舉例模擬 - 以遞迴方法求服務率不同的M/M/s/s佇列系統之極限機率分配

＜Case 1＞

2 , 1

2 ,

8 ,

5

= ₁ = ₂ =

m μ μ n

(X,Y)聯合極限機率

p11 p₁₂

p

₁₃ p₁₄

p

₁₅

0.606428 0.000108 0.3509×10⁻⁵ 0.1499×10⁻⁶ 0.7078×10⁻⁸

p

₁₇

p

₁₈

p

₁₉

' 1

P

0.34946×10⁻⁹^0.1758×10⁻¹⁰ ^0.8818×10⁻¹² ^0.3942×10⁻¹³

p21 p₂₂

p

₂₃ p₂₄

p

₂₅

0.303187 0.000079 0.3397×10⁻⁵ 0.1803×10⁻⁶ 0.1018×10⁻⁷

p

₂₇

p

₂₈

p

₂₉

' 2

P

0.5852×10⁻⁹ 0.3361×10⁻¹⁰ 0.191×10⁻¹¹ 0.10×10⁻¹²

p

₃₂

p

₃₃

p

₃₄

p

₃₅

0.075773 0.000042 0.2452×10⁻⁵ 0.1602×10⁻⁶ 0.1059×10⁻⁷

p

₃₇

p

₃₈

p

₃₉

' 3

0.6921×10⁻⁹ 0.4436×10⁻¹⁰ 0.278×10⁻¹¹ 0.16×10⁻¹²

p41 p₄₂

p

₄₃ p₄₄

p

₄₅

0.012610 0.000024 0.1846×10⁻⁵ 0.1400×10⁻⁶ 0.1037×10⁻⁷

p

₄₇

p

₄₈

p

₄₉

' 4

P

0.7454×10⁻⁹ 0.5192×10⁻¹⁰ 0.351×10⁻¹¹ 0.23×10⁻¹²

p

₅₂

p

₅₃

p

₅₄

p

₅₅

0.001560 0.1750×10⁻⁴ 0.1513×10⁻⁵ 0.1261×10⁻⁶ 0.1011×10⁻⁷

p

₅₇

p

₅₈

p

₅₉

' 5

0.7791×10⁻⁹ 0.5782×10⁻¹⁰ 0.414×10⁻¹¹ 0.29×10⁻¹²

p

₆₂

p

₆₃

p

₆₄

p

₆₅

P

0.60653925131639 0.60653925130311

) 1 (

X

P

0.30326962565820 0.30326962565156

) 2 (

X

P

0.07581740641455 0.07581740641289

) 3 (

X

P

0.01263623440242 0.01263623440215

) 4 (

X

P

0.00157952930030 0.00157952930027

) 5 (

X

P

1.579529300303108e-004 1.579529300268520e-004 Y 的邊際機率分配

邊際機率遞迴方法

) 0 (

Y

P

0.99970005781571

) 1 (

Y

P

0.00028498098335

) 2 (

Y

P

0.00001402579980

) 3 (

Y

P

0.00000087296567

) 4 (

Y

P

0.00000005821485

) 5 (

Y

P

0.00000000395536

) 6 (

Y

P

0.00000000026804

) 7 (

Y

P

0.00000000001793

) 8 (

Y

P

0.00000000000118

