亞軍及最佳專題寫作作品: 缺席生的分數 捍衛戰

學校名稱：香港神託會培基書院 學生姓名：方綽瑤，許蔚瑩

級別：中五 指導教師：黃智君 引言

考試經常都會有學生因病缺席，令他們錯過了一些計分的機 會。那些缺值生分數應如何處理呢？怎樣的分數估計才對其 他學生公平呢？筆者將會帶領大家走入校園，透過因缺席下 學期考試的經歷，分享自己向老師爭取應有分數而爆發的一 場「分數捍衛戰」，並藉以探討估計缺席生成績背後的統計 學。

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「瑩瑩！因為你缺值下學期的數學科考試，所以你的分數將 會是零分！」當我聽到老師的話，立刻從夢中驚醒過來！在 下學期考試期間，我因為得了肺炎，不能回校參加數學科考 試。雖然我的病情好多了，卻很擔心自己的成績。為公平起 見，學校規定不會為缺值生安排補考。為免老師錯誤估計自 己的成績，我必須先想想分數估計的方法，然後回校向老師 問過清楚明白，誓要捍衛自己應得的分數！

表一：上學期及下學期考試分數的比較

學生 上學期考試分數 下學期考試分數

A

100 缺席

B

96 74

C

95 66

D

90 69

E

88 64

F

86 58

G

83 67

H

80 52

I

75 48

J

72 41

K

72 43

L

70 39

M

68 45

N

65 35

16

學生 上學期考試分數 下學期考試分數

O

64 37

P(筆者)

62 缺席

Q

59 18

R

55 27

平均分 76.67 48.94

標準差 13.25 15.72

方法一：以缺席生的上學期考試分數作取代

若果老師利用缺席生的上學期考試分數取代下學期考試成 績，這樣很容易就可以處理缺席生的成績，可大大減輕老師 的工作負擔。另外，這方法無需複雜的計算，所以其他師生 亦易於理解。可是，從兩次考試的平均值可見上下學期考試 的深淺程度不一，下學期考試明顯較深。在這方法下，缺值 生(如學生 A)就可以不勞而獲地得到相對較高的分數（即 100 分），這對其他考生非常不公平。由於這方法未有考慮兩次 考試的深淺之別，相信老師未必會採納這建議。我還是回校 請教黃老師，先了解學校現有的分數估計方法吧！

方法二：以上下學期的名次排序作估計

從黃老師口中得知，學校現有的方法是將所有學生上學期和 下學期的考試成績分別地由高至低排序，以缺值生上學期考 試成績的名次作為參考，在下學期考試成績的排序中找出相 同的名次，並以這個名次在下學期的分數取代缺值生的成

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績。最後，學校為保障其他學生的利益及避免考生無故缺 值，缺值生的分數會以下學期成績的上四分三位數作為上 限。

表二：上學期及下學期考試成績的名次比較

名次 上學期考試分數 下學期考試分數

1

100 (學生 A) 74

2

96 69

3

95 67

4

90 66

5

88 64

6

86 58

7

83 52

8

80 48

9

75 45

10

72 43

11

72 41

12

70 39

13

68 37 (學生 O)

14

65 35

15

64 (學生 O) 27

16

62 (筆者) 18

17

59

18

55

18

以學生 A 為例，他在上學期考試中得到第一名，可是他缺席 了下學期考試，所以老師本應以下學期第一名的分數取代他 的成績(即 74 分)，但 74 分高出下學期成績的上四分三位數 (即 65 分)，所以他最後的估計分數是 65 分。而我在上學期考 試中的名次是第十六名，所以老師會以下學期第十六名所得 的分數取代我的成績。在這分數估計方法下，我在下學期只 能得到 18 分，遠遠低於自己在上學期考試所得的 62 分。當 我得知這個估計分數時，我頓時怒火中燒，心情久久平靜不 下。我認為這個分數估計方法是極不公平，因為這個估計分 數只來自一個有相同名次的學生，未有考慮其他能力相約學 生的情況。以上學期的第十四名及第十五名為例，他們上學 期的分數(即 65 分及 64 分)與我相約，但他們下學期的分數遠 遠高於18 分！

