佇列系統（Queueing Systems）

一般我們描述一個佇列系統時，分成幾個部分：

我們經常假設到達顧客為一卜瓦松過程，即表示顧客到達之間隔時 間為一指數分配，以Ｍ表示；若是一般的機率分配，則以Ｇ表示。

(2) 服務時間（

service time

）

顧客接受服務所花的時間，以

B (x )

表示服務時間的機率分配，則

^{B ( x )}

⁼

^P [ ^{service time}

^≤

^x ]

若是服務時間服從指數分配，則以Ｍ表示；若是一般的機率分配則 以Ｇ表示。

(3) 容納數目（

storage capacity

）

表示此系統中最多可容納的顧客數，通常以Ｋ表示。

(4) 服務人員數（

number of service stations

）

若是服務人員超過一人，每個人的服務時間分配也許會不同，但一 般而言假設為相同的。

(5) 排隊規則（

the queueing discipline

）

用以描述排隊顧客接受服務的順序。舉例來說，先到先服務

（

first-come-first-serve, FCFS

），後到先服務（

last-come-first-serve, LCFS

），或者是隨機接受服務。

因此我們通常以

M/M/m/K

的符號表示一個佇列系統，顧客到達為卜瓦松 過程，服務時間為指數分配，有ｍ位服務人員以及系統最多可容納Ｋ位 顧客。我們在佇列系統中，有興趣的量例如顧客的等待時間、系統中的 顧客數、系統空閒的時間（

idle period

）等。

2.4 生死佇列系統（Birth-Death Queueing systems）之極限 機率

考慮一個佇列系統，狀態的改變為一生死過程，

X (t )

表示在時間ｔ

系統中的顧客數，狀態空間為

{ 0 , 1 , 2 ,

_L

}

，狀態遷移過程見

＜圖 1＞。

生死過程狀態遷移圖

定義

P

_k

( t ) = P ( X ( t ) = k )

，表示系統在時間ｔ時狀態為ｋ的機率。由動態 的觀點，從＜圖 1.1＞可看出在狀態ｋ時，離開狀態ｋ的比率與進入狀態 ｋ的比率之差即為系統在狀態ｋ之流動率。因此我們將焦點放在狀態 ｋ，觀察在時間ｔ的流動率，可表示為

狀態ｋ之流入率=

λ

_k−1

P

_k−1

( t )

+

μ

_k+1

P

_k+1

( t )

狀態ｋ之流出率=

( λ

_k +

μ

_k

) P

_k

( t )

狀態ｋ之流動率

dt t dP

_k

( )

=

因此便得到等式

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1

1

P t P t P t

dt t dP

k k k k

k k

k

k =

λ

_{− −} +

μ

_{+ +} −

λ

+

μ

，

k

≥

1

( ) ( ) ( )

0 0 1

1

0

P t P t

dt t

dP

=

μ

−

λ

長時間的觀察下，當系統進入穩定狀態時，可以說此一系統已無瞬 間性的行為，因此我們可以

p

_k表示系統在狀態ｋ時的極限機率，定義為

p

lim

P

_k(

t

)

k= t→∞

且在任一狀態之流動率為零，也就是說，在任一狀態，流出率＝流入率，

0 1 2 k-1 k

μ

1

μ

₂

μ

₃

μ

_k−1

μ

_k

．．．

-圖 1-

+1

μ

k

．．．

（2.1）

λ

2

λ

k−2

λ

_k−1

λ

_k

λ

0

λ

₁

因此可將（2.1）改寫為

λ

_k−1

p

_k−1

+ μ

_k+1

p

_k+1

− ( λ

_k

+ μ

_k

) p

_k

= 0

，

k

≥1

μ

₁

p

₁ − p

λ

_{0 0} =0

加上機率總合為一的條件

∑

^∞

=

=

0

1

k

p

k

我們便可以得到此一系統之極限機率分配。

以矩陣的形式，令^~

[

1^, 2^,_L

]

'

p p

P

= ，表示此系統之極限機率向量，Q 為此系統之轉置率矩陣，可得到

'

'

0 ~

~ ⋅ Q = P

1

~1

~'⋅ =

P

三、 M/M/s/s Queue 模型之設定

一般在討論佇列系統時，都是假設服務人員(server)處理速率皆一 致，但實際的日常生活中，經常是處理速度上是有差異的，因此在此想 考慮一個佇列系統的服務人員分成兩組，處理速率是不一樣的。舉例來 說，一個電腦系統有兩個處理器，一為主要的處理器，處理速度較快；

