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根據一個問題的敘述,有時可同時列出兩 個二元一次方程式,例如: 已知

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全文

(1)

二元一次聯立方程式 代入消去法

自我評量

加減消去法

(2)

  根據一個問題的敘述,有時可同時列出兩 個二元一次方程式,例如:

已知 10 元與 5 元兩種硬幣共 7 枚

,總共有 60 元。若要求硬幣的個數,可設 10

元硬幣有 x 枚, 5 元硬幣有 y 枚,則:

(3)

由「兩種硬幣共 7 枚」,可列得方程式 x + y

= 7 ;

由「兩種硬幣共 60 元」,可列得方程式 10x + 5y = 60 。

因為這兩個二元一次方程式,同時用來表示問題 中的數量關係,所以把這兩個方程式並列寫成

像這樣並列在一起的二元一次方程式稱為二元一 次聯立方程式。

60 5

10

7

y x

y x

(4)

根據下列各問題,列出方程式︰

(1) 某餐廳 A 餐的價格是 x 元, B 餐的價 格是 y 元。星光幫點了 1 份 A 餐及 3 份 B 餐,共花了 426 元;超偶幫點了 2 份 A 餐及 2 份 B 餐,共花了 416 元

(5)

(1) 由「星光幫花了 426 元」,可列得方程式:

_____________________________________ 。 由「超偶幫花了 416 元」,可列得方程式

_____________________________________ 。 因此可列得二元一次聯立方程式:

_____________________________________ 。

x + 3y = 426

2x + 2y = 416

416 2

2

426 3

y x

y x

(6)

(2) 童軍課分組,柯西的小組一共有 8 人,其

中男生 x 人,女生 y 人,且女生人數是

男生人數的 3 倍。

(7)

(2) 由「小組一共有 8 人」,可列得方程式:

____________________________________ 。 由「女生人數是男生人數的 3 倍」,可

列得

方程式: ___________________________

_ 。

因此可列得二元一次聯立方程式:

____________________________________ 。

x + y = 8

y = 3x

x y

y x

3

8

(8)

當二元一次聯立方程式中的未知數(如 x

與 y ),以一組特定的值代入,可使得兩個式子

的等號均成立時,便稱該組 x 、 y 的值為此聯

立方程式的解。

(9)

1

解的檢驗

下列哪一組 x 、 y 是二元一次聯立方程式 的解?

....

60 5

10

. ...

7

y x

y x

(1)x = 5 , y = 2(2)x = 6 , y = 0(3) x = 2 , y = 5

(10)

解解

(1) 當 x = 5 , y = 2 :

代入式得:左式= x +

y =

5 + 2 = 7 =右式 代入式得:

左式= 10x + 5y = 10×5

+ 5×2

= 50 + 10 = 60 =右式 所以 x = 5 , y = 2 為 此聯立方

程式的解。

為了說明方便,我們常將聯 立方程式中的式子編號。

(11)

(2) 當 x = 6 , y = 0 :

代入式得:左式= x + y = 6 + 0 = 6≠

右式

所以 x = 6 , y = 0 不是此聯立方程式 的解。

(3) 當 x = 2 , y = 5 :

代入式得:左式= x + y = 2 + 5 = 7

=右式

代入式得:左式= 10x + 5y = 10×2 + 5×5 =

20 + 25 = 45≠ 右式

所以 x = 2 , y = 5 不是此聯立方程式

的解。

(12)

1. 下列哪一組 x 、 y 是二元一次聯立方程式

的解?

3 13 3

y x

y x

(1) x = 3 , y = 4   (2) x =- 5 , y = 2   (3) x = 4 , y = 1

(3)

(13)

5

13 3

2

y x

y x

2. x = 2 , y = 3 是下列哪一組二元一次聯立方 程式

的解?

(1)

8 2

9 3

y x

y

(2)

x

11 3

19 5

2

y x

y

(3)

x

(1)

(14)

我們已經知道,可用代入的方式來檢 驗二元一次聯立方程式的解,但是要如何求得解 呢?接著以下面的二元一次聯立方程式來介紹一 個常用的方法。

例如︰解二元一次聯立方程式

....

