利用隨機模型訂定電力之最佳契約容量 - 政大學術集成

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(1)國碩. 立. 政. 治. 士. 大學. 學. 統. 計. 位. 學. 論. 系文. 利用隨機模型訂定電力之最佳契約容量 Determining the Optimal Contract Capacity of 政治. 大. Electric Power立Based on Stochastic Modeling. ‧. ‧ 國. 學 er. io. sit. y. Nat. al. n. v i n Ch 指導教授：洪英超 e n g c h i U博士研究生：游振利撰. 中華民國一百零四年七月.

(2) 謝辭首先要感謝我的指導教授. 洪英超老師這一年來的指導，雖然我糟糕. 的文筆還有緩慢的進度想必讓老師在暗地裡吐了不少血，但老師從來沒罵過我，還是一步步地帶領我從無到有寫出這篇論文，在過程中老師總是一直激勵我，也告訴我很多待人處事的道理，真的非常感謝洪老師！也要感謝口委. 曾能芳老師以及. 蔡紋琦老師，雖然我在口試前不小心得了感. 冒，口試的表現也不甚理想，但兩位老師仍然細心地指導，並給了許多寶貴的建議，才能讓這份論文更加完整。另外，還要感謝這兩年來指導過我. 政治大再來要感謝的是研究室的同學們以及博士班的學長，在研究過程中常立. 的所有老師。. ‧ 國. 學. 常碰到許多困難，但是在大家集思廣益下，幫助我渡過了不少難關，還有不時的打鬧嬉笑也讓緊繃的生活舒緩許多，很幸運這兩年可以碰到你們這. ‧. 些好戰友。還要感謝一些大學同學，因為我是先當完兵再回來念碩士班，. sit. y. Nat. 這些已經畢業的”學長”在研究過程中給了我不少建議，也聽我吐了不少. er. io. 苦水，真的很謝謝你們。. n. a 最後，要感謝的是我的家人，雖然我在家裡的話不多，還常常用寫論 v. i l C n hengchi U 文為由婉拒家庭聚餐，但是你們仍然在背後支持我，感謝二字實在不足以. 表達你們的養育之恩。謹以此文獻給我的家人以及所有幫助過我的朋友師長。游振利謹致中華民國一零四年七月. i.

(3) 摘要由於商業、工業和民生各方面大量的用電需求，使得電費在某些季節會特別昂貴。又因為電力的生產和儲存都有限，故電力公司為了能更有效率的分配總電力，要求消費者事先訂定各自用戶的契約容量，做為每個月分配電力的最大標準。對於消費者而言，相較於較高的契約容量，選取較低的契約容量通常負擔的基本電費也較低，但是當用. 政治大. 電量超過契約容量時則必須支付高額罰金。因此消費者為了盡可能使. 立. 長期的用電消費降低，選擇一個合適且最佳的契約容量是很重要的課. ‧ 國. 學. 題。在本文中以隨機模型”具飄移項之布朗運動”作為分析用電量趨. ‧. 勢的模型，並介紹如何做模型的驗證以及參數的估計，接著建構出總. Nat. io. sit. y. 電費的期望值估計式以尋找最佳的契約容量。最後，以政治大學的實. n. al. er. 際用電量資料作為本文的研究實例，並提出選擇契約容量之建議方針。. Ch. engchi. i n U. v. 關鍵字：具飄移項之布朗運動、Ljung-Box 檢定、Kolmogorov-Smirnov 檢定、電力契約容量最佳化. ii.

(4) Abstract The price of electric power has become quite expensive in some particular seasons due to a large request from business, industry and livelihood. Due to limited power generating resources and storage capacity, the electric company requests consumers to pre-determine the contract capacity (i.e. the maximum amount of electric power allocated every month) so as to optimize the overall power allocation. The tradeoff between a small contract capacity and a large contract capacity for. 政治大 contract capacity, while立 a huge penalty is often placed when the amount. cosnsumers is, the fundamental charge of electricity is lower for a smaller. ‧ 國. 學. of power usage exceeds the contract capacity. Therefore, it is of paramount importance to select the optimal contract capacity so that. ‧. consumers’ expected long-term payment cost could be possibly. sit. y. Nat. minimized. In this thesis, a stochastic modeling technique called. er. io. “Brownian motion with drift” is used to capture the essences of monthly. n. a The model adequacyv and estimation of electricity consumption. i l C n U hen parameters were discussed, while thegway the optimal contract c hofi finding. capacity was also introduced. Finally, the proposed method was illustrated on real data collected from the National Chengchi University over a certain period of time.. Key Words: Brownian motion with drift, Ljung-Box test, Kolmogorov-Smirnov test, Optimal electricity contract capacity. iii.

