乾濕點處理技巧文獻回顧

許多求解一維及二維淺水波方程式之數值方法是基於某種連續 傳遞之物理訊息，這些連續物理訊息在計算區域（computational domain）裡必須依靠計算點（computational point）來銜接，當計算點 為無水狀態或水深很小造成連續傳遞之物理訊息無法傳遞時，即可能 會產生數值計算之奇異點（singularities）而導致數值發散。天然河川 多為蜿蜒且底床地形不規則之河道，在模擬變量流之洪水位歷線時，

其洪水位升降之過程將使得整個計算區域產生局部乾濕點交會之狀

態，在無特別程式及數值技巧處理之情況下，模式將可能因此數值發 散無法收斂。

一維水理模式之乾濕點問題即所謂低流量、水深時造成模式無法 模擬之問題，Meselhe and Holly（1993）將動量控制方程式中之慣性 項省略，並給定一微小水深於發生乾床之計算點，成功模擬一變量流 灌溉渠道，但模擬之空間間距（Δx）與時間間距（Δt）必須謹慎選 擇，否則仍有數值發散之疑慮，因此適用性仍有待評估。

另外許多學者使用inverse Preissmann’s slot 技巧（以下簡稱 IPS）

來處理一維水理模式乾濕點數值發散問題。所謂的IPS 是指在原河道 斷面假設一非常狹小的狹縫，並沿著河道向下游，如圖 1.1，由於狹 縫寬度與實際斷面寬度的差異甚大，當水位由底部上升到原斷面時，

此 突 然 的 水 面 寬 差 異 將 計 算 上 產 生 的 數 值 震 盪 因 此 而 抵 消 ， Schuurmans（1991）使用較寬寬度之狹縫來解決模式乾濕點之問題，

但由於狹縫之寬度可能影響到水之體積，對於水之體積計算較為重要 之灌溉決策系統模式並不適用。

水平二維模式中常見的乾濕點處理技巧一般為定義一參考水深

，藉由比較前一時刻計算之水深 ，來判定該計算點之乾濕狀態。

若計算水深 ，則表示為乾點狀態，可令計算點之速度分量為

零，並假設 ，反之則無須多作處理。但此處理技巧只適用乾濕 點較少或局部出現，當乾濕點數量多時仍容易造成數值發散現象。

hw dⁿ

w

n h

d <

w

n h

d =

另一個處理乾濕點問題的技巧為動態校正計算格點（dynamic computational grid），Vasiliev（1970）首先利用移動格點（moving grid）

技巧成功模擬潰壩問題，之後Katopodes and Strelkoff（1978）發展了 一套以雙特性線（method of bicharacteristics）為基礎的變形格網

（deforming mesh）數值方法，至今知名的潰壩模式 DAMBRK（Fread, 1988）亦使用此移動格點技巧來模擬潰壩、土石流問題所遇到之乾濕 點情形。Akanbi and Katopodes（1988）亦應用此動態校正計算格點 技巧於有限元素法模擬二維淺水波方程式，其原理主要假設在每個計 算時刻的開始，邊界點的位置可以由前一時刻節點的速度所決定，由 於沒有任河流體分子可以通過波前的邊界，因此流體分子可視為與波 前同步。但此解決技巧多應用在非結構格網（unstructured grid）之數 值方法，且僅著重於起始乾床之部分，對於一般河川模擬變量流洪水 位升降所造成之乾濕點問題並無解決效果。

Brufau et al.（2002）以乾、濕介面質量守恆為概念，假設乾溼介 面水位差為零，(ΔH)_LR =0，推導出水深(Δh)_LR與底床高程差 的關 係，即

z)LR

(Δ

LR

LR h

z) ( )

(Δ =− Δ 。吳（2005）延續 Brufau et al.之概念，應用於 潰壩流場之模擬，當水位 H 與底床高程 z 相等時，給定一最小正水 深（minimum positive depth, MPD）；當水位 H 小於底床高程 z 時，瞬 間修正為H=z 狀態，強制讓(Δz)_LR =−(Δh)_LR，但此法僅做水深之修正，

並無速度方向之修正，對於變量流水位升降之流場適用性仍需再探 討。

Defina and Matticchio（1994）則從修正控制方程式的角度處理乾 濕點之問題，其發展之二維有限元素法模式在控制方程式中引入兩個 修正係數η、H，用來修正模擬洪水波傳遞到達前之起始乾床，其中 修正係數η、H 仰賴於門檻深度 之假設，而 之決定又必須仰賴 於地形變化。

Ylim Y_lim

美國工兵團所研發之 TABS2 有限元素法模式以溼地孔隙法技巧

（marsh porosity method）處理乾濕點問題。當計算元素部分有水時，

則以一替代水深取代原水深；當計算元素完全為乾點時，則將該點移 除於計算矩陣中，視其為一固體邊界。但由於移除之乾點周圍之計算 點流速須另外修正，且計算量加大與程式撰寫均不易，因此實用上不 佳。

蔡氏等（2000）提出定義兩個參考水深 、 ，來處理乾濕點 問題。由前一時刻計算之水深 與 、 比較，判斷該計算點之乾 濕狀態，主要有三種類型：(1)若 ，則該格網點皆有水流動，

無須特別處理；(2)若 ，且相鄰格點值均小於 時，表該格點 為乾點，令速度分量為零，且 ；(3)若非上述兩種情形，則表 該格網為部分有水狀態，忽略其動量通量之影響，只考慮連續方程式 計算水流進出流量。

hwet h_dry dn h_wet h_dry

wet

n h

d ≥

dry

n h

d ≤ h_dry

dry

n h

d ⁺¹=