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阿元說：「老師，這個題目我們曾在其他學 校的網頁上看過。」
「網頁上有解答嗎？」
「沒有。」
「還好，不然你們可就勝之不武了。」
婷婷說：「才不呢，就算有解答，我也要憑 自己的腦袋做出來。」
「那麼，你們找到證法了嗎？」
阿元說：「我們兩人各有不同的想法。」
「好， 阿元先說。」
「我發現，這99 個數都是奇數，假如是完 全平方數的話，必是正奇數的平方。奇數可以表 為2k + 1 ，這裡 k 是某個整數，平方後
2k + 1 2= 4k2+ 4k + 1 = 4k k + 1 + 1 表示奇數平方除以4，餘數必定是 1。」
我讚許道：「有道理，奇數平方除以4，餘 數為1。我們姑且稱為“阿元定理”。」
婷婷說：「哪有這麼簡單的定理？」
「嗯，那就謙虛一點，改叫“阿元引理”。
偶數的平方又如何呢？婷婷，讓你來說。」
婷婷在紙上寫著：
2k 2= 4k2
「這容易。偶數的平方被4 整除。」
「不錯，我們就稱為“婷婷引理”，以示公 平。阿元，你繼續證下去。」
「題目中每個數除以4 都餘 3，違反“阿元 引理”，因此每個數都不是完全平方數。其實就 算再多幾位也一樣。」
「正確。只要把“題目中每個數除以4 都餘 3”這句話再解釋清楚一些 （註），就可以投稿應 答了。那麼婷婷的方法呢？」
婷婷趕快說她的新發現：「老師，因為題目 每個數的個位數都是1，如果是某自然數 m 的平 方，則m 的個位數也是 1。我試算了幾個：
112= 121, 212= 441, 312= 961, 412= 1681, 512= 2601
發現它們十位數都是偶數，而題目中每個數 的十位數卻是 1，所以每一個都不可能是平方 數。」
「你的理由有破綻，m2 個位數是1， m 的 個位數卻未必為1。」
婷婷有點兒意外：「還有什麼？」
阿元插嘴道「妳忘了9。」
「對耶。你們等我一下下。」婷婷在紙上迅 速算了起來：
92= 81, 192= 361, 292= 841, 392= 1521, 492
= 2401
「哈，十位數還是全部偶數。」
我再澆一盆冷水：「仍不算是周延的證明，
你只觀察五個數，就歸納推想：“個位數為1 或 9 的自然數，平方後個位數是 1，十位數是偶 數”，恐怕略嫌武斷。你需要更嚴密的說明。」
「啊？老師的意思是用數學歸納法嗎？這對 我可就有點兒挑戰了。」
阿元說：「不用吧。如果自然數m 的個位數 為1 或 9，可以表成 m = 10k ± 1 ，而
m2= 10k ± 12= 100k2± 20k + 1
= 10 10k2± 2k + 1
很明顯，個位數就是1。又其中 10k2± 2k 的 個位數就是 m2 的十位數，而不論 k 是多少，
10k2± 2k 都是偶數，所以 m2 的十位數必為偶 數。」
婷婷嬌嗔地說：「阿元，你每次都這麼厲 害，我嫉妒你。」
我開玩笑道：「女生太會嫉妒容易變醜，可 就不妙了。」
婷婷挑釁地說：「阿元，我要考倒你。如果 把這題的數字1 改成其他數字，就是全部是 2，
或全部是3 等等，會不會出現平方數？」
阿元說：「我要去趕火車，我明天再告訴你 好了。」
婷婷加大音量：「不行，你想不出來就不准 回家。」
我說：「女生不要太兇，免得更快變醜。不 過，婷婷衍生出另一個問題，倒也很有意思。為 了敘述方便，我們就把1111 稱為 4 位 1，22222 稱為5 位 2，其餘依此類推。那麼婷婷的問題可 以這樣敘述：n 位 p ( n 2， p = 2, 3, …, 9) 是否 為完全平方數？」
