二元一次聯立方程式 代入消去法
自我評量
加減消去法
根據一個問題的敘述,有時可同時列出兩 個二元一次方程式,例如:
已知 10 元與 5 元兩種硬幣共 7 枚
,總共有 60 元。若要求硬幣的個數,可設 10
元硬幣有 x 枚, 5 元硬幣有 y 枚,則:
由「兩種硬幣共 7 枚」,可列得方程式 x + y
= 7 ;
由「兩種硬幣共 60 元」,可列得方程式 10x + 5y = 60 。
因為這兩個二元一次方程式,同時用來表示問題 中的數量關係,所以把這兩個方程式並列寫成
像這樣並列在一起的二元一次方程式稱為二元一 次聯立方程式。
60 5
10
7
y xy x
根據下列各問題,列出方程式︰
(1) 某餐廳 A 餐的價格是 x 元, B 餐的價 格是 y 元。星光幫點了 1 份 A 餐及 3 份 B 餐,共花了 426 元;超偶幫點了 2 份 A 餐及 2 份 B 餐,共花了 416 元
。
(1) 由「星光幫花了 426 元」,可列得方程式:
_____________________________________ 。 由「超偶幫花了 416 元」,可列得方程式
:
_____________________________________ 。 因此可列得二元一次聯立方程式:
_____________________________________ 。
x + 3y = 4262x + 2y = 416
416 2
2
426 3
y x
y x
(2) 童軍課分組,柯西的小組一共有 8 人,其
中男生 x 人,女生 y 人,且女生人數是
男生人數的 3 倍。
(2) 由「小組一共有 8 人」,可列得方程式:
____________________________________ 。 由「女生人數是男生人數的 3 倍」,可
列得
方程式: ___________________________
_ 。
因此可列得二元一次聯立方程式:
____________________________________ 。
x + y = 8y = 3x
x y
y x
3
8
當二元一次聯立方程式中的未知數(如 x
與 y ),以一組特定的值代入,可使得兩個式子
的等號均成立時,便稱該組 x 、 y 的值為此聯
立方程式的解。
1
解的檢驗
下列哪一組 x 、 y 是二元一次聯立方程式 的解?
....
60 5
10
. ...
7
y xy x
(1)x = 5 , y = 2(2)x = 6 , y = 0(3) x = 2 , y = 5
解解
(1) 當 x = 5 , y = 2 :
代入式得:左式= x +
y =5 + 2 = 7 =右式 代入式得:
左式= 10x + 5y = 10×5
+ 5×2
= 50 + 10 = 60 =右式 所以 x = 5 , y = 2 為 此聯立方
程式的解。
為了說明方便,我們常將聯 立方程式中的式子編號。
(2) 當 x = 6 , y = 0 :
代入式得:左式= x + y = 6 + 0 = 6≠
右式
所以 x = 6 , y = 0 不是此聯立方程式 的解。
(3) 當 x = 2 , y = 5 :
代入式得:左式= x + y = 2 + 5 = 7
=右式
代入式得:左式= 10x + 5y = 10×2 + 5×5 =
20 + 25 = 45≠ 右式
所以 x = 2 , y = 5 不是此聯立方程式
的解。
1. 下列哪一組 x 、 y 是二元一次聯立方程式
的解?
3 13 3
y x
y x
(1) x = 3 , y = 4 (2) x =- 5 , y = 2 (3) x = 4 , y = 1
(3)
5
13 3
2
y x
y x
2. x = 2 , y = 3 是下列哪一組二元一次聯立方 程式
的解?
(1)
8 2
9 3
y x
y
(2)
x
11 3
19 5
2
y x
y
(3)
x(1)
我們已經知道,可用代入的方式來檢 驗二元一次聯立方程式的解,但是要如何求得解 呢?接著以下面的二元一次聯立方程式來介紹一 個常用的方法。
例如︰解二元一次聯立方程式
....
