，可寫成方程式(*).
當平面E 是平面 E1時，取 = 1, = 0 就可以 了。
當平面E 是平面 E2時，取 = 0, = 1 就可以 了。
當平面E 不為 E1與E2時，取平面E 上，不在 L 的一點Q x0, y0, z0 ，由於Q 不在 E1與E2上（∵
Q 不在 L 上），所以a1x0+ b1y0+ c1z0+ d1 0 且 a2x0+ b2y0+ c2z0+ d2 0.
我們取
= a2x0+ b2y0+ c2z0+ d2,
= – (a1x0+ b1y0+ c1z0+ d1), 則滿足
a2x0+ b2y0+ c2z0+ d2 a1x0+ b1y0+ c1z0+ d1 + [ – a1x0+ b1y0+ c1z0+ d1 ] a2x0+ b2y0+ c2z0+ d2
= 0 也就是
a1x + b1y + c1z + d1 + a2x + b2y + c2z + d2 = 0, ( 2+ 2 0)的形式。
所以過交線L 的平面均可寫成方程式(*)。
綜合上述 、 、 可知，方程式(*)表通過 平面E1與E2之交線的平面族方程式。
在上述證明中，各位也看到：對於不是E1與 E2 的平面，則均為 0 與 0 的情形。所以 我們可以將方程式(*)調整成
a1x + b1y + c1z + d1 + a2x + b2y + c2z + d2
= 0…(**),
如果令k = ，則方程式變成
a1x + b1y + c1z + d1 + k a2x + b2y + c2z + d2
= 0…(***),
所以當我們所求平面不為E1與E2 的平面時，可
以直接將平面族方程式令為方程式(***)。
同樣的道理，我們也可用向量來表示平面上 的直線方程式， ax + by + c = 0 法向量 n = a , b ，因此由上面的討論，我們不難類推「直 線系」概念的由來，此處就不再多談。
【定理】假設給定兩個直線方程式 L1：a1x + b1y + c1= 0 L2：a2x + b2y + c2= 0，
則通過這二個直線交點P 的直線系方程式必 可寫成以下的形式： L1+ L2= 0 ( 2+ 2 0)，
亦即，
a1x + b1y + c1 + a2x + b2y + c2 = 0 ( 2+ 2= 1)…(*).
接著我們來看些可用「平面族定理」解決的 問題吧！例題一是個常見的例子。
【例 題 一】求 過 二 平 面 3x + y – z + 1 = 0 、 x + y + z = 0 的交線，且與平面 2x – y + 3z – 1 = 0 垂直的平面方程式。
【解 法 一】設 已 知 二 平 面 3x + y – z + 1 = 0 、 x + y + z = 0 的交線 L ，則 L 的方向向量
v //(3 , 1 , – 1) (1 , 1 , 1) = 2(1 , – 2 , 1), 故取方向向量 v = (1 , – 2 , 1)。且由聯立方程組
3x + y – z + 1 = 0 … x + y + z = 0 … + 4x + 2y + 1 = 0,
可取x = 0, y = – 12，則z = 12 . 故點 0 , – 12 , 1
2 在L 上。依題意，所求平面包 含L ，且垂直平面 2x – y + 3z – 1 = 0, 則其法向量
n 1 , – 2 , 1 , n 2 , – 1 , 3 , 所以 n // (1 , – 2 , 1) (2 , – 1 , 3) = (– 5 , – 1 , 3)
= – (5 , 1 , – 3), 取 n = (5 , 1 , – 3).
又點 0 , – 12 , 1
2 也在平面上，因此，所求平面 為
5x + y – 3z + 2 = 0.
【解法二】根據平面族定理，設所求的平面方程 式為
3x + y – z + 1 + k x + y + z = 0
3 + k x + 1 + k y + – 1 + k z + 1 = 0, 則此平面的法向量為 3 + k , 1 + k , – 1 + k , 依題意，由向量的內積
2 3 + k + – 1 1 + k + 3 – 1 + k = 0 4k + 2 = 0 k = – 12 ,
∴所求的平面方程式為5x + y – 3z + 2 = 0.
事實上，由於空間中的直線方程式可表示成 兩面式，讓我們常在求與直線條件有關的平面方 程式問題上，應用平面族的概念。看看下面的例 子：
【例題二】試求包含x 軸，且過點 A 1 , – 1 , 2 的 平面方程式。
【解法一】先在x 軸上取一點 B (1 , 0 , 0)，且 x 軸的方向向量為 v = (1 , 0 , 0)，由於所求平面包 含x 軸，並過 A (1 , – 1 , 2)，所以其平面的法向量 n // v AB = (1 , 0 , 0) (0 , 1 , – 2) = (0 , 2 , 1)。
故取 n = (0 , 2 , 1)
∴平面方程式為2y + z = 0.
【解法二】由於 x 軸的直線方程式可寫成 y = 0 z = 0
（兩面式），根據平面族定理，包含x 軸的任意 平面可以寫成y + kz = 0 ，將(1 , – 1 , 2)代入，得 k = 12，所以平面方程式為
▲
E ： x + y – z = 0 的正射影直線 L' 的方程式。
【解法一】由於兩點決定一直線，不妨找出L 上 的兩相異點，例如點A (2 , – 4 , 0)， B (3 , – 2 , 1) 在L 上，再求其在平面 E 上的投影點，則投影點 會落在L' 上。
以求點A 在平面 E 的投影點 A' 為例。由於 直線AA' 垂直平面 E ，所以直線 AA' 的參數式為
x = 2 + t y = – 4 + t z = – t
, t ，
因此可設點A' 2 + t , – 4 + t , – t ，又點 A' 在平 面 E 上，故代入平面方程式，得 t = 23 ，所以 A' 83 , – 10
3 , – 23 。同理，可得點B 在平面 E 的 投影點B' (3 , – 2 , 1) A'B' = 13 , 4
3 , 5
3 ，可取 直線的方向向量(1 , 4 , 5), 故直線 L 在平面 E 的投 影直線為
x – 3 1 =
y + 2 4 = z – 1
5 .
【解法二】如圖3，設 F 為包含直線 L 且與平面 E 垂直的平面。由於直線 L 在平面 E 上的投影直 線L' ，恰為平面 E 與平面 F 的交線。故求出平 面F 即可。
圖3
由於平面F 過直線 L ，根據平面族定理，
可設
F ： x – y + z – 6 + k y – 2z + 4 = 0 x + – 1 + k y + 1 – 2k z + – 6 + 4k = 0,
因此，平面F 的方程式為
– 2a + 2c – 2 = 0 c = 1 – a，代入 ， 得a = 2b – 3，所以 c = 4 – 2b，代入 ，
2b – 42+ b – 1 2+ 3 – 2b 2= 2 3b2– 10b + 8 = 0 b = 2 或 b = 43 , 當b = 2 ，則 a = 1 ， c = 0 ，所以切點 P 1 , 2 , 0
QP=(0,1,–1)，所以取平面法向量 n =(0,1,–1)，
所求平面方程式為