習題 I(B):1-3
15.4 二項分佈
伯努利試驗: 一隨機試驗中,所在乎的是具有“對立”性質結果的發生與否。 特定事件A發生(成功)的機率為p, 不發生 (失敗) 的機率為 1− p = q , 則稱此隨機試驗為伯努利試驗。 並以 1, 0 的取值表示試驗隨機變 數 Y 的成功與否, p 為這試驗的成功率。
伯努利試驗隨機變數: Y =
( 1 , 成功的機率為p
0 , 失敗的機率為q = 1− p 。 伯努利試驗的期望值E(Y ) = p, 變異數 V ar(Y ) = pq
二項分配 Bin(n, p): 具有獨立重複進行成功率為 p 的伯努利試驗 n 回, 以隨機變數 X 表示成功的次數,
P (X = k) = Cknpk(1 − p)n−k, k = 0, 1, 2,· · · , n。 稱隨機變數 X 為參數 (n, p) 的二項機率分配, 記為 X∼ B(n, p)。
1. 成功次數期望值E(X) = E(Y1+Y2+· · ·+Yn) = E(Y1)+E(Y2)+· · ·+E(Yn) = p+p+· · ·+p = np
2. 變異數V ar(X) = V (Y1+Y2+· · ·+Yn)i.i.d= V (Y1)+V (Y2)+· · ·+V (Yn) = pq +pq +· · ·+pq = npq
3. 恰成功 k次的機率質量函數 f (x = k) = P ({X = k}) = Ckn(1− p)n−kpk , 0≤ k ≤ n 二項分配的性質:
X 0 1 · · · k · · · n
px C0np0(1− p)n C1np1(1− p)n−1 · · · Cknpk(1− p)n−k · · · Cnnpn(1− p)0 X ∼ B(n, p)的二項機率分配,隨機變數X 表示成功的次數,則
22 高中數學講義 二項分佈
1. X 的期望值 µ = E(X) = Pn
k=0
kCkn(1− p)n−kpk= np
2. X 的變異數 σ2= V ar(X) = E(X2)− µ2 = np(1− p) = npq 因為 E(x2) = E(x2− x + x) = E(x(x − 1)) + E(x) = Pn
k=0
k(k− 1)Ckn(1− p)n−kpk+ np = n(n− 1)p2 Pn
k=2
k(k− 1)Ck−2n−2(1− p)n−kpk− 2 + np = n(n − 1)p2+ np 所以 V ar(X) = n(n− 1)p2+ np− (np)2 = np− np2= npq
3. X 的標準差 σ =pnp(1− p) =√npq 二項分佈機率圖形特徵:
1. 單峰: 隨機變數X (成功次數)由小至大,其機率質量函數 P (X = k) 上升到一高點後下降。
2. 眾數 (最高點): 當 Cn
kpk(1− p)n−k ≥ Ck+1n pk+1(1− p)n−k−1, 且 Ck−1n pk−1(1− p)n−k+1 ≤ Cknpk(1− p)n−k 時機率質量函數 P (X = k)為最大值。 即 (n + 1)p− 1 ≤ Mo = (X = k)≤ (n + 1)p時,機率值 Pk 最大。
3. 偏態:
0 2 4 6 8 10
0.00 0.10 0.20 0.30
x
f(x)
對稱二項機率分配:p = 0.5 B(10, 0.5)
0 2 4 6 8 10
0.00 0.10 0.20 0.30
x
f(x)
右偏二項機率分配:p < 0.5 B(10, 0.3)
0 2 4 6 8 10
0.00 0.10 0.20 0.30
x
f(x)
左偏二項機率分配:p > 0.5 B(10, 0.7)
(a) p = 0.5 時,p.m.f. 圖形左右對稱。 當 p 小, n 很大時, 其機率質量函數圖形接近對稱 (例: p = 0.2, n = 40)
(b) p < 0.5 時,p.m.f. 圖形右偏。
(c) p > 0.5時,p.m.f. 圖形左偏。
高爾頓板的二項式機率分布實驗: 每一小紅色球由上層向下會隨機向左(發生機率P ) 或向右落下再撞擊 到下一層的柱臺,最後落到最底層 (n層) 下不同編號 (由左至右為0、1、2、· · ·、k、· · ·、n )的溝槽,紅色求
落入第k 號溝槽發生機率為P (X = k) = Cknpkqn−k。
例題
範例 1: 袋中有300個紅色球,200個藍色球, 小華每次從袋中抽取一球,共取兩回, 若X表兩球中抽到紅球的 次數。
表 1: 不同規則抽獎的中獎問題(取球顏色問題)
24 高中數學講義 二項分佈
1. 若每次抽球後放回袋中,求 P (X = 1)機率值? (解:)X ∼ B(2,35), P1 = C12pq = 0.48
