學校名稱︰東華三院吳祥川紀念中學 學生姓名︰莫子聰
級別︰中五 指導老師︰劉漢昌 引言
在很多統計調查中，受訪者要向訪問員回答一些敏感或令 人尷尬的問題。究竟這些調查是怎樣進行呢？如何令受訪 者誠實回答？本人透過一個虛構的故事來解釋一個特別的 統計的技巧。
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香城最近出現「打假波事件」（打假波是指於球類運動中利 用不同形式作弊的行為）。早前，一隊球隊於足球比賽中連 輸數場 (其中一場涉及故意的擺烏龍入球)，現處於聯賽榜 榜尾。該球隊部份球員被懷疑涉嫌打假波，須接受廉潔公 署調查。
香城足球總會（下稱足總）的高層為打假波一事連日開 會，尋求對策。以下是他們開會的情況。與會者包括黃主 席、陳秘書、李幹事和張主任。
黃主席︰「一個月前香城康體局局長要我們徹查本地足球 員打假波的情況。陳秘書，調查的進展如何？」
陳秘書︰「三星期前，我們將問卷放到所有香城足球隊員 的儲物櫃中。所有問卷都是不記名的。問卷的目的是要受 訪者回答有沒有參與打假波。受訪者填寫問卷後只須用附 上的回郵信封寄回我們的郵政信箱就可以。主席，這是我 們收回問卷的結果。」
黃主席閱畢問卷結果，輕嘆一聲:「你們自己看看問卷調查 結果吧。」
組別 總人數 回應數量 回應率
甲組 5310 477 8.98%
乙組 3650 285 7.81%
丙組 1610 64 3.98%
全體球員 10570 833 7.88%
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李幹事看過後，說：「全體球員問卷的回應率只有 7.88%，
難怪主席你會愁眉苦臉。」
黃主席︰「由於回覆這些問卷屬自願性質，所以回應率很 低。」
李幹事︰「不如我們派統計員直接訪問球員。我相信這樣 有助提升回應率。」
陳秘書︰「我相信如果直接向球員查詢，大部份受訪者都 會拒絕回答。受訪者就算曾經打假波，都會回答「沒有」。
沒有球員會在別人面前承認自己曾打假波。這樣，調查的 準確度會受到影響。」
這時，財務總監張主任氣喘吁吁地走進會議室，上氣不接 下 氣 地 說 ：「 對 不 起 ， 今 天 因 為 塞 車 遲 到 ， 你 們 談 到 那 裡？」李幹事把剛才關於向球員調查打假波的討論告訴張 主任，並說︰「這真是一個兩難的局面。」
黃主席說：「張主任，你好像在大學時期曾經修讀過統計和 概率。對於這個問題，你有甚麼對策？」
張主任聽完後，說：「對於這個困難，我們可以採用「隨機 化回答。」利用「隨機化回答」，受訪者會覺得他們的私隱 受到保障，而我們可從訪問中獲取數據。」黃主席及其他 與會者聽到後，都異口同聲說︰「甚麼是隨機化回答？」
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張主任回答：「讓我解釋一下吧。首先，我們在問卷中要設 有以下兩條問題︰
問題 A︰ 你曾參與打假波活動。
請回答「是」或「不是」。 問題 B︰ 你未曾參與任何打假波活動。
請回答「是」或「不是」。
李幹事︰「張主任，這兩條問題十分相似。請問有何作 用？」
張主任︰「等我繼續解釋。隨機化回答的設計，是要受訪 者根據一個隨機結果而回答問題 A 或問題 B。由於訪問員 不知道受訪者回答那一條問題，受訪者會較放心回答問 題。」
陳秘書︰「當受訪者回答「是」時，可代表他曾參與過打 假波活動，亦可代表他未曾參與過任何打假波活動，對 嗎？」
張主任︰「正確。我用以下的樹形圖解釋一下吧。
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如果用 “P(是)” 代表受訪者回答「是」的概率，則有
P (是) = P (是|抽中問題 A) P(抽中問題 A) +
P (是|抽中問題 B) P(抽中問題 B)
假設我們訪問了 N 個球員，當中 n 個回答「是」，而曾參 與打假波的球員佔全體球員的比是 p，那麼我們有
N
n
p P(抽中問題 A) +( 1
p)
P(抽中問題 B)李幹事︰「我們的訪問員可以知道抽中問題 A 和抽中問題 B 的概率嗎？」
張主任︰「可以的。我們只須寫一個隨機數產生程式，該 程式能產生 1 至 100 的整數 (包括首尾兩個數)。若受訪 者產生的是 4 的倍數，則回答問題 A，否則回答問題 B。
是
抽中問
抽中問
不是 是
不是
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張主任︰「我們可選取 1000 人做訪問。香城甲組、乙組 和丙組的球員的人數大概是 10: 7 : 3 。根據這個比，我們 可從甲組、乙組和丙組隨機選取 500 、350 和 150 人做 訪問。這樣做的好處除了省時外，亦可了解不同組別球員 打假波的行為。」
一星期後，足總完成調查工作。足總高層再次開會檢視統 計結果。
陳秘書︰「主席，這是今次訪問的結果。」
黃主席︰「看來香城球員「打假波」的情況頗普遍，尤其 是丙組球員，有達兩成球員曾打假波。李幹事，你給我了 解一下情況。」再次調查後，黃主席發現丙組球員「打假 波」的主要原因是球員薪酬偏低。於是，足總高層開始研 究提升球員薪酬來解決「打假波」這問題。
(字數︰1952) 組別 訪問人數 (N) 回答「是」的人數 (n) 曾打假波的概率 (p)
甲組 500 363 0.048
乙組 350 249 0.077
丙組 150 95 0.233
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參考資料︰
1. 隨機化回答︰
http://en.wikipedia.org/wiki/Randomized_response
2. 傑出統計師的三十四年數字人生:
http://www.csb.gov.hk/hkgcsb/csn/csn72/72/c/persioners_1a.html
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