30 ...

2

y x

x y

為了方便, 我們 分

三個步驟來說明。

(15)

步驟一:由式可知 y = 2x

因此式 x + y = 30

可取代為 x +

2x

= 30

3x = 3 0

x = 1

0

消去未知數 y ,使第式變為 x 的

一元一次方程式,就可以求得 x 的

值。

(16)

最後驗算解是否正確:

將 x = 10 , y = 20

代入式得: 20 = 2×10 ,等號成立

代入式得: 10 + 20 = 30 ,等號成立

因此 x = 10 , y = 20 為二元一次聯 立方程式 的解。

....

30 ...

2

y x

x y

步驟二:要求

y 值,只要再將 x = 10 代入

式即可,所以

y = 2x = 2×10 = 20

步驟三:

(17)

利用取代的方式,消去一種未知數的解題方法,

稱為代入消去法。

(18)

在上述的步驟中,若將求得的 x = 10 代入

式,是否也可求得

y = 20 ?

(19)

步驟三的驗算是為了檢查答案是否正

確,如同之前解一元一次方程式一樣,只要自行

檢驗即可,不一定要將檢驗的過程寫出來。求二

元一次聯立方程式解的過程稱為解聯立方程式。

(20)

2

代入消去法 ( 直接型 )

利用代入消去法解二元一次聯立方程式

....

12 2

...

1 2

y x

x y

(21)

解解

將式 y = 2x + 1 代入式得

x + 2 ( 2x + 1 )= 12 x + 4x + 2 = 12

5x = 10

x = 2

由式可知 y 可被 2x + 1 取代

因此式 x + 2y = 12 可取代為

x + 2 ( 2x + 1

)= 12

同時也要注意括號的使用。

(22)

將 x = 2 代入式得

y = 2x + 1

= 2×2 + 1 = 5

驗算:

將 x = 2 , y = 5

代入式得: 5 = 2×2 + 1 ,等號成立

代入式得: 2 + 2×5 = 12 ,等號成 立。

因此解為 x = 2 , y = 5 。

驗算可以不必寫 出來。

(23)

利用代入消去法解下列二元一次聯立方程式:

(1)

1 6

3

3

x y

x

y

(2)

6 2

0 2

x y

y x

x = , y

= 1 1 3

x = 4 , y =

2

(24)

前面的例題都是利用 y 被 x 的一次

式所取代來解題,當然在解題時, x 也可被 y

的一次式所取代。

(25)

利用代入消去法解下列二元一次聯立方程式:

(1)

y x

y x

2

12

4 (2)

0 3

2

5 2

y x

y x

x =- 15 , y =-

10

x = 4 , y =

2

(26)

3

代入消去法 ( 直接移項 )

利用代入消去法解二元一次聯立方程式

....

1 3

2

...

3

y x

y x

(27)

解一解一

用 x 的一次式取代 y

由式得: y = 3 - x …….

將式代入式得:

2x - 3 ( 3 - x )= 1 2x - 9 + 3x = 1 5x = 10

x = 2

式是由移項法則所得到的,

為了方便表示,我們給予編號。

(28)

將 x = 2 代入式得

y = 3 - x

= 3 - 2 = 1

因此解為 x = 2 , y =

1 。 也可將 x = 2 代入式或式,

不過,代入式較直接。

(29)

解二解二

用 y 的一次式取代 x

由式得: x = 3 - y……..  將式代入式得:

2 ( 3 - y )- 3y = 1 6 - 2y - 3y = 1

5y =- 5

y = 1

(30)

將 y = 1 代入式得:

x = 3 - y

= 3 - 1 = 2

因此解為 x = 2 , y = 1 。

(31)

4

代入消去法 ( 限制移項 )

利用代入消去法解二元一次聯立方程式

....

22 5

3

...

3 2

b a

b a

(32)

解解

由式得: b = 3 - 2a…...

