 32。
22×32就是（22× 33 , 23 ×32）的最大公因數。
由上面的規則求【第 3 題】、【第 4 題】。
(3) 兩數互質，其最大公因數為 1。
【第 5 題】中，兩數沒有共同質因數，則這兩數的最大公 因數為 1，又稱兩數互質。
範例 3
練習
求下列各組數的最大公因數
1. 將 165 和 198 寫成標準分解式，並求出它們的最大公因數
（165,198）。
Ans：(1) 165＝3×5×11 198＝2×32×11 (2) （165,198）＝33 2. （585 , 2 × 34 × 11 × 132）
Ans：最大公因數為 117
求下列各組數的最大公因數
1. （126 ,168） 2. （8 × 112 × 13 , 5 × 6 × 72）
Ans：42 Ans：2
3. （25 × 32 × 113 , 336）
Ans：48
★ 教學提示
一、 教學目的：由標準分解式找兩個數的最大公因數。
二、 教學注意事項：
1. 【第 1 題】：先讓學生將 165 和 198 寫成標準分解式，再找兩數的 最大公因數。
2. 【第 2 題】：
(1) 585 是以數的形式呈現，而 2 × 34 × 11 × 132是以標準分解 式的形式呈現，有些學生會將 2 × 34 × 11 × 132乘出來，再 找兩數的最大公因數，這個方法往往因為數字太大，增加 解題的困難度。
(2) 比較好的做法是先將 585 寫成標準分解式，再用短除法做 585 的質因數分解，過程中可以試試另一數的標準分解式中 的質因數 11 和 13，將更容易找出兩數的最大公因數。
3. 寫答時可以直接以標準分解式呈現，或將標準分解式乘開。
4. 【練習第 1 題】可以先寫成標準分解式再找出最大公因數，也可 以用短除法求出兩數的最大公因數。
5. 【練習第 3 題】宜先將 336 寫成標準分解式，再求兩數的最大公 因數。
範例 4
練習
求下列各組數的最大公因數：
1. （2 , 22 , 23）＝ 2
2. （2 × 53 , 22 × 52 , 23× 5）＝ 2 × 5 (或 10)
3. （2 × 53 × 7 , 22 × 52 , 23× 5 × 72）＝ 2 × 5 (或 10)
4. （23× 5× 112 , 33× 7× 132 , 5 × 72 × 133）＝ 1
求下列各組數的最大公因數：
1. （52 , 53 , 54）＝ 52 (或 25)
2. （23× 52 , 22 × 53 , 24 × 54）＝ 22 × 52 (或 100)
3. （23× 52 × 11 , 22 × 53 × 13 , 24 × 54 × 133）＝ 22 × 52 (或 100)
4. （22 × 5× 17 , 32 × 112 , 33 × 112 × 133）＝ 1
★ 教學提示
一、 教學目的：由標準分解式求三個數的最大公因數。
二、 教學注意事項：
1. 【範例 2】是從兩個整數的標準分解式找最大公因數，
【範例 4】則是從三個整數的標準分解式中找最大公因數。
2. 【範例 4】與【範例 2】不同的地方在於，選取三數都具有的質因 數，且所取的指數是三個數中最小的。
3. 只有兩個數的質因數相同不可選取。
4. 本範例中四個題目安排的順序與【範例 2】同。說明如下：
【第 1 題】：三個數都只有質因數 2，取其乘冪最小者 1，所以最 大公因數是 2。
【第 2 題】：三個數的質因數都是 2 和 5，取乘冪較小者，所以最 大公因數是 2×5。
【第 3 題】：三個數共同的質因數是 2 和 5，第一個和第三個標準 分解式中有質因數 7，但是第二個標準分解式沒有 7，
所以最大公因數的質因數只取 2 和 5，（2 × 53 × 7 , 22 × 52 , 23× 5 × 72）＝2×5。
【第 4 題】：三個標準分解式中都沒有共同的質因數，其最大公因 數為 1。