(5) 目錄第一章導論 ................................ ....... 1 第二章布朗運動之參數估計與模型檢定 ................... 3 第一節布朗運動模型(BROWNIAN MOTION) ..................... 3 第二節具飄移項的布朗運動模型(BROWNIAN MOTION. WITH DRIFT) .... 5. 第三節具飄移項布朗運動模型之參數估計.................. 6. 治政第四節布朗運動模型之驗證 ............................. 7 大立 ‧ 國. 學. 第三章訂定電力最佳契約容量問題 ..................... 10. ‧. 第一節最佳化問題描述 ............................... 10. io. sit. y. Nat. 第二節以布朗運動模型擬定最佳策略 .................... 12. n. al. er. 第四章實例研究 ................................ ... 19. i n U. C. v. hengchi 第五章總結與討論 ................................ . 25 參考文獻 ................................ ......... 27. iv.

(6) 表目錄表一政治大學民國 99 年至 102 年 3 月~7 月用電量 .......... 19 表二政治大學民國 99 年至 102 年 3 月~7 月用電量(尺度縮減後) 19 表三政治大學民國 99 年至 102 年 3 月~7 月用電量增量....... 21 表四用電量增量的 LJUNG-BOX. TEST 檢定結果 ................ 22. 表五契約容量與其對應電費........................... 24. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. v. i n U. v.

(7) 圖目錄圖一標準布朗運動示意圖 ............................. 4 圖二   5,   10 之具漂移項的布朗運動示意圖 .............. 6 圖三 GOLDEN SECTION SEARCH 示意圖........................ 15 圖四 NEWTON’S. METHOD 示意圖 ........................... 16. 圖五離散型契約容量範例一........................... 17. 政治大. 圖六離散型契約容量範例二........................... 18. 立. 圖七 99~102 年 3~7 月份用電量資料 ..................... 20. ‧ 國. 學. 圖八 99~102 年 3~7 月份用電量資料(含估計線 ˆ t ) ........... 21. ‧. 圖九各契約容量所對應的總費用期望值 .................. 23. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. vi. i n U. v.

(8) 第一章. 導論. 隨著經濟的發展，國民對生活品質的要求也逐漸提高，再加上科技的進步，使得電力的消費也隨之增加，故對於用電量的分析十分重要，良好的用電量分析，有助於了解用電的變化情形，甚至可以預測未來的用電趨勢，進而建構最佳的用電策略。而對於台灣電力公司而. 政治大. 言，電力資源的分配也是一大難題，因為總供電量有限，但電力供應. 立. 必須滿足各用戶需求，且多餘的電力無法儲存，故為了能更有效率的. ‧ 國. 學. 分配電力，台電提供消費者選擇適合用戶的契約容量。藉由契約容量. ‧. 的簽定，台電得到分配電力的參考標準，消費者也會為了讓用電量不. Nat. io. sit. y. 超出契約容量調整自己的用電習慣。而契約容量訂得太高或太低都會. er. 使該期電費增加，故如何訂定適當的契約容量也是很重要的問題。. al. n. v i n Ch 文獻中提供了許多方法，像是 (2001) [12]、Heydari 及 e n gOren chi U. Siddiqui (2010) [8]使用幾何布朗運動(Geometric Brownian Motion) 來對電力契約做最佳化，幾何布朗運動是對布朗運動取自然指數形成的一種隨機過程。在金融界，相較於布朗運動，幾何布朗運動使用的更為廣泛，也更符合金融商品的波動性，故他們認為可以用幾何布朗運動直接對電價配適模型。另外， Baldick 和 Kolos 及 Tompaidis (2014) [2]則是使用更複雜的隨機動態規劃(Stochastic Dynamic 1.

(9) Programming)，先將氣溫配適模型，再將此模型以及用電量的供給曲線和需求曲線皆列入最佳化模型中。而本文是從用電量的角度切入，我們認為主要應用在表達價格波動的幾何布朗運動不適合用在用電量，而且一般而言，越接近夏天用電量會越高，以標準的布朗運動無法表現出這種趨勢，故我們選擇使用具有飄移項的布朗運動 (Brownian Motion with drift)做為估計模型。. 政治大. 本文於第二章介紹布朗運動模型以及具飄移項之布朗運動模型，. 立. 並提出三個方法估計布朗運動中的參數，接著介紹以 Ljung-Box 檢定. ‧ 國. 學. 來檢定增量的獨立性，還有以 Kolmogorov-Smirnov 檢定來檢定增量. ‧. 的常態性，若二個檢定皆通過則我們可以確認資料為一種布朗運動。. Nat. io. sit. y. 在第三章中，首先介紹契約容量、最高需量的定義以及台電之電費計. er. 算公式，接著利用布朗運動為一種常態分配的特性建構出總電費期望. al. n. v i n Ch 值估計式，並對於契約容量標準分別為連續型或離散型做討論。在第 engchi U. 四章中，以政治大學的用電量資料做為本文的實證分析，首先利用第二章所介紹的檢定驗證用電量資料為布朗運動，再針對數個不同的契約容量標準，以第三章所導出的期望值估計式求算出總電費期望值的估計值，選擇總電費最低的即為針對這筆資料的最佳契約容量。最後，在第五章彙整本文結果並提出未來可能發展的研究方向。. 2.