將式代入式得:

3a + 5 ( 3 - 2a )= 22 3a + 15 - 10a = 22

- 7a

= 7

a =- 1

式的 b 留 在等號的左邊。

(33)

將 a =- 1 代入式得:

b = 3 - 2a

= 3 - 2× (- 1 ) = 3 + 2

= 5

因此解為 a =- 1 , b = 5 。

(34)

5

代入消去法 ( 直接型

)

利用代入消去法解二元一次聯立方程式

..

...

9 4

...

18 3

4

y x

y x

(35)

解解

將式 4x = 9y 代入式得

9y - 3y = 18

6y = 18 , y = 3 將 y = 3 代入式得:

4x = 9×3 = 27 , x =

因此解為 x = , y = 3

27 4 27 4

 式的 4x 可直接

用 9y 來取代。

(36)

利用代入消去法解下列二元一次聯立方程式:

(1)

1 4

2 2

y x

y

x

(2)

3 2

1 3

2

y x

y x

x = 1 , y

= 1

x = 1 , y =

0

(37)

利用代入消去法解下列二元一次聯立方程式:

(3)

9 2

3

1 2

n m

n

m

(4)

2 3

4

3 2

b a

b a

m =- 1 , n

= 3

a = 1 , b

= 3 2

(38)

前面的例題與隨堂練習,都能明顯的 挑選出一個式子,只要作加減移項甚至不須移 項,就能做未知數的取代。但有些聯立方程式

,還須利用乘除的等量公理才行,解這種聯立

方程式就複雜一些。

(39)

6

代入消去法 ( 乘除型 )

利用代入消去法解二元一次聯立方程式

...

1 5

3

...

7 3

2

y x

y x

(40)

解解

由式得: x = ……

將式代入式得:

3 ( )- 5y = 1 3 ( 7 - 3y )- 10y = 2

21 - 9y - 10y = 2

- 19y =- 19

y = 1

2 3 7 

y

2 3 7 

y

2x + 3y = 7

2x = 7 - 3y

x =

2 3

7 

y

利用等量公理,將等

號兩邊同乘以 2 ,可

去掉式子中的分母。

(41)

將 y = 1 代入式得:

x =

= = 2 2 3 1

7   2 4

驗算:

將 x = 2 , y = 1

代入式得: 4 + 3 = 7 ,等號成立

代入式得: 6 - 5 = 1 ,等號成立

因此解為 x = 2 , y = 1 。

題目複雜,驗算就更重要。

(42)

利用代入消去法解下列二元一次聯立方程式:

(1)

1 5

3

3 4

2

y x

y

x

(2)

27 3

2

19 4

3

y x

y x

x = 3 , y

= 7

x = , y =

1 2

1 2

(43)

接著學習另一種解聯立方程式的方法

,我們先以下面的聯立方程式為例,說明這個方 法的步驟:

...

9 3

5

...

33 3

2

y x

y x

(44)

首先觀察 、兩式,發現

+ 3y 與- 3y 互為相

反數,若將兩式等號左邊的式子相加,未知數 y 就會消掉,因此式+式可得:

2x

+ 3y = 33

5x

- 3y = 9

+ )

7x = 42

x = 6

2x + 5x = 7x

(45)

要求 y 值,只要將 x = 6 代入式或式即 可。

將 x = 6 代入式得:

2×6 + 3y = 33 12 + 3y = 33 3y = 21

y = 7

兩式相加指的是將兩式等號左邊 相加,右邊也相加。兩式相減也 是一樣的

(46)

驗算:

將 x = 6 , y = 7

代入式得: 12 + 21 = 33 ,等號成立;

代入式得: 30 - 21 = 9 ,等號成立。

因此解為 x = 6 , y = 7 。

上面的解題過程,是利用兩式相加消

去了一個未知數,當然利用兩式相減也可以,我

們接著看後面的例題。

(47)

7

兩式加減求解 解二元一次聯立方程式

...

9 5

2

...