而另一個為備用的處理器，處理速度較慢。訊息進來時，送進主要處理 器進行處理，當主處理器滿了來不及處理時，便將訊息送進備用的處理 器；若是處理器皆忙碌中，就會遺失下一個進來的訊息。而我們想知道，

在這樣的系統之下，長時間下系統趨於穩定時每一個狀態的機率分配。

在此考慮一個 M/M/s/s 佇列系統，符合以下幾個假設：

(1) 到達的顧客形成一個卜瓦松過程，也就是說顧客到達的間隔時間 (interarrival time)為一

Exp

(

λ

)分配。

(2) 共有ｓ位服務人員(server)，分為兩個部分：一為主要的服務台，

有ｎ位服務人員；一為備用的服務台，有ｍ位服務人員。兩部分 的人員服務速率不同，主要之服務台服務時間(service time)為一

) (

μ

₁

Exp

分配，而備用之服務台服務時間為一

Exp

(

μ

₂)分配，且

m

n

s = +

。

(3) 到達的顧客若見到有空的服務人員，則進入接受服務；若ｓ個服 務人員都在忙碌中，則到達的顧客離開，不會進入系統中。

(4) 最後我們假設，到達的顧客優先進入主要服務台接受服務，若進 入的顧客發現主要的服務台ｎ個服務人員皆在忙碌中，則進入備 用的服務台接受服務。

若以圖形表示，參見＜圖 2＞。而我們有興趣的是在長時間進入穩定狀態 下，系統內顧客人數的機率分配。

模型設定示意圖

假設 I 為主要的服務人員，顧客到達優先進入；II 為備用服務人員。

現在我們令

X = 長時間之後，穩定狀態下，在 I 接受服務的顧客數 Y = 長時間之後，穩定狀態下，在 II 接受服務的顧客數 因此，(

X

,

Y

)形成一個二維馬可夫鏈，狀態空間（state space）=

{ ( 0 , 0 ), ( 0 , 1 ), L , ( 0 , m ), ( 1 , 0 ), ( 1 , 1 ), L , ( 1 , m ), L , ( n , 0 ), L , ( n , m ) }

^共(

n +

¹⁾

×

⁽

m +

¹⁾ 個狀態，且其狀態遷移圖形可由＜圖 3＞表示。舉例說明：狀態由(0,0) 到(1,0)表示系統內 I，II 皆沒有顧客，下一刻進入了一位顧客，到達率 為

λ

。反過來由(1,0)到(0,0)表示，在 I 接受服務的顧客結束服務而離 開，服務率為

μ

₁。(0,1)到(0,0)則表示在 II 接受服務的顧客結束服務離 開，服務率為

μ

₂。在此要注意的是，(0,0)到(0,1)是不可能發生的，因 為進入的顧客若 I 為空則進入 I 接受服務。因此只有在

X = n

的狀態，Y 才會增加。以此類推，便可以得到整個狀態遷移的過程。在此我們發現，

狀態遷移都只在附近的狀態移動，只有加一個顧客或是一個顧客離開的 狀態才會發生，而不會有兩個以上顧客進入或是兩個以上顧客離開的狀

n servers m servers

service rate : μ₁ service rate : μ ₂ Arrival~Possion

process(λ )

- 圖 2 -

Total of s servers

I II

After service

After service

If n full Leave if m

full

況，所以此佇列系統模型符合一個二維生死過程。且因為到達顧客優先

四、 進入穩定狀態下系統內顧客人數之機率分配

4.1 找出微矩陣(infinitesimal matrix)Ｑ

我們想要知道在長時間進入穩定狀態下，系統中顧客人數的機率分 配，首先要將此二維的馬可夫鏈轉換成一維。因此我們將此

) 1 ( ) 1

(

n + × m +

狀態令為 1,2,…,(

n +

1)

×

(

m +

1)，意即狀態空間轉變為 {1,2,3,…, (

n +

1)

×

(

m +

1)}，與原本的二維狀態對應，即為＜表一＞

表一 一

維 1 2 3 ．．．． m+1

二

維 (0,0) (0,1) (0,2) ．．．． (0,m) 一

維 m+2 m+3 m+4 ．．．． 2(m+1) 二

維 (1,0) (1,1) (1,2) ．．．． (1,m)

．

．

．

．

．

．

．

． 一

維 n(m+1)+1 n(m+1)+2 n(m+1)+3 ．．．． (n+1)(m+1) 二

維 (n,0) (n,1) (n,2) ．．．． (n,m)

