首先以扭轉相列型液晶盒(TN cell)(圖 4-1.1)的例子做為測試，因為在這 個例子中可以得到方向矢分佈的解析解，並和 COMSOL MultiphysicsTM模 擬軟體所得到的數值解做比較。考慮一個液晶間隙(cell gap)為 5μm 的液晶
透過Euler-Lagrange 可以得到方位角ψ會符合以下的公式:
=0
所得到的結果相同。
4-2 模擬結果與文獻對照
M. Kimura, et al. 在 2005 年發表的論文是以有限元素分析法來模擬溝 槽造成的液晶錨定能強度，論文中考慮的系統是一個周期為3μm 的溝槽(圖 4-2.1),在溝槽表面的液晶是平貼表面排列，左右兩邊則是考慮周期性邊界條 件，上邊界則是假設液晶是平行x 軸，論文中使用的液晶是 MLC-2051(Merck Japan)，它的彈性常數:
K
1= 10 . 4 pN K
3= 15 . 6 pN
，論文中模擬出不同深度 和D(突起和周期的比值)下所對應的方位角錨定能強度。我用前一章節所提到的模擬設定，來和論文所得到的值做比較(圖 4-2.2)，發現我的值比論文中的值大了約 2~3 倍，但圖形的趨勢則大致相同。
當深度愈深時，錨定能只和深度有關，跟 D 則無關，這是因為當深度遠大 於一個週期的時候，不同的D 值都可以看成是長方形的溝槽，也就是 D=0.5 的情形。而在 D=0.5 時，錨定能對深度的變化率最小，這是因為在 D=0.2 和D=0.4 的情況下，當深度改變時，溝槽的斜角也會跟著變，而 D=0.5 時，
只是單純的深度變化。
關於錨定能不同的原因，猜測有兩種可能, 一是網格密度不同，另一則 是我們因為對稱性，所以在邊界沒有使用週期性的邊界條件。首先我們先 考慮網格所造成的影響，依論文上所提到模擬系統中，網格的結點(nodes) 是 30*10 並把網格改為方格來做模擬。我們發現結果和論文中的數據非常 接近(圖 4-2.3)，也因此我們認為我們原來模擬大於論文上值的原因主要在
於網格密度不同。從物理上思考的話，由於論文中把系統分成了30 個區域，
每一區由有限元素分析的方法給出了一個方向矢的方向，但相對的則忽略 了區域中每個原子排列可能有些許不同，因此自由能會小於我們以一個液 晶分子尺寸來做為網格大小所求出的值。
4-3 溝槽結構對錨定能強度的影響
在溝槽形貌對錨定能的影響中，我們考慮的因素有三個：溝槽的斜角，
週期，深度。因為之前以反應式離子蝕刻製成的溝槽深度最大約125nm, 寬 度有2, 3, 4, 5μm，所以模擬時，最大深度為 125nm, 最大週期為 5μm。
首先在固定深度(50nm)，和週期(2, 3, 4, 5μm)情形下，改變斜角 (5~90o)，觀察不同斜角下的錨定能強度變化(圖 4-3-1)。可發現錨定能強度 隨著斜角變大而增加，變化的方式則是和斜角成平方正比的關係。斜角 90 度時的錨定能強度為斜角5 度時的 300 倍。
接著固定斜角和深度，考慮週期對錨定能強度的影響，為了和Berreman 理論中錨定能強度和週期倒數的三次方成正比比較，所以選擇以錨定能強 度對週期倒數，即線密度(line density)作圖(圖 4-3.2)。線密度和錨定能強度 的關係呈兩段變化，當線密度小也就是週期大時，錨定能強度和線密度呈 線性的變化，而線密度大時，錨定能強度則以非線性的變化急速上升，但 以線密度的三次方來擬合錨定能的曲線時不會得到很好的結果，因此梯形 的溝槽所造成的錨定能不像Berreman 處理的正弦波形的溝槽和週期倒數有
三次方的關係。
由模擬所得到的向量矢的分布(圖 4-3.3)，可以解釋錨定能對線密度作 圖前段是線性的現象，因為當週期很大的時候邊界附近的液晶方向矢已經 不受溝槽邊緣的影響，沿著水平方向上排列，因此當週期夠大時，總自由 能約為定值，而總自由能除以週期為錨定能強度，故錨定能強度和線密度 成正比。而在小週期的時候，因為邊界條件的關係，使得方向矢要在比較 短的距離內變化相同的角度，因為自由能密度和方向矢變化量的平方有 關，這也可以解釋在線密度小時，錨定能快速且非線性增加的原因。
我們把錨定能對線密度關係圖前段線性的部分，做過原點的線性擬 合，選擇通過原點的原因是週期無限大，即線密度為 0 時，錨定能應該也 為 0。我們定義線性擬合得到的 R 如果小於 0.9995 則為非線性的區域，而
9995 . 0
R = 的點則定義為線性過渡到非線性的臨界週期(critical period)。
接著進一步探討相同斜角下，臨界週期和深度的關係，在特定的斜角，
考慮五種不同深度(25nm，50nm，75nm，100nm， 125nm)下，錨定能強度 和週期的關係(圖 4-3.4(a),圖 4-3.5(a), 圖 4-3.6(a)，圖 4-3.7(a))，並把臨界週 期和所對應的深度作圖發現也是線性的，我們並以一條通過原點的直線做 擬合，選擇通過原點直線的原因是當深度為零時，不論溝槽的寬度多大，