<case 2>

2 , 1

2 ,

5 ,

8

= ₁ = ₂ =

m μ μ n

(X,Y)聯合極限機率

p11 p₁₂

p

₁₃

0.606531 0.3691×10⁻⁷ 0.6639×10⁻⁹

p14

p

₁₅

p

₁₆

' 1

P

0.1618×10⁻¹⁰ 0.4453×10⁻¹² 0.1205×10⁻¹³

p21 p₂₂

p

₂₃

0.303265 0.2735×10⁻⁷ 0.6518×10⁻⁹

p24

p

₂₅

p

₂₆

' 2

P

0.1978×10⁻¹⁰ 0.65×10⁻¹² 0.2×10⁻¹³

p

₃₂

p

₃₃

0.075816 0.1454×10⁻⁷ 0.4784×10⁻⁹

p

₃₅

p

₃₆

' 3

0.1788×10⁻¹⁰ 0.69×10⁻¹² 0.3×10⁻¹³

p41 p₄₂

p

₄₃

0.012636 0.8692×10⁻⁸ 0.3653×10⁻⁹

p44

p

₄₅

p

₄₆

' 4

P

0.1584×10⁻¹⁰ 0.69×10⁻¹² 0.3×10⁻¹³

p

₅₂

p

₅₃

0.0015795 0.6286×10⁻⁸ 0.3025×10⁻⁹

p

₅₅

p

₅₆

' 5

0.1443 ×10⁻¹⁰ 0.68×10⁻¹² 0.3×10⁻¹³

p

₆₂

p

₆₃

0.1579×10⁻³ 0.5072×10⁻⁸ 0.2638×10⁻⁹

p

₆₅

p

₆₆

' 6

0.1343×10⁻¹⁰ 0.6689×10⁻¹² 0.3293×10⁻¹³

p

₇₂

p

₇₃

0.1316×10⁻⁴ 0.4315×10⁻⁸ 0.2369×10⁻⁹

p

₇₅

p

₇₆

' 7

0.1267×10⁻¹⁰ 0.6613×10⁻¹² 0.3445×10⁻¹³

p

₈₂

p

₈₃

0.9362×10⁻⁶ 0.3781×10⁻⁸ 0.2167×10⁻⁹

p

₈₅

p

₈₆

' 8

0.1207×10⁻¹⁰ 0.6546×10⁻¹² 0.3579×10⁻¹³

p

₉₂

p

₉₃

0.5517×10⁻⁷ 0.3380×10⁻⁸ 0.2008×10⁻⁹

p

₉₅

p

₉₆

' 9

0.1158×10⁻¹⁰ 0.6486×10⁻¹² 0.3699×10⁻¹³

X 的邊際機率分配

邊際機率 P~_i'⋅~1(遞迴方法) 理論值(4.6)

) 0 (

X

P

0.60653066179465 0.60653066179636

) 1 (

X

P

0.30326533089732 0.30326533089818

) 2 (

X

P

0.07581633272433 0.07581633272455

) 3 (

X

P

0.01263605545406 0.01263605545409

) 4 (

X

P

0.00157950693176 0.00157950693176

) 5 (

X

P

1.579506931756906e-004 1.579506931761364e-004 )

6 (

X

P

1.316255776464141e-005 1.316255776467803e-005 )

7 (

X

P

9.401826974748412e-007 9.401826974770022e-007 )