2. 若每次抽球後不放回袋中,求 P (X = 1)機率值? (解:)P1 = C12×300500 ×200499 ≈ 0.4810 ,(超幾何分布)
取樣後放回的重複取樣所得結果為獨立事件。
取樣不放回的重複取樣結果為超幾何分布; 當母體樣本數 N 很大, 而取樣樣本數 n 非很 大時, (即 n
N ≈ N −1n−1 ≈ N −2n−2 ≈ · · · ≈ N −kn−k 時), 超幾何分布可用二項式機率分布估算 演練 1a : 下列敘述中的隨機變數 X 是否為二項式機率分布? 並說明其原因
1. 工廠製造上萬件成品,隨機抽取30件檢查,隨機變數 X 表不合格件數。 reasonable 2. 隨機變數 X 表高速公路一個月發生意外事故件數。
意外事故非固定發生機率的獨立試驗
3. 在20題全為是非題的考試測驗中, 隨機變數 X 表猜答案猜對的題數。
4. 隨機變數 X 表投擲一均勻骰子10次,出現6點的次數。 reasonable 5. 隨機變數 X 表投擲一均勻骰子直到首次出現6點所需的投擲次數。
非固定發生機率的獨立試驗
演練 1b : 一均勻旋轉體共有四邊,其中有三邊塗紅色,一邊塗白色,每次旋轉體轉動後僅有一邊會觸及地面。 若 隨機變數 X 表轉動3回,紅色邊觸地的次數。
1. 求隨機變數X 的機率空間S ? S ={0, 1, 2, 3}
2. 求隨機變數X 的機率函數P (x) =?
P (x = k) = Ck3(34)k(14)3−k, k = 0, 1, 2, 3
3. 求至少1次紅色邊的機率? 1− (14)3 4. 求隨機變數X 的機率函數分布 (圖)
(解:)
0 1 2 3
0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50
紅色邊個數x
機率P(x)
左偏二項機率分配:p =34 B(3,34)
演練 1c : 若隨機變數X 服從n 回二項式試驗,已知事件發生的機率p = 13,且機率P (x = 2) = P (x = 3) ,
則 n應為多少? n=8
演練 1d : 若隨機變數 X = 1 表投擲一公正骰子點數為3的倍數,X = 0 表投擲一公正骰子點數不是3的倍數, 求 X 的期望值與標準差?
E(X) = p = 13;σ = √pq = √32
範例 2: 如圖: 一彈珠檯, 從上方放入彈珠, 彈珠落下撞擊到釘柱時, 會隨機向左或向右落下再撞擊到下一層 的釘柱, 最後落到編號 0 ∼ 5(由左至右) 的溝槽, 已知彈珠落下向左、 向右的機率相等, 則 (1). 彈珠 落到1號溝槽的機率為何? (2). 彈珠落到幾號溝槽的機率最小? (3). 彈珠落到幾號溝槽的機率最大?
(解:)325 ;p0= p5= 321;p2= p3= 1032
演練 2a : 航空公司開放網路訂位,經常有顧客訂位但未撘乘,根據經驗約有20%訂位而未到,若航空飛機只有 20個座位,但已接受 25個訂位,在沒有候補顧客情形下,求
1. 至少有一位訂位者沒有座位的機率為多少? P (X ≥ 21) = 0.4207 2. 至少有一空位的機率為多少?
P (X ≤ 19) = 1 − 0.6167 = 0.3833
3. 求這25未訂位者到機場搭機的平均數與標準差? E(X) = 20;σ = 2 演練 2b : 據統計種植某樹苗第一年存活率為40%, 若甲購買此種樹苗5棵種植 (每棵樹苗存活為獨立),問一年
後
1. 恰1棵樹苗存活的機率為何?
810
55 = 162625 = 0.2592 2. 最多有1棵樹苗存活的機率為何?
1053 55
= 0.3370.
3. 至少有1棵樹苗存活的機率為何?
2882
55 = 0.92224 演練 2c : 網球比賽中大雄打敗胖虎的機率為 0.7,(每一場比賽結果不受上一場比賽影響, 亦無和局), 兩人在五
場比賽中,
1. 求大雄恰贏3場比賽的機率約為? 0.309
2. 求大雄最多贏2場比賽的機率約為? 0.163
3. 求大雄至少贏3場比賽的機率約為? 0.837
演練 2d : 甲、 乙兩人比賽圍棋,根據以往經驗,甲平均3局可以贏得2局。 現在兩人比賽5局,先贏得3局的人獲 勝,求甲獲勝的機率為何?
8
27+278 + 1681 = 6481 範例 3: 某工廠生產產品是不良品的機率為 1
3,今隨機抽樣6件產品, 若恰抽出4件不良品的機率為a, 至少抽
中4件不良品的機率為b,求a, b? a =
20
243, b = 60+12+1729 演練 3a : 美國 19 ∼ 29 歲青年 30% 沒有社會保險, 若隨機選取10位 19 ∼ 29 歲青年, 至少有1位沒有
社會保險的機率為何? (已知 log 3 = 0.4771,log 7. .