30 ...
2
y xx y
為了方便, 我們 分
三個步驟來說明。
步驟一:由式可知 y = 2x
,
因此式 x + y = 30
可取代為 x +
2x= 30
3x = 3 0
x = 1
0
消去未知數 y ,使第式變為 x 的
一元一次方程式,就可以求得 x 的
值。
最後驗算解是否正確:
將 x = 10 , y = 20
代入式得: 20 = 2×10 ,等號成立
;
代入式得: 10 + 20 = 30 ,等號成立
。
因此 x = 10 , y = 20 為二元一次聯 立方程式 的解。
....
30 ...
2
y xx y
步驟二:要求
y 值,只要再將 x = 10 代入式即可,所以
y = 2x = 2×10 = 20步驟三:
利用取代的方式,消去一種未知數的解題方法,
稱為代入消去法。
在上述的步驟中,若將求得的 x = 10 代入
式,是否也可求得
y = 20 ?是
步驟三的驗算是為了檢查答案是否正
確,如同之前解一元一次方程式一樣,只要自行
檢驗即可,不一定要將檢驗的過程寫出來。求二
元一次聯立方程式解的過程稱為解聯立方程式。
2
代入消去法 ( 直接型 )
利用代入消去法解二元一次聯立方程式
....
12 2
...
1 2
y x
x y
解解
將式 y = 2x + 1 代入式得
:
x + 2 ( 2x + 1 )= 12 x + 4x + 2 = 12
5x = 10
x = 2
由式可知 y 可被 2x + 1 取代
,
因此式 x + 2y = 12 可取代為
x + 2 ( 2x + 1
)= 12
同時也要注意括號的使用。
將 x = 2 代入式得
:
y = 2x + 1
= 2×2 + 1 = 5
驗算:
將 x = 2 , y = 5
代入式得: 5 = 2×2 + 1 ,等號成立
;
代入式得: 2 + 2×5 = 12 ,等號成 立。
因此解為 x = 2 , y = 5 。
驗算可以不必寫 出來。
利用代入消去法解下列二元一次聯立方程式:
(1)
1 6
3
3
x yx
y
(2)
6 2
0 2
x y
y x
x = , y
= 1 1 3
x = 4 , y =2
前面的例題都是利用 y 被 x 的一次
式所取代來解題,當然在解題時, x 也可被 y
的一次式所取代。
利用代入消去法解下列二元一次聯立方程式:
(1)
y x
y x
2
12
4 (2)
0 3
2
5 2
y x
y x
x =- 15 , y =-
10
x = 4 , y =2
3
代入消去法 ( 直接移項 )
利用代入消去法解二元一次聯立方程式
....
1 3
2
...
3
y xy x
解一解一
用 x 的一次式取代 y
由式得: y = 3 - x …….
將式代入式得:
2x - 3 ( 3 - x )= 1 2x - 9 + 3x = 1 5x = 10
x = 2
式是由移項法則所得到的,為了方便表示,我們給予編號。
將 x = 2 代入式得
:
y = 3 - x
= 3 - 2 = 1
因此解為 x = 2 , y =
1 。 也可將 x = 2 代入式或式,
不過,代入式較直接。
解二解二
用 y 的一次式取代 x
由式得: x = 3 - y…….. 將式代入式得:
2 ( 3 - y )- 3y = 1 6 - 2y - 3y = 1
- 5y =- 5
y = 1
將 y = 1 代入式得:
x = 3 - y
= 3 - 1 = 2
因此解為 x = 2 , y = 1 。
4
代入消去法 ( 限制移項 )
利用代入消去法解二元一次聯立方程式
....
22 5
3
...
3 2
b a
b a
解解
由式得: b = 3 - 2a…...
