3-3 圓心在哪裡？
•Ⅱ. 分享/質疑
•梁老師說:「這一次的標題是什麼?」
•大家一起回答:「一題多解」
•梁老師再說:「好了，若有想到其它方
式，也一一說出來，與大家分享分
•請No____作者___________回答: (疑點如下)
• 重覆，你的方法與No____相同，再想一個方式 吧!
• 不清楚的地方如下:
• 不可行的地方如下:
3-4 圓心在哪裡？
3-5 圓心在哪裡？
•J 配配看，他們的作法為何?(將1~6和A~F配對)
•1.兩條弦的中垂線交點
•2.圓的重心就是圓心
•3.圖中三角形的外心(即三中垂線的交點)
•4.用尺求圓的直徑，再求直徑交點即是圓心
•5.圖中直角斜邊中點
•6.圓外一點兩條切線的中垂線
四、 數學變簡單
長條圖
•簡易化的教學
•在長條圖的製作常帶來「時間不夠用」的困擾，
老師反應同學在著色及量長短畫到打下課鐘都還 沒做完。
圓餅圖
•簡易化的教學
•製作圓餅圖的時候資料如下：
顏色 人數 角度
藍 13 130∘
黃 11 110∘
綠 11 110∘
紅 2 20∘
36 360∘
藍 35%
黃 30%
綠 30%
紅
5% 人數
圓餅圖
•簡易化的教學
•在不整除的情況下仍簡易的製作圓餅圖。
4-1 彈珠有幾顆？
4-2 彈珠有幾顆？
•找一班小朋友算彈珠，算完了問小朋友「還有別 的方法嗎?」請大家想多種方法
4-3 彈珠有幾顆？
• 各種解題策略
• 1. 計數法:
• (1.)圈著數 (2.)斜著數 (3.)沿著數
• 2. 組合法
• (1.) 五個一數 (2.)四個一數 (3.)不規則組合
五、其它例子
第一題:花片
紅、黃、白、綠、藍花片各一個
請用下列提示擺放花片
Step1:紅色在黃色下面
Step2:藍色在白色之上紅色之下
5-1 花片、撲克牌、配衣服
第二題 :擺撲克牌
A
10
Q
J K
5-2 花片、撲克牌、配衣服
J在Q之右 K在A之右
Q在10和A之間 10在Q的左邊
請用下列提示擺撲克牌
第三題:穿衣服
• 佳娟、淵智、嘉皇、敏智4人穿不同組合的衣 服(如下圖5組服裝)。
• 1. 2. 3. 4. 5.
5-3 花片、撲克牌、配衣服
請用下列提示去配衣服
• ＊ 橘色褲子是佳娟和敏智的最愛。
•＊ 嘉皇在藍色、橘色褲子中會選橘色。
•＊ 淵智喜歡穿綠色上衣，嘉皇則不喜歡。
•＊ 佳娟不愛綠色或黃色上衣。
•＊ 敏智不愛藍色或綠色上衣。
5-3 花片、撲克牌、配衣服
壹、什麼是擬題？
• 「自己想出一個數學題目來」就是擬題，
• 這裡指的擬題，非佈題非命題。
• 擬題行為可能含有下列的特徵：
• 1.組織的方法是屬個人的(idiosyncratic)；
• 2.當中包括猜想及可信推理(plausible reasoning)；
• 3.可以發生在解題前，解題中，以及解題後(before, during, and after problem solving)，
• 4.擬題者寫出的題目較課本題目「粗糙的」(primitive) ；
六、數學題 DIY
6-1 擬題、佈題、命題（Problem Posing）
(一)、個人化--e.g. 正方形
• 第一組
• 1.正方形的邊長多少？對邊是否平行？
• 2.每一個角度是多少？四個角度加起來共多少度？
• 3.若邊長5公分，求面積、求周長。
• 4.正方形內的對角線共有多少條？其長度一樣嗎？
• 第二組
• 1.用正方形的紙來摺，可以摺出什麼圖形呢？
• 2.若有一疊正方形的紙，可以砌出什麼圖案呢？
• 3.我們家裡的用品，那一些是像正方形的呢？
• 4.注音符號的ㄇ、ㄈ、ㄩ，像不像正方形？為什麼？
• 從以上兩組題目，可以看到不同的「個人」看法。
貳、擬題活動類型與結構
• Reitman (1965)提及四種題目結構：
已知(Given) 目標(Goal)
1. ˅ ˅
2. ˅ ×
3. × ˅
4. × ×
參、數學內容與情境安排
(一)、已有數學部份而欠故事內容
日本學者古藤伶(1986): 5+3=8
• 「改變」型
• 「有5人在操場玩，又來3人，所以變成8人」
「併加」型
• 「紅花5朵和白花3朵共有多少朵花？」
• 排先後
• 「一郎排在第5位，一郎後３位是二郎，問二郎 排在第幾位？」
• 加法反運算
• 「操場上走了3人還有5人，操場上原有幾個 人？」
(一)、已有數學部份而欠故事內容
• 美國學者Kilpatrick (1987)
• 晒衣服的鐵架所用的鐵線網製造接口需用鐵絲;
• 英國學者Greer (1991)（如3+5=8），學生可以問及繩子5
公尺長再結上另一3公尺長的繩子共多長
• 美國學者Silver(1993)
• 540÷40的直式計算餘數為20
• 只顧數學部份的題目，「農夫丁種540個南瓜，若每行種
(二)、已有情境安排而欠缺數學部份
（圖片）
•在「十五枝火柴」實驗中(附火柴圖)
•學員看出「正方形」數目和「火柴枝」數目的 關係，問及「若果排出30個整正方形，要用多 少枝火柴呢？」
•學員會在圖中加兩點，「甲」和「乙」
•再問「若一個人從甲點走到乙點共有多少路線 可走呢？」
(二)、已有情境安排而欠缺數學部份
（文句）
• 在「游泳池」實驗中，研究者所附的文字描述泳池有注水 管、排水管，以及要定時清洗。
• 學員會自己附加資料擬出算術題如「若泳池有6000立方公 尺的水而排水速度是每分鐘20立方公尺，則要多久才可把 一滿池的水排完？」
• 學員也許會自己附加故事內容說「若泳池不受鄰里歡迎而
肆、擬題和解題的關係
• Polya的四階段說明於右邊 兩個圖(1945)
• 如圖所表示，擬題取代了
「理解」階段，而「回想」
階段可再擬出其他題目來，
若有動機去解再次擬出的題 目，則要再次策劃及實行了。
解別人擬的題目 1. 理解
( Under s t and) 2. 策劃
( Pl an) 3. 實行
( Car r y Out ) 4. 回想
( Look Back)
( Pl an) ( Look Back)
( Pos e)擬題
策劃 回想
實行
解自己擬的題目