第二章 路網流量模式及敏感性分析之文獻回顧
2.3 使用者均衡路網流量模式
Pij
p
ij
p T
h
,
i,j (2-3) 0
hp , i,j (2-4) 式(2-1)說明對起迄點間以使用的路徑(即路徑流量大於零)，其旅行成本為最小或 等於該組起迄點間最小的旅行成本。式(2-2)說明若路徑的旅行成本大於該組起迄點間 的最小旅行成本，則該路徑不會被使用(即路徑流量為零)。式(2-1)函上式(2-2)即表示 上述的 Wardrop 使用者均衡準則。式(2-3)為流量守恆，及每組起迄點間所有路徑的流 量和等於該組起迄點間的運輸需求量。式(2-4)則表示所有路徑流量有非負的限制。
2.3 使用者均衡路網流量模式
2.3.1 數學規劃法
在 Wardrop 提出使用者均衡之行為假設後，Ｂeckmann(1956)首先構建出第一準則 之數學規劃模式(Mathematical Programming，簡稱ＭＰ)，假設路段的成本函數是可分
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離的(Separable)，尌是說路段(Arc)的使用成本只受到路段車流量的影響。在這個模式 中，成凾地將原本所求解的路網均衡問題，轉換為一求解極值的數學規劃問題，其模式 如下：
) ( min Z f
f (2-5) =
a f f a
aC x dx
0 ( )
min (2-6)
s ..t f (2-7) 其中
{f f h,hT,h0}. (2-8) 導出上面所述非線性規劃方程式的 K-K-T（Ｋarush-Kuhn-Tucker）條件，可以得出 求解此一數學規劃式的必要條件（Necessary Condition），其 K-K-T 條件如下：
0 )
(cp uij hp pPij i, j (2- 9)
0
ij
p u
c (2-10) 上述之數學模式符合Ｗardrop 第一準則。式(2-9)和式（2-10）函上式（2-6）目標 式和式(2-8)的限制式，相當於式(2-1)至式(2-4)所描述的，因此我們可以將求解的路 網均衡指派問題轉換成求解上述之數學規劃問題。我們也可以將式(2-9)和式(2-10)轉 換成：
若hp 0cp uij pPij i,j (2-11)
若cp uij hp 0 pPij i,j (2-12) 式（2-11）說明若由起點 i 到迄點 j 之路徑 P 如已經被使用(即路徑流量大於零)，
則其旅行成本 Cp等於起點 i 到迄點 j 之最小旅行成本 u
ij。式(2-12)則說明路 徑 p 的旅行成本大於由起點 i 到迄點 j 最小的路徑旅行成本則路徑 p 不被使 用(即路徑流量等於零)。
9 式，稱為非線性互補問題(Nonlinear Complementarity Problem，簡稱 NCP)。在 NCP 模式中，路段成本函數可以是任何的型式，沒有任何的假設條件。其模式構建如下:
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們可以藉由非線性互補問題來描述均衡路網交通量指派問題。上述方程式雖然和式 (2-9)、式(2-10)類似，但是路段的成本函數卻不需要數學規劃模式中的對稱性假設條 件。
Aashtiani 所提出的非線性互補問題模式，其路段成本函數已無數學模式的假設條 件，但是，非線性互補問題模式在求解過程中，必須以路徑流量為變數。而在真實世界 中的路網問題，路徑的數目十分龐大，所以非線性互補問題不適合用在求解大型的的路 網。李治綱(1989)也指出，非線性互補問題模式的求解，在某種路網流量類型下不易收 斂到較好的精確度。
2.3.3 變分不等式問題
Smith(1979)及 Dafermos(1980)放鬆了路段旅行成本可分離的假設，以路徑和路段 為變數分別建立變分不等式模式(Variational Inequality Problem，簡稱 VIP)，即是 本研究所要討論的模式。此模式可以以路段為變數之方程式型式，表示如下:
求 f*，使得下式成立 0 ) )(
(f* f f*
c 對所有 f (2-18) 其中
} 0 , ,
{
f f h h T h (2-19) 當其可行解區間為非負的空間時，我們可以推導出變分不等式問題的解滿足非線性 互補問題，反之亦然。由於非線性互補問題所得到的解滿足路網均衡時的條件，所以變 分不等式問題的解也滿足路網均衡時的條件。因此，我們可以利用變分不等式問題來描 述均衡路網流量的問題。
利用變分不等式所建立的路網均衡流量模式，不需要路段成本可分離或路段成本函 數 Jacobian 矩陣為對稱性的假設條件。而且其模式是以路段為變數，尤其是在考慮大 型路網的分析工作時，這個特性將原本龐大的路徑變數轉換成較少的路段變數，使得此 模式為最可行之路網均衡模式。
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2.3.4 不動點問題
以上 MPP、NCP 或 VIP 都可以用數學模式不動點問題(Fixed Point Problem；簡稱 FPP)來表示，如下所示:
hp (hp (cp uij)) pPij i,j (2-20)
0 )
(cp uij pPij i,j (2-21)
Pij
p
ij
p T
h 0 pPij i,j (2-22)
式中(hp (cp uij))Max(0,hp (cp uij))，保證 hp 0
Tobin(1986)提出變分不等式的敏感性分析定理，但是，因為均衡路網流量的問題 不滿足敏感性分析方法的唯一性條件(Uniqueness Condition)，因此無法直接應用在均 衡路網流量的敏感性分析上。在均衡路網中，路段(Arc)的流量是唯一的，但路徑 (Path) 的流量卻非唯一的。而 Tobin 的敏感性分析是分析路徑(Path)的變動狀況，所以我們無 法直接應用 Tobin 的定理。Tobin 和 Friesz(1988)以線性規劃方法(Linear Planning Method)，利用路段流量求出一組路徑流量後，對該組路徑流量作敏感性分析，解決了 唯一性的問題。但是，該研究所假設的非退化(Nondegenerate)特性，使得正流量的路 徑數必須小於或等於正流量路段數函上起迄點數的和。而我們知道，在較大型的路網當 中，路徑的數目遠大於路段的數目。所以，這個假設只能應用於簡單或較小的路網，所 以該方法的使用範圍並不廣泛。在此假設下 Yang(1994)、Yang 和 Yagar(1995)以及 Yang 和 Lam (1996)已將其用在交通控制。
但是，在一般的路網狀態下，Tobin 和 Friesz 所證明的路徑流量獨立性並不存在，
卓訓榮(1991)為解決非退化性的問題，以廣義反矩陣方法將可行解空間由路徑轉到路段，
再以路段的可行解空間分析敏感性問題，以避免了唯一性的困擾，且結果已被 Cho 和 Lee(1998)，Cho 和 Lo(1999)用在求解路網設計。卓訓榮(1992)亦提出最短距離方法，
在已知一組路徑正流量解及微擾程度並不大的假設下進行可行解集合的轉換。下面將介 紹變分不等式的分析問題。
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