將式代入式得:
3a + 5 ( 3 - 2a )= 22 3a + 15 - 10a = 22
- 7a
= 7
a =- 1
把
式的 b 留 在等號的左邊。將 a =- 1 代入式得:
b = 3 - 2a
= 3 - 2× (- 1 ) = 3 + 2
= 5
因此解為 a =- 1 , b = 5 。
5
代入消去法 ( 直接型
)利用代入消去法解二元一次聯立方程式
..
...
9 4
...
18 3
4
y x
y x
解解
將式 4x = 9y 代入式得
:
9y - 3y = 18
6y = 18 , y = 3 將 y = 3 代入式得:
4x = 9×3 = 27 , x =
因此解為 x = , y = 3
。
27 4 27 4
式的 4x 可直接
用 9y 來取代。
利用代入消去法解下列二元一次聯立方程式:
(1)
1 4
2 2
y x
y
x
(2)
3 2
1 3
2
y x
y x
x = 1 , y
= 1
x = 1 , y =0
利用代入消去法解下列二元一次聯立方程式:
(3)
9 2
3
1 2
n m
n
m
(4)
2 3
4
3 2
b a
b a
m =- 1 , n
= 3
a = 1 , b
= 3 2
前面的例題與隨堂練習,都能明顯的 挑選出一個式子,只要作加減移項甚至不須移 項,就能做未知數的取代。但有些聯立方程式
,還須利用乘除的等量公理才行,解這種聯立
方程式就複雜一些。
6
代入消去法 ( 乘除型 )
利用代入消去法解二元一次聯立方程式
...
1 5
3
...
7 3
2
y x
y x
解解
由式得: x = ……
將式代入式得:
3 ( )- 5y = 1 3 ( 7 - 3y )- 10y = 2
21 - 9y - 10y = 2
- 19y =- 19
y = 12 3 7
y2 3 7
y2x + 3y = 7 ﹐
2x = 7 - 3y
,
x =
2 3
7
y利用等量公理,將等
號兩邊同乘以 2 ,可
去掉式子中的分母。
將 y = 1 代入式得:
x =
= = 2 2 3 1
7 2 4
驗算:
將 x = 2 , y = 1
代入式得: 4 + 3 = 7 ,等號成立
;
代入式得: 6 - 5 = 1 ,等號成立
。
因此解為 x = 2 , y = 1 。
題目複雜,驗算就更重要。
利用代入消去法解下列二元一次聯立方程式:
(1)
1 5
3
3 4
2
y x
y
x
(2)
27 3
2
19 4
3
y x
y x
x = 3 , y
= 7
x = , y =1 2
1 2
接著學習另一種解聯立方程式的方法
,我們先以下面的聯立方程式為例,說明這個方 法的步驟:
...
9 3
5
...
33 3
2
y x
y x
首先觀察 、兩式,發現
+ 3y 與- 3y 互為相反數,若將兩式等號左邊的式子相加,未知數 y 就會消掉,因此式+式可得:
2x
+ 3y = 335x
- 3y = 9+ )
7x = 42
x = 62x + 5x = 7x
要求 y 值,只要將 x = 6 代入式或式即 可。
將 x = 6 代入式得:
2×6 + 3y = 33 12 + 3y = 33 3y = 21
y = 7兩式相加指的是將兩式等號左邊 相加,右邊也相加。兩式相減也 是一樣的
。
驗算:
將 x = 6 , y = 7
代入式得: 12 + 21 = 33 ,等號成立;
代入式得: 30 - 21 = 9 ,等號成立。
因此解為 x = 6 , y = 7 。
上面的解題過程,是利用兩式相加消
去了一個未知數,當然利用兩式相減也可以,我
們接著看後面的例題。
7
兩式加減求解 解二元一次聯立方程式
...
9 5
2
...
