利用代入消去法解二元一次聯立方程式
...
1 5
3
...
7 3
2
y x
y x
解解 由式得： x ＝ ……
將式代入式得：
3 （ ）－ 5y ＝ 1 3 （ 7 － 3y ）－ 10y ＝ 2
21 － 9y － 10y ＝ 2
－ 19y ＝－ 19 y ＝ 1
23 7 y
23 7 y
2x ＋ 3y ＝ 7 ﹐
2x ＝ 7 － 3y
，
x ＝
23 7 y 利用等量公理，將等 號兩邊同乘以 2 ，可 去掉式子中的分母。
將 y ＝ 1 代入式得：
x ＝
＝ ＝ 2 23 1
7 24
驗算：
將 x ＝ 2 ， y ＝ 1
代入式得： 4 ＋ 3 ＝ 7 ，等號成立
；
代入式得： 6 － 5 ＝ 1 ，等號成立
。
因此解為 x ＝ 2 ， y ＝ 1 。
題目複雜，驗算就更重要。
利用代入消去法解下列二元一次聯立方程式：
接著學習另一種解聯立方程式的方法
，我們先以下面的聯立方程式為例，說明這個方 法的步驟：
...
9 3
5
...
33 3
2
y x
y x
首先觀察、兩式，發現＋ 3y 與－ 3y 互為相 反數，若將兩式等號左邊的式子相加，未知數 y 就會消掉，因此式＋式可得：
2x ＋ 3y ＝ 33 5x － 3y ＝ 9
＋
)
7x ＝ 42 x ＝ 6 2x ＋ 5x ＝ 7x
要求 y 值，只要將 x ＝ 6 代入式或式即 可。
將 x ＝ 6 代入式得：
2×6 ＋ 3y ＝ 33 12 ＋ 3y ＝ 33 3y ＝ 21 y ＝ 7
兩式相加指的是將兩式等號左邊 相加，右邊也相加。兩式相減也 是一樣的。
驗算：
將 x ＝ 6 ， y ＝ 7
代入式得： 12 ＋ 21 ＝ 33 ，等號成立；
代入式得： 30 － 21 ＝ 9 ，等號成立。
因此解為 x ＝ 6 ， y ＝ 7 。
上面的解題過程，是利用兩式相加消 去了一個未知數，當然利用兩式相減也可以，我 們接著看後面的例題。
7 兩式加減求解
將 y ＝－ 1 代入式得：
2x ＋ 3× （－ 1 ）＝－ 7 2x ＝－ 4
x ＝－ 2
驗算：
將 x ＝－ 2 ， y ＝－ 1
代入式得： 2× （－ 2 ）＋ 3× （－ 1 ）＝－
7 ，
等號成立；
代入式得： 2× （－ 2 ）＋ 5× （－ 1 ）＝－
9 ，
等號成立。
因此解為 x ＝－ 2 ， y ＝－ 1 。
利用式子的相加或相減，消去一種未知數的解 題方法，稱為加減消去法。
利用加減消去法解下列二元一次聯立方程式：
當聯立方程式無法透過直接相加或相 減來消去其中一個未知數時，就要先利用等量公 理來調整，如下例。
8 加減消去法 ( 單乘型 )
利用加減消去法解二元一次聯立方程式
...
11 2
...
23 4
3
y x
y x
解一解一 消去 x
式 × 3 得： 3x － 6y ＝ 33……
式－ 式可得：
3x ＋ 4y ＝ 23 3x － 6y ＝ 33
－
)
4y － ( － 6y) ＝ 10y 10y ＝ － 1 0
y ＝ － 1
式 ×3 才能使兩式的
「 3x 」經由相減消去
。
將 y ＝－ 1 代入式得
：
x － 2× （－ 1 ）＝ 11 x ＋ 2 ＝ 11 x ＝ 9
因此解為 x ＝ 9 ， y ＝
－ 1 。
解二解二 消去 y
式 ×2 得： 2x － 4y ＝ 22……
式＋式可得：
3x ＋ 4y ＝ 23 2x － 4y ＝ 22
＋
)
3x ＋ 2x ＝ 5x 5x ＝ 4 5
x ＝ 9
「＋ 4y 」和「－ 4y 」 要相加才能消掉。
將 x ＝ 9 代入式得：
9 － 2y ＝ 11
－ 2y ＝ 2 y ＝－ 1
因此解為 x ＝ 9 ， y ＝
－ 1 。
利用加減消去法解下列二元一次聯立方程式：
9 加減消去法 ( 雙乘型 )
利用加減消去法解二元一次聯立方程式
...
