題目：對於一個線性非時變網路 的容忍度分析

中 華 大 學 碩 士 論 文

題目：對於一個線性非時變網路 的容忍度分析

Tolerance Analysis for The Linear and Time-Invariant Network

系所組別： 電機工程學系碩士班電子電路組 學號姓名： M08901008 賴昱帆

指導教授： 陳 竹 一 博 士

摘要

本論文為探討主動濾波器之容忍度分析和規格轉換, 因為製程 參數的漂移,考慮電阻、電容的變動,並改變其相關性,看其結果是否有 變好或變壞,再者利用各種規格之間的互換,進而得知其良率的高低。

本論文利用信號與系統的方法,提出一方法,把元件參數規格映射到動 態參數規格,並且和原先把元件參數規格映射到電路特性規格之間做 一相連接。

Abstract

This thesis used the tolerance analysis and specification transformation to discuss the active filter. Because the process parameter drifted, we considered the variations among the resistance and inductance.

Then changed their correlation to obtain better yield. Furthermore, we changed various specification transformations and obtained the yield.

This thesis used the method of signal and system, and presented a method that focused in parameter space to map to dynamic parameter space and to link the performance space.

致謝

本篇論文能順利完成,首先要感謝的是陳竹一老師這些年來的照 顧,不僅在課業上給予我很多的啟發,也能從老師謙遜和因材施教的美 式作風讓我如沐春風。也要特別感謝謝曜式主任在控制組的教導,讓 我的人生可以重新找到方向並學習到待人處事的道理。

感謝電子電路組實驗室的同學們,特別是蘇文彬同學,不僅在課業 上和生活上的幫忙,還有在實驗室一起打拼寫論文的情景,那真是讓我 難忘。還有邱建榮、詹益豪、戴于峻、林陽貿、呂元戎、李銘寰、陳 坤益等同學的幫忙。也還要感謝易書、凱鈞、泓文、智勝、城郁、志 和、瑋璿、嘉文、佳傑、健勳等學弟平常的關心。

最後要感謝的是我的父母還有妹妹,你們是我最堅強的後盾,也是 我的心靈捕手,使我能專心研究,順利完成論文。在此將這份喜悅獻給 我的家人及所有關心與愛護我的師長與朋友。