= 0.8451,log 2.8 .
= 0.447,log 2.9 .
= 0.462) 0.972
演練 3b : 設某人射擊之命中率為 0.4, 今射擊4次,求 1. 恰中3次之機率?
96
625 = 0.1536
26 高中數學講義 二項分佈
2. 第4次射擊為中第3發的機率?
72 625
3. 若要使目標命中機率達到0.99 ,至少要射擊幾發? (log 2 .
= 0.301,log 3 .
= 0.4771) 10;n > log 5−log 32
= 9.013.
演練 3c : 假設侵入者經過裝設偵測警報器被偵察鳴叫警示的機率為 0.7 , 且每一警報器為獨立運作, 偵測侵入 者示警的機率亦相同。
1. 若某人家裡裝設3個警報器, 侵入者經過這3個裝設地點, 至少有一個警報器示警的機率為何? 0.973
2. 若侵入者經過這些裝設地點,至少有一個警報器示警的機率為至少為0.999, 則至少要裝設幾個 警報器?(log 3 .
= 0.4771) 6
演練 3d : 已知某廠商生產線的不良率為0.1, 隨機從此生產線選出10個產品,
1. 求恰有8個不良品的機率? 3.645× 10−7 2. 至少1件不良品的機率? 1− (0.9)10 3. 求不良品個數的期望值與標準差? µ = 1;σ = 0.9 演練 3e : 假設每一個飛機引擎在飛行中故障的機率為q , 且各引擎是否故障是相互獨立的。 一架飛機至少有一
半的引擎能正常運行,飛機就可以成功起降飛行。
1. 若每一個引擎在飛行中故障的機率為 q = 14,問一架4引擎的飛機與一架2引擎的飛機哪一機型 飛行較保險?
(解:)4引擎飛;成功飛行機率P4 = C24p2q2+ C34p3q + p4 = 243256 > P2 = C12pq + p2 = 1516 2. 若每一個引擎在飛行中故障的機率為 q = 25,問一架4引擎的飛機與一架2引擎的飛機哪一機型
飛行較保險?
(解:)2引擎飛;成功飛行機率P4 = C24p2q2+ C34p3q + p4 = 459625 < P2 = C12pq + p2 = 12+925 範例 4: 連續投擲一公正骰子5次,以隨機變數 X 表示出現點數6的次數,
1. 求恰好出現4次6點的機率?
5 65
2. 求X 的期望值與標準差? µ = 56, σX = 56 已知某袋中共有10個球, 其中有8個紅球2個白球。 現從袋中隨機取出一球觀看顏色後放回, 共取4球, 分 別求紅色球與白色球的期望值與變異數?
(解:)紅球: E(x) = np = 4× 0.8 = 3.2, V ar(x) = npq = 0.64; 白球:E(y) = np = 4× 0.2 = 0.8, V ar(y) = npq = 0.64
演練 4a : 隨機變數 X 服從二項式機率分布X∼ B(n, p) ;求下列隨機變數 X 的期望值與標準差?
1. X ∼ B(10, 0.1) µ = 1;σ =√
0.9
2. X ∼ B(10, 0.9) µ = 9;σ =√
0.9
3. X ∼ B(100, 0.1) µ = 10;σ =√
9
4. X ∼ B(100, 0.2) µ = 20;σ =√ 16
演練 4b : 隨機變數 X 表投擲一公正骰子12回中出現6點的次數,求 X 平均值與標準差? µ = 2;σ =q
60 36
演練 4c : 已知一盒中有5顆紅球,15顆白球,今隨機從盒中抽出4個球(每回取出一顆,取後放回盒中),若X表 取得之紅球個數,
1. 求機率 P (X = 1) = ?
27 64
2. 求機率 P (0≤ X ≤ 3) = ?
255 256
3. 求 X 期望值與標準差? µ = 1;σ = √23 演練 4d : 某次考試有10題五選一的單選題。 若考生甲以猜題作答,且令X 為猜對之題數,
1. 求10題完全都猜對的機率?
1 510
2. 求10題完全都猜錯的機率? (45)10
3. 求 E(X) = 2
4. 求 V ar(X) =
2 5
√10
演練 4e : 丟一個均勻的硬幣10次,令隨機變數X 表示試驗中硬幣出現正面的次數,則這11種可能正面次數出 現的機率是否相等? 這11種可能中,哪一種正面次數機率為最高?
