估計方法

在認知診斷模式下試題參數的估計經常使用最大期望值演算法

(expectation-maximization, EM algorithm; Dempster , Laird, & Rubin, 1977)逼近或 MCMC技術(Markov Chain Monte Carlo techniques; Tierney, 1994)。但這二個方法 不僅只能使用於參數估計，也能用來估計模式的適配，利用EM法來估計模式的 適配，包含DINA(de la Torre, 2008)、NIDA(Maris, 1999)及general diagnostic model (GDM) (von Davier, 2005)，使用MCMC技術估計模式適配上則有DINA及NIDA(de la Torre & Douglas, 2008)，及fusion model (Hartz, 2002)。

上述這些論文概述出了演算法，有些並被撰寫成程式，或能利用現有的軟體 呈現出來，這些軟體包含了Arpeggio (Educational Testing Service, 2004)，一個可 估計fusion模式的商業軟體及一個常用的商業軟體M-Plus (Muthén & Muthén, 1998-2006)，可基於log linear models上來估計CDMs家族(Henson, Templin, &

Willse, 2009)。

茲分別介紹二種估計方法：

壹、EM 參數估計法

因最大期望值演算法(Expectation-Maximization Algorithm)可以應用到各種領 域，在此僅介紹在 DINA 模式下使用 EM 演算法來估計參數的方法。

首先，定義 DINA 模式中正確答對機率之方程式，

!_(0_H) = -_ QR 0_H^′_ < _^′_

1 − )_ QR 0_H^′_ = _^′_ (2-5) 其中，_^′ 是Q矩陣轉置後的第j 行。所以，當0_$H^′ _ < _^′_時&_$ = 0；當0_H^′_ = _^′_

時&_H = 1。

定義#的邊際概似區間為下式：

壹、 MCMC 參數估計法

現今IRT模式的發展愈來愈複雜，其估計模式相當受重視，若使用傳統測驗 理論（如古典測驗理論或單參數試題反應理論）進行分析，可能會造成測量結果 客觀性及可比較性不足。一般較複雜的IRT模式之參數估計是MMLE/EM（Bock

&Aitkin, 1981），但當模式愈來愈複雜時，EM演算法將難以直接應用。MCMC 法是在多變量模式中模擬隨機抽樣之方法，不同於EM演算法，因MCMC之計算 過程不會牽涉積分或微分，故可簡單地被應用（Patz & Junker, 1999）。

MCMC是透過多次的重複遞迴抽樣，建構出馬可夫鏈（Markov chain），進 而求得一平穩分配，即是貝氏架構下的後驗（posterior）分配，藉由馬可夫鏈中 的隨機變數可了解變數的特質。MCMC在統計上應用的範圍非常廣泛，建構馬可 夫鏈的方法亦有很多，以下僅針對 MCMC所使用的Gibbs sampler法及

Metropolis-Hastings algorithm 做介紹。

一、Gibbs sampler

假設隨機變數]_^,n ≥ 0 為一馬可夫鏈，通常]_^ 的可能集合S 稱為]_^的狀態 空間（state space），其中每一個隨機變數所發生的機率都只和前一個隨機變數有 關，也就是 ]_{^`</sub> 是從條件機率分配P ( ]<sub>^</sub>|]<sub>^`})中產生，其中P (.|.) 稱為馬可夫 鏈的轉置核（transition kernel）。而所謂平穩的馬可夫鏈就是P(]_^|]_^`) 中的轉 換機率和狀態有關，但和時間 t 無關。

在IRT模式中，假設需要推論θ 、b 兩參數，則馬可夫鏈的轉置核為：

ab(c^E, d^E), ((c^, d^)e = !b ]_{^`</sub> = (c<sup></sup>, d<sup></sup>)|]^ = (c<sup>E</sup>, d<sup>E</sup>) e (2-10) 隨著n 增加，P(]<sub>^</sub>|]<sub>^`}) 會收斂到平穩分配 f(c, d)，在貝氏架構中，期望透過 馬可夫鏈來定義後驗分配 !(c, d|]) 為 f(c, d)，而平穩分配為：

g ab(c_i,j ^E, d^E), ((c^, d^)ef(c^E, d^E)h(c^E, d^E) = f(c^, d^) (2-11) 其中， f(c^, d^) 為後驗分配。由此可知，只要找到馬可夫鏈的建構方法，即可

推算出期望求得的後驗分配。Gibbs sampling即是建構馬可夫鏈的方法之ㄧ。

假設f(c, d) = !(c, d|])，且參數 θ 、b 完全條件獨立，由式子（2-10），

可將轉置核公式定義如下（Geman & Geman, 1984）：

ab(c^E, d^E), (c^, d^)e = !(c^|d^E, ])!(d^|c^, ]) (2-12) 其中，!(c |d, ])!(d|c, ])稱為完全條件分配（full conditional distribution）。

Gibbs sampling的演算步驟如下：

（一）給定所有參數起始值：(c^E, d^E)

（二）透過完全條件分配反覆抽取M+N組參數估計值，其迭代過程如下：

1. 由!(c^ |d^E, ])中抽取出c^，由!(d^|c^, ])中抽取出d^。 2. 由!(c^ |d^, ])中抽取出c^，由!(d^|c^, ])中抽取出d^。 3. 由!(c^< |d^, ])中抽取出c^<，由!(d^<|c^<, ])中抽取出d^<。

重複以上迭代過程，即可得到M+N組參數估計值。

（三）最後刪去前面的M組（即為burn-in），保留後面的N組（即為sampling）用 來分析。當樣本數N夠大時，參數估計值將會趨近於平穩分配（Tierney, 1994）

二、 Metropolis-Hastings algorithm

Gibbs sampler 是 Metropolis-Hastings algorithm 的一個特例，所有的 MCMC 演算法都是以 Metropolis-Hastings algorithm 為基礎的，且在比較複雜的情形下 Gibbs sampler 取樣時比較困難的，這時就必需使用 Metropolis-Hastings algorithm。

(B. Walsh, 2004)。

Metropolis-Hastings algorithm 演算步驟如下：假設平穩分配 R(k)，依其特 性給定一個轉換函數(. |. )，則

（一）給定所有參數起始值：X⁰ =(X₁⁰,_L,X⁰_p) t=1,2,3,_L

（二）透過轉換分配產生參數估計值， X ~q(⋅|X^t−1)

（三）計算

de la Torre (2004)使用 MCMC 法的 Metropolis-Hastings algorithm 來估計 HO-DINA 模式的試題參數及高層能力。估計結果與模擬資料真值的誤差不超過 0.02。25 次的模擬結果也只有微小的不同。故使用 MCMC 法是可以正確估計 HO-DINA 模式的。

de la Torre(2009a)使用同一筆資料分別使用 DINA 模式以 EM 法估計及使用 HO-DINA 模式以 MCMC 法估計，得到的估計結果相當一致。de la Torre(2010) 即以 HO-DINA 模式產生模擬資料，並以 EM 法估計來探討在 DINA 模式下不同