8 (

X

P

5.876141859257555e-008 5.876141859231264e-008

Y 的邊際機率分配

邊際機率遞迴方法

) 0 (

Y

P

0.99999988614055

) 1 (

Y

P

0.00000011033668

) 2 (

Y

P

0.00000000338003

) 3 (

Y

P

0.00000000013386

) 4 (

Y

P

0.00000000000579

) 5 (

Y

P

0.00000000000026

<case 3> , 2 2

, 1 5 ,

8

= ₁ = ₂ =

m μ μ n

(X,Y)聯合極限機率

p11 p₁₂

p

₁₃

0.135367 0.2363×10⁻⁶ 0.1156×10⁻⁸

p14

p

₁₅

p

₁₆

' 1

P

0.1233×10⁻¹⁰ 0.1775×10⁻¹² 0.2472×10⁻¹⁴

p21 p₂₂

p

₂₃

0.270733 0.1409×10⁻⁵ 0.1141×10⁻⁷

p24

p

₂₅

p

₂₆

' 2

P

0.1699×10⁻⁹ 0.315×10⁻¹¹ 0.5×10⁻¹³

p

₃₂

p

₃₃

0.270730 0.4649×10⁻⁵ 0.6058×10⁻⁷

p

₃₅

p

₃₆

' 3

0.1236×10⁻⁸ 0.2916×10⁻¹⁰ 0.62×10⁻¹²

p41 p₄₂

p

₄₃

0.180478 0.1130×10⁻⁴ 0.2298×10⁻⁶

p44

p

₄₅

p

₄₆

' 4

P

0.6325×10⁻⁸ 0.1881×10⁻⁹ 0.495×10⁻¹¹

p

₅₂

p

₅₃

0.090222 0.2263×10⁻⁴ 0.6975×10⁻⁶

p

₅₅

p

₅₆

' 5

0.2551×10⁻⁷ 0.9484×10⁻⁹ 0.3061×10⁻¹⁰

p

₆₂

p

₆₃

0.036056 0.3963×10⁻⁴ 0.1800×10⁻⁵

p

₆₅

p

₆₆

' 6

0.8627×10⁻⁷ 0.3975×10⁻⁸ 0.1572×10⁻⁹

p

₇₂

p

₇₃

0.011966 0.6271×10⁻⁴ 0.4095×10⁻⁵

p

₇₅

p

₇₆

' 7

0.2541×10⁻⁶ 0.1440×10⁻⁷ 0.6971×10⁻⁹

p

₈₂

p

₈₃

0.003337 0.9150×10⁻⁴ 0.8410×10⁻⁵

p

₈₅

p

₈₆

' 8

0.6684×10⁻⁶ 0.4624×10⁻⁷ 0.2743×10⁻⁸

p

₉₂

p

₉₃

0.7173×10⁻³ 0.1246×10⁻³ 0.1584×10⁻⁴

p

₉₅

p

₉₆

' 9

0.1599×10⁻⁵ 0.1340×10⁻⁶ 0.9771×10⁻⁸

X 的邊際機率分配

邊際機率 P~_i'⋅~1(遞迴方法) 理論值(4.6)