5. 【練習】中四個題目的安排順序與【範例 4】同。
範例 5
練習
求下列各組數的最大公因數 1. （72 , 108 , 144）
Ans：36
2. （260 , 2×53×13×192 , 455）
Ans：65
求下列各組數的最大公因數 1. （98 , 126 , 168）
Ans：14
2. （32×132×17 , 340 , 2×133×17×312）
Ans：17
★ 教學提示
一、教學目的：求三個整數的最大公因數。
二、教學注意事項：
1. 【第 1 題】
(1) 求三個數的最大公因數，可以將三個數都寫成標準分解式 再找最大公因數，也可以用短除法找最大公因數。
(2) 用短除法求最大公因數時，一一找出三個數的共同質因數，
進行分解，其做法如下：
2 72 108 144 2 36 54 72 2 18 27 36 3 6 9 12 2 3 4
2×2×2×3＝24 （72 , 108 , 144）＝24 2. 【第 2 題】
(1) 可以先將 260 和 455 分別寫成標準分解式，
(2) 在用短除法做 260 和 455 的質因數分解時，可以先試試 2、
5、13、19 是不是 260 和 455 的質因數。
(3) 因為 2 不是 455 的質因數，所以 2 一定不是三個數的質因 數；5 是 260 和 455 的質因數，也就是三個數共同的質因數。
依此方法可以很快的找出三個數的最大公因數。
範例 1
練習
B1-2-2-2：最大公因數的應用問題
1. 將一個長 30cm，寬 24cm 的長方形分割成大小一樣的正方形，且沒 有剩下，則正方形的邊長最長是幾公分？
Ans：6 公分
2. 桌上現有 10 元硬幣 15 個，1 元硬幣 20 個要分給一些人，且每個人 所得到的 10 元及 1 元硬幣個數要相同，則最多可分給多少人？每 人可分得多少元？
Ans：5 人、34 元
1. 將一條長 56cm 的綠色緞帶和一條長 42cm 的紅色緞帶剪成一樣長 的小段，且沒有剩下，則每小段緞帶最長是幾 cm？
Ans：14 cm
2. 水果店將 60 顆蘋果和 84 顆水梨混合分裝成禮盒，每一個禮盒中的 蘋果數一樣多，水梨數也一樣多，最多可分裝成幾盒？每盒中有幾 顆蘋果、幾顆水梨？
Ans：(1) 12 盒
(2) 5 顆蘋果、7 顆水梨
★ 教學提示
一、 教學目的：利用最大公因數解題。
二、 教學注意事項：
1. 本【範例 1】是利用最大公因數解題，解題之前，必須先和學生溝 通題意，待學生確實了解題意之後，再進行解題活動。解題之前，
必須先和學生溝通題意，待學生確實了解題意之後，再進行解題 活動。
2. 【第 1 題】解題的關鍵在於了解：
(1) 『分割成大小一樣的正方形，且沒有剩下』的意義是能整 除它們的邊長，即 30cm 和 24cm 的公因數。
(2) 『正方形的邊長最長是幾公分？』就是求 30 和 24 的最大 公因數。
(3) 如果討論後學生仍無法了解題意，教師可準備一張長 30 公 分，寬 24 公分紙，和邊長 6 公分的正方形 20 個，讓學生 實地操作，將 20 個正方形排在長方形紙上，觀察將長方形 分割後的情形。之後，可以再和學生討論將長方形分割成 邊長為 3 公分、2 公分、1 公分的正方形的情形。
3. 【第 2 題】解題的策略可以在解題前先問學生：
(1) 在每堆的個數一樣的條件下，
15 個 10 元硬幣可以如何分堆？
20 個 1 元硬幣要如何分堆？
(2) 有可能分給幾個人？最多可分給幾個人？
(3) 每人可分得多少元？
4. 觀察學生會不會從硬幣的分堆活動中，學習解【練習第 2 題】的 技巧。
範例 1
練習
B1-2-2-3：最小公倍數
1. 我們將 8 和 12 的倍數由小到大列出若干個如下︰
8 的倍數︰ 8、16、24、32、40、48、56、64、72……
12 的倍數： 12、24、36、48、60、72、84……