7 3
2
y x
y x
解解
由式-式可得:
2x + 3y =- 7 2x + 5y =- 9
- )
3y - 5y =- 2y - 2y = 2
y = -
1
首先觀察
、
兩式,發現若將 兩式等號左邊的 式子相減,未知 數 x 就 會 消 掉
。
將 y =- 1 代入式得:
2x + 3× (- 1 )=- 7 2x =- 4
x =- 2
驗算:
將 x =- 2 , y =- 1
代入式得: 2× (- 2 )+ 3× (- 1 )=-
7 ,
等號成立;
代入式得: 2× (- 2 )+ 5× (- 1 )=-
9 ,
等號成立。
因此解為 x =- 2 , y =- 1 。
利用式子的相加或相減,消去一種未知數的解
題方法,稱為加減消去法。
利用加減消去法解下列二元一次聯立方程式:
(1)
9 3
1
y xy
x
(2)
0 2
2 3
b a
b a
a = 2 , b =
4
x =- 2 , y
= 3
當聯立方程式無法透過直接相加或相
減來消去其中一個未知數時,就要先利用等量公
理來調整,如下例。
8
加減消去法 ( 單乘型 )
利用加減消去法解二元一次聯立方程式
...
11 2
...
23 4
3
y x
y x
解一解一
消去 x
式 × 3 得: 3x - 6y = 33……
式- 式可得:
3x + 4y = 23 3x - 6y = 33
- )
4y - ( - 6y) = 10y 10y = - 1 0
y = -
1
式 ×3 才能使兩式的
「 3x 」經由相減消去
。
將 y =- 1 代入式得
:
x - 2× (- 1 )= 11 x + 2 = 11 x = 9
因此解為 x = 9 , y =
- 1 。
解二解二
消去 y
式 ×2 得: 2x - 4y = 22……
式+式可得:
3x
+ 4y = 232x
- 4y = 22+ )
3x + 2x = 5x 5x = 4 5
x = 9
「+ 4y 」和「- 4y 」
要相加才能消掉。
將 x = 9 代入式得:
9 - 2y = 11
- 2y = 2
y =- 1因此解為 x = 9 , y =
- 1 。
利用加減消去法解下列二元一次聯立方程式:
(1)
3
3 5
3
y x
y
x
(2)
5 6
3
1 3
9
n m
n m
x = 9 , y = 6 m = , n
= 1 3
3 2
9
加減消去法 ( 雙乘型 )
利用加減消去法解二元一次聯立方程式
...
1 5
3
...
7 3
2
y x
y x
解一解一
消去 x
式 ×3 得: 6x + 9y = 21……
式 ×2 得: 6x - 10y = 2……
式-式可得:
6x + 9 y = 21 6x - 10y = 2
- )
9y - ( - 10)y = 19y 19y = 1 9
y =
1
....
1 5
3
....
7 3
2
y x
y x
都化成「 6x 」
將 y = 1 代入式得:
2x + 3 = 7 2x = 4
x = 2因此解為 x = 2 , y =
1 。
解二解二
消去 y
式 ×5 得: 10x + 15y = 35……
式 ×3 得: 9x - 15y = 3………
式+式可得:
10x + 15y = 35 9x - 15y = 3
+ )
10x + 9x = 19x 19x = 3 8
x =
2
) 2 ...(
1 5
3 2 3 7 ...( 1 )
yxx y
化成「+ 15y 」
和「- 15y 」
將 x = 2 代入式得:
2×2 + 3y = 7 3y = 3
y = 1因此解為 x = 2 , y = 1 。
比較第 29 頁例題 6 與第 33 頁例題 9 ,你 會喜
歡哪一種方法呢?
利用加減消去法解下列二元一次聯立方程式:
(1)
1 3
2
3 5
3
y x
y
x
(2)
25 7
6
7 5
4
y x
y x
x = 3 , y =
- 1
x = 4 , y =3
利用加減消去法解下列二元一次聯立方程式:
(3)
1 6
5
1 8
2
y x
y
x
(4)
1 10
8
1 12
3
y x
y x
x = , y
= 1 2
1 4
x =-, y
= 3 1
6 1
有些聯立方程式需先經過移項、化簡後,才
方便使用加減消去法。
10
加減消去法 ( 須移項 )
利用加減消去法解二元一次聯立方程式
...
