5B1C probability statistics B

15

機率統計

_II(B)

15.1

隨機的意義

隨機變數_: 將試驗的每種結果(樣本點) 分別對應一個”數值”, 此種函數對應關係即為隨機變數。 1. 離散型隨機變數: 隨機變數X對應的數值有限多個, 或像整數那樣多, 稱隨機變數X為離散型隨機 變數。 如投擲硬幣正反面次數、 骰子點數、 顏色、 血型等。 2. 連續型隨機變數: 隨機變數X對應的數值可以是某一實數區間內的任何一個值,稱隨機變數X為連 續型隨機變數。 如量測長度、 重量、 高度、 體積等。 等機率樣本空間S: 此試驗可能發生的所有樣本點所成的集合稱為樣本空間S 。(若樣本空間內的所有樣本點發 生機率均等,此時稱為等機率樣本空間)。 例:投擲兩公正相同骰子,則其點數有H6 2 種不同的情形(事件)。 其等機率樣本空間有62 個樣本點 (事 件)。 骰子點數一個6一個3點的事件有 (3, 6), (6, 3) , 而骰子點數兩個6點的事件只有 (6, 6) , 前者有2個樣 本點,後者只有1個樣本點;且 (1, 1), (1, 2),· · · ,(3, 6), · · · , (6, 3), · · · , (6, 6) 這些樣本點發生的機會均相等。 等機率樣本空間的個數 n(S) 就是數出所有可能會發生且機 會均相等的樣本點個數; 故投擲兩公正骰子點數的等機率樣本空間的個數n(S) = 62。 機率質量函數: 將離散型隨機變數X 的每一個數值x對應其所發生的機率,此種對應關係所形成的函數f (x) 稱為 X 的機率質量函數, 即 f (x) = P (X = x) 簡稱機率函數 (p.m.f)。 若隨機變數 X 為連續型, 每一個數值 x 對應其所發生的機率, 此種對應關係所形成的函數 f (x) 稱為 X 的機率密度函數, 即 f (x) = P (X = x) 簡稱機率函數(p.d.f)。 若 X 為離散型隨機變數,X = _{x1, x2,· · · , xn} 而 f (x) 為其機率質量函數則 0 ≤ f(xi) ≤ 1, i = 1, 2, 3,_{· · · , n} 且 Pn i=1 f (xi) = 1 機率質量函數表 X x1 x2 · · · xk · · · xn px p1 p2 · · · pk · · · pn x1 x2 x3 x4 x5 0.1 0.35 0.2 0.15 隨機變數 機 率 值 f (x ) 機率質量函數圖形

例題

範例 1: 求投擲一公正骰子點數X 的機率質量函數分布表?

2 高中數學講義

隨機的意義

(解:) Xi 1 2 3 4 5 6 px 1₆ 1₆ 1₆ 1₆ 1₆ 1₆ 1 2 3 4 5 6 1 6 查核正確的個數 x 機 率 值 f (x ) 機率質量函數圖形 演練 1a : 令 X 表投擲一公正骰子出現的點數,求隨機變數X2 的機率質量函數分布表? (解:) Xi 1 2 2 ₃2 ₄2 ₅2 ₆2 p_x2 1 6 16 16 16 16 16 演練 1b : 若一袋中有編號為1,4,5,6 四個大小一樣的球,任意隨機抽出一球,抽出的號碼球如為X ,則可得X 元,求隨機變數X 的機率質量函數分布表? (解:) Xi 1 4 5 6 px 1₄ 1₄ 1₄ 1₄ 演練 1c : 一書店經銷一雜誌,根據經驗得知, 上市一天內顧客購買1本的機率為0.23, 購買2本的機率為0.38, 購買3本的機率為0.21, 購買4本的機率為0.13, 購買5本的機率為0.05。 問隨機變數為何? 隨機變數 X 的機率質量 (分布) 函數? (解:)X 為一天內購買雜誌數量,x = 0, 1, 2, 3, 4 及5; Xi 0 1 2 3 4 5 px 0.00 0.23 0.38 0.21 0.13 0.05 0 1 2 3 4 5 0.1 0.2 0.3 購買雜誌數量 x 機 率 值 f (x ) 機率質量函數圖形 演練 1d : 一超市設有3個檢查站 A、B 與 C, 若每個檢查站查核正確則紀錄為 Y, 不符合則紀錄為 N, 且查核 正確與否發生的機率相等。 若隨機變數X表超市檢查站查核正確的個數,求隨機變數X 的機率質量 函數 (解:) Xi 0 1 2 3 px 1₈ 3₈ 3₈ 1₈ 0 1 2 3 1 8 3 8 查核正確的個數 x 機 率 值 f (x ) 機率質量函數圖形 範例 2: 投擲公正骰子, 令隨機變數 X 表投擲一骰子所出現點數的2倍 。 隨機變數 Y 表投擲兩次骰子的點 數和。 分別求隨機變數X, Y 的機率質量函數分布表?

(解:) Xi 2 4 6 8 10 12 px 1₆ 1₆ 1₆ 1₆ 1₆ 1₆ 2 4 6 8 10 12 1 6 骰子點數的2倍 x 機 率 值 f (x ) 機率質量函數圖形 Yi 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 py 361 2 36 3 36 4 36 5 36 6 36 5 36 4 36 3 36 2 36 1 36 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 36 3 36 5 36 兩骰子點數和y 機 率 值 g (y ) 機率質量函數圖形 1. 求機率P (y _{≥ 9) = ?} 10 36 2. 求隨機變數Y 為偶數的機率? 18 36 演練 2a : 一公正骰子六面分別為1,2,3,4,5 和6點, 一均勻非標準骰子六面分別為0,0,0,6,6,6。 若隨機變數 X 表兩骰子點數的和,求隨機變數X 的機率質量函數? (解:) Xi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 py 121 1 12 1 12 1 12 1 12 1 12 1 12 1 12 1 12 1 12 1 12 1 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 12 ·10−2 骰子點數的2倍 x 機 率 值 f (x ) 機率質量函數圖形 演練 2b : 若一袋中有編號為1,4,5,6 四個大小一樣的球: 1. 任意隨機抽出一球,抽出的號碼球如為X , 則可得X 元,問 X 的機率質量分布函數? (解:) X 1 4 5 6 px+y 1₄ 1₄ 1₄ 1₄ 1 4 5 6 1 4 號碼和 x + y 機 率 值 f (x ) 機率質量函數圖形 2. 若甲、 乙兩人各從袋中抽一球, 抽出後放回袋中, 設甲抽到的號碼為 X, 乙抽到的號碼為 Y , 問 兩人抽到的號碼和的機率質量分布函數? (解:) X + Y 2 5 6 7 8 9 10 11 12 px+y ₁₆1 ₁₆2 ₁₆2 ₁₆2 ₁₆1 ₁₆2 ₁₆3 ₁₆2 ₁₆1

4 高中數學講義

隨機的意義

2 5 6 7 8 9 10 11 12 1 16 2 16 3 16 號碼和 x + y 機率 值 f(x ) 機率質量函數圖形 演練 2c : 一機率函數為P (x) = k(1₃)x(2₃)4−x, x = 0, 1, 2, 3, 4求 1. 求實數 _k值? k = 81 31 2. 求機率 P (x≥ 2) 7 31 演練 2d : 已知隨機變數X 的機率分布圖如下: 1 2 3 4 5 0.1 0.2 0.3 0.4 隨機變數x 機 率 值 p (x ) 機率質量函數圖形 請完成機率分配表: Xi 機率質量函數表 Xi 1 2 3 4 5 pxi (解:) Xi 機率質量函數表 Xi 1 2 3 4 5 pxi 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 演練 2e : 隨機變數X的機率質量函數表如下: Xi 機率質量函數表 Xi 0 1 2 3 4 pxi 0.10 0.30 0.45 0.10 k 求k值? 0.05 演練 2f : 隨機變數X的機率質量函數表如下: x ₋₁ 0 1 4 px 0.2 0.5 a 0.1 −1 0 1 2 3 4 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 隨機變數x 機 率 值 p (x ) 機率質量函數圖形 1. 求 a值? 0.2 2. 求機率 P (x = 0) =? 0.5 3. 求機率 P (x_{≥ 0) =?} 0.8 4. 求機率 P (x≤ −2) =? 0

範例 3: 隨機變數 X 表投擲4枚均勻硬幣出現正面的次數,求其機率質量函數? (解:) x 0 1 2 3 4 px ₁₆1 ₁₆4 ₁₆6 ₁₆4 ₁₆1 0 1 2 3 4 1 16 4 16 6 16 隨機變數x 機 率 值 p (x ) 機率質量函數圖形 1. 求至少出現2次正面的機率? 0.6875 2. 求至少出現1次正面的機率? 0.9375 演練 3a : 選出正確的選項? (1) 隨機亂數表的任一列中, 0到9各數字出現的次數皆相同 (2) 擲一枚均勻的銅 板10次, 若前5次出現3次正面與2次反面, 則後5次必定出現2次正面與3次反面 (3) 投擲一枚均 勻的銅板2次, 在正面至少出現1次的條件下,2次都出現正面的條件率等於 1 3 (4) 投擲6顆公正的骰 子,1,2,3,4,5,6點出現的機率小於 1 6 (5) 從一副52張的撲克牌(紅黑各有26張) 中, 隨機抽取相異的 兩張,這兩張牌都是紅色的機率為 1 4 3,4 演練 3b : 拼字檢查軟體可以檢查偵測拼字錯誤, 要求在校生簡單拼寫 250 字,用拼字檢查軟體發現其錯誤, 若 隨機變數 X 表示其錯誤次數,如表: x 0 1 2 3 4 px 0.1 0.3 0.3 0.2 0.1 1. 求作機率質量函數圖 (解:) 0 1 2 3 4 0.1 0.3 0.2 隨機變數x 機 率 值 p (x ) 機率質量函數圖形 2. 求至少有一字拼錯的機率? 1− 0.1 = 0.9 3. 求機率 P (x < 1) =? 0.1 演練 3c : 若數位資料的首位數字 1_{∼ 9 ,} 每位數字機率相等,隨機變數 X 表首位數字,求其機率函數? (解:) x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 px 1₉ 1₉ 1₉ 1₉ 1₉ 1₉ 1₉ 1₉ 1₉ 演練 3d : 從1,2,3,4,5 共五個數中隨機取出3個數,求取到最大數X 的機率質量函數(機率分布)?