阿元想了一下，說：「n 位 5 和 n 位 9 也可 以用前面的“阿元引理”解釋，所以同樣都不是
與n 位 8，卻沒有違反這兩個引理。」
我問：「沒有違反是否表示皆為完全平方 數？」
阿元說：「當然不對。例如33、44、77、88 都不是完全平方數。所以如果有平方數存在，就 要知道哪些是哪些不是，這可要傷腦筋了。」
這時婷婷埋頭振筆疾書， 阿元湊過去靜觀。
紙上寫著：
10k + 12= 100k2+ 20k + 1 ȌȌএ՝ኵԅ 1 10k + 22= 100k2+ 40k + 4 ȌȌএ՝ኵԅ 4 10k + 32= 100k2+ 60k + 9 ȌȌএ՝ኵԅ 9 10k + 42= 100k2+ 80k + 16 ȌȌএ՝ኵԅ 6 10k + 52=100k2+ 100k + 25 ȌȌএ՝ኵԅ 5 10k + 62= 100k2+ 120k + 36ȌȌএ՝ኵԅ 6 10k + 72= 100k2+ 140k + 49ȌȌএ՝ኵԅ 9 10k + 82= 100k2+ 160k + 64ȌȌএ՝ኵԅ 4 10k + 92= 100k2+ 180k + 81ȌȌএ՝ኵԅ 1
「哈，我發現了：平方數的個位數不會出現 2、3、7、8，所以 n 位 3、 n 位 7 和 n 位 8 絕不 可能是完全平方數。糟糕，剩下n 位 4 該怎麼辦 呢？」
兩人皺眉苦思片刻，毫無進展。
「還是我來宣布結果吧，免得阿元趕不上火 車，回家被罵。
其實n 位 4 ( n 2 仍然不是完全平方數。」
「為什麼呢？」兩人異口同問。
「設un表n 位 1 ( n 2 ，則 n 位 4 就是 4 un， 假如它是完全平方數，則必是偶數2h 的平方，即
4un= 2h 2 un= h2
我們會推出n 位 1 也是完全平方數，違背了 我們剛剛所獲得的結論。」
「哇，太神奇了，每位數字相同的正整數竟
阿元急道：「我要走了， 我要走了，現在火 車可不太會誤點吶。」
看著他們快速離去之後，我把婷婷的想法再 略加深究，發現平方數的個位數為1，5，9 時，
十位數為偶數；個位數為6 時，十位數為奇數，
所以除了n 位 4 之外，從末兩位數字都足以推出 不是完全平方數。
古人說「教學相長」。今天我也該帶著豐收
的神情下班吧。 ■
註解
借 用 上 文 符 號，定 義
u
0 = 0, u1 = 1，因 為 un = 100 un – 2+ 11 = 4 25un – 2+ 2 + 3 ，所以 unn 2) 除以
4 都餘 3。12-1.
奧修的念珠是由七顆精選的寶石串起來 的，其中標示2 的那顆寶石的重量為 2 克拉。為了某種目的，這串念珠每顆寶石的重量必須是 其左、右兩顆相鄰寶石重量的幾何平均數。試求 這串念珠其餘六顆寶石的重量。
【解1】（黃俊嶧、吳政逸／鳳山高中3 年 16 班-連崇馨老師指導）
如圖，
由題意可知
ab = 4 2c = a2 ae = c2 cf = e2 de = f 2 bf = d2 2d = b2
c = a22 e = a43 f = a84 d = a165 b = a326 又ab = 4 a7
32 = 4 a = 2（克拉）,
再 代 回 前 面 關 係 式 得 b = c = d = e = f = 2（克 拉）.
【解2】（鄭仕豐老師／鹿港高中）
設七顆念珠之重量分別為a1= 2, a2, a3, a4, a5, a6, a7克拉，如下圖所示，