一般液晶自由能表示式中，有兩種表示法，一是向量，另一則是張量，
以目前模擬的溝槽結構所產生的自由能來說，因為相鄰液晶方向矢的變化 量沒有超過 90 度，所以我們可以較簡單的向量式得到自由能，但當某些液 晶有不連續線(disclination lines)時，或相鄰方向矢的變化超過 90 度時，向 量法則沒有辦法給出正確的值，這是因為對液晶來說 和 是不可區分 的。而張量表示式則不會有這些問題。所以我們以張量的方法試著做溝槽 模擬，並比較兩個方法得出錨定能的差別。
nˆ −nˆ
在1-1 節提過，在液晶態時，相鄰的向列型液晶分子會傾向彼此平行排列，
這個平均分子長軸排列的方向，通常以單位向量
n 來表示，並稱此方向為方
向矢。各個液晶分子因為熱擾動的關係使得分子長軸會偏離方向矢，分子 排列的整齊程度可以序參數(order parameter)來表示。假設方向矢的方向在 z 方向上，液晶的長軸方向和x 及 z 軸夾了ˆ
φ
m以及的θ
m的角度， 液晶分子偏 離方向矢的機率為f
(θ
m,φ
m)1. 因為向列形液晶以方向矢的方向為對稱軸為圓柱對稱，因此
f
(θ
m,φ
m)和φ
m沒有關係。2. 因為液晶是頭尾對稱，即nˆ =−nˆ, 所以
f
(θ
m)= f(π
−θ
m) 而序參數(order parameter)S 則定義為V
值(eigen-value)為-S/3，-S/3，以及 2S/3，其中 2S/3 所對應的特徵向量(eigenvector)，即為方向矢的方向。 態的自由能，藍道(L. D. Landau)提出了二階相轉變(second order phase transition)的自由能密度可由序數的級數展開來求得，P. G. de Gennes 則把藍 道的相變理論推廣到液晶的一階項變中[17]，在序參數不大的情形下，自由
若以張量的形式改寫上式，則可寫成[18]:
i
∈ ，依照愛因斯坦求和約定(Einstein convention)下標出現兩次 則需累加。 q5)，所選擇的是 PDE 係數型(PDE coefficient form),參數的設定上，把(11) 和軟體所提供的泛函做比較,彈性能是對 Q 的二次偏微分，所以屬於擴散通 量(diffusive flux)c 的部分，而 Landau de Gennes 因為沒有偏微分且為 Q 的多次項，所以為來源項(source term)的部分。求解時，則是選擇時變(time dependent)的 DASPK 演算法, 線性解系統 GMRES，預處理器(preconditioner) 用incomplete LU，來求出總自由能最小的情況。
我們先以文獻[20]中的結果來做測試，考慮的系統為溝槽寬度 40nm，
週期100nm，深度 30nm，樣品厚度 100nm, 中間有一個半徑 15nm 的小球，
考慮液晶5CB 在 30oC 下，則 γ=0.04PaS，K1=5pN，K3=7pN [12]，選用合適 的比例因子(scaling factor)，壓力 105Pa，長度 10nm，時間 1ns，則可得到無 因次的量 A=1，U=3.1，γ=400，L1=1。而邊界條件的設定上，溝槽及小球 表 面 都 為 垂 直 配 向 Sbulk=0.81 ， 而 因 向 列 形 液 晶 的 同 調 長 度 (coherence length)
ξ = 18 L
1/ AU = 17 . 3 nm
，所以上面大正方體的四面及頂部都假設液 晶方向矢的方向沿著 z 方向，且四面不需要設為週期性的邊界條件(periodic boundary condition)。我們的網格數目約在 70 000 到 80 000 之間，在文獻[20]中提到網格數超過59346，則所得到的值不再隨網格數所變。而模擬出的序 參數及方向矢在系統中的變化如下圖，序參數的變化和文獻中非常類似，
而方向矢在小球和溝槽表面也都垂直表面排列。而相對應的自由能，在小 球距溝溝底部 5nm 時，
f
LdG= − 1 . 72 × 10
−17J
，f
d= 7 . 86 × 10
−18J
，而距離為 25nm 時，f
LdG= − 1 . 65 × 10
−17J
，f
d= 8 . 63 × 10
−18J
。圖2 小球距底部 5nm 方向矢及序參數分佈
圖3 小球距底部 25nm 方向矢及序參數分佈
接著模擬我們在論文中考慮的溝槽結構，考慮5CB 在溫度為 25.5oC 下 的情況，則轉動黏滯係數γ=0.09PaS[21]，K1=6.1pN，K3=8.4pN，S=0.54 [12], 所以上參數的設定為: A=1，U=3.1，γ=900，L1=1.2，網格的設定，因為硬 體的限制，網格密度和解向量式時的設定有些許不同，溝槽斜邊最大的網 格尺寸為1×10-8m，而整個區域則是選用內建的分割法: finer(圖 4)。
圖4 網格設定
求解後則可得到方向矢以及序參數的分布如圖 5，6，7，8。序參數會 因為溝槽的影響而變小。我們把張量法和向量法求出的錨定能做比較(圖 9)，發現在小角度時，錨定能用張量及向量所求出來的結果比較發現大概都 有百分之三十的誤差，這樣的結果可能因為Landau de Gennes 項的絕對值 大彈性能項很多的原故(表 1)。而且因為我們所考慮的溫度已經遠離臨界溫 度很多，序參數大約在0.54，所以考慮 Landau de Gennes 項時應該要考慮 到序參數的更高次展開項可能能得更好的結果。
圖5 週期 1μm，斜角 20o，深度100nm
圖6 週期 1μm，斜角 40o，深度100nm
圖7 週期 1μm，斜角 60o，深度100nm
圖8 週期 1μm，斜角 90o，深度100nm
10 20 30 40 50 60 70 80 90 0.0
2.0x10-5 4.0x10-5 6.0x10-5 8.0x10-5 1.0x10-4 1.2x10-4 1.4x10-4
A(J/m2 )
Tilt angle(degree)
Vector Tensor
Depth 100nm period 1μm with different tilt angle
圖9 週期 1μm，深度 100nm，不同斜角下，張量及向量法所得到的錨定能 強度之比較
表 1 不同斜角下，總自由能中
f
d和f
LdG兩項能量的比較 斜角f
d(J)f
LdG(J)20o 1.661328×10-17 -5.303349×10-16 40o 9.118832×10-18 -5.577405×10-15 60o 5.107534×10-18 -5.488709×10-15 80o 2.149069×10-18 -5.109784×10-16