目錄

中文摘要………..Ⅰ 英文摘要………..Ⅱ 誌謝………..Ⅲ 目錄………..Ⅳ 圖目錄……….Ⅵ 表目錄………..Ⅸ

第一章 簡介……….1

第二章 主動濾波器的介紹……….3

2.1 主動濾波器和被動濾波器的比較………..3

2.2 Continuous-Time State Variable 濾波器的規格…………..5

2.3 Continuous-Time State Variable 濾波器狀態方塊圖……..9

2.4 Op-Amp 規格和頻率補償………...10

第三章 製程參數的變動和容忍度分析………12

3.1 敏感度分析………..12

3.2 以統計觀點的常態分佈曲線………..13

3.3 蒙地卡羅分析………..16

第四章 規格轉換與良率………26

4.1 元件參數規格和特性規格轉換……….26

4.2 傅立葉級數和動態參數規格介紹……….33

4.3 元件參數規格和動態參數規格轉換……….36

4.4 動態參數規格和特性規格的關係………..40

第五章 結論………43

參考資料………..44

圖目錄

圖2-1 (被動)低通濾波器電路圖………..4

圖2-2(主動)低通濾波器電路圖………...4

圖2-3(被動)高通濾波器電路圖………...4

圖2-4(主動)高通濾波器電路圖………...4

圖2-5(被動)帶通濾波器電路圖………...4

圖2-6 Continuous-Time State-Variable 濾波器電路圖………5

圖2-7 Continuous-Time State-Variable 濾波器波德圖………7

圖2-8 Continuous-Time State-Variable 濾波器分析圖………7

圖2-9 Continuous-Time State-Variable 濾波器大小圖………....8

圖2-10 Continuous-Time State-Variable 濾波器狀態方塊圖………..9

圖2-11 Continuous-Time State-Variable 濾波器狀態方塊完整圖…..9

圖2-12 補償 Op-Amp 電路圖……… 10

圖2-13 開迴路頻率補償和閉迴路頻率補償圖……….11

圖3-1Continuous-Time State-Variable 濾波器敏感度分析圖……...13

圖3-2 一維常態分怖機率密度函數………..15

圖3-3 常態分佈柱狀圖………...16

圖3-6 帶通濾波器容忍帶圖………18

圖3-7 高通濾波器容忍帶圖………18

圖3-8 中心頻率蒙地卡羅分布圖………20

圖3-9 品質因素蒙地卡羅分布圖………20

圖3-10 頻寬蒙地卡羅分布圖………..21

圖3-11 共軛複數對參數ω₀和Q的定義………...22

圖3-12 低通濾波器部分的根軌跡圖………..23

圖3-13 帶通濾波器部分的根軌跡圖………..23

圖3-14 高通濾波器部分的根軌跡圖………..23

圖3-15 品質因素改變對低通濾波器的影響………..24

圖3-16 品質因素改變對帶通濾波器的影響………..25

圖3-17 品質因素改變對高通濾波器的影響………..25

圖4-1 元件參數規格和特性規格示意圖………26

圖4-2 無相關性之良率三視圖………29

圖4-3 最好相關性之良率三視圖………...29

圖4-4 最差相關性之良率三視圖………30

圖4-5 最差相關性之良率 Q-fC側視圖………30

圖4-6 最差相關性之良率 BW-fC側視圖………31

圖4-7 最差相關性之良率 Q-BW 俯視圖………31

圖4-8 Autocorrelation 和相關係數的關係……….32

圖4-9 動態參數規格與元件參數規格示意圖………33

圖 4-10 Sin 輸入信號時域圖………...34

圖4-11 Sin 輸入信號頻域圖………34

圖4-12 Cos 輸入信號時域圖………34

圖4-13 Cos 輸入信號頻域圖………34

圖4-14 低通濾波器頻譜振幅大小圖………...36

圖 4-15 帶通濾波器頻譜振幅大小圖………..37

圖4-16 高通通濾波器頻譜振幅大小圖………...37

圖4-17 製程參數變動低通濾波器頻譜振幅大小圖………...38

圖4-18 製程參數變動帶通濾波器頻譜振幅大小圖………...39

圖4-19 製程參數變動高通濾波器頻譜振幅大小圖………...39

圖 4-20 低通濾波器截止頻率和 THD 之關係圖………41

圖4-21 高通濾波器截止頻率和 THD 之關係圖……….41

圖 4-22 低通濾波器截止頻率和 SNR 之關係圖………42

圖 4-23 高通濾波器截止頻率和 SNR 之關係圖………42

表目錄

表3.1 Continuous-Time State-Variable 濾波器容忍帶之數值…….19

表3-2 經由蒙地卡羅的特性規格表……….21

表4-1 有無相關性對良率之影響……….28

表4-2 較好良率之元件相關係數表……….28

表4-3 較差良率之元件相關係數表……….28

第一章 簡介

隨著製程參數的進步,從 0.35μm 到 0.25μm、0.18μm、0.13μ m,甚至到 90nm, 元件不匹配的情況愈來愈嚴重, 所以我們不能只是 把元件之間的變動視為完全獨立的,這種假設並不合理,它們彼此間一 定存在某種相關性的存在。

本論文的研究主要在探討主動濾波器的容忍度分析和規格轉換, 因為此濾波器包含7 個電阻和 2 個電容,還有三個 Op-Amp。因為製程 參數的變動,所以就會有一個容忍帶(tolerance band),我們可以利用蒙 地卡羅方法(Monte Carlo Method)把此頻帶找出並找出其相關性使得 愈接近理想值。而在規格轉換的部份,除了原本的元件參數空間 (parameter space)、電路特性空間(performance space)以外,又加入了一 個動態參數空間(dynamic parameter space),它是利用信號與系統的方 法使得我們又多了一個domain 去看此濾波器的特性。

由於本論文是做主動濾波器的容忍度分析和規格轉換,所以在第 二章的部分把 Continuous-Time State Variable 濾波器規格和狀態圖先 介紹,相關資料請參閱[2] 。至於在第三章的部分則介紹容忍度分析, 我們使用敏感度分析的方法還有蒙地卡羅的方法,在此章的最後部分

本論文的重點,就是把動態參數規格加入,找出這三者的關係,並互相 對應,其中輸入信號為 single tone sine-wave,並確實得知此 Continuous -Time State Variable 濾波器確實能濾掉雜訊,第五章則為本論文的結 論和總結。

第二章 主動濾波器的介紹

本論文此章節著重在主動濾波器的介紹並從理論、規格和狀態圖 的觀點來分析之。

2.1 主動濾波器和被動濾波器的比較

通常製造濾波器最簡單的方法就是使用被動元件(電阻、電容及 電感) 。但是一但頻率降低，電感就首先出現問題。被動濾波器的輸 入和輸出阻抗都是令人頭痛的問題。輸入阻抗偏低，使電源負載加 大，並且隨頻率而變動。輸出阻抗經常就相對的偏高，也就限制了被 動濾波器所能驅動負載阻抗的高低。

主動濾波器將放大器與電阻、電容結合以克服這些被動濾波器揮 之不去的問題。主動濾波器早期是以真空管及電晶體所組成的，現在 主動濾波器的製作則通常是以運算放大器為主要元件。採用將一個電 容納入一個回授迴路的方法即可將電感以及它在低頻率時所製造的 一切問題都扔到一邊去了。若調整得當，輸入阻抗也可增加。負載是 由運算放大器的輸出來驅動的，使得輸出阻抗大為降低。底下列出一 些簡單的主被動濾波器的型式。

