T glycerin
T vacuum
f
f
、,
, E glycerin
E vacuum
f
f
其數值分別為 0.037675、0.037694；當L = 90 µ m
時 ,, T glycerin
T vacuum
f
f
、58
,
, E glycerin
E vacuum
f
f
分別為 0.489816、0.490279。可知無論在何種理論前提之下， Lh
越小，流體對整體結構的頻率影響就越小； Lh
越大，流體對整體結構的頻率影 響就越大。由於 Timoshenko 梁理論與 Euler 梁理論於各流體介質中之頻率比值太 過接近，且無明顯現象，故於此將不對於 Timoshenko 梁理論與 Euler 梁理論之間 做比較。詳細比值數據如表 4-22 所示。59
圖 4-14 L h 於真空介質中對
f
Tf
E 之影響(第一模態)圖 4-15 L h 於空氣介質中對
f
Tf
E 之影響(第一模態)60
圖 4-16 L h 於水介質中對
f
Tf
E 之影響(第一模態)圖 4-17 L h 於甘油介質中對
f
Tf
E 之影響(第一模態)61
T vacuumf Hz
825670.9992
185593
0.9982
329492
0.9969
( )
, E vacuum
f Hz
82632 185922 330527185474
0.9982
329298
0.9969 T water
f Hz
603660.9993
138075
0.9984
247347
0.9971
( )
, E water
f Hz
60410 138300 248063( )
, T glycerin
f Hz
3111 E glycerinf Hz
3115 16156 5005562
T vacuumf Hz
7384800.9930
2894486
0.9730
( )
, E vacuum
f Hz
743686 29747452893141
0.9730 T water
f Hz
5596460.9936
2218239
0.9751
( )
, E water
f Hz
563279 2274989( )
, T glycerin
f Hz
2083030.9911
1417772
0.9721
( )
, E glycerin
f Hz
210178 145844063
圖 4-18 L h 與流體環境於 Timoshenko 梁理論中對頻率之影響(空氣、真空)(第一 模態)
圖 4-19 L h 與流體環境於 Timoshenko 梁理論中對頻率之影響(水、真空)(第一模 態)
64
圖 4-20 L h 與流體環境於 Timoshenko 梁理論中對頻率之影響(甘油、真空)(第一 模態)
圖 4-21 L h 與流體環境於 Euler 梁理論中對頻率之影響(空氣、真空)(第一模態)
65
圖 4-22 L h 與流體環境於 Euler 梁理論中對頻率之影響(水、真空)(第一模態)
圖 4-23 L h 與流體環境於 Euler 梁理論中對頻率之影響(甘油、真空)(第一模態)
66
T vacuum
f
f
0.99925 0.99936 0.99941 0.99947 0.99954, , T water
T vacuum
f
f
0.73112 0.74396 0.75069 0.75784 0.76637,
, T glycerin
T vacuum
f
f
0.03767 0.08681 0.15121 0.28207 0.48982, , E air
E vacuum
f
f
0.99924 0.99935 0.99941 0.99947 0.99953, , E water
E vacuum
f
f
0.73107 0.74386 0.75051 0.75741 0.76477,
, E glycerin
E vacuum
f
f
0.03769 0.08690 0.15144 0.28262 0.4902767
Timoshenko 梁理論與 Euler 梁理論於各流體介質中之頻率關係。將藉由尺寸 Lh
分 不同介質中，第一模態至第八模態之 Timoshenko 梁理論與 Euler 梁理論的差異。由圖中可以看到，無論是在哪一種介質中，皆有模態階數越高，兩理論差異越大 以高模態情況量測時，使用 Timoshenko 梁理論做為參考依據較為恰當。各模態 詳細頻率與 T
68
模態階數越高，兩不同流體環境頻率之比值越大。分別以 Timoshenko 梁理論與 Euler 梁理論取第一模態、第四模態、第八模態之甘油中頻率與真空中頻率之比 值 ,
, T glycerin
T vacuum
f
f
、 ,, E glycerin
E vacuum
f
f
，其數值於第一模態為 0.037675、0.037694，第四模態為 0.484486、0.48498，第八模態為 0.613297、0.6117。可知無論是何種 理論前提下模態階數越高，流體對結構頻率的影響就越小。詳細比值數據如表
69
圖 4-24
L h =
30模態階數與f
Tf
E 於真空介質中之關係圖 4-25
L h =
30模態階數與f
Tf
E 於空氣介質中之關係70
圖 4-26
L h =
30模態階數與f
Tf
E 於水介質中之關係圖 4-27
L h =
30模態階數與f
Tf
E 於甘油介質中之關係71
表 4-24
L h =
30各模態階數於各流體環境中之頻率與f
Tf
E 之比值模態階數 1 2 3
( )
, T vacuum
f Hz
825670.99921
515311
0.99511
1430426
0.98651
( )
, E vacuum
f Hz
82632 517845 1449980( )
, T air
f Hz
825050.99922
515027
0.99511
1429720
0.98652
( )
T waterf Hz
603660.99928
389022
0.99549
1090447
0.98756
( )
, E water
f Hz
60410 390785 1104183( )
, T glycerin
f Hz
31110.99872
113341
0.99327
562611
0.98481
( )
, E glycerin
f Hz
