以布朗運動模型擬定最佳策略

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k值。以下我們分成兩種情況討論如何找到最適當的k值：

1. 若k為連續型的數值，則決策集K R^表示所有k的可能值形成的 集合，亦即E Cost kˆ[ ( )]為k的一連續型函數。在此情況下我們可以 利用數值方法找到最佳的k值，以下提供幾種常見的數值方法：

i. 若函數為單峰(unimodal)函數，即函數只有一個極值，則可 以使用黃金比例搜尋法(Golden Section Search) [16]。黃 金比例搜尋法的示意圖如圖三，假設已知三點x₁x₂ x₃的函 數值 f f₁, ₂, f₃可形成一單峰區間，則極值必產生在此區間，接 著取距離區間左右端點距離比為黃金比例(Golden Ratio or Golden Section，約為 1.618)的點做為起始點，以圖三為例，

取x x_{1 4}:x x_{3 4}為黃金比例的做為起始點x₄，接著比較x₂和x₄函數 值的大小，若 f₂  f₄(即x₄的函數值為f_4a)，則( ,x x_{1 4})可形成新 的單峰區間；若 f₂  f₄(即x₄的函數值為f_4b)，則( ,x x_{2 3})可形成 新的單峰區間，接著在新的區間再次以黃金比例的距離選取 新的點做比較，最後區間會收斂到一點，該點即為所求。

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圖三 Golden Section Search 示意圖

ii. 二分法(Binary Search) [9]為對某段特定區間，選取該區間 中點做為迭代點(iteration point)，若極值發生在迭代點左 側，令原區間的左側端點及迭代點做為新的區間，反之則令 原區間的右側端點及迭代點做為新的區間，不斷進行迭代使 得區間越來越小，最後區間會收斂到一點，該點即為所求。

iii. 也可以用費式搜尋法(Fibonacci Search) [15]。費式搜尋法 和二分法相似，差別在於迭代點的選取，費式搜尋法是以距 離區間左右端點的距離比為費式數列(Fibonacci Sequence，

即數列中每一項為前兩項之和，例如：1，1，2，3，5，8，

13，…)的點做為迭代點。在運算效率方面，二分法是使用區 間中點，即將區間範圍除以二，為除法運算；而費式搜尋法 是用費式數列，又費式數列每一項為數列前兩項的和，為加 法運算，因為電腦做加減運算的效率高於乘除運算，故費式

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iv. 另一較常見的方法為牛頓法(Newton's Method) [13]，牛頓 法的示意圖如圖四，首先選取x軸上任一點x₀做為起始點 直接利用窮舉法(exhaustive search)，把k值一一代入，找到令

ˆ[ ( )]

E Cost k 為最小的k值即為所求。以下對於離散型的k舉兩個例

子：

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(例一)給定ˆ 30,ˆ² 25,c20,d 10,c^ 40,T10，且





k  ，則可以得到相對的總費用期望值估計值 如圖五：

圖五 離散型契約容量範例一

由圖五可以發現k60為最佳契約容量。

(例二)給定ˆ 30,ˆ² 25,c5,d 10,c^ 10,T10，且





k  ，則可以得到相對的總費用期望值估計值 如圖六：

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圖六 離散型契約容量範例二

由圖六可以發現k100為最佳契約容量，由圖五及圖六我們也發 現本文所導出的總費用期望值估計式E Cost kˆ[ ( )]並不為單純k的凸函 數(convex function)，其原因是函數E Cost kˆ[ ( )]同時也會受到其他數 值的影響(如c d c, , ^等等)，加上(15)式為k的一個複雜函數。綜合以 上的觀察，除非我們有強烈的證據顯示E Cost kˆ[ ( )]為一個k的簡單函數 (如 convex 或 monotone)，否則不建議使用 Golden Section Search 的方法。

此外，以上介紹的數種搜尋方法，除了黃金比例搜尋法僅適用於 單峰函數外，其餘方法皆有可能因為起始點選取的不同，而搜尋出多 個相對極值，則必須再將所找出的極值分別代入(15)式計算並做比較 進而求出最佳解。

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March 1635440 1476600 1616920 1566560

April 2723120 2518680 2673040 2307800

May 2438760 2267200 2473440 2450640

June 2857960 3083840 3393640 3017320

July 3321000 3453040 3091120 3551880

表一 政治大學民國 99 年至 102 年 3 月~7 月用電量