(10) 第二章. 布朗運動之參數估計與模型檢定. 第一節布朗運動模型(Brownian Motion) 布朗運動(Brownian Motion) [4]是隨機過程中很重要的模型，在數學、經濟學、物理學上都有重要的應用，其概念是在西元 1827 年由英國植物學家 Robert Brown 所提出，故將其命名為布朗運動。. 政治大. 他用顯微鏡觀察水中的花粉微粒時，發現微粒會呈現不規則的運動，. 立. 此運動不論大小方向都是隨機的，且其運動軌跡處處沒有切線。西元. ‧ 國. 學. 1905 年愛因斯坦提出粒子的不規則運動是因為水分子的碰撞導致，. ‧. 且將布朗運動的現象數學公式化。而更嚴謹的定義則是美國數學家. y. Nat. er. io. sit. Norbert Wiener 於西元 1923 年提出，故布朗運動又可稱為維納過程 (Wiener process)。 a. n. iv l C n h e n g c h i U X 首先介紹布朗運動的定義，若一隨機過程. t. , t  0 ，滿足以下. 四個條件，則稱此過程為布朗運動。 1. X 0  0 2. 對 0  t1  t2  t3  ... ，定義增量 Dti  X ti1  X ti. 且 Dt 之間互相獨立，稱之為”獨立增量”(independent i. increments)。 3.

(11) 3. 若 s  t，則 X t  X s 服從期望值為 0，變異數為 2 (t  s) 的常態分配，此性質稱為穩定性(stationary)，亦即機率分配只和所選取之區間長度有關。 4. 綜合以上性質可得 X t ~ N (0,  2t ) , t  0 。由上述定義可知布朗運動的路徑(sample path)為一種常態分佈且具有獨立增量的隨機過程，又當   1 時稱之為標準布朗運動. 政治大. (Standard Brownian motion)。以Bt , t  0 作為標準布朗運動之代號，. 立. 其中 Bt  X t  。圖一為標準布朗運動的路徑示意圖。. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. 圖一. Ch. engchi. i n U. 標準布朗運動示意圖 4. v.

(12) 第二節具飄移項的布朗運動模型(Brownian Motion with drift) 接下來介紹具有漂移項(drift term)的布朗運動。若布朗運動的軌跡在某段區間有上升或下降的趨勢，則需要在公式中加入漂移係數 (drift coefficient)  來描述這種現象。具漂移項的布朗運動定義如下，若一隨機過程  X t , t  0，滿足： 1. X 0  0. 1. 2. 3. 學. Dti  X ti1  X ti. ‧ 國. 2. 對. 治政 0  t  t  t  ... ，定義增量大立. 且 Dt 之間互相獨立，稱之為”獨立增量”。 i. ‧. 3. 若 s  t ，則 X t  X s 服從期望值為  (t  s) ，變異數為 2 (t  s) 的常態. sit. y. Nat. 分配，此性質稱為穩定性。. er. io. n. a lt  0 ， X t ~ N (t,  2t ) ，亦可表示為 4. 綜合以上性質可得 iv Ch. n U engchi X  t   B 。 t. t. 由定義可以發現具漂移項的布朗運動和一般的布朗運動性質大致上相同，唯一不同處在於期望值不再為 0，而是會隨著時間經過而變動，圖二為具漂移項的布朗運動之示意圖，其中   5,   10 。. 5.

(13) 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學 sit. y. Nat. er.   5,   10 之具漂移項的布朗運動示意圖. io. 圖二. n. a. v. l C 將圖二和圖一做比較，可以發現資料確實有漸漸上移的趨勢。 ni. hengchi U. 第三節具飄移項布朗運動模型之參數估計對於一筆真實資料，若我們猜測此資料具有含飄移項布朗運動的性質，即資料符合模型 X t  t   Bt ，則為了將這筆資料建立模型以便做更詳細的描述或探討，我們必須估計其  和  的值。對於估計  和 ，本文提供以下三種方法： 6.

(14) 1. 當樣本數較大時可利用一致估計量，首先取  X t , t  0 的增量. Dt , t  0 ，其中 Dt. i.  X ti1  X ti 。為了簡化問題我們令 ti  i ，則. ti 1  ti  1 , i ，使得 Dti  Di ，則可以取Di , i  0 的樣本平均數 D. 1 n  Di n i 1. 及樣本變異數 SD2 . 1 n 2 ( Di  D)2 作為  及  的一致估  n  1 i 1. 計量(consistent estimator)。 2. 因我們猜測資料為含飄移項之布朗運動 X t  t   Bt ，其中. 立. Xt. 政治大t  . Bt ~ N (0, t ) ，將等號兩側同除以 t ，得到. t   t ，其中.  t ~ N (0,  2 ) ，故可以使用線性迴歸分析估計斜率  及殘差  2 。. ‧ 國. 學. 3. 在生物統計上，系統發生樹(phylogeny tree)又稱演化樹. ‧. (evolutionary tree)，為被認爲具有共同祖先的各物種間演化. Nat. io. sit. y. 關係的樹狀圖。若我們擁有某一物種演化資料，則可以使用 R 套. er. 件”geiger”中的”fitContinuous”[6,7]函數求得  及 2 的. al. n. v i n C h LiikelihoodUEstimator)。最大概似估計量(Maximun engchi 第四節布朗運動模型之驗證. 首先觀察資料必須有  2  t 的性質，即資料的變異程度會隨著時間經過而呈線性方式遞增，之後我們可以再驗證布朗運動的增量 (increments)具有的”常態分配”和”相互獨立”的性質，以下介紹如何檢定增量是否具有獨立性及常態性。 7.