6 高中數學講義

隨機的意義

(解:)P (x) =      1 10, x = 3 3 10, x = 4 6 10, x = 5 或 x 3 4 5 px ₁₀1 ₁₀3 ₁₀6 範例 4: 袋中有5個球,2個紅色球,3個藍色球,編號分別為紅1,紅2, 藍3,藍4, 藍5,由袋中每回取1球,共取 2回,X 表2次中取到紅色球的次數, Y 表2次中取到兩球的號碼和;分別依 1. 取出後不放回袋中,X, Y 的機率質量函數? (解:) X 0 1 2 px 0.3 0.6 0.1 , Y 3 4 5 6 7 8 9 py 0.1 0.1 0.2 0.2 0.2 0.1 0.1 2. 取出後放回袋中,X, Y 的機率質量函數? (解:) X 0 1 2 px 9 25 12 25 4 25 , Y 2 3 4 5 6 7 8 9 10 py 1 25 2 25 3 25 4 25 5 25 4 25 3 25 2 25 1 25 演練 4a : 若隨機變數X 表同時投擲2顆公正骰子出現點數之差異的點數,建構其機率質量函數表: (解:) x 0 1 2 3 4 5 px ₃₆6 10_{36 36}8 ₃₆6 ₃₆4 ₃₆2 演練 4b : 若隨機變數 X 表同時投擲2顆公正骰子所出現點數較大者的點數 (若相同點數, 取其點數), 建構其 機率質量函數表: (解:) x 1 2 3 4 5 6 px ₃₆1 ₃₆3 ₃₆5 ₃₆7 ₃₆9 11₃₆ 演練 4c : 若隨機變數X 表投擲3顆公正骰子出現相同點數的個數,求其機率質量函數? (解:) x 0 2 3 px 20₃₆ 15_{36 36}1 範例 5: 袋中裝有相同大小的10元硬幣3枚,50元硬幣2枚, 自袋中隨機任取2枚, 隨機變數 X 表取出2枚硬 幣的金額,求X 的機率質量函數? (解:) X 20 60 100 px 3 10 6 10 1 10 演練 5a : 一賭博遊戲為投擲3公正硬幣, 若出現一正面賭客可得100元, 出現兩正面賭客可獲得300元, 出現3 正面賭客可得500元, 但出現3反面則賭客賠1500元。 隨機變數 X 表玩此遊戲一次獲得的金額, 求 X 的機率質量函數? (解:) X −1500 100 300 500 px 1 8 3 8 3 8 1 8 演練 5b : 美國紐約州樂透彩券每張彩券0.5美元, 每發行一百萬張中有一張獎金50000美元, 有9張獎金5000 美元,有90張獎金500美元,有900張獎金50美元。 隨機變數X表發行一百萬張中,一張彩券獲得的 獎金金額,求X 的機率質量函數?

(解:) X( 美元) 50000 5000 500 50 0 px 1 106 9 106 90 106 900 106 999000 106 演練 5c : 在加拿大發行的簡易樂透彩券為000∼ 999三位數號碼擇一,有一號碼為中獎號碼,可得獎金500元, 隨機變數 X 表一張彩券獲得的獎金金額,求X 的機率質量函數? (解:) X 0 500 px 0.999 0.001 習題I(B):1-1 隨機的意義 1. 一籃球員在某場比賽中有6球罰球, 若每次罰球進否機率相等且與上次投進與否無關, 每投進一球可得1 分。 (a) 這位籃球員罰球得分的樣本空間S 為何? (b) 若隨機變數X 表示這位籃球員8次罰球得分情形,求其機率質量函數? (c) 求隨機變數X 的平均值與標準差 2. 投擲一對公正骰子, 若 S 表兩骰子點數情形的等機率樣本點 (a, b) 所形成的樣本空間, 令隨機變數 X 表 S 中樣本點(a, b)的最大點數;隨機變數 Y 表S中樣本點(a, b)的點數和。 (a) 求等機率樣本空間S (b) 求隨機變數X 的機率分布及機率函數圖形? (c) 求隨機變數Y 的機率質量函數表及機率函數圖形? 3. 投擲一對公正骰子,令隨機變數 X 表點數(a, b) 中的最小點數,求隨機變數X 的機率質量函數? 4. 投擲一公正硬幣3次,令 X 表出現正面次數的隨機變數,求隨機變數X 的機率分布及其機率函數圖? 5. 判別下列表格是否為一機率函數分布表? (a) Xi 0 1 2 3 px 0.2 0.3 0.4 0.2 (b) Xi 2 3 4 5 px 0.3 0.4 0.5 −0.2 6. 下列函數為機率質量函數,求實數k 值為何? (a) P (x) = k(x + 2), x = 1, 2, 3 (b) P (x) = k x + 1, x = 0, 1, 2, 3 7. 某大學大一有200位選修統計課程, 學期成績有 31% 為A 等, 40% 得 B等, 20% 得 C等, 4% 得 D 等和 5%得 F 等。 若隨機變數 X = 4, 3, 2, 1, 0 分別表這五等第 A、B、C、D 和 F,求 X 的機率質量函 數? 並求機率P (X _{≥ 3) =?} 8. 下列選項中,哪些選項中的式子可作為隨機變數的機率函數? (1) P (x = k) = 1 k, k = 2, 3, 5 (2) P (x = k) = k 10, k = 1, 3, 5 (3) P (x = k) = 2( 1 3) k_{, k = 1, 2, 3,· · · (4) P (x = k) = (}2 3) k_{, k = 1, 2, 3,· · ·} (5) P (x = k) = C_k52 k 35, k = 0, 1, 2, 3, 4, 5

8 高中數學講義

隨機的意義

9. 已知隨機變數 X 的機率分布如下: 求其機率函數中的常數? (a) P (x = k) = c(2 3) k_{, k = 1, 2, 3 ,則常數 c 應為多少?} (b) P (x = k) = b k(k + 1), k = 1, 2, 3,· · · , 則常數 b應為多少? (c) P (x = k) = pk, k = 1, 2, 3,· · · , 則常數 p 應為多少? 10. 已知隨機變數 X 的機率質量函數為P (x = k) = k 15, k = 1, 2, 3, 4, 5求 (a) 機率 P (1 < x < 5)值? (b) 機率 P (x_{≤ 3)}值? (c) 機率 P (x > 3)值? (d) 機率 P (x = 2或 x = 3)值? 11. 已知隨機變數 X 的機率質量函數,如表 x -1 0 1 2 px 1₄ 1₈ 1₈ 1₂ (a) 若隨機變數Y = X2 ,求 Y 的機率質量函數? (b) 求機率 P (x = 1) = a 與P (y = 1) = b 值? (c) 求機率 P (x = 4) = c與 P (y =_{−1) = d}值?

習題

_I(B):1-1

1a. S ={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} 1b. xi 0 1 2 3 4 5 6 pi ₆₄1 ₆₄6 15₆₄ 20₆₄ 15_{64 64}6 ₆₄1 1c. µ = 3;σ =q3₂ 2a. S =_{{(1, 1), (1, 2), (1, 3), · · · , (6, 1) · · · , (6, 6)}} 2b. Xi 1 2 3 4 5 6 px ₃₆1 ₃₆3 ₃₆5 ₃₆7 ₃₆9 11₃₆ 1 2 3 4 5 6 1 36 3 36 5 36 7 36 9 36 11 36 最大點數x 機 率 值 f (x ) 機率質量函數圖形 2c. Yi 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 py ₃₆1 ₃₆2 ₃₆3 ₃₆4 ₃₆5 ₃₆6 ₃₆5 ₃₆4 ₃₆3 ₃₆2 ₃₆1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 36 3 36 5 36 兩骰子點數和y 機 率 值 g (y ) 機率質量函數圖形 3. Xi 1 2 3 4 5 6 px 11_{36 36}9 ₃₆7 ₃₆5 ₃₆3 ₃₆1 , 4. X 0 1 2 3 px 1₈ 3₈ 3₈ 1₈ 0 1 2 3 1 8 3 8 正面次數 機 率 值 f (x ) 機率質量函數圖形 5a. NO 5b. NO 6a. k = ₁₂1 6b. k = 12₂₅ 7. Xi 4 3 2 1 0 px 0.31 0.4 0.2 0.04 0.05 ;0.71 8. 3,5 9a. c = 27₃₈ 9b. b = 1 9c. p = 1₂ 10a. 3₅ 10b. 1₅ 10c. 3₅ 10d. 1₃ 11a. y 0 1 4 px 1₈ 3₈ 1₂ 11b. a = 1₈;a = 3₈ 11c. c = d = 0

15.2

期望值與、 變異數與標準差

數學期望值與變異數: 設離散型隨機變數X的所有可能值為x1, x2, x3,· · · , xn,而這些值的機率分別為p1, p2, p3,· · · , pn 且 p1+ p2+· · · + pn= 1。(f (x) 為其機率質量函數) 1. 隨機變數 X 的數學期望值: E(X) = Pn i=1 xif (xi) = x1p1+ x2p2+· · · + xnpn = mu 。 描述隨 機變數 X 的中心趨勢統計量。

2. 隨機變數 X 的變異數: V ar(X) = E[(X _{− µ)}2_{] = E(X}2_{)− µ}2 ₌ Pn i=1 (xi − µ)2f (xi) = p1(x1− µ)2+ p2(x2− µ)2+· · · + pn(xn− µ)2 = n P i=1 pi(xi− µ)2= n P i=1 pix2_i − µ2 隨機變數 X 的標準差為隨機變數 X 變異數的正平方根,即 σX =pV ar(X) 期望值、 變異數與標準差的性質: 期望值是隨機變數集中趨勢的代表值,標準差是描述隨機變數的分散性與變 異性。 由數學性質知先求得變異數後再求出標準差。 隨機變數 X 期望值、 變異數與標準差的數學性質: 1. E(aX + b) = aE(X) + b 2. V ar(X + b) = V ar(X) , σ(X + b) = σ(X) 3. V ar(aX) = a2_{V ar(X) , σ(aX) = |a|σ(X)}

4. V (aX + b) = a2_{V ar(X) , σ(aX + b) =|a|σ(X)}

例題

範例 1: 求投擲一公正骰子點數X 的機率質量函數、 期望值與標準差? (解:) Xi 1 2 3 4 5 6 px 1₆ 1₆ 1₆ 1₆ 1₆ 1₆ , E(X_骰子) = 7 2, σ骰子 = r 35 12 演練 1a : 承15.1演練1d (參考第2頁):, 求其隨機變數 X 的期望值及變異數? E(X) = 3₂;V ar(X) = 3₄ 演練 1b : 承15.1演練2d (參考第4頁): 1. 求隨機變數X 的平均值 µ 及標準差 σ? µ = 3, σ = q 6 5 . = 1.1 2. 求機率 P (µ− σ < x < µ + σ) ≈ 0.68 3. 求機率 P (µ_{− 2σ < x < µ + 2σ)} ≈ 0.95 演練 1c : 承15.1演練2e (參考第4頁): 求隨機變數X 的平均值 µ 及標準差 σ? µ = 1.7;σ = 0.9539 演練 1d : 承15.1演練2f (參考第4頁): 求隨機變數X 的平均值 _µ及變異數 σ2 =? µ = 0.4;σ 2 _{= 1.84} 演練 1e : 隨機變數 X ,已知 E(X) = 2, E(X2_{) = 9 , 求隨機變數X 的變異數?} 5 範例 2: 投擲公正骰子, 令隨機變數 X 表投擲一骰子所出現點數的2倍 。 隨機變數 Y 表投擲兩次骰子的點 數和。 分別求隨機變數X, Y 的機率質量函數、 平均值及標準差?

