元件參數規格和特性規格轉換

Process Space (THD,SNR)

Performance Space (fc,BW,Q)

Parameter Space (R,C,L)

圖4-1 元件參數規格和特性規格示意圖

以下以 Continuous-Time State-Variable 濾波器為例,改變元件值和

元件值彼此的相關性,也就是改變其相關係數矩陣的值,使得其元件不 僅僅只是本身的漂動(drift),並且其相關性(correlation)也可改變之。

底下為此濾波器的相關係數矩陣(Correlation Coefficient Matrix) 。

































1 CC RC RC RC RC RC RC RC

CC 1 RC RC RC RC RC RC RC

RC RC 1 RR RR RR RR RR RR

RC RC RR 1 RR RR RR RR RR

RC RC RR RR 1 RR RR RR RR

RC RC RR RR RR 1 RR RR RR

RC RC RR RR RR RR 1 RR RR

RC RC RR RR RR RR RR 1 RR

RC RC RR RR RR RR RR RR 1

R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7 C1 C2

R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7 C1 C2

此矩陣表示當元件自己和自己比較時,其相關性為 1,電阻和電 阻比較時相關性則為RR,電阻和電容比較時相關性則為 RC,電容和電 容比較時相關性則為 CC。為了模擬特性規格與元件參數規格之間的 轉換,我們設計特性規格如下:

700(Hz)<中心頻率(center frequency)<900(Hz) 4000(rad/s)<頻寬(band width)<5000(rad/s)

1.0<品質因素(quality factor)<1.2

此規格是根據在元件參數規格在取樣點 1000 點,3σ=10%的均值下所 做的模擬。而我們改變其相關係數使之落入特性規格的比率為其良率,

表4-1 有無相關性對良率之影響

RR CC RC Yield

0 0 0 90.9

0.9 0.9 0.9 91.5

0.9 0.9 0.5 95.7

0.9 0.9 0 97.3

0.9 0.9 -0.5 99.9

0.9 0.9 -0.9 99.1

表4-2 較好良率之元件相關係數表

RR CC RC Yield

0.9 0.5 0.9 NPD*

0.9 0.5 0.5 94.5

0.9 0.5 0 98.2

0.9 0.5 -0.5 99.9

0.9 0.5 -0.7 99.99

0.9 0.5 -0.9 99.9

*NPD(Non-Positive-Definite) 表 4-3 較差良率之元件相關係數表

RR CC RC Yield

0 0.2 0.2 83.4

0 -0.3 0.2 84.2

0 -0.2 0.2 84.1

0 -0.1 0.2 84.1

-0.1 0.8 -0.1 87.5

-0.1 0.9 -0.1 87.2

-0.1 0.6 0.1 60.1

-0.1 -0.1 0.5 60.1

由表 4-1 可知當元件彼此為完全獨立時,良率為 90.9%,而加入適 當的相關性確實可以使得良率提昇,由表 4-2 可知良率最高(99.99%) 時,其電阻和電阻的相關性為 0.9,電容和電容的相關性為 0.5,而電阻和 電容的相關性為-0.7 和-0.9。值得注意的是當相關係數矩陣的值不是 正定矩陣時是不被允許的,相關請參考[9],而由底下的圖可以更清楚 的看出其結果。

圖 4-2 無相關性之良率三視圖

圖4-4 最差相關性之良率三視圖

圖4-5 最差相關性之良率 Q-fC側視圖

圖4-6 最差相關性之良率 BW-fC側視圖

圖 4-2 為完全獨立的情形,其良率為 90.9%,而圖 4-3 為相關係數在 RR=0.9,CC=0.5, RC=-0.7 時,其最佳良率為 99.9%,而圖 4-4 為相關係數 在RR=-0.1,CC=0.6,RC=0.1 時,其最差良率為 60.1%,而圖 4-5、圖 4-6、

圖4-7 則為圖 4-4 的三視圖,可更清楚的看其落在特性規格的比率。

4.1-1 Autocorrelation

Autocorrelation 為一種判斷和自己本身偏移度的一種衡量式子,當若 完全沒有偏移時則為最大值1,若偏移愈多時則其值愈小。其數學式子 如下

∫

−^∞∞ +

=

=

∗

=f f f t f t f t τ f τ dτ t

ρ_f( ) ( )* ( ) ( ) ( ) (式 4-1)

而由最好、最差和完全獨立情況的相關係數來看製程參數變動對

圖 4-8 製程參數變動相對於 Autocorrelation 的關係,如圖 4-8 所示。

Autocorrelation 的關係

0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05

0% 5% 10% 15% 20% 25% 30%

process variation

Autocorrelation

最差情況 最好情況 完全獨立情況

4.2 傅立葉級數(Fourier Series)和動態參數規格介紹

圖4-9 動態參數規格與元件參數規格示意圖

就是把 參數

轉 Performance

Space Parameter Space (R,C,L)

Dynamic ter

) Parame Space (THD,SNR

( fc, BW, Q)

我們用了一個新的規格轉換空間,那就是動態參數規格,那

規格利用 DSP,給定一個輸入訊號(如 sinwt),先經過傅立葉級數 (Fourier Series) 換,把時域訊號(time domain)換成頻域訊號(frequency domain)再經過濾波器去看其動態參數規格,因為濾波器本身的轉移函 數由R、C 所組成,所以可把參數規格轉至動態參數規格。底下先介紹 一些基本DSP 的傅立葉級數(Fourier Series)和一些動態規格的參數介

4.2-1 傅立葉級數(Fourier Series)