R2

R1

C

R

C

圖2-1(被動)低通濾波器電路圖 圖 2-2(主動)低通濾波器電路圖

R2

R1 C

R C

圖2-3(被動)高通濾波器電路圖 圖 2-4(主動)高通濾波器電路圖

R

C L

圖2-5(被動)帶通濾波器電路圖

上頁圖 2-1 表示(被動)低通濾波器，圖 2-2 表示(主動)低通濾波 器，圖 2-3 表示(被動)高通濾波器，圖 2-4 表示(主動)高通濾波器，

圖2-5 表示(被動)帶通濾波器，請參閱[1]。

2.2 Continuous-Time State-Variable 濾波器的規格

E1

HPO BPO R7 R6

R3 R2

R1

R5

C1 C2

R4

LPO

圖2-6Continuous-Time State-Variable 濾波器電路圖

此 時 R1=R2=R3=R4=R5=1M Ω , C1=C2=200pF, R6=300k Ω , R7=700kΩ, 因此 BPO K=1, Q=1.11, fc=795Hz ,請參閱[2], 可得轉移 函數、增益、品質因數、中心頻率分別為

2 0 0

2

2

2

2

2 4 1 3

1 1

3

1 s ω

Q s ω

Ks C

R C s R

C s QR

K s V_HPO

+ +

−

= +

+

−

= 式(2.1)

2 2 2

2 4 1 3

1 1

3

1 3 1

o o

o BPO

ω Q s s ω

s ω K

C R C s R

C s QR

C R

s K

V

+ +

= +

+

= 式(2.2)

2 0 2 0

2 0 2

2 4 1 3

1 1

3

1 3 1 4 2 1

ω Q s s ω

ω K

C R C s R

C s QR

C R C K R

V_LPO

+ +

−

= +

+

−

= 式(2.3)

) 5 2 ( 1 / 5 1 /

2 R R R R R

R

K = ≅ = 式(2.4) )

6 ) 2 1 /((

) 7 6

(R R K R

Q = + + ⋅ ⋅ 式(2.5)

) 2 4 1 3 2

/(

1 π R C R C

f_C = ⋅ ⋅ 式(2.6)

根據上面的轉移函數可以畫出圖 2-7,藍色的線代表低通濾波器, 紅色的線代表帶通濾波器,黃色的線代表高通濾波器,而其 3dB 截止頻 率為 795Hz, 而低通濾波器的大小圖是在截止頻率後以-40dB/decade 下降,帶通濾波器則是先以+20dB/decade 上升, 經過截止頻率再以 -20dB/decade 下降,而高通濾波器則是以+40Db/decade 上升至截止頻 率,而低通濾波器的相位圖從-180 度到 0 度, 帶通濾波器的相位圖從 90 度到-90 度, 高通濾波器的相位圖從 0 度到-180 度。

圖2-7 Continuous-Time State-Variable 濾波器波德圖 (式 2.1) 、(式 2.2) 和(式 2.3) 可以經由下列圖 2-8 和式子推導之

圖 2-8 Continuous-Time State-Variable 濾波器分析圖

Vin

E1

C1 C2

R7 R6

R3

R5

R4 R2

R1

BPO LPO

HPO

in in

HP

in HP

HP HP

in BP

LP in

BP LP

in HP

V C R C s R

C s QR

s

C R C s R

C R s β

V V s

C V R C R s

C R β C

R C R V s

C sR β V C

sR C sR

V V

V β V

V

R V R

R R

R V R

R V R R V R

⋅ +

+

−

=

⋅ + +

−

=

⇒

− + =

⋅

⇒ +

⋅

−

−

−

= +

−

−

=

⋅ +

+ ⋅ +

⋅

−

⋅

−

=

2 4 1 3

1 1

3 1

2 4 1 3

1 1

3 3

2 ) 4 1 3

1 2 4 3 2 4 1 ( 3

1 3 3

2 4

1 3 3

5)) //

1 1 2 7 ( 6 ( 6 5

2 1

2

2

2 2

2 2 2

上述推導的公式正是(式 2.1) ,當再分別乘上-1/sR3C1 和-1/sR4C2 後,即可得(式 2.2)和(式 2.3) 。我們可由上述式子畫出其轉移函數圖 2-9。

2 max

1T

2 0 2/w

a a2

0 1Q/w a

B

圖2-9 Continuous-Time State-Variable 濾波器大小圖

2.3 Continuous-Time State-Variable 濾波器狀態方 塊圖

此濾波器可以看成是一個 Biquad Circuit, 底下圖 2-10 是其狀態 方塊圖,以高通濾波器的轉移函數來看

i hp

hp hp

i

hp V KV

s V ω

s ω V Q

ω Q s s ω

Ks V

V =









 ⋅

+



 