10 高中數學講義

期望值與、 變異數與標準差

(解:) Xi 2 4 6 8 10 12 px 1₆ 1₆ 1₆ 1₆ 1₆ 1₆ 2 4 6 8 10 12 1 6 骰子點數的2倍 x 機 率 值 f (x ) 機率質量函數圖形

E(X) = E(2骰子點數) = 2E(X_骰子) = 7,V ar(X) = E(X2)_{− µ}2 = V (2X_骰子) = 4V ar(X_骰子) = 4_×35 12, σx= r 364 6 − 72 = r 35 3 = p V ar(X) = 2σ_骰子; Yi 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 py 361 2 36 3 36 4 36 5 36 6 36 5 36 4 36 3 36 2 36 1 36 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 36 3 36 5 36 兩骰子點數和y 機 率 值 g (y ) 機率質量函數圖形

E(Y ) = E(X1 + X2) = 2E(X1) = 2×

7 2 = 7, V ar(Y ) = E(Y 2_{) − µ}2 ₌ 1974 36 − 7 2 ₌ 210 36 = V (X1+ X2)i.i.d.₌ V (X1) + V (X2)i.i.d.₌ 2V (X_骰子) = 2× 35 12, σY = r 35 6 = √ 210 6 ≈ √ 5.8= 2.4. 演練 2a : 若隨機變數X 表投擲3顆公正骰子出現相同點數的個數,其機率質量函數表如下: x 0 t 3 px k 15_{36 36}1 1. 求隨機變數t及機率k 值? t = 2, k = 20 36 2. 求隨機變數X 的平均值 µ 及變異數 σ2_=? µ = 11 12;σ2 = 155144 演練 2b : 承15.1演練2b (參考第3頁): 若甲、 乙兩人各從袋中抽一球, 抽出後放回袋中, 設甲抽到的號碼為 X, 乙抽到的號碼為Y , 求兩人抽到的號碼和的平均數與變異數? 即求 E(X + Y ) = ? 與 V ar(X + Y ) =? E(X + Y ) = 8;V ar(X + Y ) = 7 範例 3: 隨機變數 X 表投擲4枚均勻硬幣出現正面的次數,求_X 的期望值與變異數? (解:) x 0 1 2 3 4 px ₁₆1 ₁₆4 ₁₆6 ₁₆4 ₁₆1

;E(X) = µ =Pxipi= 2;V ar(x) = E(X2)− µ2 = 80₁₆− 22= 1

xi表第 i枚出現正面,則 µ = E(x1+ x2+ x3+ x4) = E(x1) + E(x2) + E(x3) + E(x4)i.i.d.₌ 4×1₂ =

2, V ar(X)i.i.d.₌ 4V ar(x1) = 4×1₄ = 1

演練 3a : 隨機變數 X 表投擲2枚均勻硬幣出現正面的次數,求其機率質量函數及 X 的期望值與變異數? (解:) x 0 1 2

px 1₄ 2₄ 1₄

;E(X) = µ =Pxipi = 0+2+2₄ = 1;V ar(x) = E(X2)− µ2 = 6₄ − 12 = 1₂

xi表第i枚出現正面,則µ = E(x1+x2) = E(x1)+E(x2)i.i.d.₌ 2×1₂ = 1, V ar(X)i.i.d.₌ 2V ar(x1) =

演練 3b : 投擲2枚均勻硬幣, 若每出現一正面可得獎金10元, 隨機變數 X 表擲2枚均勻硬幣可望獲得的獎金, 求其機率質量函數及 X 的期望值與變異數?

(解:) x 0 10 20 px 1₄ 2₄ 1₄

;E(X) = µ = Pxipi = 0+20+20₄ = 10;V ar(x) = E(X2)− µ2 =

600

4 − 102 = 50

另解:xi表第i枚出現正面,則µ = E(10x1+10x2) = 10E(x1)+10E(x2)i.i.d.₌ 20×1₂ = 10, V ar(X) =

V ar(10x1+ 10x2)i.i.d.₌ 200V ar(x1) = 200×1₄ = 50

演練 3c : 若數位資料的首位數字 1_{∼ 9 ,} 每位數字機率相等, X 表首位數字,求 X 的期望值與變異數? (解:)µ = 5;V ar(X) = E(x2_{)− µ}2 ₌ 285 9 − 25 = 203 。µ = a+b2 , V ar = (b−a+1) 2 −1 12 演練 3d : 根據班佛法則,數位資料的首位數字1_{∼ 9 ,} 每位數字出現的機率如表: x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 px 0.301 0.176 0.125 0.097 0.079 0.067 0.058 0.051 0.046 若 X 表首位數字,求X 的期望值? 3.441 i. 現有1000筆隨機數位資料,如果依班佛法則,首位數字為1、2或3的的筆數多於560筆或少於560 筆? 多 範例 4: 連續投擲一公正骰子2次_,以X 表示出現點數的和,求_X 的期望值與變異數?

(解:)xi表第i次骰子點數,則µ = E(x1+x2) = E(x1)+E(x2)i.i.d.₌ 2×3.5 = 7;V ar(X)i.i.d.₌ 2V ar(x1) = 35 6 演練 4a : 一顆特別的骰子, 其六個面中有兩面為2點、 兩面為4點、 其餘兩面為5點,假設投擲這顆骰子每面出 現的機率都相等,擲這顆骰子兩次,所得點數和的數學期望值為? 22 3 演練 4b : 袋中有3顆白球與1顆黑球, 每次隨機從袋中抽出1球, 袋中每顆球被抽中的機率皆相同, 抽出後不放 回, 直到抽中黑球時遊戲結束, 若在第 k 次抽到黑球, 則得到 k 元獎金,此遊戲可獲得獎金的數學期 望值為?元 5 2 演練 4c : 隨機變數 X 的機率質量函數表如下: x 152 156 160 164 px 0.25 0.25 0.25 0.25 1. 求隨機變數X 的平均值 µ 及變異數 σ2_=? µ = 158;σ 2 _{= 20} 2. 從機會均等的 152,156,160,164 四個數值中, 任意取出一數後放回, 再取出一數, 共取出兩數。 若隨機變數Y 表這兩數的平均值,求隨機變數Y 的機率質量函數,平均值µy 及變異數σ2y =? (解:) y 152 154 156 158 160 162 164 py ₁₆1 ₁₆2 ₁₆3 ₁₆4 ₁₆3 ₁₆2 ₁₆1 ;µy = 158;σ2y = 10 演練 4d : 投擲一公正骰子,若投擲出 k點可獲得 2k + 1 元。 以 X 表示投擲骰子可望獲得獎金,求 X 的期望 值與變異數?

12 高中數學講義

期望值與、 變異數與標準差

(解:)µx = 2µk+ 1 = 2×7₂ + 1 = 8;V ar(x) = V ar(2k + 1) = 4V ar(k) = 4×35₁₂ = 35₃

範例 5: 已知隨機變數X1, X2 的機率質量函數表如下, 求這兩個隨機變數的期望值、 變異數與標準差?(請觀 察X2= 0.5X1+ 15關係) (解:)E(X1) = 30, var(X1) = 200, σX1 = 10 √ 2;E(X2) = 30, var(X2) = 50, σX1 = 5 √ 2 ] X1機率分布表 X1 10 20 30 40 50 px1 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 , X2機率分布表 X2 20 25 30 35 40 px2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 演練 5a : 承上例題: 隨機變數 Y = 2X1 ,求隨機變數Y 的期望值與標準差? E(Y ) = 2× 30 = 60;σy = 20 √ 2 演練 5b : 承上例題: 隨機變數 Z =_−2X1+ 10 ,求隨機變數Z 的期望值與標準差? E(Z) =_{−60 + 10 = −50;σ}z = 20 √ 2 演練 5c : 已知隨機變數X 的機率質量函數表如下: x 2 3 4 px 1₃ 1₃ 1₃ 1. 求隨機變數X 的期望值與標準差? µx = 3;σx = q 2 3 2. 隨機變數 Y 的機率質量函數表如下: y 1 2 3 py 1₃ 1₃ 1₃ ,求隨機變數 Y 的期望值與標準差? µy = 3− 1;σy = q 2 3 3. 隨機變數 Z 的機率質量函數表如下: z 5 7 9 py 1₃ 1₃ 1₃ ,求隨機變數Z 的期望值與標準差? µz = 2µx+ 1 = 7;σz= 2σx = 2 q 2 3 範例 6: 袋中裝有相同大小的10元代幣3枚,50元代幣2枚,自袋中任取2枚, 則所得金額的期望值為多少? (解:)E(X) = 20×3+60×6+100×1₁₀ = 52;10×3+50×2_{3+2 × 2 = 52} 若每張5元的樂透彩券, 賣出7000張樂透彩券中, 有1張可得獎金2000元, 有2張可得獎金750元, 有5張 可得獎金100元,設X 表隨機一張彩券可望得到的獎金, 1. 建構隨機變數X 的機率質量函數? (解:) xi 2000 750 100 0 pxi 1 7000 70002 70005 69927000 2. 求X 的期望值並闡釋其意義?

(解:)E(X) = 4₇;平均每張彩券可得到的獎金為 4 7 3. 求X 的標準差? q 319915 490 . = 25.552 演練 6a : 一賭博遊戲為投擲3公正硬幣, 若出現一正面賭客可得100元, 出現兩正面賭客可獲得300元, 出現3 正面賭客可得500元,但出現3反面則賭客賠1500元。 問此遊戲賭客的贏得獎金期望值為多少元? E(X) = −1500+300+900+500 8 = 25 演練 6b : 一壽險公司為某族群推出一保險專案: 內容為一年保費 195元, 若在一年內往生有200000 元的保險 理賠,若已知該族群人士一年內仍健在的機率為 99.97%, 1. 若隨機變數X 表該參加公司推出保險專案每一個人的收支,求其機率質量函數? (解:) x 195 -199805 px 0.9997 0.0003 2. 求每一位參加該公司保險專案,該保險公司的期望值為多少元? 135 元 演練 6c : 假設公益彩券每一期的每張彩券獎金期望值為35元,標準差為400元。 若某人隨機買3張彩券, 求此 人這3張彩券獎金期望值與標準差為多少元? 105;400 √ 3 演練 6d : 美國紐約州樂透彩券每張彩券0.5美元, 每發行一百萬張中有一張獎金50000美元, 有9張獎金5000 美元,有90張獎金500美元,有900張獎金50美元。 1. 求樂透彩券的期望獎金為多少美元? 0.185 2. 州政府發行彩券一百萬張可望獲利多少元? 315000 美元 習題 I(B):1-2 期望值與、 變異數與標準差 1. 投擲一對公正骰子, 若 S 表兩骰子點數情形的等機率樣本點 (a, b) 所形成的樣本空間, 令隨機變數 X 表S中樣本點(a, b)的最大點數;隨機變數 Y 表S中樣本點(a, b)的點數和。 (a) 求等機率樣本空間S (b) 求隨機變數X 的機率分布及機率函數圖形? (c) 求隨機變數X 的數學期望值及其標準差近似值(可用計算器求近似值)? (d) 求隨機變數Y 的機率分布及機率函數圖形? (e) 求隨機變數Y 的數學期望值及其標準差近似值(可用計算器求近似值)? 2. 投擲一對公正骰子,令隨機變數 X 表點數 (a, b)中的最小點數,求隨機變數 X 的數學期望值及其標準 差 (可用計算器求近似值)? 3. 投擲一公正硬幣3次, 令 X 表出現正面次數的隨機變數, 求隨機變數 X 的機率函數圖? 隨機變數X的 期望值與標準差? 4. 已知機率函數 P (x) = x 2_{+ x} 20 , x = 1, 2, 3 ,求隨機變數 X 數學期望值及其標準差? 5. 台灣地區某年人口資料顯示: 在有子女的家庭中,其子女人數的家庭比例為 子女人數 1 2 3 4 5 家庭比例 0.05 0.1 0.2 0.35 0.30 求此年台灣家庭子女平均數與變異數?