所得到的錨定能強度應該都為零，所以擬合時應該選擇過零點的直線，而 我們也得到了很好的線性關係(圖 4-3.4(b),圖 4-3.5(b), 圖 4-3.6(b)，圖
4-3.7(b))，圖中虛線為溝槽為三角形的情況(圖 4-3-8)，虛線的方程式:
= Θ tan
D
P 2 ，其中 P 為週期，D 為深度，Θ 為斜角，虛線以下的部分為不可
能出現的區域。因此固定深度，當溝槽的寬深比小於斜率時，代表錨定能 和線密度呈非線性的關係，而大於斜率時，錨定能和深寬比則為線性的。
當比較不同斜角下，臨界週期對深度的關係時(圖 4-3.9)，發現當斜角愈小 時臨界週期對深度擬合出直線的斜率則愈大，也就是同一個深度下，斜角 20 度的臨界週期會最大，這是因為同深度和週期下，20 度的斜角和邊界會 最接近(圖 4-3-10)，使得液晶方向矢的分布受兩邊界的影響，導致總自由能 快速增加。
最後固定週期和斜角(90o)，改變深度，斜角定在 90o是因為若考慮其它 的角度，當深度變的時候，溝槽兩個邊界的距離也在變。我們發現當週期 很小的時候，深度和錨定能強度的變化是線性的(圖 4-3.11)，而且在我們考 慮的四個週期(20nm, 30nm, 40nm, 50nm)下，週期愈小，斜率愈大，上述幾 個特性都可以由液晶方向矢在溝槽中的分布情形來說明(圖 4-3.12)。考慮週 期是 50nm，深度 50nm 的溝槽結構，並把和溝槽底部不同距離的向量矢在 x 方向上的分布作圖，由圖可發現當距溝槽底部 20nm, 25nm, 30nm 時，方 向矢的分布幾乎完全相同，也就是和上下溝槽轉折處距離超過一定的深 度，因為左右兩個邊界相距太近，所以液晶方向矢的分布完全是受左右兩 邊界的影響，所以當我們再把深度持續的增加，則增加的是受左右兩邊界
影響的區域，所以總自由能和深度呈線性的關係。而把錨定能強度和深度 的關係做線性擬合，所得方程在 y 軸的截距，則為溝槽上下兩個轉折處方 向矢變化率比溝槽中間的液晶層大所多貢獻出的自由能。而不同週期下，
擬合的直線幾乎交在同一點，至於原因則需進一步的研究。
而在大週期時，即寬深比都比圖4-3.7(b)中，臨界週期和深度的直線所 給出的斜率大，錨定能強度的變化隨著深度愈深，變化量愈小(圖 4-3.13)，
這是因為現在溝槽左右兩個邊界的距離大於溝槽深度，所以不同深度下錨 定能不同的原因主要是因為上下兩個轉折處距離的不同，當深度愈大時液 晶方向矢在y 方向的變化率可以愈小。
4-4 實驗與理論比較
實驗的部分是由林雅峰學長[14]及鄒明釗[15]學長所完成，他們是以反 應式離子蝕刻的方式在玻璃基板上蝕刻出梯形的溝槽，並藉由改變蝕刻的 時間來改變深度。
而方位角錨定能的測量則是依據Sato[16]等人提出之量測方法，在液晶 中加入旋光性物質(chiral dopant)藉以將液晶分子拉離溝槽方向，而使得靠 近上下兩片玻璃基棭的液晶分子兩基板夾一角度，量測此角度，便可得玻 璃基板對液晶分子的方位角錨定能強度。
我依照附錄A 中，用 AFM 掃描蝕刻後玻璃表面所得到的結果來對模擬 結構的深度和傾斜角度做設定。所模擬出的結果和實驗值的比較如圖所示
(圖 4-4.1)、 (圖 4-4.2)。可以發現我所模擬的結果幾乎都小於學長的實驗數 據，但趨勢上則大致相同，至於實驗值普遍偏大的原因可能是由於反應式 離子蝕刻形成溝槽時，在玻璃表面可能不是完全的光滑，而是有小的突起(圖 4-4.3)，所以會增加錨定能強度。
在蝕刻時間為6 分鐘時，玻璃表面的溝槽深度大約是 56nm，斜角大約 是 20 到 25 度，而蝕刻時間為 20 分鐘時，玻璃表面的溝槽深度大約是 121nm，斜角大約是 28 到 36 度，實驗與模擬的結果相比較則可發現實驗和 理論值都有隨著周期變大，錨定強度變小的現象。而從前一章節可以看出 當深度愈深角度愈大時錨定能強度會愈強，由此可推斷蝕刻20 分鐘的錨定 強度應該比較強，我們兩條模擬的曲線也反應出了此一趨勢，但學長的實 驗數據則發現蝕刻六分鐘時錨定強度反而比較大的情況，以上一章溝槽 90 度的模擬情況來說，深度120nm 的錨定能強度約為深度 50nm 的 1.12 倍，
但以錨定能量測準確度大概也只在1×10−4，所以可能是因為量測的不準使得 蝕刻六分鐘的錨定能大於蝕刻二十分鐘的錨定能強度。
在蝕刻1 分鐘時，實驗和模擬的曲線大致上趨勢是相符的，但在蝕刻 1 分鐘的情形下，錨定能強度和周期則沒有一定的關係。這是因為在蝕刻 1 分鐘時溝槽斜角和深度的均勻性沒有那麼好，深度的變化由 13nm 到 28nm，而斜角也從 18 度變化到 6 度，如果考慮到角度和深度的影響，則錨 定能強度隨著週期變大而變小的關係就不存在了。