 ⋅

+

→ +

+

= ₂

2 0 0

2 0 0

2

2 1 (式 2.4)

-w0/s -w0/s

(-w02/s²) Vhp

Vhp (-w0/s) Vhp

Σ

1/Q (w02/s²) Vhp -1

(-w0/s) Vhp

Vi Vhp

圖 2-10 Continuous-Time State-Variable 濾波器狀態方塊圖 經過整理後可得底下圖2-11 的狀態方塊完整圖

Σ s

w

₀

− s

w

₀

− K

1/Q -1

V

i

此狀態方塊圖和Continuous-Time State Variable 濾波器的電路圖 有異曲同工的效果, 此方塊圖是利用回授(feedback)的觀念所構成。

2.4 Op-Amp 規格和頻率補償

之前的轉移函數是當 Op-Amp 為理想時的情況,也就是輸入阻抗 無限大,增益無限大,輸出阻抗為 0 時,但實際的 Op-Amp 並不是理想值, 此Op-Amp 的詳細介紹請參閱[2] 。

圖 2-12 補償 Op-Amp 電路圖

正如此 Op-Amp 被補償(補償電容為 2pf),它的轉移函數能夠被近似於 一個獨立極點的轉移函數。

) /(

) 1 (

p1

s s a

a_V ^V

= − (式 2.5)

根據這個轉移函數,我們可以畫出 Op-Amp 的開迴路增益,也可以

增益,底下為其波德圖。

91dB

748Hz 795Hz

圖2-13 開迴路頻率補償和閉迴路頻率補償圖

圖 2-13 可知道原本 Op-Amp 的開迴路增益為 91dB,而其主極點頻 率為748Hz,而濾波器的增益為 90dB,而其截止頻率為 795Hz,所以就犧 牲一點增益來換取其頻寬能增加,這是一般常使用的方法。

第三章 製程參數的變動和容忍度分析

因為考慮容忍度分析,所以我們使用敏感度(Sensitivity),至於製程 參數的變動則用統計的方法來分析之。

3.1 敏感度分析

因為元件值的變動和有限 op-amp 的增益, 所以在討論濾波器時 必須考慮R、C 元件值和放大器增益。敏感度定義為

y x x S y

xx yy Lim

S _x^y

x y

x ⋅

∂

= ∂

⇒

≡ → ∆

∆

0

∆ (式 3.1)

這裡 x 定義為元件值( R、C 或放大器增益),而 y 則定義為感興趣 的參數(V0、Q、W0) , 假如 V0相對於R 的敏感度為 0.25,則代表若 R 增加1%,則 V0也增加0.25%倍。

本論文使用的電路有7 個 R 和 2 個 C,所以總共有 9 個元件值,分 別對輸出 V0的敏感度分析。由圖 3-1 可知敏感度 R2=R5、R3=C1、

R4=C2,當在中心頻率 795Hz 時,C1、C2、R3、R4 的敏感度為 0, 但在 其它頻率時則敏感度變化較大,至於其它 R、C 在每種頻率則互有領 先。舉例來說, 當頻率在 300Hz 時, R1、R2、R3、R4、R5、R6、R7 對V0的敏感度分別為-0.91%、0.45%、0.14%、1.008%、0.45%、-0.09%、

率795Hz 時影響輸出 V0的元件只有R1、R2、R5、R6 和 R7,其敏感 度分別為-0.33%、0.166%、0.166%、-0.7% 和 0.7% 。

R6

R7 R4=C2

R3=C1 R2=R5

R1

圖3-1Continuous-Time State-Variable 濾波器敏感度分析圖

3.2 以統計觀點的常態分佈曲線

因製程參數的變動, 所以元件值本身就會不盡相同, 而當樣本數 夠大時,我們就可以把它看成為一常態分佈的曲線。底下先介紹一些 統計名詞。

3.2-1 平均值(Mean)

一群樣本資料的平均數, 就是將 x1, x2, …, xn 等n 個樣本資料的 數值,求其算術平均, 以數學公式表示如下:

3.2-2 變異數(Variance)

用來測量樣本資料分散情況的統計測定數,若值越大,則表示資料 越分散,其定義如下:

∑

=

− −

= ⁿ

i xi µ

σ n

1

2

2 ( )

1

1 (式 3-3)

3.2-3 標準差(Standard Deviation)

將變異數取正平方根, 這個數值就稱為標準差。

3.2-4 共變異數(Covariance)

共變異數就是用來測度兩個隨機變數共同變動之方向如何的一個 統計測定數,以Cov(X,Y)或σ_XY表示之。其定義為

n

µ Y µ X σ

Y X Cov

n

i i X i Y

XY

∑

=

−

−

=

= ¹

) )(

( )