14 高中數學講義

期望值與、 變異數與標準差

6. 某廠牌汽車導航機 GPS 的誤差值 (公尺), 以隨機變數 X 表示,其機率分布如下,求隨機變數X的期望 值與標準差? X 機率分布表 X 0 10 20 30 40 50 px 0.05 0.1 0.15 0.3 0.3 0.1 7. 一箱子中有10個燈泡,其中2個壞掉,今從箱中取3個燈泡測試,求取出燈泡中壞燈泡個數期望值? 8. 一賭客付出5元就可玩投擲兩公正硬幣遊戲, 獎金規定若出現一正面可得1元, 出現兩正面可獲得2元。 問玩此遊戲賭客獲利的期望值為多少元? 此遊戲規則對賭客是否友善? 9. 一賭博遊戲為投擲兩公正硬幣, 若出現一正面或兩反面賭客均可得1元, 出現兩正面賭客可獲得5元。 問 此遊戲賭客的贏得獎金期望值為多少元? 若此遊戲規則是公平的,則玩此遊戲一次必須付出多少元? 10. 投擲公正骰子,令隨機變數 X 表投擲一骰子點數為奇數點則X 取值為1,偶數點則取值為3。 求隨機變 數X的期望值與標準差? 11. 隨機變數X表連續投擲一公正硬幣直到正面出現所需的次數或5次試驗均無正面就停止,求隨機變數X的 期望值? 12. 隨機變數 X 表連續投擲一公正硬幣直到正面出現所需的次數或4次均為反面, 求隨機變數X的期望值? 13. 一不均勻的硬幣,已知出現正面的機率為 1 3,出現反面的機率為 2 3,投擲此硬幣直到出現正面或4次反面 為止,求投擲此硬幣次數的期望值? 14. 學校福利社舉辦抽獎活動, 原本所有獎額的期望值為500元, 標準差為100元。 今慶祝校慶, 將每個獎項 金額提高 20%, 額外加贈100元抵用券,求此次活動中抽獎一次所得獎額的期望值與標準差? 15. 某保險公司針對一年期住宅房屋火險:“保費200元,在一年內房屋發生火災可獲理賠100萬元”。 依據資 料顯示住宅房屋發生火災的機率為0.0015, 求每張保單中,保險公司獲利的期望值是多少? 16. 甲、 乙兩人要分獎金10000元, 約定競技,先勝三局者可得全部獎金, 比賽開始第一局甲勝, 第二局乙勝, 第三局甲勝;後因故無法繼續比賽,問應如何分配獎金才合理? 17. 一製造商現需決定要即時擴充廠房或一年後才擴充。 現若即時擴充廠房而且碰到經濟景氣,則可賺進300 萬元,但若碰到經濟不景氣會損失80萬元; 若採行一年後才擴充, 碰到經濟景氣, 則可賺進160萬元, 但 若碰到經濟不景氣仍可賺16萬元。 假設進一步知道明年經濟景氣機率為 2 3 , 經濟不景氣機率為 13 , 則 應採用那一策略,才能有較大的獲利期望值?

18. 投擲一公正硬幣4次, X 表出現正面次數,求 X2 的期望值?hint: V ar(x) = E(x2)− E(x)2 _由數學性

質推算 (簡易);或找出X2的機率分布依定義求得 (計算較複雜) 19. 投擲一公正硬幣3次,隨機變數 X 定義為若第一次硬幣為正面則X取值為0,若出現反面則取值為1 ,隨 機變數 Y 表3次硬幣中出現正面的次數。 分別求隨機變數 X、Y 的機率分布與期望值? 求 XY 的數學 期望值?

習題

_I(B):1-2

1a. S =_{{(1, 1), (1, 2), (1, 3), · · · , (6, 1) · · · , (6, 6)}} 1b. Xi 1 2 3 4 5 6 px ₃₆1 ₃₆3 ₃₆5 ₃₆7 ₃₆9 11₃₆

1 2 3 4 5 6 1 36 3 36 5 36 7 36 9 36 11 36 最大點數x 機 率 值 f (x ) 機率質量函數圖形 1c. E(X) = 161 36 , V ar(x) = E(X2_{)− µ}2 ₌ 791 36 − ( 161 36 ) 2 _≈ 21.97 _{− 19.98 = 1.99, σ ≈} √ 1.99= 1.4. 1d. Yi 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 py 361 2 36 3 36 4 36 5 36 6 36 5 36 4 36 3 36 2 36 1 36 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 36 3 36 5 36 兩骰子點數和y 機 率 值 g (y ) 機率質量函數圖形 1e. E(Y ) = 2 _× 7 2 = 7, V ar(x) = E(Y2) − µ2 ₌ 1974 36 − 7 2 ₌ 210 36 ≈ 54.8 − 49 = 5.8, σ = √ 210 6 ≈ √ 5.8= 2.4. 2. Xi 1 2 3 4 5 6 px 11_{36 36}9 ₃₆7 ₃₆5 ₃₆3 ₃₆1 , E(X) = 2.5,V ar(x) = 2.1,σ =. 1.4 3. X 0 1 2 3 px 1₈ 3₈ 3₈ 1₈ 0 1 2 3 1 8 3 8 正面次數 機 率 值 f (x ) 機率質量函數圖形 E(X) = 3 2,σ = r 3 4 4. µ = 2.5;σ = ₁₀3√5 5. E(X) = 3.75, V ar(X) = 0.6875 6. E(X) = 30公尺 ,σX = √ 170 公尺 7. 3 5 8. E =₋1 4,不公平遊戲 9. E = 5 2;付出 2.5元 10. X 1 3 px 0.5 0.5 , E(X) = 2, σ = pE(X2_{)− µ}2 ₌ √ 5− 22 _{= 1} 11. X 1 2 3 4 5 px 1₂ 1₄ 1_{8 16}1 ₁₆1 , E(X) = 31 16 12. E(X) = 15 8 13. 211 81 14. E(Y ) = E(1.2X + 100) = 700; σ(Y ) = σ(1.2X + 100) = 120 元 15. 500 元 16. 甲7500元,乙2500元 17. 應即時擴充廠房 18. E(x2) = var(x) + µ2 = npq + (np)2 _{= 1 + 2}2 _{= 5} 19. X 0 1 px 0.5 0.5 , E(X) = 1 2 ; Y 0 1 2 3 px 1/8 3/8 3/8 1/8 , E(Y ) = 3 2;E(XY ) = 1· 1 · 2 8+ 1_{· 2 ·}1 8 + 0 = 1 2

15.3

獨立事件

獨立事件: 設A,B 為同一樣本空間的兩事件,當事件 B發生的機率不因為事件 A 的發生與否而受到影響, 稱 兩事件為獨立事件。 即事件發生機率 P (A∩ B) = P (A)P (B) 則稱 A 與 B為獨立事件。 若兩事件不 是獨立稱為相依事件。 若 A,B 為獨立事件,_{⇔ A}、B的餘事件 A′_{, B}′ _{亦為獨立事件。} 1. P (A_{∩ B) = P (A) · P (B)} 2. P (B|A) = P (B)且 P (A|B) = P (A)

A,B,C 三事件獨立: ⇔ A,B獨立事件;B,C 獨立事件; A,C 獨立事件且P (A∩ B ∩ C) = P (A)P (B)P (C) ⇔ A′_{, B}′_{, C}′_{亦獨立; A}′_{, B, C 亦獨立;· · ·}

16 高中數學講義

獨立事件

常見的獨立事件: 重複丟一個硬幣出現正反面的事件、 重複投擲一個骰子出現的點數、 重複由一袋中抽球(取後 放回袋中) 的顏色這些前後事件的結果都是獨立事件。 實務上: 取樣後不再放回情形(超幾何機率分布)。 當母體樣本數夠大,取樣樣本數相對很小時,則樣本不 放回與放回(獨立) 方式所得的機率值很接近。 兩隨機變數和、 積的期望值與變異數:

1. 若X, Y 是同一樣本空間的兩隨機變數,則其和的期望值E(X + Y ) = E(X) + E(Y ) 2. 若X, Y 是同一樣本空間的兩個 獨立 隨機變數,則其乘積的期望值 E(XY ) = E(X)E(Y ) 3. 若X, Y 是同一樣本空間的兩個 獨立 隨機變數,則其和(差)的變異數V ar(X±Y ) = V ar(X)+

V ar(Y ) 隨機變數 X 的期望值: 描述隨機變數的中心位置。 隨機變數 X 的標準差: 隨機變數所有可能值與中心位置分散狀況的度量單位。 隨機變數 X 的機率分布可以用期望值及標準差 (變異數) 做概要描述。 隨機變數若具有相 同的期望值及標準差 (變異數) 未必具有相同的機率函數分布。 求隨機變數的期望值與標準差(變異數) 通常可由機率分布函數依定義計算可得。 或由簡單 基本的隨機變數期望值與變異數再找出此隨機變數與之關係₍線性或簡單的加法、 乘法關係) 利 用期望值與變異數的數學性質₍獨立性、 同質性的機率分布_i.i.d.),可 求 得 此隨 機 變 數 _X 的數學期望值與變異數。 例:紅球20個,白球10個,從袋中取球: 1. 每次取一個,取出不放回,共取3次,則取出紅球個數的期望值為? 2. 每次取一個,取出後再放回去,共取3次_, 則取到紅球個數的期望值為? 3. 一次取出3個,取到紅球個數的期望值為? ≡ 3× (取一粒球,紅球個數的期望值為) = 3× 20_{30 = 2}

例題

範例 1: 投擲一公正硬幣3次,若 A 表第一次出現正面的事件, B 表第二次出現正面的事件, C 表恰連續出 現兩正面的事件。 則下列敘述何者為真? (1) A、B 為獨立事件 (2) A、C 為獨立事件 (3) B、C 為獨立事 件 (4) A、B、C 為獨立事件 (5) P (A_{|B) = P (A|C)} 1,2,5 演練 1a : 已知事件 A, B 的機率分別為 P (A) = 0.8, P (B) = 0.3 且 P (A_{∪ B) = 0.86 ,}問 A, B 是否為獨 立事件?並求條件機率 P (A′_{|B) =?} yes;0.2 演練 1b : 從902位未滿40歲已婚人士調查首次結婚年齡與性別, 表格如下: 性別 _\首婚年齡 未滿20 20∼ 30 30 ∼ 40 小計 男 43 293 114 450 女 82 299 71 452 小計 125 592 185 902 若 E 表未滿20歲已結婚事件,F 表女性事件,問E, F 是否為獨立事件? No