3 20
4
...
2 12
3
y x
y x
解解
由式可得: 3x + 2y = 12…….
由式可得: 4x + 3y = 20…….
式 ×3 得: 9x + 6y = 36………⑤
式 ×2 得: 8x + 6y = 40………⑥
⑤ 式-⑥式可得:
都化成
「 6y 」
9x + 6y = 36 8x + 6y = 40
- )
x =- 4
利用移項將兩式 的 x 、 y 及 等 號整理對齊。
將 x =- 4 代入式得:
3× (- 4 )+ 2y = 12 2y = 24
y = 12因此解為 x =- 4 , y = 12
。
例題 10 的解法若如下面所列的方式對齊與 調整︰
3x = 12 - 2y……. 4x = 20 - 3y…….
式 ×3 得: 9x = 36 - 6y……
式 ×2 得: 8x = 40 - 6y……
是否也可以由式減
⑤式求得 x 的值呢?
是(式-
⑤式得 x =- 4 )
利用加減消去法解下列二元一次聯立方程式:
(1)
9 4
2
8 5
b a
b
a
(2)
16 2
3
2 24
3
x y
y x
x = 8 , y =
0
a = 18 , b
= 45 4
11
加減消去法 ( 須化簡 ) 解二元一次聯立方程式
...
2 14
5
...
8 6
5 3
6
y y
x
x y
x y
解解
由式可得: 6y - 5y - 3x + 6x = 8 3x + y = 8………..
由式可得: x - 5y + 2y =- 14
x - 3y =- 14……先將
式與
式中的同類項合併,並使 x 、 y 及等號對齊。
...
14 3
...
8 3
y x
y x
式 ×3 得: 9x + 3y = 24…
….
⑤ 式+
⑤式可得:
x - 3y =-
14
9x + 3y = 24
+ )
10x = 1 0
x =
1
化成「+ 3y 」和「- 3y 」
將 x = 1 代入式得:
3×1 + y = 8
y = 5因此解為 x = 1 , y =
5 。
解下列二元一次聯立方程式:
(1)
7 5
3 7
6
8 )
( 2 3
5
y x
y x
y x
y
x
(2)
2 3
3 6
4 )
2 (
2
y x
y x
x y
x x
= 1 , y =
- 1
x = 1 , y =1 2
12
加減消去法 ( 分數型 ) 解二元一次聯立方程式
...
16 3
...
2 1 1 3
1
y x
y x
式 ×6 得: 2x - 3y = 6……..
式 ×3 得: 9x - 3y = 48……
式-式可得:
2x - 3y = 6
9x - 3y = 48
- )
- 7x =- 42
x = 6解解
先利用等量公理去 掉
式的分母,得
...
16 3
...
6 3
2
y x
y
x
將 x = 6 代入式得:
3×6 - y = 16 18 - y = 16
- y =- 2
y = 2因此解為 x = 6 , y =
2 。
解下列二元一次聯立方程式:
(1)
3 2 1 2
1
8 2
y x
y
x
(2)
3 3 4
2 1 1
n m
n m
x = 2 , y = 3 m = , n
2 3 =- 1
13
無限多解的聯立方程式 解二元一次聯立方程式
...
6 2
4
...
3 2
y x
y x
解解
式 ×2 得: 4x - 2y = 6 ,與式相同,也 就是說,任何一組使得式成立的 x 值、 y 值,也都能使式成立,又因為二元一次方 程式有無限多組解,所以此聯立方程式有無 限多組解。
亦可寫成:
式 ×2 得: 4x - 2y = 6 ,與式相同,
所以此聯立方程式的解與 4x - 2y = 6 的解
相同,有無限多組解
14
無解的聯立方程式 解二元一次聯立方程式
...