＜表一＞之閱讀方法為：第一列一維狀態從左到右對應到第二列從左到

矩陣的(1，1)個元素，表示從狀態 m+2（二維狀態為(1,0)）到狀態 1（二

(j-1,0),(j-1,1),…,(j-1,m)），因此可以將轉置矩陣寫成

最後為

A

_{n+ n1, +1}，狀態為{n(m+1)+1,n(m+1)+2,…,(n+1)(m+1)}（對照二維

{(i-1)(m+1)+1,(i-1)(m+1)+2,…,i(m+1)}，且此向量 ~^'

P 會滿足

將(4.1)與(4.2)式及

A

_i+1,i =

i μ

₁⋅

I

，

A

_i,i+1 =

λ

⋅

I

代入

P ~

^'

Q = ~ 0

^'，便可得到

1 11

1

μ

D = A

， _{2 11 22}

1 1

2

1 A A I

D = ⋅ − ⋅ μ μ

λ

_{k k}

D

_k

A

_kk

D k

D k

₁

1 2

1

1 1 1 2

1

−

−

⋅

− −

− ⋅

−

= μ μ

λ

，

k

=3,L,

n

用此遞迴的方法可將 ₂^' ₃^'

~

^'₁

,

~ ,

~ ,

+

P

n

P

P

_L 以

~

₁^'

P

表示，因此若將

~

₁^'

P

解出代入 (4.4)，便可求得所有

P ~

_i'

, i = 2 ,

_L

, n + 1

。

4.3 P ^~

₁^'

之求法

因為此系統假設到達的顧客優先進入 I 接受服務，因此

X

形成一

M/M/n/n queue

，

X

的邊際機率分配可由生死過程流入率＝流出率的性質

求得（

Sheldon M Ross, [2]

），

X

的狀態遷移過程可用<圖 4>表示。

X 的狀態遷移過程 將

X

的邊際機率分配表示為

P ( X = i − 1 ) = π

_i ，

i = 1 ,

_L

, n + 1

由流入率＝流出率，可得到以下 n+1 個等式

λπ

₁

= μ

₁

π

₂

( λ + μ

₁

) π

₂

= λπ

₁

+ 2 μ

₁

π

₃

( λ + 2 μ

₁

) π

₃

= λπ

₂

+ 3 μ

₁

π

₄

M

λπ

_n

= n μ

₁

π

_n+1

0 1 2 n-1 n

μ

1 2

μ

₁ 3

μ

₁ (n−1)

μ

₁ n

μ

₁

．．．．

-圖 4 -

（

4.5

）

λ λ

λ

λ λ

由上述式子可用遞迴方法得到

⇒ ₁^' ₁

1

_{1, 1}

0 ~

^'

＜表二＞

state

0 1 2 ． ． m

f

_X

(x )

0

p

₁₁

p

₁₂

p

₁₃ ． ．

p

_1,m+1

P ( X = 0 )

1

p

₂₁

p

₂₂

p

₂₃ ． ．

p

_2,m+1

P ( X = 1 )

2

p

₃₁

p

₃₂

p

₃₃ ． ．

p

_3,m+1

P ( X = 2 )

． ． ． ． ． ．

． ． ． ． ． ．

n

p

_n+1,1

p

_n+1,2

p

_{n+1,3 ． ．}

p

_{n+ m1, +1}

P ( X = n )

) ( y

f

_Y

P ( Y = 0 ) P ( Y = 1 ) P ( Y = 2 )

． ．

P ( Y = m )

1

＜說明＞：

1. 第一列以向量

~

₁^'

P

表示，第二列以向量

~

₂^'

P

表示，以此類推。

2. 列和為

X

的邊際機率，所以

P ~

_j'

⋅ 1 ~ = P ( X = j − 1 )