演練 1c : 若事件 A表投擲一公正骰子出現3點的事件,事件B 表投擲一公正骰子出現奇數點的事件,問A, B 是否為獨立事件? No 演練 1d : 投擲一均勻骰子,A 表出現偶數點的事件,B 表出現點數為3的倍數事件,問事件 A,B 是否互為獨立 事件? yes 演練 1e : 某校數學教師針對高三學生隨機選出30名男學生及20名女學生, 做新教材適應性調查, 每一位學生 都要填答,且只能填答適應或不適應。 結果有35名學生填答無法適應新教材內容, 假設學生性別與適 應狀況獨立,請完成上列表格,使其最能符合上述假設。 性別 _\適應狀況 適應 不適應 (35人) 男生 (30人) 人 人 女生 (20人) 人 人 9,21;6,14 範例 2: 某袋中裝有3紅球、2白球。 每次從袋中取出一球,每球機會均等。 若A事件表第一次取出紅色球的事 件,B 事件表第二次取出白色球的事件。 1. 依每次取出球後,放回袋中,問事件 A,B 是否互為獨立事件? yes 2. 依每次取出球後,不放回袋中,問事件 A,B 是否互為獨立事件? no 演練 2a : 一袋中裝有大小相同的10球, 其中有7顆黑色球,3顆白色球。 從袋中任意取出一球觀看顏色, 放回袋 中,共取出兩球; 1. 求兩顆球均為黑色球機率? 72 102 2. 求兩顆球恰一顆黑色球機率? 21 100 3. 求兩顆球至少一顆黑色球機率? 1− 9 100 演練 2b : 一袋中裝有大小相同的10球, 其中有7顆黑色球,3顆白色球。 從袋中任意取出一球觀看顏色, 不放回 袋中,共取出兩球; 1. 求兩顆球均為黑色球機率? 7 15 2. 求兩顆球恰一顆黑色球機率? 7 15 3. 求兩顆球至少一顆黑色球機率? 14 15 演練 2c : 一袋中裝有大小相同的10球, 其中有7顆黑色球,3顆白色球。 從袋中一次取出兩球; 1. 求兩顆球均為黑色球機率? 7 15 2. 求兩顆球恰一顆黑色球機率? 7 15 3. 求兩顆球至少一顆黑色球機率? 14 15 演練 2d : 袋中裝有3紅球、2白球。 每球機會均等,從袋中取出一球,共取3回,問: 1. 每球取後放回袋中,3球均為紅色球的機率? 27 125 2. 每球取後放回袋中,3球恰為2紅1白球的機率? 54 125 3. 每球取後不放回袋中,3球均為紅色球的機率? 1 10 4. 每球取後不放回袋中,3球恰為2紅1白球的機率? 3 5

18 高中數學講義

獨立事件

範例 3: 診察某種疾病的快篩法能正確檢查出該疾病的機率為0.92, 現某人患有該疾病到兩家獨立的醫療院 所用快篩法診察: 1. 問兩家醫院均能正確診察出生病的機率為多少? (0.92) 2 _{= 0.8464} 2. 問至少有一家醫院正確診查出該疾病的機率為多少? 0.9936 演練 3a : 假設一個診斷疾病的快篩劑顯示一個人具有特定的疾病機率是 89% 1. 用此快篩劑診斷疾病,顯示此人不具有特定的疾病機率是多少? 0.11 2. 某人到兩家獨立院所用此快篩劑檢查診斷,均顯示此人不具有特定的疾病機率是多少? (0.11) 2 _{= 0.0121} 演練 3b : 訓練有素的緝私犬, 在海關偵查任務, 若有違禁品被偵察出來的機率為 0.9, 若每隻緝私犬為偵防 工作為獨立事件, 現海關設有3站查緝站, 各由一隻緝私犬偵防, 問違禁品被海關查緝出來的機率? 0.999 演練 3c : 某地區人民O 型血型比率為42% ,Rh+型比率為 5% ,假設血型與 Rh 型為獨立事件: 1. 從此地區任選一人,此人血型為O型且 Rh+的機率為何? 0.021 2. 從此地區任選一人,此人血型為O型或 Rh+的機率為何? 0.449 3. 製作有關 O型與 Rh型的 2× 2機率表格? (解:) 血型 _{\ Rh}型 + − O 0.021 0.399 非 O 0.029 0.551 範例 4: 設生男,生女的機率均等,對有3個小孩的家庭,以隨機變數X 表男孩的個數,求X 的期望值與標準 差?

(解:)xi表第i胎是男孩隨機變數,µ = E(X = x1+ x2+ x3)i.i.d.₌ E(x1) + E(x2) + E(x3)i.i.d.₌ 3E(x1) =

1 2 × 3 =

3

2, V ar(X = x1+ x2+ x3)

i.i.d.

= V ar(x1) + V ar(x2) + V ar(x3) i.i.d. = 3V ar(x1) = 3 4,σ = √ 3 2 演練 4a : 連續投擲一公正骰子2次,以 X 表示出現點數的和,求 X 的期望值與變異數?

(解:)xi表第i次骰子點數,則µ = E(x1+x2) = E(x1)+E(x2)i.i.d.₌ 2×3.5 = 7, V ar(X)i.i.d.₌ 2V ar(x1) = 35

6

演練 4b : 投擲一公正骰子兩次,令隨機變數 Y 表第一次出現的點數減去第二次出現的點數。 求隨機變數 Y 的 期望值及變異數?

(解:)E(Y ) = E(X1−X2) = E(X1)−E(X2) = 0,V ar(Y = X1−X2)i.i.d.₌ V ar(X1)+V ar(X2) =

2V ar(X1) = 2× 35 12 = 35 6 演練 4c : 同時投擲兩公正骰子,若擲出 k點可獲得 2k + 1 元。 以 X 表示投擲骰子可望獲得獎金,求 X 的期 望值與變異數?

(解:)設 xi 表第 i 次骰子擲出點數 k 所獲得的獎金, 即 xi = 2k + 1。 則 µx = E(x1 + x2) =

E(x1) + E(x2)i.i.d.₌ 2(2µk+ 1) = 2(2×7₂+ 1) = 16;V ar(x) = V ar(x1+ x2)i.i.d.₌ = 2V ar(x1) =

2var(2k + 1) = 8V ar(k) = 8_×35₁₂ = 70₃ 演練 4d : 同時投擲2公正硬幣及一公正骰子,若硬幣出現正面的隨機變數為1,出現反面為0,隨機變數X 表兩 硬幣出現的隨機變數與骰子出現的點數之和。 1. 求隨機變數X 的機率分配? (解:) x 1 2 3 4 5 6 7 8 px ₂₄1 ₂₄3 ₂₄4 ₂₄4 ₂₄4 ₂₄4 ₂₄3 ₂₄1 2. 求隨機變數X 的平均值 µ 及變異數 σ2=? (解:)µindependent₌ 2×1 2+72 = 92;V ar(X) independent = V ar(X1)+V ar(X2) = 2×12×12+3512 = 4112 演練 4e : 若高中生課後輔導每小時需付費50元,工讀每小時可得120元,且已知學生課後輔導與工讀時數為獨 立事件。 據調查某地區高中生每週的課後輔導時數機率統計表與工讀時數幾率統計表如下: 課輔時數 X 機率 0 0.4 1 0.3 2 0.3 工讀時數 Y 機率 1 0.3 2 0.3 3 0.2 4 0.2 1. 求該地區高中生每週課輔時數X 的平均值與變異數? 0.9 小時;0.69 (標準差約0.831小時) 2. 求該地區高中生每週工讀時數Y 的平均值與變異數? 2.3 小時;1.21 (標準差1.1小時) 3. 針對這兩項 (工讀、 課輔) 求該地區高中生每週的期望總所得 (花費) 與標準差為多少元? (解:)期望週所得E(_{−50x+120y) = −50E(x)+120E(y) = −45+276 = 231}元; σ2 −50x+120y i.i.d. = σ−50x2 + σ_120y2 = 2500σ_x2+ 14400σ2_y = 1725 + 17424 = 19149 標準差 √19149約 138.4元 演練 4f : 石油開採公司計畫在不同的位置鑽10口井, 每一口井將花費公司 60,000元, 具有生產石油的機率為 0.1, 並將帶來的價值1百萬美元的效益。 考慮到成本鑽井, 1. 求公司鑽₁口井的期望所得收入? 10 萬美元 2. 求公司鑽1口井所得收入的標準差? 100√0.1_{× 0.9 = 30}萬美元 3. 求公司鑽10口井的期望所得收入? 100 萬美元 4. 求公司鑽10口井所得收入的標準差? 100√10× 0.1 × 0.9 = 30√10 萬美元

5. 求公司鑽這10口井結果沒賺錢的機率約多少?(log 3= 0.4771,log 3.3. = 0.5185,log 3.5. = 0.5441). ≈ 0.3487= 0.35.

習題 I(B):1-3 獨立事件

1. 投擲一公正骰子, 設 A 表骰子出現點數為3倍數的事件, B 表出現奇數點的事件, 問 A, B 兩事件是否 為獨立事件?

20 高中數學講義

獨立事件

2. 已知事件 A, B, X, Y 發生的機率列聯表如下: \ X Y A 0.12 0.18 B 0.28 0.42 (a) 求機率 P (A), P (R), P (A_{∩ R) =?} (b) 事件 A, R是否為獨立事件? (c) 求條件機率P (A_{|R) =?} 3. 小明調查100位居民飲用水的來源與性別整理得到兩種表格如下: 性別 _\ 飲用自來水 Yes No 合計 男性 21 14 35 女性 39 26 65 合計 60 40 100 瓶裝水 _\ 自來水 Yes No 合計 Yes 24 6 30 No 36 34 70 合計 60 40 100 (a) 問男性且飲用在來水的機率 ? (b) 問性別與是否飲用自來水兩者是否為獨立事件? (c) 問使用瓶裝水與使用自來水兩者是否為獨立事件? 4. 據瞭解小孩出生性別比例並非相等,生男孩的比率為51%。 不同胎小孩的性別為獨立事件, (a) 列出有兩小孩家庭,其小孩性別的樣本空間? (b) 求有兩小孩家庭,其小孩性別均為男孩的機率? 5. 已知事件機率 P (A) = 0.6,P (B) = 0.3 (a) 若事件 A, B 為互斥事件,求機率P (A_{∪ B) = ?} (b) 若事件 A, B 為獨立事件,求機率P (A∪ B) = ? 6. 已知兩事件A,B 其機率0 < P (A), P (B) < 1, 則下列情形是否會發生? (a) A,B 為互斥事件下, A,B可能為獨立事件?

(b) A,B 為獨立事件下, A,B可能為互斥事件? (c) A_{⊂ B} 下, A,B 可能為獨立事件? (d) A,B 為獨立事件下,事件A 與 A_{∪ B} 可能為獨立事件? 7. 袋中有編號為1到12的球各一顆,自袋中任取一球,設A 表示取到球號為1,2,3,4的事件,B表示取到球 號1,2,5,6,7,8的事件, C 表示取到球號為1,2,5,9,11,12的事件。 (a) 問A、B、C三事件中,任兩事件是否為獨立事件? (b) 問A、B、C三事件是否為獨立事件? 8. 袋中有編號為 1到9的球各一顆, 自袋中任取一球, 設A 表示取到球號為1,5,9 的事件,B 表示取到球號 2,5,8的事件, C表示取到球號為3,5,7的事件。 問A、B、C三事件是否為獨立事件? 9. 隨機變數 X 的機率分配如表: x 1 2 3 4 5 6 7 8 px ₂₄1 ₂₄3 ₂₄4 ₂₄4 ₂₄4 ₂₄4 ₂₄3 ₂₄1 若 A 表示隨機變數為偶數的事件,B 表示隨機變數為3倍數的事件,問A、B是否互為獨立事件?

10. 投擲一公正銅板兩次, A 表首次銅板出現正面的事件,B 表第二次銅板出現正面的事件,C 表兩次銅板出 現相同面的事件。 (a) 問A、B是否互為獨立事件?A、C是否互為獨立事件?B、C是否互為獨立事件? (b) 問A、B、C三事件是否為獨立事件?