觀察上面所列出的倍數，圈出 8 和 12 的公倍數，並回答下列問題：
(1) 8 和 12 的公倍數有 24、48、72 (2) 8 和 12 的最小公倍數：〔8,12〕= 24 2. 利用短除法求 8 與 12 的最小公倍數。
Ans：24
1. (1) 將 18 和 24 的倍數由小到大列出若干個︰
18 的倍數︰18、36、54、72、90、108、126、144、162、180 24 的倍數：24、48、72、96、120、144、168、192、216、240 (2) 觀察上面所列出的倍數，圈出 18 和 24 的公倍數。
(3) 18 和 24 的最小公倍數：〔18, 24〕= 72 2. 利用短除法求 18 與 24 的最小公倍數。
8 12 2
4 6 2 3
2 2×2×2×3＝24
18 24 2
9 12 3 4
3 2×3×3×4＝72
★ 教學提示
一、教學目的：分別以列舉法與短除法求兩個整數的最小公倍數。
二、教學注意事項：
1. 【第 1 題】：用列舉法依序寫出 8 和 12 的數個倍數、再觀察列舉 出來的倍數，找出兩數的公倍數和最小公倍數。
2. 【第 2 題】：利用短除法喚起學生學過有關公倍數和最小公倍數的 舊經驗。
3. 國中階段以〔8,12〕來表示「8 和 12 的最小公倍數」。
範例 2
練習
求下列各組數的最小公倍數 1. 〔22 , 23〕＝ 23
2. 〔22× 33 , 23 × 32〕＝ 23 × 33
3. 〔22× 33× 5 , 23 × 32× 7〕＝ 23 × 33× 5× 7
4. 〔23× 3× 52 , 7 × 112 × 133〕＝ 23 × 3× 52× 7× 112 × 133
求下列各組數的最小公倍數 1. 〔32 , 33〕＝ 33
2. 〔32× 54 , 33× 52〕＝ 33 × 54
3. 〔32× 54× 17 , 33 × 52 × 19〕＝ 33 × 54× 17× 19
4. 〔32 × 5× 7 , 23× 112 × 133〕＝ 23 × 32 × 5 × 7 × 112 × 133
★ 教學提示
一、 教學目的：由標準分解式求兩個整數的最小公倍數。
二、 教學注意事項：
1. 本【範例 2】與求最大公因數的【範例 2】一樣，是以編序的方法 設計題目。
2. 以【第 1 題】〔22 , 23〕為例：
(1) 請學生由小到大舉出 22的倍數的實例。
由小到大舉出 23的倍數的實例。
(2) 討論 22，23的公倍數是甚麼：
25是公倍數嗎？ 24呢？ 23呢？ 22呢？
(3) 以此例說明最小公倍數的特性---能被整除的算式中最小的一 個。
3. 以下列題目依序教學：
【第 1 題】：兩個數都只有一個相同的質因數 2，其乘冪分別為 2 和 3，22不是 23的倍數，23才是 22的倍數，所以取 最小公倍數時必須從相同的質因數中取乘冪較大 者。
【第 2 題】：兩個數都只有 2 和 3 兩個質因數，2 的乘冪取較大的 3，3 的乘冪也取較大的 3，所以最小公倍數是 23×33。
【第 3 題】：兩數除了 2 和 3 兩數共同的質因數外，還有 5 和 7 兩 個相異的質因數，共同的質因數取法同第(2)題；還要 再乘以相異質因數，所以〔22× 33× 5 , 23 × 32× 7〕＝
23×33×5×7。
【第 4 題】：兩個標準分解式中都沒有共同的質因數，這兩個數互 質，其最小公倍數就是將所有的數連乘起來。
範例 3
練習
求下列各組數的最小公倍數：
1. 將 65 和 91 寫成標準分解式，並求出它們的最小公倍數〔65 , 91〕。
Ans：(1) 65＝5×13 91＝7×13
(2) 〔65 , 91〕＝5×7×13＝455 2. 〔18 , 35〕
Ans：〔18 , 35〕＝630 3. 〔20 , 60〕
Ans：〔20 , 60〕＝60 4. 〔275 , 2×53×11〕