,

( (式 3-4) 若Cov(X,Y)>0,表示 X,Y 朝相同的方向共同變動,而Cov(X,Y)<0,表 示X,Y 朝相反的方向共同變動,至於Cov(X,Y)=0,則表示 X,Y 無直線 行的關聯,但不一定表示 X,Y 彼此獨立。

3.2-5 相關係數(Correlation Coefficient)

從ρ 的定義, 我們知道 X 與 Y 的相關係數, 事實上就是 X 之標 準化隨機變數與 Y 之標準化隨機變數相乘積的期望值。並且我們進 而可導出定義如下:

XY

[

( ) ( ) ( )

1 )

,

( E XY E X E Y

σ σ σ

σ Y X ρ Cov

Y X Y

X

XY − ⋅

= ⋅

= ⋅

]

(式 3-5)

其中ρ_xy為兩變數的相關係數，σ_xy為兩變數的共變異數，σ_x、σ_y 分別為兩變數的標準差。相關係數的值在 1 和-1 之間，當值愈接近 1 時，表示兩變數愈正相關，當值愈接近-1 時，表示兩變數愈負相關，

當值等於0 時，表示兩變數不相關。若用向量來表示的話，共變異數 就是兩個向量的內積，而相關係數是指兩個向量a 與 b 所形成θ角的 cosθ值。

3.2-6 常態隨機變數及其機率密度函數

一個連續隨機變數 X,若其平均數為µ ,變異數為σ ,且其機率密度 函數如下:

X x2

= −∞≤ ≤∞

− −

X σ

µ X

X

µ πe

X σ ^X

X

2 , ) 1

(

)2

2( 1

f

則X 稱之為常態隨機變數(Normal Random Variable),或稱 X 為常態分 配(Normal Distribution)。如圖 3-2, 並且以 X~N(µ_X,σ²_X)表示之。

3.3 蒙地卡羅分析(Monte Carlo Analysis)

蒙地卡羅分析方法使用隨機亂數產生器,但一般的隨機亂數產生 器為 Pseudo random number generator, 且每次產生的亂數皆相同(像 Hspice),本論文使用的具相關性隨機亂數產生器為實驗室所製作,每次 產生的亂數群皆不同,且可設定彼此的相關性,可說是亂的有規則,相 關論述請參閱[9] 。蒙地卡羅分析分為下列兩種型式, 一種是均勻分 佈(Uniform Distribution), 另一種是高斯分佈(Gauss Distribution), 取 一萬點的均勻分佈如圖3-3 和高斯分佈如圖 3-4 分佈如下。

圖 3-3 均勻分佈柱狀圖

圖3-4 高斯分佈柱狀圖

因為製程參數的漂移,本論文是採用高斯分佈(Gauss Distribution) 來表示元件值的變動範圍,大部分的值會趨近於理想值。底下圖 3-5、

圖3-6、圖 3-7 為 Continuous-Time State-Variable 濾波器使用蒙地卡羅 方法,取樣點為 1000 點, 3σ=20%的均值。

圖 3-5 低通濾波器容忍帶圖

圖 3-6 帶通濾波器容忍帶圖

圖 3-7 高通濾波器容忍帶圖

由圖 3-5 可知在其低頻時,理想直流增益為 1,最大值為 1.0819,最小值 為 0.92302,由圖 3-6 可知在中心頻率其增益理想值為 1.1,最大值為 1.1905,最小值為 1.0339,而由圖 3-7 可知在高頻時,其高頻增益理想值 為1,最大值為 1.0876,最小值為 0.92917,其詳細結果可由表 3.1 得知。

表3.1Continuous-Time State-Variable 濾波器容忍帶之數值 低通濾波器增益 帶通濾波器增益 高通濾波器增益

理想值 1.0 1.1 1.0

最大值 1.0819 1.1905 1.0876

最小值 0.92302 1.0339 0.92917

平均值 0.99907 1.1099 1.0027

標準差 0.024012 0.023856 0.023631

平均+3 標準差 1.0711 1.1815 1.0735

平均-3 標準差 0.9270 1.0383 0.9318

因為研究濾波器,所以必須看其特性規格,如增益(gain) 、截止頻率(cut off frequency) 、頻寬(bandwidth) 、品質因素(quality factor)等,因為增 益部分已介紹過,接下來以帶通濾波器的來討論截止頻率、頻寬和品 質因素的容忍度分析,以下使用蒙地卡羅的方法,取樣點為 1000 點, 3σ=10%的均值的圖形,如圖 3-8、圖 3-9、圖 3-10 和表 3-2。

圖3-8 中心頻率蒙地卡羅分布圖

圖3-9 品質因素蒙地卡羅分布圖

圖 3-10 頻寬蒙地卡羅分布圖 表 3-2 經由蒙地卡羅的特性規格表

中心頻率(Hz) 品質因素 頻寬(rad/s)