習題

_I(B):1-3

1. yes 2a. 0.3; 0.4; 0.12 2b. 獨立事件 2c. 0.3 3a. 0.21 3b. 獨立事件 3c. 相依 4a. _{{bb, bg, gb, gg}} 4b. 0.2601 5a. 0.9 5b. 0.72 6a. no 6b. no 6c. no 6d. no 7a. P (A_{∩ B) = P (A)P (B) =} 2 12、P (A ∩ C) = P (A)P (C) = 2 12、P (B∩C) = P (B)P (C) = 3 12 任兩事件是獨立事件 7b. P (A _{∩ B ∩ C) 6=} P (A)P (B)P (C) 不是獨立事件 8. P (A _{∩ B ∩ C) 6=} P (A)P (B)P (C) 不是獨立事件 9. yes 10a. 任兩事件均為獨立事件 10b. no;P (A∪ B ∪ C) = 14 6= P (A)P (B)P (C) = 1₈

15.4

二項分佈

伯努利試驗: 一隨機試驗中,所在乎的是具有“對立”性質結果的發生與否。 特定事件A發生(成功)的機率為p, 不發生 (失敗) 的機率為 1_{− p = q ,} 則稱此隨機試驗為伯努利試驗。 並以 1, 0 的取值表示試驗隨機變 數 Y 的成功與否, p 為這試驗的成功率。 伯努利試驗隨機變數: Y = ( 1 , 成功的機率為p 0 , 失敗的機率為q = 1− p 。 伯努利試驗的期望值E(Y ) = p, 變異數 V ar(Y ) = pq 二項分配 Bin(n, p): 具有獨立重複進行成功率為 p 的伯努利試驗 n 回, 以隨機變數 X 表示成功的次數, P (X = k) = C_knpk(1 − p)n−k_{, k = 0, 1, 2,· · · , n。 稱隨機變數 X 為參數 (n, p) 的二項機率分配,} 記為 X∼ B(n, p)。

1. 成功次數期望值E(X) = E(Y1+Y2+· · ·+Yn) = E(Y1)+E(Y2)+· · ·+E(Yn) = p+p+· · ·+p =

np

2. 變異數V ar(X) = V (Y1+Y2+· · ·+Yn)i.i.d₌ V (Y1)+V (Y2)+· · ·+V (Yn) = pq +pq +· · ·+pq =

npq 3. 恰成功 k次的機率質量函數 f (x = k) = P (_{{X = k}) = Ck}n(1_{− p)}n−kpk , 0_{≤ k ≤ n} 二項分配的性質: X 0 1 _{· · ·} k _{· · ·} n px C0np0(1− p)n C1np1(1− p)n−1 · · · Cknpk(1− p)n−k · · · Cnnpn(1− p)0 X ∼ B(n, p)的二項機率分配,隨機變數X 表示成功的次數,則

22 高中數學講義

二項分佈

1. X 的期望值 µ = E(X) = Pn k=0 kCn k(1− p)n−kpk= np 2. X 的變異數 σ2= V ar(X) = E(X2)_{− µ}2 = np(1_{− p) = npq} 因為 E(x2) = E(x2_{− x + x) = E(x(x − 1)) + E(x) =} Pn

k=0 k(k_{− 1)Ck}n(1_{− p)}n−kpk+ np = n(n_{− 1)p}2 Pn k=2 k(k_{− 1)Ck−2}n−2(1_{− p)}n−k_pk_{− 2 + np = n(n − 1)p}2_{+ np} 所以 V ar(X) = n(n_{− 1)p}2_{+ np− (np)}2 _{= np− np}2_{= npq} 3. X 的標準差 σ =pnp(1_{− p) =}√npq 二項分佈機率圖形特徵: 1. 單峰: 隨機變數X (成功次數)由小至大,其機率質量函數 P (X = k) 上升到一高點後下降。 2. 眾數 (最高點): 當 Cn kpk(1− p)n−k ≥ Ck+1n pk+1(1− p)n−k−1, 且 Ck−1n pk−1(1− p)n−k+1 ≤ Cn kpk(1− p)n−k 時機率質量函數 P (X = k)為最大值。 即 (n + 1)p− 1 ≤ Mo = (X = k)≤ (n + 1)p時,機率值 Pk 最大。 3. 偏態: 0 2 4 6 8 10 0.00 0.10 0.20 0.30 x f (x ) 對稱二項機率分配:p = 0.5 B(10, 0.5) 0 2 4 6 8 10 0.00 0.10 0.20 0.30 x f (x ) 右偏二項機率分配:p < 0.5 B(10, 0.3) 0 2 4 6 8 10 0.00 0.10 0.20 0.30 x f (x ) 左偏二項機率分配:p > 0.5 B(10, 0.7) (a) p = 0.5 時,p.m.f. 圖形左右對稱。 當 p 小, n 很大時, 其機率質量函數圖形接近對稱 (例: p = 0.2, n = 40) (b) p < 0.5 時,p.m.f. 圖形右偏。 (c) p > 0.5時,p.m.f. 圖形左偏。 高爾頓板的二項式機率分布實驗: 每一小紅色球由上層向下會隨機向左(發生機率P ) 或向右落下再撞擊 到下一層的柱臺,最後落到最底層 (n層) 下不同編號 (由左至右為0、1、2、_{· · ·}、k、_{· · ·}、n )的溝槽,紅色求 落入第k 號溝槽發生機率為P (X = k) = Cn kpkqn−k。

例題

範例 1: 袋中有300個紅色球,200個藍色球, 小華每次從袋中抽取一球,共取兩回, 若X表兩球中抽到紅球的 次數。

表

_1: 不同規則抽獎的中獎問題(取球顏色問題) 取球方式(抽獎) 一次取一球,取出不放回,共取n球(n 人依序抽獎) 一次取一球, 取出放回, 共取 n 球 (n 人依序抽獎) 第i位抽中獎品機率 第i位抽中機率p1= p2=· · · = pn 第i位抽中機率p1= p2=· · · = pn 中獎機率與次序無關 每 回 為 條 件 機 率 受 到 前 人抽中及沒抽中的 影 響(每 人 是 否 中獎為相依事件) 每回均為獨立事件(二項式機率) 若已知第k位中獎與否 _⇒ 改變後人中 獎機率 若已知第k位中獎與否_⇒ 不改變後人 中獎機率 n(球) 人無序結果發 生的機率 如同一次取出n球所發生事件的機率 取出 n 球無序結果發生機率為二項式 機率Cn k(p)k(1− p)n−k 例題說明: 樣本空間為3R2W(3紅球2白球) 樣本空間為3R2W(3紅球2白球) 取出兩球均為紅球的 機率 P (R1∩R2) = P (R1)P (R2|R1) = 3 5× 2 4= 3 10 P (R1 ∩ R2) = P (R1)P (R2) = C2 2( 3 5) 2₌ 9 25 (獨立事件) 第一球為 R, 第二球 為W的機率 P (R1∩ W2) = P (R1)P (W2|R1) = 3 5× 2 4 = 3 10 P (R1∩ W2) = P (R1)P (W2) = 3 5× 2 5= 6 25 無 序 結 果:2 球 為 1R1W的機率 P (1R1W ) = P (R1 ∩ W2) + P (W1 ∩ R2) = P (R1)p(W2|R1) + P (W1)P (R2|W1) = 3 5· 2 4+ 2 5· 3 4 = 3 5 P (1R1W ) = P (R1 ∩ W2) + P (W1 ∩ R2) = P (R1)P (W2) + P (W1)P (R2) = C12( 3 5)( 2 5) = 12 25 與 一 次 取 出 兩 球 為1R1W 的 機 率 C3 1C12 C5 2 =3 5 相同 條件機率: 已知第一球為 R 則 第二球為R的機率 P (R2|R1) = P (R1∩ R2) P (R1) =2 4 P (R2|R1) = P (R1∩ R2) P (R1) 獨立 = P (R2) = 3 5 已 知 第 一 球 為W則 第二球為R的機率 P (R2|W1) = P (W1∩ R2) P (W1) =3 4 P (R2|W1) = P (W1∩ R2) P (W1) 獨立 = P (R2) = 3 5 已 知 取 出 3 球 為 2R1W, 則第3球為 R機率 P (R3|2R1B) =  = 1R1W排列 (2R1W排列) = 2! 3!/2!= 2 3 P (R3|2R1B) i.i.d. = P (R3) S:2R1B = P (R3) = 2 3 期望值 (n 人中獎個 數) 取出n球R球期望值 E一次取n球(X) = E一次一球,球不放回(X) = E一次一球,球放回(X) = np 當母群體數量很大,取樣樣本相對很小時,重複投擲骰子或重複袋中抽球,取後放回(獨立事件、 二 項式分布)與取出不放回(超幾何分布)其機率函數就愈接近。 兩分佈具有相同的期望值np = nw N

24 高中數學講義

二項分佈

1. 若每次抽球後放回袋中,求 P (X = 1)機率值? (解:)X _{∼ B(2,}3₅), P1 = C12pq = 0.48 2. 若每次抽球後不放回袋中,求 P (X = 1)機率值? (解:)P1 = C12×300500 ×200499 ≈ 0.4810 ,(超幾何分布) 取樣後放回的重複取樣所得結果為獨立事件。 取樣不放回的重複取樣結果為超幾何分布; 當母體樣本數 N 很大, 而取樣樣本數 n 非很 大時, (即 n N ≈ N −1n−1 ≈ N −2n−2 ≈ · · · ≈ N −kn−k 時), 超幾何分布可用二項式機率分布估算 演練 1a : 下列敘述中的隨機變數 X 是否為二項式機率分布? 並說明其原因 1. 工廠製造上萬件成品,隨機抽取30件檢查,隨機變數 X 表不合格件數。 reasonable 2. 隨機變數 X 表高速公路一個月發生意外事故件數。 意外事故非固定發生機率的獨立試驗 3. 在20題全為是非題的考試測驗中, 隨機變數 X 表猜答案猜對的題數。 4. 隨機變數 X 表投擲一均勻骰子10次,出現6點的次數。 reasonable 5. 隨機變數 X 表投擲一均勻骰子直到首次出現6點所需的投擲次數。 非固定發生機率的獨立試驗 演練 1b : 一均勻旋轉體共有四邊,其中有三邊塗紅色,一邊塗白色,每次旋轉體轉動後僅有一邊會觸及地面。 若 隨機變數 X 表轉動3回,紅色邊觸地的次數。 1. 求隨機變數X 的機率空間S ? S ={0, 1, 2, 3} 2. 求隨機變數X 的機率函數P (x) =? P (x = k) = C_k3(3₄)k(1₄)3−k, k = 0, 1, 2, 3 3. 求至少1次紅色邊的機率? 1− ( 1 4)3 4. 求隨機變數X 的機率函數分布 (圖) (解:) 0 1 2 3 0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 紅色邊個數x 機 率 P (x ) 左偏二項機率分配:p =3 4 B(3,3 4) 演練 1c : 若隨機變數X 服從n 回二項式試驗,已知事件發生的機率p = 1₃,且機率P (x = 2) = P (x = 3) , 則 n應為多少? n=8 演練 1d : 若隨機變數 X = 1 表投擲一公正骰子點數為3的倍數,X = 0 表投擲一公正骰子點數不是3的倍數, 求 X 的期望值與標準差? E(X) = p = 1₃;σ = √pq = √₃2