另外，假設學生O(上學期的第十五名)在下學期也缺席考試，

那麼下學期考試成績就會缺少了第十六至十八名的數據。而 我在下學期考試缺席的情況下，便無法以下學期考試第十六 名的分數來取代我下學期考試的成績，只能以下學期考試中 最低的分數(即 18 分)來取代。在缺值生太多的情況下，能力 最弱的一批學生(即上學期的第十六至十八名）的估計分數只 能以下學期考試中最低的分數來取代，這做法極不合理！

由此可見，學校現有的分數估計方法沒有考慮到所有學生的 整體情況，而缺席生的估計分數只來自一個有相同名次的學 生，這做法未免有點以偏概全！為了捍衛自己應得的分數，

我決定和黃老師一起研究一個更公平、公正的方法來估計缺 席生的成績。

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筆者的分數估計：

1 . 11 72

. 15

94 . 48  



p

p

 31 . 49

我們能估計出學生A 下學期考試的分數為 76.61，而筆者的估 計分數為 31.49。這個方法有考慮兩次考試的深淺之別，並以 缺值生與全班平均分之相對差距作估計，所以估計的分數會 比較合理。可是，黃老師認為這個方法涉及標準差及標準分 的概念，擔心其他師生未必能理解這複雜的計算。因此，我 們決定再想一個其他師生較易明白的分數估計方法。

方法四：以「線性迴歸分析」作估計

若上下學期考試成績有關聯的話，我們不就可以使用散佈圖 (Scatter Diagram)來作進一步分析嗎？這個方法較圖像化，相 信較易令一般師生理解和接受。在散佈圖中，我們可以將上 學期考試分數設為橫軸，並將下學期考試分數設為縱軸，然 後將十六位同學的數據逐一標示在圖上。

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從以上的散佈圖可見，當上學期考試分數增加時，下學期考 試分數亦有增加的傾向。那究竟它們之間有甚麼特別關係呢?

黃老師指出在統計學上，兩者的關係稱為「正相關」，我們 更可以利用一個具體的數值來客觀準確地表達兩者的關係，

而那就是相關係數(correlation coefficient)。其實，相關係數是 一個可以用作表示二個變數之間的關聯性的數值，而計算方 法就加下:

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要找出圖中的迴歸線，使用直線方程 便可。當

中 代表直線的斜率(slope)，而 c 則代表直線的緃軸截距(y-intercept) 。

  

 

²

 





 

x x

y y x m x

i i i

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總結

這埸「分數捍衛戰」不但使我得到較公平、合理的估計分 數，老師更讚賞我對解決難題的執著和熱誠。通過探討不同 的分數估計方法，我明白到缺失數據的處理方法及相關的統 計概念。其實，以上的四個方法都各有利弊(詳細列表比較請 參閱附件二)，而且缺值生所得的分數只是一個估計值，並不 能反映他們在下學期的進步或退步。學校只可因應不同情況 作出分數估計，但這只算是一種補救方法。若要知道自己的 真正實力，我還是養好身體、努力讀書，與其他同學在下次 考試來個真實的比拚吧！

(2485 字)

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附件一：相關係數的計算

學生 上學期考 試分數

下學期考 試分數

離均差 離均差平方 離均差乘交積

( ̅ ( ̅ ̅

A 100 缺席

B 96 74 19.88 25.06 395.02 628.13 498.12 C 95 66 18.88 17.06 356.27 291.13 322.05 D 90 69 13.88 20.06 192.52 402.50 278.37 E 88 64 11.88 15.06 141.02 226.88 178.87 F 86 58 9.88 9.06 97.52 82.13 89.49 G 83 67 6.88 18.06 47.27 326.25 124.18 H 80 52 3.88 3.06 15.02 9.38 11.87

I 75 48 -1.13 -0.94 1.27 0.88 1.05 J 72 41 -4.13 -7.94 17.02 63.00 32.74

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附件二：各種分數估計方法的比較

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參考資料：

1. 高橋信(2010)。世界第一簡單統計學 迴歸分析篇。世 茂出版有限公司。

2. 今野紀雄(2010)。3 小時讀通統計(漫畫版)。祥新印刷事 業有限公司。

3. 2011/12 中學生統計創意寫作比賽作品集。課程發展處 數學教育組(教育局)。

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在文檔中 作品集 (頁 23-39)