理想值 795 1.11 4500

最大值 884.7769 1.2775 5508.8 最小值 718.1298 0.9480 3743.6 平均值 795.5786 1.1126 4503.6 標準差 26.7767 0.0478 242.139 平均值+3 標準差 875.9088 1.2560 5230 平均值-3 標準差 715.2483 0.9691 3777.2

也和最大最小值很接近,這符合此區間佔總體 99.73%的觀念,所以我 們通常以平均值加減三個標準差來表示總體。

3.4 穩定度分析

要看一個系統穩不穩定,通常可由轉移函數的極、零點和根軌跡 圖來分析,而一個標準二階濾波器的標準型式為

2 0 0

2

0 1 2

) 2

(

ω Q s

s ω

a s a s s a

T

 +



 

 +

+

= +

Q 2 w₀

w 0

σ jw



 



−  ₂

4 1 1

Q

0

圖 3-11 共軛複數對參數ω₀和Q的定義 其兩極點分別為 1 (1/4 )

2

2 0

0 jω Q

Q

ω ± −

− ,可由圖 3-11 表示之。而此

Continuous-Time State-Variable 濾波器的穩定度分析,根據(式 2.1) 、 (式 2.2) 、(式 2.3)的轉移函數可得到圖 3-12、圖 3-13、圖 3-14。

圖3-12 低通濾波器部分的根軌跡圖

圖3-13 帶通濾波器部分的根軌跡圖

圖 3-14 高通濾波器部分的根軌跡圖

3.5 品質因素的選擇

通常在設計濾波器上,品質因素是值得考慮的一個重要因素,一般 Q 值愈大,代表頻寬愈窄,也就是濾波器的選擇較高,在相位上的滾降率 (rolloff ratio)較快,但缺點就是因暫態響應所產生的 overshoot 較大。

相對的當 Q 值較小時,濾波器的頻寬較大,且在 Bode 圖上的大小圖 (Magnitude)較平坦,但相對的(rolloff ratio)則較慢。由圖 3-15、圖 3-16、

圖3-17 可知當 Q 為 10 時則 overshoot 太大, 滾降率較快,而 Q 為 0.707 時則在其-3dB 頻率時,則稍為較小,故本論文採用的 Q 值為 1.1。此 Continuous-Time State-Variable 濾波器因分為低通、帶通、和高通部 份,所以底下三個圖分別顯示 Q 值對濾波器的影響。

圖3-15 品質因素改變對低通濾波器的影響

圖 3-16 品質因素改變對帶通濾波器的影響

圖 3-17 品質因素改變對高通濾波器的影響

第四章 規格轉換與良率

一般元件的測試方法簡單而且快速,若是從產品內部的基本元件 著手測試,在產品製造之初就給予其內部元件一容忍度空間(Tolerance range),如此就可以用另一較易測得的參數規格來代替原本比較費時 難測的特性規格。參數規格包括電阻、電容、電感等,特性規格包括 增益、頻寬、截止頻率等,至於製程規格則包括氧化層厚度,MOSFET 臨界電壓。因為製程參數的變動,所以參數規格和特性規格可以互相 映射(Mapping) 。

4.1 元件參數規格和特性規格轉換

Process Space (THD,SNR)

Performance Space (fc,BW,Q)

Parameter Space (R,C,L)

圖4-1 元件參數規格和特性規格示意圖

以下以 Continuous-Time State-Variable 濾波器為例,改變元件值和

元件值彼此的相關性,也就是改變其相關係數矩陣的值,使得其元件不 僅僅只是本身的漂動(drift),並且其相關性(correlation)也可改變之。

底下為此濾波器的相關係數矩陣(Correlation Coefficient Matrix) 。

































1 CC RC RC RC RC RC RC RC

CC 1 RC RC RC RC RC RC RC

RC RC 1 RR RR RR RR RR RR

RC RC RR 1 RR RR RR RR RR

RC RC RR RR 1 RR RR RR RR

RC RC RR RR RR 1 RR RR RR

RC RC RR RR RR RR 1 RR RR

RC RC RR RR RR RR RR 1 RR

RC RC RR RR RR RR RR RR 1

R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7 C1 C2

R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7 C1 C2

此矩陣表示當元件自己和自己比較時,其相關性為 1,電阻和電 阻比較時相關性則為RR,電阻和電容比較時相關性則為 RC,電容和電 容比較時相關性則為 CC。為了模擬特性規格與元件參數規格之間的 轉換,我們設計特性規格如下:

700(Hz)<中心頻率(center frequency)<900(Hz) 4000(rad/s)<頻寬(band width)<5000(rad/s)