範例 2: 如圖: 一彈珠檯, 從上方放入彈珠, 彈珠落下撞擊到釘柱時, 會隨機向左或向右落下再撞擊到下一層 的釘柱, 最後落到編號 0 _{∼ 5(}由左至右) 的溝槽, 已知彈珠落下向左、 向右的機率相等, 則 (1). 彈珠 落到1號溝槽的機率為何? (2). 彈珠落到幾號溝槽的機率最小? (3). 彈珠落到幾號溝槽的機率最大? (解:)₃₂5 ;p0= p5= ₃₂1;p2= p3= 10₃₂ 演練 2a : 航空公司開放網路訂位,經常有顧客訂位但未撘乘,根據經驗約有20%訂位而未到,若航空飛機只有 20個座位,但已接受 25個訂位,在沒有候補顧客情形下,求 1. 至少有一位訂位者沒有座位的機率為多少? P (X ≥ 21) = 0.4207 2. 至少有一空位的機率為多少? P (X _{≤ 19) = 1 − 0.6167 = 0.3833} 3. 求這25未訂位者到機場搭機的平均數與標準差? E(X) = 20;σ = 2 演練 2b : 據統計種植某樹苗第一年存活率為40%, 若甲購買此種樹苗5棵種植 (每棵樹苗存活為獨立),問一年 後 1. 恰1棵樹苗存活的機率為何? 810 55 = 162₆₂₅ = 0.2592 2. 最多有1棵樹苗存活的機率為何? 1053 55 . = 0.3370 3. 至少有1棵樹苗存活的機率為何? 2882 55 = 0.92224 演練 2c : 網球比賽中大雄打敗胖虎的機率為 0.7,(每一場比賽結果不受上一場比賽影響, 亦無和局), 兩人在五 場比賽中, 1. 求大雄恰贏3場比賽的機率約為? 0.309 2. 求大雄最多贏2場比賽的機率約為? 0.163 3. 求大雄至少贏3場比賽的機率約為? 0.837 演練 2d : 甲、 乙兩人比賽圍棋,根據以往經驗,甲平均3局可以贏得2局。 現在兩人比賽5局,先贏得3局的人獲 勝,求甲獲勝的機率為何? 8 27+278 + 1681 = 6481 範例 3: 某工廠生產產品是不良品的機率為 1 3,今隨機抽樣6件產品, 若恰抽出4件不良品的機率為a, 至少抽 中4件不良品的機率為b,求a, b? a = 20 243, b = 60+12+1 729 演練 3a : 美國 19 ∼ 29 歲青年 30% 沒有社會保險, 若隨機選取10位 19 ∼ 29 歲青年, 至少有1位沒有 社會保險的機率為何? (已知 _{log 3 = 0.4771,log 7}. _{= 0.8451,log 2.8}. _{= 0.447,log 2.9}. _{= 0.462)}.

0.972

演練 3b : 設某人射擊之命中率為 0.4, 今射擊4次,求 1. 恰中3次之機率?

96

26 高中數學講義

二項分佈

2. 第4次射擊為中第3發的機率? 72 625 3. 若要使目標命中機率達到0.99 ,至少要射擊幾發? (log 2= 0.301,log 3. = 0.4771). 10;n > 2 log 5−log 3 . = 9.013 演練 3c : 假設侵入者經過裝設偵測警報器被偵察鳴叫警示的機率為 0.7 , 且每一警報器為獨立運作, 偵測侵入 者示警的機率亦相同。 1. 若某人家裡裝設3個警報器, 侵入者經過這3個裝設地點, 至少有一個警報器示警的機率為何? 0.973 2. 若侵入者經過這些裝設地點,至少有一個警報器示警的機率為至少為0.999, 則至少要裝設幾個 警報器?(log 3= 0.4771). 6 演練 3d : 已知某廠商生產線的不良率為0.1, 隨機從此生產線選出10個產品, 1. 求恰有₈個不良品的機率? 3.645× 10 −7 2. 至少1件不良品的機率? 1− (0.9) 10 3. 求不良品個數的期望值與標準差? µ = 1;σ = 0.9 演練 3e : 假設每一個飛機引擎在飛行中故障的機率為q , 且各引擎是否故障是相互獨立的。 一架飛機至少有一 半的引擎能正常運行,飛機就可以成功起降飛行。 1. 若每一個引擎在飛行中故障的機率為 q = 1₄,問一架4引擎的飛機與一架2引擎的飛機哪一機型 飛行較保險? (解:)4引擎飛;成功飛行機率P4 = C24p2q2+ C34p3q + p4 = 243256 > P2 = C12pq + p2 = 1516 2. 若每一個引擎在飛行中故障的機率為 q = 2₅,問一架4引擎的飛機與一架2引擎的飛機哪一機型 飛行較保險? (解:)2引擎飛;成功飛行機率P4 = C24p2q2+ C34p3q + p4 = 459625 < P2 = C12pq + p2 = 12+925 範例 4: 連續投擲一公正骰子5次,以隨機變數 X 表示出現點數6的次數, 1. 求恰好出現4次6點的機率? 5 65 2. 求X 的期望值與標準差? µ = 5 6, σX = 56 已知某袋中共有10個球, 其中有8個紅球2個白球。 現從袋中隨機取出一球觀看顏色後放回, 共取4球, 分 別求紅色球與白色球的期望值與變異數?

(解:)紅球: E(x) = np = 4_{× 0.8 = 3.2, V ar(x) = npq = 0.64;} 白球:E(y) = np = 4_{× 0.2 =} 0.8, V ar(y) = npq = 0.64 演練 4a : 隨機變數 X 服從二項式機率分布X∼ B(n, p) ;求下列隨機變數 X 的期望值與標準差? 1. X _{∼ B(10, 0.1)} µ = 1;σ = √ 0.9 2. X ∼ B(10, 0.9) µ = 9;σ = √ 0.9 3. X _{∼ B(100, 0.1)} µ = 10;σ = √ 9

4. X _{∼ B(100, 0.2)} µ = 20;σ = √ 16 演練 4b : 隨機變數 X 表投擲一公正骰子12回中出現6點的次數,求 X 平均值與標準差? µ = 2;σ = q 60 36 演練 4c : 已知一盒中有5顆紅球,15顆白球,今隨機從盒中抽出4個球(每回取出一顆,取後放回盒中),若X表 取得之紅球個數, 1. 求機率 P (X = 1) = ? 27 64 2. 求機率 P (0_{≤ X ≤ 3) = ?} 255 256 3. 求 X 期望值與標準差? µ = 1;σ = √ 3 2 演練 4d : 某次考試有10題五選一的單選題。 若考生甲以猜題作答,且令X 為猜對之題數, 1. 求10題完全都猜對的機率? 1 510 2. 求₁₀題完全都猜錯的機率? ( 4 5)10 3. 求 E(X) = 2 4. 求 V ar(X) = 2 5 √ 10 演練 4e : 丟一個均勻的硬幣10次,令隨機變數X 表示試驗中硬幣出現正面的次數,則這11種可能正面次數出 現的機率是否相等? 這11種可能中,哪一種正面次數機率為最高? (解:)X _{∼ B(10, 0.5),P}k = Ck10(1/2)k(1/2)10−k,Mo= [(n + 1)P ] = [5.5] = 5, P5 = 252/1024 演練 4f : 投擲一公正硬幣10次,求出現5次正面5次反面的機率? C 10 5 p5q5 = 25663 範例 5: 設生男,生女的機率均等,對有3個小孩的家庭,以隨機變數X 表男孩的個數,求X 的期望值與標準 差?

(解:)xi表第i胎是男孩隨機變數,µ = E(X = x1+ x2+ x3)i.i.d.₌ E(x1) + E(x2) + E(x3)i.i.d.₌ 3E(x1) =

1 2 × 3 =

3

2, V ar(X = x1+ x2+ x3)

i.i.d.

= V ar(x1) + V ar(x2) + V ar(x3) i.i.d. = 3V ar(x1) = 3 4,σ = √ 3 2 演練 5a : 連續投擲一公正骰子2次,以 X 表示出現點數的和,求 X 的期望值與變異數?

(解:)xi表第i次骰子點數,則µ = E(x1+x2) = E(x1)+E(x2)i.i.d.₌ 2×3.5 = 7, V ar(X)i.i.d.₌ 2V ar(x1) = 35 6 演練 5b : 同時投擲2公正硬幣及一公正骰子,若硬幣出現正面的隨機變數為1,出現反面為0,隨機變數X 表兩 硬幣出現的隨機變數與骰子出現的點數之和。 1. 求隨機變數X 的機率分配? (解:) x 1 2 3 4 5 6 7 8 px ₂₄1 ₂₄3 ₂₄4 ₂₄4 ₂₄4 ₂₄4 ₂₄3 ₂₄1 2. 求隨機變數X 的平均值 µ 及變異數 σ2=?

28 高中數學講義

二項分佈

(解:)µindependent₌ 2_×21+7₂ = 9₂;V ar(X)independent₌ V ar(X1)+V ar(X2) = 2×1₂×1₂+35₁₂ = 41₁₂

演練 5c : 觀察一醉漢走路為隨機向前一步或向後退一步,其中向前一步的機率為0.6,向後退一步的機率為0.4。 若以隨機變數Xi = 1表第 i步向前走一步, Xi =−1 表第i步向後退一步。 1. 求此醉漢每走一步,其所在位置的期望值與變異數? µx= 0.2, V ar(x) = 0.96 2. 若此醉漢走了k步後的位置,可用隨機變數Xi 的和來表示,即Y = X1+ X2+ X3+· · · + Xk ,求隨機變數Y 的期望值與變異數?

(解:)E(Y ) = E(X1+ X2+ X3+· · · + Xk)i.i.d.₌ kµx = 0.2× k, V ar(Y ) = V ar(X1+ X2+

X3+· · · + Xk)i.i.d.₌ kV ar(x) = 0.96× k 習題 I(B):1-4 二項分佈 1. 盒中有6張大小相同的卡片, 分別標示號碼 1, 2, 2, 3, 3, 3, 今從中一次取出一張, 取完查看號碼後放回, 連取三次,求連續三次都取到1的機率? 求此三次號碼總和為6的機率為何? 2. 投擲一公正硬幣3次,令 X 表出現正面次數的隨機變數,求隨機變數X 的機率分布、 期望值與標準差? 3. 投擲一公正硬幣4次_,求正面次數的機率分布、 期望值、 標準差? 4. 一推銷員向客戶推銷產品的成功率為 0.2, 若現在他連續分別向6位客戶推銷產品,問這6個人恰有4人 購買產品的機率為何? 5. 某人打靶的命中率為 1_{4 ,} 且每次打靶的結果互為獨立, 此人朝同一目標射擊5次, 求靶面恰中2發的機 率? 求擊中靶面次數不超過2次的機率? 6. 已知一箱內裝有8個燈泡,其中有2個故障,現今從箱內隨機抽取3個燈泡,求故障燈泡數目的期望值? 7. 某次測驗,試卷共有20題單選題, 每題有4個選項, 且每題都只有一個正確答案, 大明在此試卷上每題都 隨機選擇一選項作答,求大明此測驗卷答對題數的期望值與標準差?若每一題為5分,求大明此次測驗成 績的期望值? 8. 已知一盒中有8顆紅球,2顆白球, 今隨機從盒中抽出4個球 (每回取出一顆, 取後放回盒中), 若 X 表取 得之紅球個數, Y 表取得之白球個數, (a) 求X 期望值與標準差? (b) 求Y 期望值與標準差? 9. 隨機變數 X 是參數為 (15, 0.4) 的二項式分佈, 其機率分布圖如下: 選出正確選項 (1) X的期望值為6 (2) X 標準差大於4 (3) X = 6 時, 機率值最大 (4) P (x = 8) > P (x = 10) (5) P (X = 4) > P (x = 8) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415 10−4 0.02 0.06 0.12 0.18 0.21 隨機變數X 機 率 值 P (X = k ) 參數(n, p)的二項式機率分布圖