) 0 (

X

P

0.13536742589758 0.13536742587022

) 1 (

X

P

0.27073485179517 0.27073485174044

) 2 (

X

P

0.27073485179517 0.27073485174044

) 3 (

X

P

0.18048990119678 0.18048990116029

) 4 (

X

P

0.09024495059839 0.09024495058015

) 5 (

X

P

0.03609798023936 0.03609798023206

) 6 (

X

P

0.01203266007979 0.01203266007735

) 7 (

X

P

0.00343790287994 0.00343790287924

) 8 (

X

P

8.594757199846597e-004 8.594757198109154e-004

Y 的邊際機率分配

邊際機率遞迴方法

) 0 (

Y

P

0.99960735049179

) 1 (

Y

P

0.00035864699192

) 2 (

Y

P

0.00003114880915

) 3 (

Y

P

0.00000264067718

) 4 (

Y

P

0.00000019982775

) 5 (

Y

P

0.00000001340437

<case 4> , 2 2

, 1 8 ,

5

= ₁ = ₂ =

m μ μ n

(X,Y)聯合極限機率

p11 p₁₂

p

₁₃ p₁₄

p

₁₅

0.137565 0.4935×10⁻⁴ 0.8040×10⁻⁶ 0.2063×10⁻⁷ 0.6129×10⁻⁹

p

₁₇

p

₁₈

p

₁₉

' 1

P

0.1904×10⁻¹⁰ 0.5910×10⁻¹² 0.1771×10⁻¹³ 0.4454×10⁻¹⁵

p21 p₂₂

p

₂₃ p₂₄

p

₂₅

0.274932 0.2897×10⁻³ 0.7792×10⁻⁵ 0.2790×10⁻⁶ 0.1065×10⁻⁷

p

₂₇

p

₂₈

p

₂₉

' 2

P

0.4047×10⁻⁹ 0.1487×10⁻¹⁰ 0.52×10⁻¹² 0.2×10⁻¹³

p

₃₂

p

₃₃

p

₃₄

p

₃₅

0.274254 0.9334×10⁻³ 0.4038×10⁻⁴ 0.1987×10⁻⁵ 0.9652×10⁻⁷

p

₃₇

p

₃₈

p

₃₉

' 3

0.4456×10⁸ 0.1929×10⁻⁹ 0.775×10⁻¹¹ 0.26×10⁻¹²

p41 p₄₂

p

₄₃ p₄₄

p

₄₅

0.181139 0.002188 0.1484×10⁻³ 0.9894×10⁻⁵ 0.6067×10⁻⁶

p

₄₇

p

₄₈

p

₄₉

' 4

P

0.3384×10⁻⁷ 0.1718×10⁻⁸ 0.7952×10⁻¹⁰ 0.316×10⁻¹¹

p

₅₂

p

₅₃

p

₅₄

p

₅₅

0.087109 0.004160 0.4324×10⁻³ 0.3863×10⁻⁴ 0.2968×10⁻⁵

p

₅₇

p

₅₈

p

₅₉

' 5

0.1989×10⁻⁶ 0.1180×10⁻⁷ 0.6269×10⁻⁹ 0.2914×10⁻¹⁰

p

₆₂

p

₆₃

p

₆₄

p

₆₅

P

0.13761467894200 0.13761467889908

) 1 (

X

P

0.27522935788400 0.27522935779817

) 2 (

X

P

0.27522935788400 0.27522935779817

) 3 (

X

P

0.18348623858933 0.18348623853211

) 4 (

X

P

0.09174311929467 0.09174311926606

) 5 (

X

P

0.03669724771787 0.03669724770642

Y 的邊際機率分配

邊際機率遞迴方法

) 0 (

Y

P

0.98374480151031

) 1 (

Y

P

0.01437355108696

) 2 (

Y

P

0.00168823723212

) 3 (

Y

P

0.00017642167423

) 4 (

Y

P

0.00001570150460

) 5 (

Y

P

0.00000120193504

) 6 (

Y

P

0.00000008035681

) 7 (

Y

P

0.00000000475902

) 8 (

Y

P

0.00000000025277

＜Case 5＞

3 , 1

3 , 2

8 ,

5

= ₁ = ₂ =

m μ μ n

(X,Y)聯合極限機率

p11 p₁₂

p

₁₃ p₁₄

p

₁₅

0.220375 0.003416 030084×10⁻³ 03258×10⁻⁴ 0.3757×10⁻⁵

p

₁₇

p

₁₈

p

₁₉

' 1

P

0.4398×10⁻⁶ 0.5083×10⁻⁷ 0.5521×10⁻⁸ 0.4561×10⁻⁹

p21 p₂₂

p

₂₃ p₂₄

p

₂₅

0.328854 0.006532 0.7032×10⁻³ 0.9023×10⁻⁴ 0.1205×10⁻⁴

p

₂₇

p

₂₈

p

₂₉

' 2

P