。 3. 行和為

Y

的邊際機率，因此向量

∑

⁺

= 1

1

~' n

i

P 的第ｊ個值=

i

P

(

Y = j −

1)。 X

Y

4.4 模擬過程

五、 舉例模擬

＜Case 1＞

2 , 1

2 ,

8 ,

5

= ₁ = ₂ =

=

m μ μ n

(X,Y)聯合極限機率

p11 p₁₂

p

₁₃ p₁₄

p

₁₅

0.606428 0.000108 0.3509×10⁻⁵ 0.1499×10⁻⁶ 0.7078×10⁻⁸

p

16

p

₁₇

p

₁₈

p

₁₉

' 1

P

~

0.34946×10^{−9 0.1758}×10^{−10 0.8818}×10^{−12 0.3942}×10⁻¹³

p21 p₂₂

p

₂₃ p₂₄

p

₂₅

0.303187 0.000079 0.3397×10⁻⁵ 0.1803×10⁻⁶ 0.1018×10⁻⁷

p

26

p

₂₇

p

₂₈

p

₂₉

' 2

P

~

0.5852×10⁻⁹ 0.3361×10⁻¹⁰ 0.191×10⁻¹¹ 0.10×10⁻¹²

p

31

p

₃₂

p

₃₃

p

₃₄

p

₃₅

0.075773 0.000042 0.2452×10⁻⁵ 0.1602×10⁻⁶ 0.1059×10⁻⁷

p

36

p

₃₇

p

₃₈

p

₃₉

' 3

P~

0.6921×10⁻⁹ 0.4436×10⁻¹⁰ 0.278×10⁻¹¹ 0.16×10⁻¹²

p41 p₄₂

p

₄₃ p₄₄

p

₄₅

0.012610 0.000024 0.1846×10⁻⁵ 0.1400×10⁻⁶ 0.1037×10⁻⁷

p

46

p

₄₇

p

₄₈

p

₄₉

' 4

P

~

0.7454×10⁻⁹ 0.5192×10⁻¹⁰ 0.351×10⁻¹¹ 0.23×10⁻¹²

p

51

p

₅₂

p

₅₃

p

₅₄

p

₅₅

0.001560 0.1750×10⁻⁴ 0.1513×10⁻⁵ 0.1261×10⁻⁶ 0.1011×10⁻⁷

p

56

p

₅₇

p

₅₈

p

₅₉

' 5

P~

0.7791×10⁻⁹ 0.5782×10⁻¹⁰ 0.414×10⁻¹¹ 0.29×10⁻¹²

p

61

p

₆₂

p

₆₃

p

₆₄

p

₆₅

P

0.60653925131639 0.60653925130311

) 1 (

X

=

P

0.30326962565820 0.30326962565156

) 2 (

X

=

P

0.07581740641455 0.07581740641289

) 3 (

X

=

P

0.01263623440242 0.01263623440215

) 4 (

X

=

P

0.00157952930030 0.00157952930027

) 5 (

X

=

P

1.579529300303108e-004 1.579529300268520e-004 Y 的邊際機率分配

邊際機率 遞迴方法

) 0 (

Y

=

P

0.99970005781571

) 1 (

Y

=

P

0.00028498098335

) 2 (

Y

=

P

0.00001402579980

) 3 (

Y

=

P

0.00000087296567

) 4 (

Y

=

P

0.00000005821485

) 5 (

Y

=

P

0.00000000395536

) 6 (

Y

=

P

0.00000000026804

) 7 (

Y

=

P

0.00000000001793

) 8 (

Y

=

P

0.00000000000118

<case 2>

2 , 1

2 ,

5 ,

8

= ₁ = ₂ =

=

m μ μ n

(X,Y)聯合極限機率

p11 p₁₂

p

₁₃

0.606531 0.3691×10⁻⁷ 0.6639×10⁻⁹

p14

p

₁₅

p

₁₆

' 1

P

~

0.1618×10⁻¹⁰ 0.4453×10⁻¹² 0.1205×10⁻¹³

p21 p₂₂

p

₂₃

0.303265 0.2735×10⁻⁷ 0.6518×10⁻⁹

p24

p

₂₅

p

₂₆

' 2

P

~

0.1978×10⁻¹⁰ 0.65×10⁻¹² 0.2×10⁻¹³

p

31

p

₃₂

p

₃₃

0.075816 0.1454×10⁻⁷ 0.4784×10⁻⁹

p

34

p

₃₅

p

₃₆

' 3

P~

0.1788×10⁻¹⁰ 0.69×10⁻¹² 0.3×10⁻¹³

p41 p₄₂

p

₄₃

0.012636 0.8692×10⁻⁸ 0.3653×10⁻⁹

p44

p

₄₅

p

₄₆

' 4

P

~

0.1584×10⁻¹⁰ 0.69×10⁻¹² 0.3×10⁻¹³

p

51

p

₅₂

p

₅₃

0.0015795 0.6286×10⁻⁸ 0.3025×10⁻⁹

p

54

p

₅₅

p

₅₆

' 5

P~

0.1443 ×10⁻¹⁰ 0.68×10⁻¹² 0.3×10⁻¹³

p

61

p

₆₂

p

₆₃

0.1579×10⁻³ 0.5072×10⁻⁸ 0.2638×10⁻⁹