(15) 1. 假設資料觀測值為 X1 , X 2 , ..., X n ，若欲檢定其獨立性，可考慮以下之虛無假設： H 0 : 1  2  ...  H  0. (1). 其中  h 為落差 h 期資料的自我相關係數， h  1, 2,..., H 。所謂的 Ljung-Box test [3,14]使用以下的統計量(稱之為 Portmanteau 統計量)： H. ˆ h2. 政治n  h 大. QH  n(n  2). (2). h 1. 立 ˆ h2 . n. . t  h 1. n. Dt Dt h. D t 1. 2 t. ,. 學. ‧ 國. 其中. h  1, 2,..., H. (3). ‧. 為 D1 , ... , Dn 的相差 h 期的樣本自我相關係數，而 H 為想檢定的落後. Nat. sit. y. 期數(Lag)。則此 Portmanteau 統計量在樣本數夠大的時候就會. er. io. 近似自由度為 H 的卡方分配。在顯著水準 之下，若 QH  12 , H ，. al. n. v i n Ch 則拒絕虛無假設 H 。或者可以使用 U e n g c hRi提供的函數”Box.test”求 0. 出檢定的 p  value ，再和顯著水準 做比較，若 p  value 小於  則拒絕虛無假設 H 0 。 2. 檢定常態性，設定虛無假設如下(令 ti  i )： H 0 : Di ~ N ( ˆ , ˆ 2 ). (4). 我們可利用 Kolmogorov-Smirnov 檢定(K-S test) [10]來驗證資料的常態性。所謂的 K-S 統計量定義為： 8.

(16) Rn  sup | Fn (d )  F (d ) |. (5). d. 其中 Fn (d ) . 1 n  I Di  d  n i 1. (6). 為所謂的經驗分配函數(empirical distribution function) ，而 1, if Di  d I Di  d    0 , otherwise. (7). 為指標函數(indicator function)，另外 F ( x) 為理論上(即虛無假. 治政設為真時)的累積分配函數。此檢定統計量大 R 在虛無假設成立時立 n. ‧ 國. 學. 會近似一個特殊分配 Fk (r ) (稱為 Kolmogorov 分配) ， Fk (r ) 的累積分配函數如下： 2 2. e k 1. y. . (8). sit. io. 2  r.  (2 k 1)2  2 8 r 2. er. Nat. k 1. ‧. . Fk (r )  Pr (k  r )  1  2 (1) k 1 e 2 k r. n. a l 。或者可以使用 R 提供的函數”ks.test” 則可以此統計量做檢定 iv. n U engchi 求出 K-S 檢定的 p  value ，再和顯著水準 做比較，若 p  value 小. Ch. 於  則拒絕虛無假設 H 0 。. 若上述獨立性及常態性的檢定結果都不拒絕虛無假設，即表示 Dt 服從常態分配且彼此獨立，則表示原始資料具有”獨立增量”的性質且亦服從常態分配，故我們可以確認原始資料極可能為一種具飄移項的布朗運動。 9.

(17) 第三章. 訂定電力最佳契約容量問題. 第一節最佳化問題描述我們以電費計算做為本研究的例子，使用台灣電力公司提供的電費計算公式：基本電費＋流動電費，其中基本電費為契約容量的度數乘以每度定價，流動電費為該月實際使用總用電量度數乘以每度定價，. 政治大. 基本電費和流動電費的每度定價通常不相同。. 立. 首先介紹何謂最高需量及契約容量。最高需量為該月最高的日用. ‧ 國. 學. 電量；而契約容量為各別用戶和台灣電力公司申請的一個最大日用電. ‧. 量標準，台灣電力公司在發送電力時會依照各用戶訂定的契約容量分. y. Nat. er. io. sit. 配電量。計收電費時，是利用最高需量和契約容量互相比較，若該月最高日需量未超過契約容量，仍按契約容量計收基本電費；反之若該 a. n. iv l C n hengchi U 月最高日需量超過契約容量時，則需要再另外支付超約附加費，此超約金額通常較為昂貴。但是為了不超約而將契約容量訂得越高不一定越好，其原因是若將契約容量訂的太高，有可能用不到這麼多電，卻因此多付了很多基本電費；若將契約容量訂得太低，則有可能因為最高日需量超出契約容量太多而付出很多的罰金。故找到一個合適且最佳的契約容量標準成為一個非常重要的課題。實際上根據台灣電力公司所提供的電價表，契約容量可細分為經 10.