Ans：〔275 , 2×53×11〕＝2750
求下列各組數的最小公倍數：
1. 〔12 , 35〕 2. 〔120 , 168〕
Ans：420 Ans：840
3. 〔22×5×72 , 140〕 4. 〔330 , 6 × 52 × 7〕
Ans：980 Ans：11550
★ 教學提示
一、 教學目的：求兩個整數的最小公倍數。
二、 教學注意事項：
1. 學生從【範例 2】學習由標準分解式求最小公倍數，本【範例 3 第 1 題】讓學生先將 65 和 91 寫成標準分解式，再找兩數的最小 公倍數。
2. 【第 2 題】和【第 3 題】學生可以選擇用短除法求最小公倍數，
或先將兩數寫成標準分解式再求出兩數的最小公倍數。
3. 【第 4 題】的兩個整數，275 是以數的形式呈現，2×53×11 是以標 準分解式形式呈現，有些學生會將 2×53×11 乘出來，再找兩數的 最小公倍數，這個方法往往因為數字太大，增加解題的困難度。
解題時可以將 275 寫成標準分解式，再找出兩數的最小公倍數。
範例 4
練習
求下列各組數的最小公倍數：
1. 〔5 , 52 , 53 〕＝ 53
2. 〔23 × 5 , 22 × 52 , 2 × 53〕＝ 23 × 53
3. 〔23 × 5 × 7 , 22 × 52 , 2 × 53 × 72〕＝ 23 × 53 × 72
4. 〔23× 5 × 7 , 22 × 52 × 13 , 2 × 53× 72〕＝ 23 × 53 × 72 × 13
5. 〔23× 32 × 5 , 3 × 52 × 7 , 2 × 7 × 112〕＝ 23 × 32× 52 × 7 × 112
求下列各組數的最小公倍數：
1. 〔2 , 22 , 24〕＝ 24
2. 〔2 × 32 , 22× 3 , 24 × 33〕＝ 24 × 33
3. 〔2 × 32 × 112 , 22× 3× 114 , 24 × 33× 113〕＝ 24 × 33× 114
4. 〔2 × 32 × 52× 112 , 22× 3× 114 , 24 × 33× 53 × 113〕
＝ 24 × 33× 53× 114
5. 〔22 × 17 , 32 × 112 , 112 × 133〕＝ 22 × 32 × 112 × 133× 17
★ 教學提示
一、 教學目的：由標準分解式求三個整數的最小公倍數。
二、 教學注意事項：
1. 【範例 2】是從兩個整數的標準分解式找最小公倍數，本【範例 4】
是從三個整數的標準分解式找最小公倍數。
2. 本範例中 5 個題目安排的順序與【範例 2】同。
說明如下：
【第 1 題】：三個數都只有質因數 5，取其乘冪最大者 3，所以最 小公倍數是 53。
【第 2 題】：三個數的質因數都是 2 和 5，取乘冪較大者，所以最 小公倍數是 23×53。
【第 3 題】：三個數的質因數都有 2 和 5，第一個和第三個標準分 解式中有質因數 7，最小公倍數的質因數除了取 2 和 5 外，也要取 7，所以〔23 ×5×7 , 22 ×52 , 2×53 ×72〕
＝23×53×72。
【第 4 題】：三個數的質因數都有 2 和 5，第一個和第三個標準分 解式中有質因數 7，第二個標準分解式中有質因數 13，
最小公倍數的質因數除了取 2 和 5 外，也要取 7 和 13，所以〔23 ×5×7 , 22 ×52×13 , 2×53×72〕＝
23×53×72×13。
【第 5 題】：求最小公倍數〔23× 32 × 5 , 3 × 52 × 7 , 2 × 7 × 112〕，
(1) 三個算式中沒有共同的質因數。
(2) 第一式與第三式有共同的質因數 2，取 23。。
第一式與第二式有共同的質因數 3 和 5，取 32 × 52。 第二式與第三式有共同的質因數 7，取 7。
第三式有質因數 11，取 112。