p

64

p

₆₅

p

₆₆

' 6

P~

0.1343×10⁻¹⁰ 0.6689×10⁻¹² 0.3293×10⁻¹³

p

71

p

₇₂

p

₇₃

0.1316×10⁻⁴ 0.4315×10⁻⁸ 0.2369×10⁻⁹

p

74

p

₇₅

p

₇₆

' 7

P~

0.1267×10⁻¹⁰ 0.6613×10⁻¹² 0.3445×10⁻¹³

p

81

p

₈₂

p

₈₃

0.9362×10⁻⁶ 0.3781×10⁻⁸ 0.2167×10⁻⁹

p

84

p

₈₅

p

₈₆

' 8

P~

0.1207×10⁻¹⁰ 0.6546×10⁻¹² 0.3579×10⁻¹³

p

91

p

₉₂

p

₉₃

0.5517×10⁻⁷ 0.3380×10⁻⁸ 0.2008×10⁻⁹

p

94

p

₉₅

p

₉₆

' 9

P~

0.1158×10⁻¹⁰ 0.6486×10⁻¹² 0.3699×10⁻¹³

X 的邊際機率分配

邊際機率 P~_i'⋅~1(遞迴方法) 理論值(4.6)

) 0 (

X

=

P

0.60653066179465 0.60653066179636

) 1 (

X

=

P

0.30326533089732 0.30326533089818

) 2 (

X

=

P

0.07581633272433 0.07581633272455

) 3 (

X

=

P

0.01263605545406 0.01263605545409

) 4 (

X

=

P

0.00157950693176 0.00157950693176

) 5 (

X

=

P

1.579506931756906e-004 1.579506931761364e-004 )

6 (

X

=

P

1.316255776464141e-005 1.316255776467803e-005 )

7 (

X

=

P

9.401826974748412e-007 9.401826974770022e-007 )

8 (

X

=

P

5.876141859257555e-008 5.876141859231264e-008

Y 的邊際機率分配

邊際機率 遞迴方法

) 0 (

Y

=

P

0.99999988614055

) 1 (

Y

=

P

0.00000011033668

) 2 (

Y

=

P

0.00000000338003

) 3 (

Y

=

P

0.00000000013386

) 4 (

Y

=

P

0.00000000000579

) 5 (

Y

=

P

0.00000000000026

<case 3> , 2 2

, 1 5 ,

8

= ₁ = ₂ =

=

m μ μ n

(X,Y)聯合極限機率

p11 p₁₂

p

₁₃

0.135367 0.2363×10⁻⁶ 0.1156×10⁻⁸

p14

p

₁₅

p

₁₆

' 1

P

~

0.1233×10⁻¹⁰ 0.1775×10⁻¹² 0.2472×10⁻¹⁴

p21 p₂₂

p

₂₃

0.270733 0.1409×10⁻⁵ 0.1141×10⁻⁷

p24

p

₂₅

p

₂₆

' 2

P

~

0.1699×10⁻⁹ 0.315×10⁻¹¹ 0.5×10⁻¹³

p

31

p

₃₂

p

₃₃

0.270730 0.4649×10⁻⁵ 0.6058×10⁻⁷

p

34

p

₃₅

p

₃₆

' 3

P~

0.1236×10⁻⁸ 0.2916×10⁻¹⁰ 0.62×10⁻¹²

p41 p₄₂

p

₄₃

0.180478 0.1130×10⁻⁴ 0.2298×10⁻⁶

p44

p

₄₅

p

₄₆

' 4

P

~

0.6325×10⁻⁸ 0.1881×10⁻⁹ 0.495×10⁻¹¹

p

51

p

₅₂

p

₅₃

0.090222 0.2263×10⁻⁴ 0.6975×10⁻⁶

p

54

p

₅₅

p

₅₆

' 5

P~

0.2551×10⁻⁷ 0.9484×10⁻⁹ 0.3061×10⁻¹⁰

p

61

p

₆₂

p

₆₃

0.036056 0.3963×10⁻⁴ 0.1800×10⁻⁵

p

64

p

₆₅

p

₆₆

' 6

P~

0.8627×10⁻⁷ 0.3975×10⁻⁸ 0.1572×10⁻⁹

p

71

p

₇₂

p

₇₃

0.011966 0.6271×10⁻⁴ 0.4095×10⁻⁵

p

74

p

₇₅

p

₇₆

' 7

P~

0.2541×10⁻⁶ 0.1440×10⁻⁷ 0.6971×10⁻⁹

p

81

p

₈₂

p

₈₃

0.003337 0.9150×10⁻⁴ 0.8410×10⁻⁵

p

84

p

₈₅

p

₈₆

' 8

P~

0.6684×10⁻⁶ 0.4624×10⁻⁷ 0.2743×10⁻⁸

p

91

p

₉₂

p

₉₃

0.7173×10⁻³ 0.1246×10⁻³ 0.1584×10⁻⁴

p

94

p

₉₅

p

₉₆

' 9

P~

0.1599×10⁻⁵ 0.1340×10⁻⁶ 0.9771×10⁻⁸

X 的邊際機率分配

邊際機率 P~_i'⋅~1(遞迴方法) 理論值(4.6)