(18) 常契約容量、夏月契約容量、非夏月契約容量、週六半尖峰契約容量、離峰契約容量…等。本文為了簡化計算只訂定一個浮動的契約容量標準，但是在實際應用上只要將本文的結果略為修正即可。假設 X t , ti  0 為第 i 個月的總用電量度數，則 X t = Y ji ，其中Y ji 為 ni. i. i. j 1. A. 第 j 天的用電度數， ni 為該月份之總天數。因為 X t ~ N (ˆ ti , ˆ 2ti ) ，我們 i. 可以合理假設 Y 是 iid 且近似 N ( i j. 立. ˆ ti ˆ 2ti ,. )，亦即當月每天用電量為獨立. n 政治大 ni. i. 且服從相同之常態分配。接著令Y(ni ) 為第 i 個月的最高需量，並假設消 i. ‧ 國. 學. 費者可選擇的契約容量為 k  K ，其中 K 為所有可選取之契約容量值. ‧. 所成之集合，稱為決策集(decision set)。假設流動電費每度 d 元，. Nat. io. sit. y. 最高需量未超出契約容量時所應付的基本電費為每度 c 元，而若該月. er. 最高需量超出契約容量則超出部分每度需再多付出 c  元，假設現在總. n. al. Ch 共觀察 T 個月份，則所要付的總電費為： i e ngch. i n U. v.   k )  I Y.   k. . . Cost (k )  c  k  d  X t1  c   (Y(1n1 )  k )  I Y(1n1 )  k  c  k  d  X t2  c   (Y(n22 ). 2 (n2 ).  c  k  d  X tT  c   (Y(TnT )  k )  I Y(TnT )  k. . T. (9). .  Tck    d  X ti  c   (Y(ni i )  k )  I Y(ni i )  k , k  K   i 1 我們的目標是要選擇一個最佳的契約容量 k 使得這T 個月份的總電費 Cost (k ) 的期望值達到最小，即： 11.

(19) Minimize E[Cost (k )] kK. 其中 K  R 為所有可以選擇的契約容量值所形成的集合。. 第二節以布朗運動模型擬定最佳策略令 pki 代表資料在第 i 個月最高需量不超過契約容量的機率，即 pki  Pr (Y(ni i )  k ). (10). 政治大. 若對 X (ti ) , ti  0 做第二章所述之布朗運動適合度檢定，結果判定. 立. 學. . pˆ ki  Pr (Y(ni i )  k ) ni. ‧.      Pr (Y1i  k )   . ni. (11). n. al. er. io. sit. Nat.  Y1i  ˆ ti ni k  ˆ ti ni    Pr (  ) ˆ ti ni ˆ ti ni   k  ˆ ti ni   ni ( ) , i  1, 2,..., T ˆ ti ni. y. ‧ 國. 其為一具飄移項之布朗運動時，我們可以求算 pki 的估計值 pˆ ki 如下：. Ch. engchi. i n U. v. 另外，在第 i 個月最高需量Y 會超過契約容量 k 的機率可估算為： i (ni ). . Pr (Y(ni i )  k )  1  pˆ ki  1   ni (. k  ˆ ti ni ) ˆ ti ni. 則當選擇契約容量為 k 時，T 期總電費的期望值可估算為：. 12. (12).

(20) . Eˆ [Cost (k )]  Eˆ c  k  d  X (t1 )  c   (Y(1ni )  k )  I Y(1ni )  k . . . . . .  c  k  d  X (t2 )  c   (Y(n2i )  k )  I Y(n2i )  k.  c  k  d  X (tT )  c   (Y(TnT )  k )  I Y(TnT )  k  .  c  k  d  ˆ t1  c    y  fY 1 ( y )dy  c   k  (1  pˆ 1k ) k. (n1 ). (13). . +c  k  d  ˆ t2  c    y  fY 2 ( y )dy  c   k  (1  pˆ k2 ) k. (n2 ). .  c  k  d  ˆ tT  c    y  fY T ( y )dy  c   k  (1  pˆ kT ) k. (nT ). 治 y)dy  c k (1  pˆ )  Tck  d  ˆ t 政  c   y  f (大  立 T. . i. . i 1. . Y(ini ). k. i 1. fY i ( y )  dFY i ( y ) dy (ni ). i k. (ni ). ni. ˆ ti ni. . ni 1. (. y  ˆ ti ni y  ˆ ti ni ) ( ) , i  1, 2, ..., T ˆ ti ni ˆ ti ni. ‧. . T. 學. ‧ 國. i 1. 其中. T. Nat. sit. y. (14). io. al. n. Eˆ [Cost (k )] . er. 此外，若取 ti  i ，則總費用的期望值可以簡化為：. T. Ch. engchi. T. . i 1. k. i n U. v. T. Tck  d ˆ  i  c    y  fY i ( y )dy  c  k  (1  pˆ ki ) i 1. (ni ). (15). i 1. 其中 fY i ( y )  (ni ). ni 1 ni y  ˆ i ni y  ˆ i ni  ( ) ( ) ˆ ti ni ˆ ti ni ˆ ti ni. k  ˆ i ni pˆ   ( ) , i  1, 2, ..., T ˆ ti ni i k. (16). ni. 由上述公式發現只有 k 是變數而其他參數可視為固定的常數，故費用的期望值為 k 的函數，而我們的目的是要找到使 Eˆ [Cost (k )] 最小的 13.