10. 如圖:一彈珠檯,從上方放入紅色彈珠, 彈珠落下撞擊到釘柱時, 會隨機向左或向右落下再撞擊到下一層 的釘柱,最後落到編號 0_{∼ 6(}由左至右) 的溝槽, 已知彈珠落下向左向右的機率相等, 則 (1). 彈珠落到 1號溝槽的機率為何? (2). 彈珠落到幾號溝槽的機率最大? (3). 若紅色彈珠全改由左側 A處注入,落 到1號溝槽的機率為何?又落到幾號溝槽的機率最大? 11. 重複丟兩枚均勻的硬幣300次, 若隨機變數 X 表示兩枚硬幣均出現正面的次數, 求 X 的期望值與標準 差? 12. 丟一個出現正面機率為 1₄ 的硬幣100次, 出現正面次數的期望值及標準差是多少? 若出現正面 k 次的 機率為 Pk 則下列選項何者為真? (1) k = 25 時 Pk 為最大值 (2) P24 > P26 (3) P24 = P26 (4) P23+ P24> P26+ P27

習題

_I(B):1-4

1. 1 216; 11 54 2. X 0 1 2 3 px 1₈ 3₈ 3₈ 1₈ , P (X = k) = C_kn(1 − p)n−kpk, 0≤ k ≤ n E(X) = 3 2,σ = r 3 4 3. X 0 1 2 3 4 px ₁₆1 ₁₆4 ₁₆6 ₁₆4 ₁₆1 , E(X) = np = 2,σ = √npq = q 41₂1₂ = 1 4. 240₅6 = 0.01536 5. P (x = 2) = 135/512, P (x _≤ 2) = 459/512

6. E(x1+x2+x2)i.i.d₌ 3E(X1) =

3_×1 4 = 3 4 7. E(X) = np = 5, σ = √_{npq =} √_{15/2; 測驗分數期望值} E(5X) = 5E(X) = 25 8a. µx = 3.2;σx = 0.8 8b. µy = 0.8;σy = 0.8 9. 1,3,4,5 10. ₃₂3;max= p3 = 20₆₄;p2 = p3= 10₃₂;₃₂5 , 2號或3號溝槽 11. E(X) = 75, σ(x) = 15₂ 12. 25, 5√32, 124

15.5

抽樣與統計推論

蒐集資料的方法依照調查研究對象是整體或部分分為普查及抽樣調查兩種。

表

_2: 普查與抽查的優缺點及適用場合 普查與抽查_: 普查 抽查 受查對象完整 節省物力, 時效性, 機動性高 優點 能取得高精確度資料 可獲既定精確度的估計量 沒有抽樣誤差 具毀損性資料只能用抽樣方法 費時費力 需完整母群體底冊 缺點 不具時效性 需高層次抽樣技術 難保證資料品質 抽樣誤差難以避免 國家基本資料 蒐集精細項目資料 適用場合 受查單位規模大, 數量小 受查單位規模小, 數量大 宜每隔幾年更新資料 適合較短週期的調查; 彌補非普查年資料

30 高中數學講義

抽樣與統計推論

母群體: 想要研究的對象所成的集合稱為母群體。 樣本: 從母群體中選取代表的子集,以對母群體作出估計和推論。 抽樣:為取得樣本之過程。 樣本資料: 抽樣所 得樣本資料數據。 隨機亂數表_{: (}見附錄) 每一數字出現次數相當且無規律的一些數字表, 作為取樣的號碼依據。 通常依指定的方法由第n列第k行 開始每數個數字一數為抽樣的一個號碼,如母群體無此號碼或已選取則取消,再往下數下一個號碼,直到 取出欲抽樣的樣本個數為止。

表

_3: 亂數表 1 5646 9713 5457 6316 2470 1589 3537 4856 2 1824 2087 3481 9008 6295 5307 0595 0085 3 5419 0063 8842 1481 3172 8368 2278 0352 4 0736 3612 2601 8314 5345 4440 3440 4501 5 7694 3558 5396 8937 1036 0913 6342 1601 6 7626 0305 3169 5995 2346 5486 5145 0254 7 4864 3515 0113 0324 8529 5772 2201 3944 8 2975 8738 7388 2520 5350 6409 0022 3944 9 2033 8160 8275 6750 1860 7253 1650 6130 10 1223 0477 2222 0176 4283 2232 1105 7285 11 3202 3377 2546 9120 4650 9945 0689 0718 12 8105 1192 1745 6676 4417 5093 4465 1858 13 6512 4221 8003 0733 3570 9837 0829 3921 14 4864 6538 2675 4880 3075 5687 6981 1414 15 2169 4985 0960 3670 2196 3202 8931 0842 16 2658 7622 0830 8030 3539 2414 9556 6458 17 7564 3005 4827 2165 1357 4997 9475 4948 18 8418 4305 1034 7271 6555 4368 7609 8109 19 8878 0963 6981 2853 1083 5982 1373 5117 20 2520 2784 5797 8428 5487 4035 3379 4822 隨機號碼表性質: 1. 表中任何一個位置,數字是0到9當中任何一個的機率都等於 1 10 2. 不同位置的數字之間互相獨立 抽樣方法: 為了提高統計分析結論的準確性。 抽樣方法的選擇:就研究目的與實際情況考量正確性、 方便性、 經濟性選擇抽樣方法。

1. 簡單隨機抽樣(Simple Random Sampling): 將母群體每一元素編號後,隨機選取 n個號碼,此n 個號碼的元素即為n 個樣本的方法。

優點: 公平客觀。

2. 分層抽樣(Stratified Sampling): 先將母體依某一標準分成幾個不重複的子母群體,稱為層。 再將 每層隨機抽得的樣本為分層隨機樣本。 (不同層的樣本資料間存有差異性) 優點: 精確度、 利於比較、 取樣方便。 缺點: 作業計算繁雜、 費時。 3. 系統抽樣(等距抽樣)(Systematic Sampling): 將母群體元素依某方式排列, 先從前面第 k個元素 選取一個元素後,再按某固定規律選取下一個元素的抽樣方法。(僅適用於母體非循環性的資訊) 優點: 作業方便、簡單。 缺點: 不適用具週期性資料。 4. 部落抽樣(Cluster Sampling): 先將母體依某一標準分成幾個兩兩不相交的子集, 稱為部落。 再從 隨機抽得幾個部落的全面性樣本為樣本稱部落隨機樣本。(部落內差異大,部落間差異性不大) 優點: 經濟省事、 簡便易行。 缺點: 若分群不當會嚴重偏差。 抽查方式: 1. 郵寄(網站) 問卷: 成本低、 姓名住址不易取得、 回收率低、 資料可靠性疑慮。 2. 電話訪問: 成本低、 限電話普及區、 如何能使受訪者願意回答問題。 3. 面訪:花費大、 實施困難、 用於重要複雜的調查。 常態分配(高斯分配) X ∼ N(µ, σ2_{): 一種常見的連續型隨機變數,其機率函數f (x) = √}1 2πσe −12( x−µ σ ) 2 圖形 為倒鐘形左右對稱的曲線, 此種機率分佈稱為常態分配或稱為高斯機率密度函數(p.d.f.) 。 若平均值為 µ, 標準差為 σ 我們記為 X ∼ N(µ, σ2₎ 自然界中, 有許多不確定現象的次數分配可以用常態分配來描述, 例如成人的身高,生物的壽命, 智力測 驗的分數,零件的壽命,測量所造成的誤差,手機電池待機時間等等。 常態分布的一些重要性質: 1. 常態分配的平均數₌中位數=眾數 2. 標準常態分布 Z _{∼ N(0, 1):} 若一常態分布, 其平均數為0, 標準差為1, 稱此常態分布 為標準常態分布。 3. X 為一常態分布, 平均數 µ, 標準差 σ , 則Z = X− µ σ 的平均數為0,標準差為1 , 稱 Z 為X 的標準化。Z ∼ N(0, 1) −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 0 0.2 0.4 0.6 0.8 f ( x ) 母體均值相同,標準差愈大的常態分配機率曲線愈矮胖,表資料愈分散 N(0, 1) N(0,₂12) N(0, 22₎ −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 0 0.1 0.2 0.3 0.4 p ( x ) 母體均值不同,標準差相同的常態分配機率曲線為平移關係 N(0, 1) N(1, 1) N(2, 1)

32 高中數學講義

抽樣與統計推論

常態分配經驗法則: (68%− 95% − 99.7%) 對於常態分配的資料,若知道樣本資料的平均數為 µ , 標準差為 σ 則 1. 大約有 68%的資料會落於區間 [µ_{− σ, µ + σ]}內。 (距離 µ一個標準差範圍內的數據,約佔68% ) 2. 大約有 95%的資料會落於區間 [µ− 2σ, µ + 2σ] 內。 (距離 µ二個標準差範圍內的數據,約佔95% ) 3. 大約有 99.7% 的資料會落於區間[µ− 3σ, µ + 3σ] 內。 (距離 µ三個標準差範圍內的數據,約佔99.7% ) x µ f (x) = √1 2πσe − 1 2( x_{− µ} σ ) 2 µ − 3σµ − 2σµ − 1σ µ + 1σµ + 2σµ + 3σ 68% µ_{± 1σ} x µ f (x) = √1 2πσe − 1 2( x_{− µ} σ ) 2 µ − 3σµ − 2σµ − 1σ µ + 1σµ + 2σµ + 3σ 95% µ± 2σ x µ f (x) = √1 2πσe − 1 2( x_{− µ} σ ) 2 µ − 3σµ − 2σµ − 1σ µ + 1σµ + 2σµ + 3σ 99.7% µ± 3σ 中央極限定理: n個樣本的平均數 X_{∼ N(µ,}√σ n) 從母體中,以簡單隨機抽出n個樣本,當樣本數 n足夠大時,這些樣本統計量會隨著不同的抽樣樣本而改 變,因此是一隨機變數,理論上這些樣本隨機變數的平均數 X 會趨近於母體平均數µ , 樣本標準差為s 應會趨近於母體標準差 σ。 樣本平均數 X 會隨著不同的樣本與不同的樣本數而變動, 故 X 也是一個隨機變數(非樣本資料隨機變 數)。 而此隨機變數(X的隨機變數) 的分布會趨近於平均數為µ 標準差為 _√σ n 的常態分布,稱為中央極 限定理。 0 1 (a) 0 1 (b) 0 1 (d) 0 1 (c) 依據中央極限定理就算母群體的分布為非常態的極端分布, 隨著樣本數增加,樣本平均值 x 分布會逐漸 接近常態分布。 圖 a. 為母體分布(單一樣本觀測值分布) 為非常態的極端右偏斜 µ = 1, σ = 1 的分布。 圖 b. 為樣本 數n = 2 , 樣本平均值x 分布。 圖c. 為樣本數n = 10 ,樣本平均值x 分布。 圖d. 為樣本數 n = 25 , 樣本平均值x 分布。隨著樣本數增加,樣本平均值x 分布會逐漸接近常態分布且標準差變小。 仔細觀察 圖中偏態分布,隨著樣本數增加,樣本平均值x 逐漸慢慢地接近常態曲線。

樣本平均數

_X

的分布

_:

從平均數為µ , 標準差為 σ 的母體隨機抽取樣本數為 n的樣本。 則樣本平均數X : 1. 當樣本數 n 較大時,X 的分布會近似於常態。 2. 抽樣樣本 _X 的平均數等於 µ 3. 抽樣樣本 _X 的標準差等於 √σ n