1.0<品質因素(quality factor)<1.2

此規格是根據在元件參數規格在取樣點 1000 點,3σ=10%的均值下所 做的模擬。而我們改變其相關係數使之落入特性規格的比率為其良率,

表4-1 有無相關性對良率之影響

RR CC RC Yield

0 0 0 90.9

0.9 0.9 0.9 91.5

0.9 0.9 0.5 95.7

0.9 0.9 0 97.3

0.9 0.9 -0.5 99.9

0.9 0.9 -0.9 99.1

表4-2 較好良率之元件相關係數表

RR CC RC Yield

0.9 0.5 0.9 NPD*

0.9 0.5 0.5 94.5

0.9 0.5 0 98.2

0.9 0.5 -0.5 99.9

0.9 0.5 -0.7 99.99

0.9 0.5 -0.9 99.9

*NPD(Non-Positive-Definite) 表 4-3 較差良率之元件相關係數表

RR CC RC Yield

0 0.2 0.2 83.4

0 -0.3 0.2 84.2

0 -0.2 0.2 84.1

0 -0.1 0.2 84.1

-0.1 0.8 -0.1 87.5

-0.1 0.9 -0.1 87.2

-0.1 0.6 0.1 60.1

-0.1 -0.1 0.5 60.1

由表 4-1 可知當元件彼此為完全獨立時,良率為 90.9%,而加入適 當的相關性確實可以使得良率提昇,由表 4-2 可知良率最高(99.99%) 時,其電阻和電阻的相關性為 0.9,電容和電容的相關性為 0.5,而電阻和 電容的相關性為-0.7 和-0.9。值得注意的是當相關係數矩陣的值不是 正定矩陣時是不被允許的,相關請參考[9],而由底下的圖可以更清楚 的看出其結果。

圖 4-2 無相關性之良率三視圖

圖4-4 最差相關性之良率三視圖

圖4-5 最差相關性之良率 Q-fC側視圖

圖4-6 最差相關性之良率 BW-fC側視圖

圖 4-2 為完全獨立的情形,其良率為 90.9%,而圖 4-3 為相關係數在 RR=0.9,CC=0.5, RC=-0.7 時,其最佳良率為 99.9%,而圖 4-4 為相關係數 在RR=-0.1,CC=0.6,RC=0.1 時,其最差良率為 60.1%,而圖 4-5、圖 4-6、

圖4-7 則為圖 4-4 的三視圖,可更清楚的看其落在特性規格的比率。

4.1-1 Autocorrelation

Autocorrelation 為一種判斷和自己本身偏移度的一種衡量式子,當若 完全沒有偏移時則為最大值1,若偏移愈多時則其值愈小。其數學式子 如下

∫

−^∞∞ +

=

=

∗

=f f f t f t f t τ f τ dτ t

ρ_f( ) ( )* ( ) ( ) ( ) (式 4-1)

而由最好、最差和完全獨立情況的相關係數來看製程參數變動對

圖 4-8 製程參數變動相對於 Autocorrelation 的關係,如圖 4-8 所示。

Autocorrelation 的關係

0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05

0% 5% 10% 15% 20% 25% 30%

process variation

Autocorrelation

最差情況 最好情況 完全獨立情況

4.2 傅立葉級數(Fourier Series)和動態參數規格介紹

圖4-9 動態參數規格與元件參數規格示意圖

就是把 參數

轉 Performance

Space Parameter Space (R,C,L)

Dynamic ter

) Parame Space (THD,SNR

( fc, BW, Q)

我們用了一個新的規格轉換空間,那就是動態參數規格,那

規格利用 DSP,給定一個輸入訊號(如 sinwt),先經過傅立葉級數 (Fourier Series) 換,把時域訊號(time domain)換成頻域訊號(frequency domain)再經過濾波器去看其動態參數規格,因為濾波器本身的轉移函 數由R、C 所組成,所以可把參數規格轉至動態參數規格。底下先介紹 一些基本DSP 的傅立葉級數(Fourier Series)和一些動態規格的參數介

4.2-1 傅立葉級數(Fourier Series)

傅立葉級數的型式,而非週期性的 波形

圖

圖4-12 Cos 輸入信號時域圖 圖 4-13 Cos 輸入信號頻域圖 圖

Cos

一般基本的週期性波形可寫成

則用傅立葉轉換,以下以週期性的 sin 波和 cos 波做例子。

X(jw) f

t w₀ sin

0

π

− j

π j

w₀ -w₀

圖 4-10 Sin 輸入信號時域圖 圖 4-11 Sin 輸入信號頻域

0 w0 w

-w0

π

−π

X(jw)

t w₀ cos

4-11 為圖 4-10 Sin 波的傅立葉級數轉換,圖 4-13 則為圖 4-12 波的傅立葉級數轉換,因為頻率只看正的部份,所以我們只看其右 半部,而其推導公式如下所表示。

[ ] [

( ) ( )

]

sin ₀ ⁰ 2 ⁰ jπδ ω ω₀ δω ω₀

j e F e

t ω

t jw t

jw = + − −



 



 +

= ⁻ (式 4-2)

F

[ ] [

( ) ( )

]

cos ₀ e ⁰ 2e ⁰ πδω ω₀ δω ω₀ F

t ω F

t jw t

jw  = − + +



 



 +

= ⁻ (式 4-3)

4.2-2 動態參數規格

都會考慮其動態規格,所以在濾波器設計裡,我們 大膽

rmonics)的均方根值和的振幅 在一般AD、DA

引入此一觀念,來看其一些動態參數值,如 THD、SNR、SINAD 等。

4.2-3 THD (Total Harmonic Distortion) THD 定義為信號的高次諧波(ha

(amplitude)比上信號主頻的振幅(amplitude)。其公式表示為

A

N





∑

^{2 2}

A dB THD

M kM

k i





 







=

=2,3,4....