(21) k 值。以下我們分成兩種情況討論如何找到最適當的 k 值：. 1. 若 k 為連續型的數值，則決策集 K  R 表示所有 k 的可能值形成的集合，亦即 Eˆ [Cost (k )] 為 k 的一連續型函數。在此情況下我們可以利用數值方法找到最佳的 k 值，以下提供幾種常見的數值方法：若函數為單峰(unimodal)函數，即函數只有一個極值，則可以使用黃金比例搜尋法(Golden Section Search) [16]。黃. 政治大. 金比例搜尋法的示意圖如圖三，假設已知三點 x1  x2  x3 的函. 立. 數值 f1 , f 2, f 3可形成一單峰區間，則極值必產生在此區間，接. 學. ‧ 國. 著取距離區間左右端點距離比為黃金比例(Golden Ratio or. ‧. Golden Section，約為 1.618)的點做為起始點，以圖三為例，. Nat. io. sit. y. 取 x1 x4 : x3 x4 為黃金比例的做為起始點 x4 ，接著比較 x2 和 x4 函數值的大小，若 f 2  f 4 (即 x4 的函數值為 f 4a )，則 ( x1 , x4 ) 可形成新. er. i.. al. n. v i n 的單峰區間；若 fChf e (即 x 的函數值為 ngchi U f 2. 4. 4. 4b. )，則 ( x2 , x3 ) 可形成. 新的單峰區間，接著在新的區間再次以黃金比例的距離選取新的點做比較，最後區間會收斂到一點，該點即為所求。. 14.

(22) 圖三. ii.. Golden Section Search 示意圖. 政治大. 二分法(Binary Search) [9]為對某段特定區間，選取該區間. 立. 中點做為迭代點(iteration point)，若極值發生在迭代點左. ‧ 國. 學. 側，令原區間的左側端點及迭代點做為新的區間，反之則令. ‧. 原區間的右側端點及迭代點做為新的區間，不斷進行迭代使. y. Nat. er. io. 也可以用費式搜尋法(Fibonacci Search) [15]。費式搜尋法 a. iv l C n hengchi U 和二分法相似，差別在於迭代點的選取，費式搜尋法是以距 n. iii.. sit. 得區間越來越小，最後區間會收斂到一點，該點即為所求。. 離區間左右端點的距離比為費式數列(Fibonacci Sequence，即數列中每一項為前兩項之和，例如：1，1，2，3，5，8， 13，…)的點做為迭代點。在運算效率方面，二分法是使用區間中點，即將區間範圍除以二，為除法運算；而費式搜尋法是用費式數列，又費式數列每一項為數列前兩項的和，為加法運算，因為電腦做加減運算的效率高於乘除運算，故費式 15.

(23) 搜尋法的效率會優於二分法。 iv.. 另一較常見的方法為牛頓法(Newton's Method) [13]，牛頓法的示意圖如圖四，首先選取 x 軸上任一點 x0 做為起始點 (initial point)，計算其函數值 f ( x0 ) ，接著令通過 ( x0 , f ( x0 )) 的切線與 x 軸的交點 x1 做為迭代點， x1 可經由求解 f (x0 )  f ( x0 )( x0  x1 ) 得到，接著再以相同方法求下一個迭代點. 政治大. x2 ，以此不斷地迭代，直到收斂到某一個點，該點即為函數. 立. xn1  xn . 學. ‧ 國. 極值產生處。迭代公式可簡化為：. f ( xn ) , n  1, 2,... f ( xn ). (17). ‧. n. er. io. sit. y. Nat. al. 圖四. Ch. engchi. i n U. v. Newton’s method 示意圖. 2. 若 k 為離散型的數值，即有數個不同的 k 值，k1 , k2 , k3 ,... ，則可以直接利用窮舉法(exhaustive search)，把 k 值一一代入，找到令 Eˆ [Cost (k )] 為最小的 k 值即為所求。以下對於離散型的 k 舉兩個例. 子： 16.

(24) (例一)給定 ˆ  30, ˆ 2  25, c  20, d  10, c  40, T  10 ，且 k  20, 40, 60,80,100，則可以得到相對的總費用期望值估計值. 如圖五：. 學. Nat. 由圖五可以發現 k  60 為最佳契約容量。. y. 離散型契約容量範例一. er. io. sit. 圖五. ‧. ‧ 國. 立. 政治大. (例二)給定 ˆ  30, ˆ 2 a25, c  5, d  10, c  10, T  10 ，且. n. iv l C n engchi U k  20, 40, 60,80,100h ，則可以得到相對的總費用期望值估計值. 如圖六：. 17.