傅立葉級數的型式,而非週期性的 波形

圖

圖4-12 Cos 輸入信號時域圖 圖 4-13 Cos 輸入信號頻域圖 圖

Cos

一般基本的週期性波形可寫成

則用傅立葉轉換,以下以週期性的 sin 波和 cos 波做例子。

X(jw) f

t w₀ sin

0

π

− j

π j

w₀ -w₀

圖 4-10 Sin 輸入信號時域圖 圖 4-11 Sin 輸入信號頻域

0 w0 w

-w0

π

−π

X(jw)

t w₀ cos

4-11 為圖 4-10 Sin 波的傅立葉級數轉換,圖 4-13 則為圖 4-12 波的傅立葉級數轉換,因為頻率只看正的部份,所以我們只看其右 半部,而其推導公式如下所表示。

[ ] [

( ) ( )

]

sin ₀ ⁰ 2 ⁰ jπδ ω ω₀ δω ω₀

j e F e

t ω

t jw t

jw = + − −



 



 +

= ⁻ (式 4-2)

F

[ ] [

( ) ( )

]

cos ₀ e ⁰ 2e ⁰ πδω ω₀ δω ω₀ F

t ω F

t jw t

jw  = − + +



 



 +

= ⁻ (式 4-3)

4.2-2 動態參數規格

都會考慮其動態規格,所以在濾波器設計裡,我們 大膽

rmonics)的均方根值和的振幅 在一般AD、DA

引入此一觀念,來看其一些動態參數值,如 THD、SNR、SINAD 等。

4.2-3 THD (Total Harmonic Distortion) THD 定義為信號的高次諧波(ha

(amplitude)比上信號主頻的振幅(amplitude)。其公式表示為

A

N





∑

^{2 2}

A dB THD

M kM

k i





 







=

=2,3,4....

,

log

20 (式 4-4)

4.2-4 SNR (Total Harmonic Distortion)

e)比上雜訊(noise)的比值。其公 SNR 是信號主頻的振幅(amplitud

式表示為

(

^A

)

^dB

SNR A

N

i ii M M





















=

∑

^{/2 2,≠}

log

20 (式 4-5)

4.2-5 SINAD (Signal-to-Noise +Distortion Ratio)

4.3 元件參數規格和動態參數規格轉換

本論文求取動態參數規格的方法是用MATLAB 產生週期性訊號, 如 Sin 波,因為輸入訊號為 time domain,所以在經過傅立葉級數轉成 Frequency domain,接著再送入濾波器中,求其動態參數規格如 THD、

SNR、SINAD 等。底下的圖分別輸入 Sin 波,頻率分別為 200Hz、

795Hz、2000Hz,分別送入低通、帶通、高通的濾波器,測其 THD、SNR、

SINAD 的值。

圖 4-14 低通濾波器頻譜振幅大小圖

圖 4-15 帶通濾波器頻譜振幅大小圖

由圖 4-14、圖 4-15、圖 4-16 可知每一個 THD 的值,在低通時由 原本信號的-59.2969dB 進步到-62.2188dB,而帶通時則由原本信號的 -64.8525dB 進步到-72.0743dB,而高通時則由原本信號的-81.1093dB 進步到-81.6814dB,至於 SNR 和 SINAD 也相對的增加,所以可知此 Continuous-Time State Variable 濾波器確時能夠使得雜訊變小。至於 若改變製程參數的變動則則濾波器則會因為R、C 的調變而產生變化, 便會產生一個容忍帶(Tolerance Band) 。而相對應的 THD、SNR、

SINAD 也會跟著調變。底下圖是其實驗結果和數據。

圖4-17 製程參數變動低通濾波器頻譜振幅大小圖

圖4-18 製程參數變動帶通濾波器頻譜振幅大小圖

的THD、SNR、SINAD 也會產生變動,此是用蒙地卡羅(Monte Carlo) 的方法,當亂數是 1000 筆時,3σ=20%的均值所跑出的結果,由濾出的結 果可看出在每個圖的第三子小圖,在主頻和其他諧坡(harmonic) 、雜 訊的振幅也會跟著些微的變動,可知若本身輸入的訊號夠好,不管是否 製程參數的變動影響濾波器,則濾出的結果也不至於太差。

4.4 動態參數規格和特性規格的關係

用動態參數規格和特性規格的關係來看,本論文以低通濾波器的 部份和高通濾波器的部份來看,在圖 4-20 低通濾波器的部分,可看出 當截止頻率(Cut-off frequency)因為製程參數的漂動,而導致其截止頻 率也跟著變動時,其和 THD 的關係呈現一正相關性,也就是頻率較高 時濾波器會涵蓋較多訊號的雜訊,所以 THD 值較高,也就是雜訊和主 頻的比值會較大,較為不好,反之亦然,這符合我們一般的想法。而在如 圖4-21 高通濾波器的部分可看出其和 THD 的關係呈現一負相關性, 也就是當頻率較高時,涵蓋的雜訊較少,THD 值較低,但頻率較低時則 涵蓋雜訊較多,所以 THD 反而較高。其表示在圖 4-20 和 4-21。

圖 4-20 低通濾波器截止頻率和 THD 之關係圖

圖 4-21 高通濾波器截止頻率和 THD 之關係圖

4-22 和圖 4-23 看出其分佈。我們便可得之動態參數規格和特性規格 的關係。

圖 4-22 低通濾波器截止頻率和 SNR 之關係圖

圖 4-23 高通濾波器截止頻率和 SNR 之關係圖

在文檔中 題目：對於一個線性非時變網路 的容忍度分析 (頁 36-53)