7 3

2

y x

y x

解解

由式-式可得:

2x + 3y =- 7 2x + 5y =- 9

- )

3y - 5y =- 2y - 2y = 2

y = -

1

首先觀察

兩式,發現若將 兩式等號左邊的 式子相減,未知 數 x 就 會 消 掉

(48)

將 y =- 1 代入式得:

2x + 3× (- 1 )=- 7 2x =- 4

x =- 2

(49)

驗算:

將 x =- 2 , y =- 1

代入式得: 2× (- 2 )+ 3× (- 1 )=-

7 ,

等號成立;

代入式得: 2× (- 2 )+ 5× (- 1 )=-

9 ,

等號成立。

因此解為 x =- 2 , y =- 1 。

利用式子的相加或相減,消去一種未知數的解

題方法,稱為加減消去法。

(50)

利用加減消去法解下列二元一次聯立方程式:

(1)

9 3

1

y x

y

x

(2)

0 2

2 3

b a

b a

a = 2 , b =

4

x =- 2 , y

= 3

(51)

當聯立方程式無法透過直接相加或相

減來消去其中一個未知數時,就要先利用等量公

理來調整,如下例。

(52)

8

加減消去法 ( 單乘型 )

利用加減消去法解二元一次聯立方程式



...

11 2

...

23 4

3

y x

y x

(53)

解一解一

消去 x

 式 × 3 得: 3x - 6y = 33……

 式- 式可得:

3x + 4y = 23 3x - 6y = 33

- )

4y - ( - 6y) = 10y 10y = - 1 0

y = -

1

 式 ×3 才能使兩式的

「 3x 」經由相減消去

(54)

將 y =- 1 代入式得

x - 2× (- 1 )= 11 x + 2 = 11 x = 9

因此解為 x = 9 , y =

- 1 。

(55)

解二解二

消去 y

 式 ×2 得: 2x - 4y = 22……

 式+式可得:

3x

+ 4y = 23

2x

- 4y = 22

+ )

3x + 2x = 5x 5x = 4 5

x = 9

「+ 4y 」和「- 4y 」

要相加才能消掉。

(56)

將 x = 9 代入式得:

9 - 2y = 11

- 2y = 2

y =- 1

因此解為 x = 9 , y =

- 1 。

(57)

利用加減消去法解下列二元一次聯立方程式:

(1)

3

3 5

3

y x

y

x

(2)

5 6

3

1 3

9

n m

n m

x = 9 , y = 6 m = , n

= 1 3

3 2

(58)

9

加減消去法 ( 雙乘型 )

利用加減消去法解二元一次聯立方程式

...

1 5

3

...

7 3

2

y x

y x

(59)

解一解一

消去 x

 式 ×3 得: 6x + 9y = 21……

 式 ×2 得: 6x - 10y = 2……

 式-式可得:

6x + 9 y = 21 6x - 10y = 2

- )

9y - ( - 10)y = 19y 19y = 1 9

y =

1

....

1 5

3

....

7 3

2

y x

y x

都化成「 6x 」

(60)

將 y = 1 代入式得:

2x + 3 = 7 2x = 4

x = 2

因此解為 x = 2 , y =

1 。

(61)

解二解二

消去 y

 式 ×5 得: 10x + 15y = 35……

 式 ×3 得: 9x - 15y = 3………

 式+式可得:

10x + 15y = 35 9x - 15y = 3

+ )

10x + 9x = 19x 19x = 3 8

x =

2

  

) 2 ...(

1 5

3 2 3 7 ...( 1 )

y

xx y

化成「+ 15y 」

和「- 15y 」

(62)

將 x = 2 代入式得:

2×2 + 3y = 7 3y = 3

y = 1

因此解為 x = 2 , y = 1 。

比較第 29 頁例題 6 與第 33 頁例題 9 ,你 會喜

歡哪一種方法呢?

(63)

利用加減消去法解下列二元一次聯立方程式:

(1)

1 3

2

3 5

3

y x

y

x

(2)

25 7

6

7 5

4

y x

y x

x = 3 , y =

- 1

x = 4 , y =

3

(64)

利用加減消去法解下列二元一次聯立方程式:

(3)

1 6

5

1 8

2

y x

y

x

(4)

1 10

8

1 12

3

y x

y x

x = , y

= 1 2

1 4

x =-

, y

= 3 1

6 1

(65)

  有些聯立方程式需先經過移項、化簡後,才

方便使用加減消去法。

(66)

10

加減消去法 ( 須移項 )

利用加減消去法解二元一次聯立方程式

...