3115 114108 571287模態階數 4 5 6
( )
, T vacuum
f Hz
27680000.97417
4502310
0.95855
6597248
0.94022
( )
, E vacuum
f Hz
2841383 4697009 7016713( )
, T air
f Hz
27667090.97418
4500286
0.95855
6594360
0.94023
( )
, E air
f Hz
2840046 4694869 7013582( )
, T water
f Hz
21206260.97612
3461272
0.96155
5085955
0.94434
( )
, E water
f Hz
2172499 3599663 5385713( )
, T glycerin
f Hz
13410730.97320
2418699
0.95844
3769575
0.94099
( )
, E glycerin
f Hz
1378009 2523591 400595972
表 4-25 續表 4-24
L h =
30各模態階數於各流體環境中之頻率與f
Tf
E 之比值模態階數 7 8
( )
, T vacuum
f Hz
90135270.91979
11713905
0.89780
( )
, E vacuum
f Hz
9799592 13047305( )
, T air
f Hz
90096650.91980
11708973
0.89781
( )
, E air
f Hz
9795286 13041637( )
, T water
f Hz
69653800.92500
9071281
0.90403
( )
, E water
f Hz
7530113 10034251( )
, T glycerin
f Hz
53667890.92140
7184129
0.90015
( )
, E glycerin
f Hz
5824632 7981077圖 4-28
L h =
30模態階數與流體環境於 Timoshenko 梁理論中對頻率之影響(空 氣、真空)73
圖 4-29
L h =
30模態階數與流體環境於 Timoshenko 梁理論中對頻率之影響(水、真空)
圖 4-30
L h =
30模態階數與流體環境於 Timoshenko 梁理論中對頻率之影響(甘 油、真空)74
圖 4-31
L h =
30模態階數與流體環境於 Euler 梁理論中對頻率之影響(空氣、真 空)圖 4-32
L h =
30模態階數與流體環境於 Euler 梁理論中對頻率之影響(水、真空)75
圖 4-33
L h =
30模態階數與流體環境於 Euler 梁理論中對頻率之影響(甘油、真 空)76
T vacuum
f
f
0.99925 0.99945 0.99951 0.99953, , T water
T vacuum
f
f
0.73112 0.75493 0.76232 0.76612,
, T glycerin
T vacuum
f
f
0.03767 0.21995 0.39332 0.48449, , E air
E vacuum
f
f
0.99924 0.99945 0.99950 0.99953, , E water
E vacuum
f
f
0.73107 0.75464 0.76152 0.76459,
, E glycerin
E vacuum
f
T vacuum
f
f
0.99955 0.99956 0.99957 0.99958, , T water
T vacuum
f
f
0.76878 0.77092 0.77277 0.77440,
, T glycerin
T vacuum
f
f
0.53721 0.57139 0.59541 0.61330, , E air
E vacuum
f
f
0.99954 0.99955 0.99956 0.99957, , E water
E vacuum
f
f
0.76637 0.76755 0.76841 0.76907,
, E glycerin
E vacuum
f
f
0.53728 0.57092 0.59437 0.6117077
L/h=16.67
調整結構長度
L = 300 µ m
、結構截面厚度h = 18 µ m
，使得L h =
16.67，分別 探討將結構浸入真空、空氣、水、甘油四種不同的介質中於第一模態至第八模態 頻率間的關係，其詳細尺寸如表 4-27 所示。圖 4-34 至圖 4-37 分別為尺寸
L
16.67h =
之結構在真空、空氣、水、甘油四 種不同介質中，第一模態至第八模態之 Timoshenko 梁理論與 Euler 梁理論的差異。由圖中可以看到，與尺寸
L
30 模態階數越高，兩不同流體環境頻率之比值越大。分別以 Timoshenko 梁理論與 Euler 梁理論取第一模態、第四模態、第八模態之甘油中頻率與真空中頻率之比 值 ,, T glycerin
T vacuum
f
f
、 ,, E glycerin
E vacuum
f
f
，其數值於第一模態為 0.124289、0.12446，第四模態為 0.591193、0.590285，第八模態為 0.665957、0.662742。可知無論是 何種理論前提下模態階數越高，流體對結構頻率的影響就越小。詳細比值數據如 表 4-30 所示。
78
表 4-27
L h =
16.67模態階數與流體環境對頻率影響之結構參數結構參數 數值
懸臂梁長度
L
300µ m
懸臂梁寬度 b 36
µ m
懸臂梁厚度 h 18
µ m
楊氏係數
E
160 GPa剪切模數 G 62.5 GPa
結構密度
ρ
s 2330 3kg m
面積修正因子
κ
23流體參數 空氣 水 甘油
流體密度
ρ
1.18kg
3m
997kg
3m
1257.6kg
3m
流體黏滯係數µ 1.86 10
5N s
2m
−
⋅
× 8.59 10
4N s
2m
−
⋅
× 14939 10
4N s
2m
−
⋅
×
79
圖 4-34
L h =
16.67模態階數與f
Tf
E 於真空介質中之關係圖 4-35
L h =
16.67模態階數與f
Tf
E 於空氣介質中之關係80
圖 4-36
L h =