) 0 (

X

=

P

0.13536742589758 0.13536742587022

) 1 (

X

=

P

0.27073485179517 0.27073485174044

) 2 (

X

=

P

0.27073485179517 0.27073485174044

) 3 (

X

=

P

0.18048990119678 0.18048990116029

) 4 (

X

=

P

0.09024495059839 0.09024495058015

) 5 (

X

=

P

0.03609798023936 0.03609798023206

) 6 (

X

=

P

0.01203266007979 0.01203266007735

) 7 (

X

=

P

0.00343790287994 0.00343790287924

) 8 (

X

=

P

8.594757199846597e-004 8.594757198109154e-004

Y 的邊際機率分配

邊際機率 遞迴方法

) 0 (

Y

=

P

0.99960735049179

) 1 (

Y

=

P

0.00035864699192

) 2 (

Y

=

P

0.00003114880915

) 3 (

Y

=

P

0.00000264067718

) 4 (

Y

=

P

0.00000019982775

) 5 (

Y

=

P

0.00000001340437

<case 4> , 2 2

, 1 8 ,

5

= ₁ = ₂ =

=

m μ μ n

(X,Y)聯合極限機率

p11 p₁₂

p

₁₃ p₁₄

p

₁₅

0.137565 0.4935×10⁻⁴ 0.8040×10⁻⁶ 0.2063×10⁻⁷ 0.6129×10⁻⁹

p

16

p

₁₇

p

₁₈

p

₁₉

' 1

P

~

0.1904×10⁻¹⁰ 0.5910×10⁻¹² 0.1771×10⁻¹³ 0.4454×10⁻¹⁵

p21 p₂₂

p

₂₃ p₂₄

p

₂₅

0.274932 0.2897×10⁻³ 0.7792×10⁻⁵ 0.2790×10⁻⁶ 0.1065×10⁻⁷

p

26

p

₂₇

p

₂₈

p

₂₉

' 2

P

~

0.4047×10⁻⁹ 0.1487×10⁻¹⁰ 0.52×10⁻¹² 0.2×10⁻¹³

p

31

p

₃₂

p

₃₃

p

₃₄

p

₃₅

0.274254 0.9334×10⁻³ 0.4038×10⁻⁴ 0.1987×10⁻⁵ 0.9652×10⁻⁷

p

36

p

₃₇

p

₃₈

p

₃₉

' 3

P~

0.4456×10⁸ 0.1929×10⁻⁹ 0.775×10⁻¹¹ 0.26×10⁻¹²

p41 p₄₂

p

₄₃ p₄₄

p

₄₅

0.181139 0.002188 0.1484×10⁻³ 0.9894×10⁻⁵ 0.6067×10⁻⁶

p

46

p

₄₇

p

₄₈

p

₄₉

' 4

P

~

0.3384×10⁻⁷ 0.1718×10⁻⁸ 0.7952×10⁻¹⁰ 0.316×10⁻¹¹

p

51

p

₅₂

p

₅₃

p

₅₄

p

₅₅

0.087109 0.004160 0.4324×10⁻³ 0.3863×10⁻⁴ 0.2968×10⁻⁵

p

56

p

₅₇

p

₅₈

p

₅₉

' 5

P~

0.1989×10⁻⁶ 0.1180×10⁻⁷ 0.6269×10⁻⁹ 0.2914×10⁻¹⁰

p

61

p

₆₂

p

₆₃

p

₆₄

p

₆₅

P

0.13761467894200 0.13761467889908

) 1 (

X

=

P

0.27522935788400 0.27522935779817

) 2 (

X

=

P

0.27522935788400 0.27522935779817

) 3 (

X

=

P

0.18348623858933 0.18348623853211

) 4 (

X

=

P

0.09174311929467 0.09174311926606

) 5 (

X

=

P

0.03669724771787 0.03669724770642

Y 的邊際機率分配

邊際機率 遞迴方法

) 0 (

Y

=

P

0.98374480151031

) 1 (

Y

=

P