3 20

4

...

2 12

3

y x

y x

(67)

解解

由式可得: 3x + 2y = 12…….

由式可得: 4x + 3y = 20…….

 式 ×3 得: 9x + 6y = 36………⑤

 式 ×2 得: 8x + 6y = 40………⑥

⑤ 式-⑥式可得:

都化成

「 6y 」

9x + 6y = 36 8x + 6y = 40

- )

x =- 4

利用移項將兩式 的 x 、 y 及 等 號整理對齊。

(68)

將 x =- 4 代入式得:

3× (- 4 )+ 2y = 12 2y = 24

y = 12

因此解為 x =- 4 , y = 12

(69)

例題 10 的解法若如下面所列的方式對齊與 調整︰

3x = 12 - 2y…….  4x = 20 - 3y……. 

 式 ×3 得: 9x = 36 - 6y……

 式 ×2 得: 8x = 40 - 6y……

是否也可以由式減

式求得 x 的值呢?

是(式-

式得 x =- 4 )

(70)

利用加減消去法解下列二元一次聯立方程式:

(1)

9 4

2

8 5

b a

b

a

(2)

16 2

3

2 24

3

x y

y x

x = 8 , y =

0

a = 18 , b

= 45 4

(71)

11

加減消去法 ( 須化簡 ) 解二元一次聯立方程式

...

2 14

5

...

8 6

5 3

6

y y

x

x y

x y

解解

由式可得: 6y - 5y - 3x + 6x = 8 3x + y = 8………..

由式可得: x - 5y + 2y =- 14

x - 3y =- 14……

先將

式與

式中的同類項合

併,並使 x 、 y 及等號對齊。

(72)



...

14 3

...

8 3

y x

y x

 式 ×3 得: 9x + 3y = 24…

….

 式+

式可得:

x - 3y =-

14

9x + 3y = 24

+ )

10x = 1 0

x =

1

化成「+ 3y 」和「- 3y 」

(73)

將 x = 1 代入式得:

3×1 + y = 8

y = 5

因此解為 x = 1 , y =

5 。

(74)

解下列二元一次聯立方程式:

(1)

7 5

3 7

6

8 )

( 2 3

5

y x

y x

y x

y

x

(2)

2 3

3 6

4 )

2 (

2

y x

y x

x y

x x

= 1 , y =

- 1

x = 1 , y =

1 2

(75)

12

加減消去法 ( 分數型 ) 解二元一次聯立方程式

...

16 3

...

2 1 1 3

1

y x

y x

(76)

 式 ×6 得: 2x - 3y = 6……..

 式 ×3 得: 9x - 3y = 48……

 式-式可得:

2x - 3y = 6

9x - 3y = 48

- )

- 7x =- 42

x = 6

解解

先利用等量公理去 掉

式的分母,得

...

16 3

...

6 3

2

y x

y

x

(77)

將 x = 6 代入式得:

3×6 - y = 16 18 - y = 16

- y =- 2

y = 2

因此解為 x = 6 , y =

2 。

(78)

解下列二元一次聯立方程式:

(1)

3 2 1 2

1

8 2

y x

y

x

(2)

 3 3 4

2 1 1

n m

n m

x = 2 , y = 3 m = , n

2 3 =- 1

(79)

13

無限多解的聯立方程式 解二元一次聯立方程式

...

6 2

4

...

3 2

y x

y x

(80)

解解

 式 ×2 得: 4x - 2y = 6 ,與式相同,也 就是說,任何一組使得式成立的 x 值、 y 值,也都能使式成立,又因為二元一次方 程式有無限多組解,所以此聯立方程式有無 限多組解。

亦可寫成:

 式 ×2 得: 4x - 2y = 6 ,與式相同,

所以此聯立方程式的解與 4x - 2y = 6 的解

相同,有無限多組解

(81)

14

無解的聯立方程式 解二元一次聯立方程式

...