(解:)X ∼ B(10, 0.5),Pk = Ck10(1/2)k(1/2)10−k,Mo= [(n + 1)P ] = [5.5] = 5, P5 = 252/1024 演練 4f : 投擲一公正硬幣10次,求出現5次正面5次反面的機率? C510p5q5 = 25663
範例 5: 設生男,生女的機率均等,對有3個小孩的家庭,以隨機變數X 表男孩的個數,求X 的期望值與標準 差?
(解:)xi表第i胎是男孩隨機變數,µ = E(X = x1+ x2+ x3)i.i.d.= E(x1) + E(x2) + E(x3)i.i.d.= 3E(x1) = 1
2 × 3 = 3
2, V ar(X = x1+ x2+ x3)i.i.d.= V ar(x1) + V ar(x2) + V ar(x3)i.i.d.= 3V ar(x1) = 3
4,σ = √23 演練 5a : 連續投擲一公正骰子2次,以 X 表示出現點數的和,求 X 的期望值與變異數?
(解:)xi表第i次骰子點數,則µ = E(x1+x2) = E(x1)+E(x2)i.i.d.
= 2×3.5 = 7, V ar(X)i.i.d.= 2V ar(x1) =
35 6
演練 5b : 同時投擲2公正硬幣及一公正骰子,若硬幣出現正面的隨機變數為1,出現反面為0,隨機變數X 表兩 硬幣出現的隨機變數與骰子出現的點數之和。
1. 求隨機變數X 的機率分配?
(解:) x 1 2 3 4 5 6 7 8
px 241 243 244 244 244 244 243 241 2. 求隨機變數X 的平均值 µ 及變異數 σ2=?
28 高中數學講義 二項分佈
(解:)µindependent
= 2×12+72 = 92;V ar(X)independent
= V ar(X1)+V ar(X2) = 2×12×12+3512 = 4112 演練 5c : 觀察一醉漢走路為隨機向前一步或向後退一步,其中向前一步的機率為0.6,向後退一步的機率為0.4。
若以隨機變數Xi = 1表第 i步向前走一步, Xi =−1 表第i步向後退一步。
1. 求此醉漢每走一步,其所在位置的期望值與變異數? µx= 0.2, V ar(x) = 0.96
2. 若此醉漢走了k步後的位置,可用隨機變數Xi 的和來表示,即Y = X1+ X2+ X3+· · · + Xk ,求隨機變數Y 的期望值與變異數?
(解:)E(Y ) = E(X1+ X2+ X3+· · · + Xk)i.i.d.= kµx = 0.2× k, V ar(Y ) = V ar(X1+ X2+ X3+· · · + Xk)i.i.d.= kV ar(x) = 0.96× k
習題 I(B):1-4 二項分佈
1. 盒中有6張大小相同的卡片, 分別標示號碼 1, 2, 2, 3, 3, 3, 今從中一次取出一張, 取完查看號碼後放回, 連取三次,求連續三次都取到1的機率? 求此三次號碼總和為6的機率為何?
2. 投擲一公正硬幣3次,令 X 表出現正面次數的隨機變數,求隨機變數X 的機率分布、 期望值與標準差? 3. 投擲一公正硬幣4次,求正面次數的機率分布、 期望值、 標準差?
4. 一推銷員向客戶推銷產品的成功率為 0.2, 若現在他連續分別向6位客戶推銷產品,問這6個人恰有4人 購買產品的機率為何?
5. 某人打靶的命中率為 14 , 且每次打靶的結果互為獨立, 此人朝同一目標射擊5次, 求靶面恰中2發的機 率? 求擊中靶面次數不超過2次的機率?
6. 已知一箱內裝有8個燈泡,其中有2個故障,現今從箱內隨機抽取3個燈泡,求故障燈泡數目的期望值? 7. 某次測驗,試卷共有20題單選題, 每題有4個選項, 且每題都只有一個正確答案, 大明在此試卷上每題都
隨機選擇一選項作答,求大明此測驗卷答對題數的期望值與標準差?若每一題為5分,求大明此次測驗成 績的期望值?
8. 已知一盒中有8顆紅球,2顆白球, 今隨機從盒中抽出4個球 (每回取出一顆, 取後放回盒中), 若 X 表取 得之紅球個數, Y 表取得之白球個數,
(a) 求X 期望值與標準差? (b) 求Y 期望值與標準差?
9. 隨機變數 X 是參數為 (15, 0.4) 的二項式分佈, 其機率分布圖如下: 選出正確選項 (1) X的期望值為6 (2) X 標準差大於4 (3) X = 6 時, 機率值最大 (4) P (x = 8) > P (x = 10) (5) P (X = 4) >
P (x = 8)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415 10−4
0.02 0.06 0.12 0.18 0.21
隨機變數X
機率值P(X=k)
參數(n, p)的二項式機率分布圖
10. 如圖:一彈珠檯,從上方放入紅色彈珠, 彈珠落下撞擊到釘柱時, 會隨機向左或向右落下再撞擊到下一層