0.01437355108696

) 2 (

Y

=

P

0.00168823723212

) 3 (

Y

=

P

0.00017642167423

) 4 (

Y

=

P

0.00001570150460

) 5 (

Y

=

P

0.00000120193504

) 6 (

Y

=

P

0.00000008035681

) 7 (

Y

=

P

0.00000000475902

) 8 (

Y

=

P

0.00000000025277

＜Case 5＞

3 , 1

3 , 2

8 ,

5

= ₁ = ₂ =

=

m μ μ n

(X,Y)聯合極限機率

p11 p₁₂

p

₁₃ p₁₄

p

₁₅

0.220375 0.003416 030084×10⁻³ 03258×10⁻⁴ 0.3757×10⁻⁵

p

16

p

₁₇

p

₁₈

p

₁₉

' 1

P

~

0.4398×10⁻⁶ 0.5083×10⁻⁷ 0.5521×10⁻⁸ 0.4561×10⁻⁹

p21 p₂₂

p

₂₃ p₂₄

p

₂₅

0.328854 0.006532 0.7032×10⁻³ 0.9023×10⁻⁴ 0.1205×10⁻⁴

p

26

p

₂₇

p

₂₈

p

₂₉

' 2

P

~

0.1607×10⁻⁵ 0.2094×10⁻⁶ 0.2578×10⁻⁷ 0.2509×10⁻⁸

p

31

p

₃₂

p

₃₃

p

₃₄

p

₃₅

0.244153 0.006884 0.9374×10⁻³ 0.1440×10⁻³ 0.2229×10⁻⁴

p

36

p

₃₇

p

₃₈

p

₃₉

' 3

P~

0.3372×10⁻⁵ 0.4927×10⁻⁶ 0.6819×10⁻⁷ 0.7811×10⁻⁸

p41 p₄₂

p

₄₃ p₄₄

p

₄₅

0.119271 0.005600 0.9824×10⁻³ 0.1800×10⁻³ 0.3203×10⁻⁴

p

46

p

₄₇

p

₄₈

p

₄₉

' 4

P

~

0.5449×10⁻⁵ 0.8832×10⁻⁶ 0.1358×10⁻⁶ 0.1827×10⁻⁷

p

51

p

₅₂

p

₅₃

p

₅₄

p

₅₅

0.041923 0.004173 0.9318×10⁻³ 0.2000×10⁻³ 0.4028×10⁻⁴

p

56

p

₅₇

p

₅₈

p

₅₉

' 5

P~

0.7608×10⁻⁵ 0.1352×10⁻⁵ 0.2277×10⁻⁶ 0.3590×10⁻⁷

p

61

p

₆₂

p

₆₃

p

₆₄

p

₆₅

P

0.22412887414593 0.22412887410261

) 1 (

X

=

P

0.33619331121889 0.33619331115391

) 2 (

X

=

P

0.25214498341417 0.25214498336544

) 3 (

X

=

P

0.12607249170709 0.12607249168272

) 4 (

X

=

P

0.04727718439016 0.04727718438102

) 5 (

X

=

P

0.01418315531705 0.01418315531431

Y 的邊際機率分配

邊際機率 遞迴方法

) 0 (

Y

=

P

0.96449138871537

) 1 (

Y

=

P

0.02974824360537

) 2 (

Y

=

P

0.00471232028107

) 3 (

Y

=

P

0.00085664781731

) 4 (

Y

=

P

0.00015740232751

) 5 (

Y

=

P

0.00002820272079

) 6 (

Y

=

P

0.00000486353988

) 7 (

Y

=

P

0.00000080350570

) 8 (

Y

=

P

0.00000012768029

六、 服務人員之最佳配適

在此佇列系統中將服務人員分為兩部分系統 I 與 II，服務率不同，

因此雇用之費用也會不同，在不失一般性下，假設服務速率較快的雇用 費用高，慢的較低。在固定服務人員數之下，若是服務率較快的服務人 員過多，可能會形成有閒置人員的現象，如此便會造成浪費；反之，若 是服務率快的人員太少，服務率慢的人員過多，容易造成系統處在滿的 狀態，到達顧客無法進入接受服務，便造成顧客的流失。因此我們想考