0.1607×10⁻⁵ 0.2094×10⁻⁶ 0.2578×10⁻⁷ 0.2509×10⁻⁸

p

₃₂

p

₃₃

p

₃₄

p

₃₅

0.244153 0.006884 0.9374×10⁻³ 0.1440×10⁻³ 0.2229×10⁻⁴

p

₃₇

p

₃₈

p

₃₉

' 3

0.3372×10⁻⁵ 0.4927×10⁻⁶ 0.6819×10⁻⁷ 0.7811×10⁻⁸

p41 p₄₂

p

₄₃ p₄₄

p

₄₅

0.119271 0.005600 0.9824×10⁻³ 0.1800×10⁻³ 0.3203×10⁻⁴

p

₄₇

p

₄₈

p

₄₉

' 4

P

0.5449×10⁻⁵ 0.8832×10⁻⁶ 0.1358×10⁻⁶ 0.1827×10⁻⁷

p

₅₂

p

₅₃

p

₅₄

p

₅₅

0.041923 0.004173 0.9318×10⁻³ 0.2000×10⁻³ 0.4028×10⁻⁴

p

₅₇

p

₅₈

p

₅₉

' 5

0.7608×10⁻⁵ 0.1352×10⁻⁵ 0.2277×10⁻⁶ 0.3590×10⁻⁷

p

₆₂

p

₆₃

p

₆₄

p

₆₅

P

0.22412887414593 0.22412887410261

) 1 (

X

P

0.33619331121889 0.33619331115391

) 2 (

X

P

0.25214498341417 0.25214498336544

) 3 (

X

P

0.12607249170709 0.12607249168272

) 4 (

X

P

0.04727718439016 0.04727718438102

) 5 (

X

P

0.01418315531705 0.01418315531431

Y 的邊際機率分配

邊際機率遞迴方法

) 0 (

Y

P

0.96449138871537

) 1 (

Y

P

0.02974824360537

) 2 (

Y

P

0.00471232028107

) 3 (

Y

P

0.00085664781731

) 4 (

Y

P

0.00015740232751

) 5 (

Y

P

0.00002820272079

) 6 (

Y

P

0.00000486353988

) 7 (

Y

P

0.00000080350570

) 8 (

Y

P

0.00000012768029

六、服務人員之最佳配適

在此佇列系統中將服務人員分為兩部分系統 I 與 II，服務率不同，

因此雇用之費用也會不同，在不失一般性下，假設服務速率較快的雇用費用高，慢的較低。在固定服務人員數之下，若是服務率較快的服務人員過多，可能會形成有閒置人員的現象，如此便會造成浪費；反之，若是服務率快的人員太少，服務率慢的人員過多，容易造成系統處在滿的狀態，到達顧客無法進入接受服務，便造成顧客的流失。因此我們想考

慮此

M/M/s/s

佇列系統在固定總共ｓ個服務人員下，系統 I 與 II 服務人

員的數目該如何分配能使得損失達到最小。在此舉例子說明：

考慮一個電腦系統，總共有ｓ個處理器，分為兩部分，系統 I 包含 n 個處理器，II 包含 m 個處理器，

s

n

m

。訊號進入率為平均

λ

個訊號/

單位時間，訊號進入時先進入系統 I，I 滿了才會進入系統 II。系統 I 處理速率較快，為平均

μ

₁個訊號/單位時間；系統 II 處理速率較慢，為平均

μ

₂個訊號/單位時間。由於系統 I 處理速率快因此單價較昂貴，II 單價較低。因此我們假設系統 I 若有空著的處理器，單位損失為

C

₁，相對於損失，有使用到的處理器單位獲益為

D

₁；II 若有空著的處理器，單位損失為

C

₂，有使用到的處理器單位獲益為

D

₂。如此我們便可以將損失寫成

Loss

_∑∑ [ ]

= =

⋅

−

⋅ +

⋅

−

n ⋅

i m

j Y i X P j D j m C i D i n C

0 0

2 2

( ) ( ) ( , )

2 1 2

C , D D

C

> > ，

P ( X

i , Y

j )

為

X

與

Y

的聯合機率分配，可用第四章遞迴方法求得。由於是損失函數，所以將損失視為正。如此便可在固定ｓ下，變動 n 與 m，找到最佳的（n,m）使得(6.1)達到最小。

（

6.1

）

模擬過程求 X 和Y 的聯合極限機率方法和第四章相同，步驟如下：

步驟一：

給定

λ , μ

₁

, μ

₂

, s

，

s = n + m

，n，m 屬於整數，變動 n 和 m，利用 第四章的遞迴方法得到每一組（n,m）之 X 和Y 的聯合極限機率。

步驟二：

固定

C

₁

, C

₂

, D

₁

, D

₂，

C

₁>

C

₂

, D

₁ >

D

₂，將每一組（n,m）之

X

和

Y

的聯合極限機率值代入（6.1）式，得到 s+1 個不同的損失值。

步驟三：

比較這 s+1 個損失值，損失值最小時之（n,m）即為在固定 s 個服務人員下，最佳的系統 I 與 II 服務人員數目之分配。

在固定 s 之下得到了一組（n,m）使得系統損失達到最小，進一步我們可以在一個可容許的範圍內變動 s，每一個 s 可以得到一組最佳之

（n,m），再比較這幾組（n,m）得到之損失值，之中最小損失值之（n,m）

即為此範圍內之最佳組合。

在文檔中以遞迴方法求服務率不同的M/M/s/s佇列系統之極限機率分配 (頁 30-45)