1 5
3
...
7 3
2
y x
y x
解一解一 消去 x
將 y ＝ 1 代入式得：
2x ＋ 3 ＝ 7 2x ＝ 4 x ＝ 2
因此解為 x ＝ 2 ， y ＝ 1 。
解二解二 消去 y
將 x ＝ 2 代入式得：
2×2 ＋ 3y ＝ 7 3y ＝ 3 y ＝ 1
因此解為 x ＝ 2 ， y ＝ 1 。
比較第 29 頁例題 6 與第 33 頁例題 9 ，你 會喜
歡哪一種方法呢？
利用加減消去法解下列二元一次聯立方程式：
利用加減消去法解下列二元一次聯立方程式：
有些聯立方程式需先經過移項、化簡後，才 方便使用加減消去法。
10 加減消去法 ( 須移項 )
利用加減消去法解二元一次聯立方程式
...
3 20
4
...
2 12
3
y x
y x
解解 由式可得： 3x ＋ 2y ＝ 12…….
由式可得： 4x ＋ 3y ＝ 20…….
式 ×3 得： 9x ＋ 6y ＝ 36………⑤
式 ×2 得： 8x ＋ 6y ＝ 40………⑥
⑤ 式－⑥式可得：
都化成
「 6y 」
9x ＋ 6y ＝ 36 8x ＋ 6y ＝ 40
－
)
x ＝－ 4
利用移項將兩式 的 x 、 y 及 等 號整理對齊。
將 x ＝－ 4 代入式得：
3× （－ 4 ）＋ 2y ＝ 12 2y ＝ 24 y ＝ 12
因此解為 x ＝－ 4 ， y ＝ 12
。
例題 10 的解法若如下面所列的方式對齊與 調整︰
3x ＝ 12 － 2y……. 4x ＝ 20 － 3y…….
式 ×3 得： 9x ＝ 36 － 6y……
式 ×2 得： 8x ＝ 40 － 6y……
是否也可以由式減⑤式求得 x 的值呢？
是（式－⑤式得 x ＝－ 4 ）
利用加減消去法解下列二元一次聯立方程式：
11 加減消去法 ( 須化簡 )
將 x ＝ 1 代入式得：
3×1 ＋ y ＝ 8 y ＝ 5
因此解為 x ＝ 1 ， y ＝ 5 。
解下列二元一次聯立方程式：
12 加減消去法 ( 分數型 ) 解二元一次聯立方程式
...
16 3
...
2 1 1 3
1
y x
y x
式 ×6 得： 2x － 3y ＝ 6……..
將 x ＝ 6 代入式得：
3×6 － y ＝ 16 18 － y ＝ 16
－ y ＝－ 2 y ＝ 2
因此解為 x ＝ 6 ， y ＝ 2 。
解下列二元一次聯立方程式：
13 無限多解的聯立方程式 解二元一次聯立方程式
...
6 2
4
...
3 2
y x
y x
解解 式 ×2 得： 4x － 2y ＝ 6 ，與式相同，也 就是說，任何一組使得式成立的 x 值、 y 值，也都能使式成立，又因為二元一次方 程式有無限多組解，所以此聯立方程式有無 限多組解。
亦可寫成：
式 ×2 得： 4x － 2y ＝ 6 ，與式相同，
所以此聯立方程式的解與 4x － 2y ＝ 6 的解 相同，有無限多組解
14 無解的聯立方程式 解二元一次聯立方程式
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5 3
3
...
2 y x
y x
解解 式 ×3 得： 3x ＋ 3y ＝ 6……. ，比較式 和式，發現 3x ＋ 3y 的值等於 5 又等於 6 ，這是不合理的，也就是說，
沒有一組使得式成立的 x 值、 y 值，也能 使式成立，所以此聯立方程式無解。
亦可寫成：
式 ×3 得： 3x ＋ 3y ＝ 6……
…..
式－式得： 0 ＝ 1 ，不合理
，
所以此聯立方程式無解。
解下列二元一次聯立方程式：
1. 二元一次聯立方程式：兩個同時成立且並列 在
一起的二元一次方程式稱為二元一次聯立方 程
式。同時滿足聯立方程式中兩個方程式的 x 、
y 值，稱為該聯立方程式的解。
（ x 、 y 僅代表不同的未知數，亦可為其他文 字
符號）