5 3
3
...
2
y xy x
解解
式 ×3 得: 3x + 3y = 6……. ,比較式 和式,發現 3x + 3y 的值等於 5 又等於 6 ,這是不合理的,也就是說,
沒有一組使得式成立的 x 值、 y 值,也能 使式成立,所以此聯立方程式無解。
亦可寫成:
式 ×3 得: 3x + 3y = 6……
…..
式-式得: 0 = 1 ,不合理
,
所以此聯立方程式無解。
解下列二元一次聯立方程式:
(1)
2 2 1 3
1
12 3
2
y x
y
x
(2)
6 )
2 (
4
2 1
y x
y y
x
y x
無限多組解 無解
1. 二元一次聯立方程式:兩個同時成立且並列
在
一起的二元一次方程式稱為二元一次聯立方 程
式。同時滿足聯立方程式中兩個方程式的
x 、y 值,稱為該聯立方程式的解。
( x 、 y 僅代表不同的未知數,亦可為其他文 字
符號)
2. 代入消去法:利用取代的方式,消去一種未
知數的解題方法,稱為代入消去法。在解
二
元一次聯立方程式時,可用 x 的一次式 取代
y 來解題,也可用 y 的一次式取代 x 來 解題
。
( x 、 y 僅代表不同的未知數,亦可為其他 文
字符號)
3.
加減消去法:利用式子的相加或相減,消去 一種未知數的解題方法,稱為加減消去
法。
通常當代入消去法將生複雜計算時,宜使 產產 產 產 產 產 產 產 產 產
用加減消去法來解題。
4.
化簡與編號:在解二元一次聯立方程式時,
宜先用移項法則化簡式子,並使得兩式的 未
知數及等號一一對齊,以利於觀察。將式 子
予以編號,可方便解題,在解題過程中亦 可
視情況將其他式子予以編號。
1-2 自我評量
1. 聯課活動分組,桌球組總共有 38 人報名,
其
中男生人數比女生的 3 倍少 2 人。若設 男生有
x 人報名,女生有 y 人報名,則
(1) 由總共 38 人報名,可列得二元一次方程式
: ___________________ 。
(2) 由男生人數比女生的 3 倍少 2 人,可列得 二元一次方程式: ____________________ 。 (3) 因此可列得二元一次聯立方程式:
____________________ 。
x + y = 38x = 3y - 2
2 3
38
yx
y x
2. x = 2 , y =- 3 是下列哪一組二元一次聯立 方程式的解?
(1)
5 5
yx
y
x
(2)
5 1
yx
y
x
(3)
1 5
yx
y x
(2)
3. 利用代入消去法解下列二元一次聯立方程式:
(1)
7 3
2
1
y xx
y
(2)
5 4
3
3 2
y x
y x
x =- 4 , y =- 5 x
=- 1 , y =- 2
(3)
1 5
3
5 4
y x
y
x
(4)
12 2
3
5 3
2
b a
b a
x
=- 3 , y =- 2
a=- 2 , b = 3
4. 利用加減消去法解下列二元一次聯立方程式:
(1)
13 4
3
7 2
3
y x
y
x
(2)
1 2 5
3
n m
n m
x
= 3 , y =- 1
m =, n = 2 3
2 1
(3)
3 5
2
4 6
3
y x
y
x
(4)
y x
x y
5 7
15
3 6
2
x
= 0 , y =- 3
x =3 2 , y =
3 1 (5)
6 3
4 3
5 2
2
y x
y x
y x
y
x
(6)
12 13 4
3
4 5 3
4
y x
y x
x
=- 1 , y =- 3
x=- 2 , y = 1
5. 解下列二元一次聯立方程式:
(1)
) 2
( 2 )
1 2
( 3
3 3
8 3
y x
y x
y x
y
x
(2)
3 2 3
1 2
1 4
3 2
1 4
3
y x
y x