,

log

20 (式 4-4)

4.2-4 SNR (Total Harmonic Distortion)

e)比上雜訊(noise)的比值。其公 SNR 是信號主頻的振幅(amplitud

式表示為

(

^A

)

^dB

SNR A

N

i ii M M





















=

∑

^{/2 2,≠}

log

20 (式 4-5)

4.2-5 SINAD (Signal-to-Noise +Distortion Ratio)

4.3 元件參數規格和動態參數規格轉換

本論文求取動態參數規格的方法是用MATLAB 產生週期性訊號, 如 Sin 波,因為輸入訊號為 time domain,所以在經過傅立葉級數轉成 Frequency domain,接著再送入濾波器中,求其動態參數規格如 THD、

SNR、SINAD 等。底下的圖分別輸入 Sin 波,頻率分別為 200Hz、

795Hz、2000Hz,分別送入低通、帶通、高通的濾波器,測其 THD、SNR、

SINAD 的值。

圖 4-14 低通濾波器頻譜振幅大小圖

圖 4-15 帶通濾波器頻譜振幅大小圖

由圖 4-14、圖 4-15、圖 4-16 可知每一個 THD 的值,在低通時由 原本信號的-59.2969dB 進步到-62.2188dB,而帶通時則由原本信號的 -64.8525dB 進步到-72.0743dB,而高通時則由原本信號的-81.1093dB 進步到-81.6814dB,至於 SNR 和 SINAD 也相對的增加,所以可知此 Continuous-Time State Variable 濾波器確時能夠使得雜訊變小。至於 若改變製程參數的變動則則濾波器則會因為R、C 的調變而產生變化, 便會產生一個容忍帶(Tolerance Band) 。而相對應的 THD、SNR、

SINAD 也會跟著調變。底下圖是其實驗結果和數據。

圖4-17 製程參數變動低通濾波器頻譜振幅大小圖

圖4-18 製程參數變動帶通濾波器頻譜振幅大小圖

的THD、SNR、SINAD 也會產生變動,此是用蒙地卡羅(Monte Carlo) 的方法,當亂數是 1000 筆時,3σ=20%的均值所跑出的結果,由濾出的結 果可看出在每個圖的第三子小圖,在主頻和其他諧坡(harmonic) 、雜 訊的振幅也會跟著些微的變動,可知若本身輸入的訊號夠好,不管是否 製程參數的變動影響濾波器,則濾出的結果也不至於太差。

4.4 動態參數規格和特性規格的關係

用動態參數規格和特性規格的關係來看,本論文以低通濾波器的 部份和高通濾波器的部份來看,在圖 4-20 低通濾波器的部分,可看出 當截止頻率(Cut-off frequency)因為製程參數的漂動,而導致其截止頻 率也跟著變動時,其和 THD 的關係呈現一正相關性,也就是頻率較高 時濾波器會涵蓋較多訊號的雜訊,所以 THD 值較高,也就是雜訊和主 頻的比值會較大,較為不好,反之亦然,這符合我們一般的想法。而在如 圖4-21 高通濾波器的部分可看出其和 THD 的關係呈現一負相關性, 也就是當頻率較高時,涵蓋的雜訊較少,THD 值較低,但頻率較低時則 涵蓋雜訊較多,所以 THD 反而較高。其表示在圖 4-20 和 4-21。

圖 4-20 低通濾波器截止頻率和 THD 之關係圖

圖 4-21 高通濾波器截止頻率和 THD 之關係圖

4-22 和圖 4-23 看出其分佈。我們便可得之動態參數規格和特性規格 的關係。

圖 4-22 低通濾波器截止頻率和 SNR 之關係圖

圖 4-23 高通濾波器截止頻率和 SNR 之關係圖

第五章 結論

本篇論文著重於濾波器的容忍度分析和規格轉換,並把其濾波器 因為製程參數變動的影響所產生的容忍帶(Tolerance Band)模擬出。至 於在規格轉換部份,提出了一個動態參數規格(Dynamic Parameter Space),使之可在除了元件參數規格(Parameter Space)和電路特性規格 (Performance Space)外,另外一種評量的方式。

參考資料

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