(25) 圖六. 立. 政治大. 離散型契約容量範例二. 由圖六可以發現 k  100 為最佳契約容量，由圖五及圖六我們也發. ‧ 國. 學. 現本文所導出的總費用期望值估計式 Eˆ [Cost (k )] 並不為單純 k 的凸函. ‧. 數(convex function)，其原因是函數 Eˆ [Cost (k )] 同時也會受到其他數. y. Nat. er. io. sit. 值的影響(如 c, d , c  等等)，加上(15)式為 k 的一個複雜函數。綜合以上的觀察，除非我們有強烈的證據顯示 Eˆ [Cost (k )] 為一個 k 的簡單函數 a. n. iv l C n h e n g c h i UGolden Section Search (如 convex 或 monotone)，否則不建議使用的方法。. 此外，以上介紹的數種搜尋方法，除了黃金比例搜尋法僅適用於單峰函數外，其餘方法皆有可能因為起始點選取的不同，而搜尋出多個相對極值，則必須再將所找出的極值分別代入(15)式計算並做比較進而求出最佳解。. 18.

(26) 第四章. 實例研究. 本文以政治大學校本部歷年用電量作為研究實例，詳細用電量資料可於政治大學總務處網站下載，取民國 99 年至民國 102 年的下學期(3 月~7 月)作為研究資料。詳細資料如表一： 99 年. 100 年. 101 年. 102 年. March. 1635440. 1476600. 1616920. 1566560. April. 2723120. 2307800. May. 2438760. 2673040 政2518680治大. June. 2473440. 2450640. 2857960. 3083840. 3393640. 3017320. 3321000. 3453040. 3091120. 3551880. 表一. ‧. ‧ 國. 2267200. 學. July. 立. 政治大學民國 99 年至 102 年 3 月~7 月用電量. sit. y. Nat. er. io. 為了不要讓資料尺度太大，我們先統一將資料除以 100 並四捨五. al. n. v i n Ch 入到整數位再作分析，做完處理的資料如表二： engchi U 99 年. 100 年. 101 年. 102 年. March. 16354. 14766. 16169. 15666. April. 27231. 25187. 26730. 23078. May. 24388. 22672. 24734. 24506. June. 28580. 30838. 33936. 30173. July. 33210. 34530. 30911. 35519. 表二. 政治大學民國 99 年至 102 年 3 月~7 月用電量(尺度縮減後). 19.

(27) 並將資料繪整如圖七：. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學 er. io. sit. y. Nat. a l 99~102 年 3~7 月份用電量資料 v i n Ch engchi U. n. 圖七. 由圖七可觀察到在各年份，用電量都有漸漸往上遞增的趨勢，且隨著月份的增加，資料的變異程度也越大，故我們猜測此資料符合具正飄移項的布朗運動，故使用第三章所介紹的檢定方法檢驗此用電量資料是否為布朗運動。將每年的資料每個月依序減掉前一個月的資料，每年會得到 4 個增量，總共會得到 16 個增量如表三： 20.

(28) 99 年. 100 年. 101 年. 102 年. D1. 10877. 10421. 10561. 7412. D2. -2843. -2515. -1996. 1428. D3. 4192. 8166. 9202. 5667. D4. 4630. 3692. -3025. 5346. 表三. 政治大學民國 99 年至 102 年 3 月~7 月用電量增量. 首先計算增量的平均數以及標準差，分別得到  及 的估計量. 政治大. ˆ  D  4450.9 ， ˆ  SD  4971.2 。將此估計線繪製到資料圖上為圖八，. 立. 其中粗黑線為估計線 ˆ t ：. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. 圖八. Ch. engchi. i n U. v. 99~102 年 3~7 月份用電量資料(粗黑線為估計線 ˆ t ). 21.

(29) 接著檢驗增量的獨立性，取落後期數 H  1, 2,3 分別檢驗四個年份的增量是否獨立，虛無假設 H 0 為每一年的四個增量彼此互相獨立，使用 R 的函數”Box.test”做 Ljung-Box test 得到的 p  value 如表四：. 99 年. 100 年. 101 年. 102 年. H 1. 0.3205. 0.1577. 0.1658. 0.2557. H 2. 0.6092. H 3. 0.8026. 立. 0.5238 0.7284. 用電量增量的 Ljung-Box test 檢定結果. ‧. ‧ 國. 學. 表四. 0.2365 政0.3163治大 0.5084 0.3563. 可以發現若顯著水準   0.05，則這些 p-value 都不會拒絕虛無. y. Nat. er. io. sit. 假設，即這些增量彼此之間互相獨立。此外，由於本文之研究實例每. n. 年度的增量僅有四個，， a故 Ljung-Box test 的檢定力(power)可能不足 v 但仍可作為參考。. i l C n hengchi U. 最後檢驗增量的常態性，虛無假設 H 0 為這 16 個增量服從 N (ˆ , ˆ 2 ) ，使用 R 的函數”ks.test”做 Kolmogorov-Smirnov test 得到的 p  value 為. 0.5882，故在顯著水準   0.05 下，檢定不顯著拒絕虛無. 假設 H 0 ，表示此 16 個增量服從 N (ˆ , ˆ 2 ) 。由於增量通過獨立性及常態性的檢定，我們可以推測此用電量資料為一種布朗運動，且可以使用 D 及 S D 來估計  及  。 22.