5 3

3

...

2

y x

y x

(82)

解解

 式 ×3 得: 3x + 3y = 6……. ,比較式 和式,發現 3x + 3y 的值等於 5 又等於 6 ,這是不合理的,也就是說,

沒有一組使得式成立的 x 值、 y 值,也能 使式成立,所以此聯立方程式無解。

亦可寫成:

 式 ×3 得: 3x + 3y = 6……

…..

 式-式得: 0 = 1 ,不合理

所以此聯立方程式無解。

(83)

解下列二元一次聯立方程式:

(1)

 2 2 1 3

1

12 3

2

y x

y

x

(2)

6 )

2 (

4

2 1

y x

y y

x

y x

無限多組解 無解

(84)

1. 二元一次聯立方程式:兩個同時成立且並列

在  

一起的二元一次方程式稱為二元一次聯立方 程

式。同時滿足聯立方程式中兩個方程式的

x 、

y 值,稱為該聯立方程式的解。

( x 、 y 僅代表不同的未知數,亦可為其他文

符號)

(85)

2. 代入消去法:利用取代的方式,消去一種未

知數的解題方法,稱為代入消去法。在解

元一次聯立方程式時,可用 x 的一次式 取代

y 來解題,也可用 y 的一次式取代 x 來 解題

( x 、 y 僅代表不同的未知數,亦可為其他

字符號)

(86)

3.

加減消去法:利用式子的相加或相減,消去 一種未知數的解題方法,稱為加減消去

法。

通常當代入消去法將生複雜計算時,宜使 產產 產 產 產 產 產 產 產 產

用加減消去法來解題。

(87)

4.

化簡與編號:在解二元一次聯立方程式時,

宜先用移項法則化簡式子,並使得兩式的 未

知數及等號一一對齊,以利於觀察。將式 子

予以編號,可方便解題,在解題過程中亦 可

視情況將其他式子予以編號。

(88)

1-2 自我評量

1. 聯課活動分組,桌球組總共有 38 人報名,

中男生人數比女生的 3 倍少 2 人。若設 男生有

x 人報名,女生有 y 人報名,則

(89)

(1) 由總共 38 人報名,可列得二元一次方程式

: ___________________ 。

(2) 由男生人數比女生的 3 倍少 2 人,可列得 二元一次方程式: ____________________ 。 (3) 因此可列得二元一次聯立方程式:

____________________ 。

x + y = 38

x = 3y - 2

2 3

38

y

x

y x

(90)

2. x = 2 , y =- 3 是下列哪一組二元一次聯立 方程式的解?

(1)

5 5

y

x

y

x

(2)

5 1

y

x

y

x

(3)

1 5

y

x

y x

(2)

(91)

3. 利用代入消去法解下列二元一次聯立方程式:

(1)

7 3

2

1

y x

x

y

(2)

5 4

3

3 2

y x

y x

x =- 4 , y =- 5 x

=- 1 , y =- 2

(92)

(3)

1 5

3

5 4

y x

y

x

(4)

12 2

3

5 3

2

b a

b a

x

=- 3 , y =- 2

a

=- 2 , b = 3

(93)

4. 利用加減消去法解下列二元一次聯立方程式:

(1)

13 4

3

7 2

3

y x

y

x

(2)

1 2 5

3

n m

n m

x

= 3 , y =- 1

m =

, n = 2 3

2 1

(94)

(3)

3 5

2

4 6

3

y x

y

x

(4)

y x

x y

5 7

15

3 6

2

x

= 0 , y =- 3

x =

3 2 , y =

3 1 (5)

6 3

4 3

5 2

2

y x

y x

y x

y

x

(6)

12 13 4

3

4 5 3

4

y x

y x

x

=- 1 , y =- 3

x

=- 2 , y = 1

(95)

5. 解下列二元一次聯立方程式:

(1)

) 2

( 2 )

1 2

( 3

3 3

8 3

y x

y x

y x

y

x

(2)

3 2 3

1 2

1 4

3 2

1 4

3

y x

y x

無限多解 無解

參考文獻

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