16.67模態階數與f
Tf
E 於水介質中之關係圖 4-37
L h =
16.67模態階數與f
Tf
E 於甘油介質中之關係81
表 4-28
L h =
16.67各模態階數於各流體環境中之頻率與f
Tf
E 之比值模態階數 1 2 3
( )
, T vacuum
f Hz
2670470.99746
1651734
0.98445
4503163
0.95854
( )
, E vacuum
f Hz
267727 1677817 4697936( )
, T air
f Hz
2668850.99756
1650930
0.98445
4501139
0.95854
( )
T waterf Hz
1998620.99743
1260590
0.98565
3461933
0.96154
( )
, E water
f Hz
200376 1278942 3600416( )
, T glycerin
f Hz
331910.99613
685772
0.98287
2419240
0.95842
( )
, E glycerin
f Hz
33320 697727 2524207模態階數 4 5 6
( )
, T vacuum
f Hz
85065300.92394
13454333
0.88411
19134132
0.84165
( )
, E vacuum
f Hz
9206779 15217909 22734151( )
, T air
f Hz
85028710.92394
13448721
0.88412
19126330
0.84166
( )
, E air
f Hz
9202791 15211372 22724459( )
, T water
f Hz
65706030.92894
10431017
0.89089
14877934
0.84977
( )
, E water
f Hz
7073241 11708550 17508143( )
, T glycerin
f Hz
50290050.92537
8368552
0.88683
12283430
0.84515
( )
, E glycerin
f Hz
5434559 9436491 1453397782
表 4-29 續表 4-28
L h = 16.67
各模態階數於各流體環境中之頻率與f
Tf
E 之比值模態階數 7 8
( )
, T vacuum
f Hz
253631900.79882
32000748
0.75700
( )
, E vacuum
f Hz
31750679 42273270( )
, T air
f Hz
253530230.79884
31988082
0.75702
( )
, E air
f Hz
31737269 42255543( )
, T water
f Hz
197645970.80782
24975230
0.76644
( )
, E water
f Hz
24466453 32585871( )
, T glycerin
f Hz
166346350.80262
21310992
0.76067
( )
, E glycerin
f Hz
20725453 28016210圖 4-38
L h =
16.67模態階數與流體環境於 Timoshenko 梁理論中對頻率之影響 (空氣、真空)83
圖 4-39
L h =
16.67模態階數與流體環境於 Timoshenko 梁理論中對頻率之影響 (水、真空)圖 4-40
L h =
16.67模態階數與流體環境於 Timoshenko 梁理論中對頻率之影響 (甘油、真空)84
圖 4-41
L h =
16.67模態階數與流體環境於 Euler 梁理論中對頻率之影響(空氣、真空)
圖 4-42
L h =
16.67模態階數與流體環境於 Euler 梁理論中對頻率之影響(水、真 空)85
圖 4-43
L h =
16.67模態階數與流體環境於 Euler 梁理論中對頻率之影響(甘油、真空)
86
T vacuum
f
f
0.99939 0.99951 0.99955 0.99957, , T water
T vacuum
f
f
0.74842 0.76319 0.76878 0.77242,
, T glycerin
T vacuum
f
f
0.12429 0.41518 0.53723 0.59119, , E air
E vacuum
f
f
0.99930 0.99951 0.99956 0.99957, , E water
E vacuum
f
f
0.74843 0.76227 0.76638 0.76826,
, E glycerin
E vacuum
f
T vacuum
f
f
0.99958 0.99959 0.99960 0.99960, , T water
T vacuum
f
f
0.77529 0.77756 0.77926 0.78046,
, T glycerin
T water
f
f
0.62200 0.64196 0.65586 0.66595, , E air
E vacuum
f
f
0.99957 0.99957 0.99958 0.99958, , E water
E vacuum
f
f
0.76939 0.77013 0.77058 0.77084,
, E glycerin
E vacuum
f
f
0.62009 0.63930 0.65276 0.6627487
不同介質中，第一模態至第八模態之 Timoshenko 梁理論與 Euler 梁理論的差異。由圖中可以看到，與前兩個尺寸一樣，無論是在哪一種介質中，皆有模態階數越 模態階數越高，兩不同流體環境頻率之比值越大。分別以 Timoshenko 梁理論與 Euler 梁理論取第一模態、第四模態、第八模態之甘油中頻率與真空中頻率之比 值 ,
, T glycerin
T vacuum
f
f
、 ,, E glycerin
E vacuum
f
f
，其數值於第一模態為 0.282067、0.282616，第四模態為 0.64712、0.644284，第八模態為 0.689994、0.689411。可知無論是何 種理論前提下模態階數越高，流體對結構頻率的影響就越小。詳細比值數據如表 4-34所示。