(30) 接著求解最佳策略，令可選擇的契約容量標準 k  K ={1800,2000,2200,2400,2600,2800,3000,…,10000}，每度流動電費 d  5 元，基本電費 c  1000 元，超約附加費 c  為基本電費的 3 倍，即. 3000 元。以第三章所推導的(15)式算出在各個不同的契約容量標準 k 之下所得到的總費用期望值的估計值為圖九：. 政治大. 立. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. 圖九. Ch. engchi. i n U. v. 各契約容量所對應的總費用期望值. 詳細數字如表五所示： 23.

(31) k. Eˆ [Cost (k )]. k. Eˆ [Cost (k )]. 1800. 10828559. 6000. 5625280. 2000. 10428563. 6200. 5814402. 2200. 10028578. 6400. 6029521. 2400. 9628634. 6600. 6262701. 2600. 9228815. 6800. 6507151. 2800. 8829342. 7000. 6757384. 3000. 8430727. 7200. 7009218. 政治 7400大 7641270 7600 立 8034039. 4400. 8000. 6528791. 8200. 6202899. 8400. 5914539. 8600. y. Nat. 4200. 6882621. ‧. 4000. 7800. io. sit. 3800. 7255770. 7506733. 學. 3600. ‧ 國. 3400. 7259660. er. 3200. 7749274 7986742 8219042 8446382 8669156 8887856. 5000. 5361892. 9200. 9315156. 5200. 5300136. 9400. 9524774. 5400. 5300874. 9600. 9732313. 5600. 5359985. 9800. 9938165. 5800. 5470855. 10000. 10142663. 4800. n. 8800 a5673210 iv l C n 5487087h e i U n g c h 9000. 4600. 表五. 9103014. 契約容量與其對應電費. 由以上分析，建議選擇 k =5200 作為我們的契約容量。. 24.

(32) 第五章. 總結與討論. 布朗運動常常用來預測某些資料將來可能的變動。本文從布朗運動的基本定義開始介紹，並說明如何估計布朗運動的參數，以及如何對資料做布朗運動的驗證，並提供一個新的模型來搜尋電力之最佳契約容量。但本文未來仍然有些可以深入探討的部分： 1. 本文中所使用的模型為最基本的 X (t )  t   B(t )，這並不足以表現. 政治大出所有可能的情況，有時候一筆資料可能會分成數個區段立. ‧ 國. 學. (piecewise)，每一段有不同的趨勢走向或變異程度，此時描述. ‧. 趨勢的 t 及  2 亦可能變得更加複雜。此外，用電量的趨勢走向也. sit. y. Nat. 有可能為非線性，例如 X (t )  1t  2t 2  3t 3   B(t ) ，相同的情況也. er. io. 可能發生在代表震盪程度的 B(t )，亦即每一段有不同的變異程度。. n. a. l C 總括來說，更加一般化的模型可以表示成 ni. hengchi U. v. n. X (t )   fi (t )   i B(t ) i 1. 其中 n 為模型隨時間週期被切割的個數， fi (t ) 為第 i 個時段的趨勢函數， i 為對應該區段的變異程度。但是如此一來最佳契約容量的公式推導也會亦趨複雜。 2. 事實上，布朗運動的定義太過理想化，很多現實中的資料並不符合這麼嚴格的定義，故可以考慮更加一般化的分數布朗運動 25.

(33) (fractional Brownian motion) [5]，其定義如下： BH (t )  BH (0) . 1 ( H  1 2). . 0. . t. . (t  s) H 1 2  ( s) H 1 2 dB( s)   (t  s) H 1 2 dB( s) 0. 此模型有以下的共變異數函數： 1 E  BH (t ) BH ( s)  (| t |2 H  | s |2 H  | t  s |2 H ) 2 1 2. 其中當 H  時為標準布朗運動。分數布朗運動和布朗運動最大的差別在於布朗運動有獨立增量的性質，然而分數布朗運動可以容 1 2. 政治大. 許增量互相不獨立，當 H  時，此模型可描述所謂長期相依性. 立. (long range dependent)的資料結構。若把這些要素都考慮進去，. ‧ 國. 學. 此模型會更接近現實生活，做出來的結果也會更精確。但是如此. ‧. 一來最佳契約容量的公式推導也會變得更加複雜。. Nat. io. sit. y. 3. 驗證布朗運動，除了本文介紹的方法之外，也可以使用適合度檢. er. 定(Goodness-of-fit test)或利用隨機微分方程(stochastic. al. n. v i n Ch differential equation)建立檢定統計量，定義 engchi U VT ( x) . 1 T.  I X T. 0. t.  x ( X t )(dX t  S0 ( X t )dt ). 為分數標記經驗過程(Score Marked Empirical Process)，並以 sup |VT ( x) | 做為檢定統計量 [1,11]。 x. 4. 第三章中有提到一些連續型函數求極值的數值方法，但由於本文所使用的用電量資料及契約容量為離散型，故對連續型函數沒有多加著墨，這部分也是未來可以進行研究的方向。 26.

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