慮此

M/M/s/s

佇列系統在固定總共ｓ個服務人員下，系統 I 與 II 服務人

員的數目該如何分配能使得損失達到最小。在此舉例子說明：

考慮一個電腦系統，總共有ｓ個處理器，分為兩部分，系統 I 包含 n 個處理器，II 包含 m 個處理器，

s

=

n

+

m

。訊號進入率為平均

λ

個訊號/

單位時間，訊號進入時先進入系統 I，I 滿了才會進入系統 II。系統 I 處 理速率較快，為平均

μ

₁個訊號/單位時間；系統 II 處理速率較慢，為平 均

μ

₂個訊號/單位時間。由於系統 I 處理速率快因此單價較昂貴，II 單 價較低。因此我們假設系統 I 若有空著的處理器，單位損失為

C

₁，相對 於損失，有使用到的處理器單位獲益為

D

₁；II 若有空著的處理器，單位 損失為

C

₂，有使用到的處理器單位獲益為

D

₂。如此我們便可以將損失寫 成

=

Loss

_∑∑ [ ]

= =

=

=

⋅

⋅

−

−

⋅ +

⋅

−

−

n ⋅

i m

j

j Y i X P j D j m C i D i n C

0 0

2 2

1

1

( ) ( ) ( , )

2 1 2

1

C , D D

C

> > ，

P ( X

=

i , Y

=

j )

為

X

與

Y

的聯合機率分配，可用第四章 遞迴方法求得。由於是損失函數，所以將損失視為正。如此便可在固定 ｓ下，變動 n 與 m，找到最佳的（n,m）使得(6.1)達到最小。

（

6.1

）

模擬過程求 X 和Y 的聯合極限機率方法和第四章相同，步驟如下：

步驟一：

給定

λ , μ

₁

, μ

₂

, s

，

s = n + m

，n，m 屬於整數，變動 n 和 m，利用 第四章的遞迴方法得到每一組（n,m）之 X 和Y 的聯合極限機率。

步驟二：

固定

C

₁

, C

₂

, D

₁

, D

₂，

C

₁>

C

₂

, D

₁ >

D

₂，將每一組（n,m）之

X

和

Y

的聯合極限機率值代入（6.1）式，得到 s+1 個不同的損失值。

步驟三：

比較這 s+1 個損失值，損失值最小時之（n,m）即為在固定 s 個 服務人員下，最佳的系統 I 與 II 服務人員數目之分配。

在固定 s 之下得到了一組（n,m）使得系統損失達到最小，進一步我 們可以在一個可容許的範圍內變動 s，每一個 s 可以得到一組最佳之

（n,m），再比較這幾組（n,m）得到之損失值，之中最小損失值之（n,m）

即為此範圍內之最佳組合。

七、 結論

一般討論佇列系統時假設服務人員處理率相同，在此模型中假設服 務人員服務率不全相同，將較為複雜之二維馬可夫鏈轉換成簡單的一維 狀態，並且找出更有效率的遞迴方法求得極限機率分配。更進一步以損 失的觀點求得不同服務率的服務員數目之最佳分配，使得系統損失可以 達到最小。而我們在理論上生死佇列系統一般是用

'

'

0 ~

~

_{⋅ =}

Q P

P ~

' ⋅

1 ~

=

1

來解出極限機率分配

[

1 2 3 ( 1)( 1)

]

' ) 1 )(

1

(

, , , ,

~

+ + +

+ _m = _{n m}

n

p p p p

P

_L ，微矩陣Ｑ維度為

) 1 )(

1 ( ) 1 )(

1

( n

+

m

+ ×

n

+

m

+ 。就算 n，m 不大，但相乘出來的值也很可觀，

解聯立方程式在計算上便困難了許多，計算效率也低。但是使用第四章 所述之遞迴方法計算，矩陣維度變為

( m

+

1 )

×

( m

+

1 )

，減少了非常多！在 電腦模擬時，用此種迭代的方式比起原本的計算減少了許多記憶體的浪 費，效率也因此大大提升！因此我們得到一個更有效率的方法求得極限 機率，所以，在本論文中提出此種遞迴方法來求佇列系統之極限機率分 配。

參考文獻

[1] Leonard Kleinrock, Queueing Systems Volume I : Theory (1975), John Wiley and Sons.

[2] Sheldon M Ross, Stochastic Processes, 2

^nd

Ed. (1995), John Wiley and Sons.

[3] Paul G. Hoel, Sidney C. Port, and Charles J. Stone , Introduction to Stochastic Processes, Houghton Mifflin Company.

[4]

王士維，「計算

M/M/s/s

佇列系統極限值的有效方法」，國立交通

[4]

王士維，「計算

M/M/s/s

佇列系統極限值的有效方法」，國立交通

在文檔中 以遞迴方法求服務率不同的M/M/s/s佇列系統之極限機率分配 (頁 12-0)