第五章 Stackelberg Game 模型理論基礎與求解分析
5.4 變分不等式敏感度分析方法
在號誌時制設定問題中，若欲利用陡降法進行求解，所遭遇最大的困難在於路段流 量變數為號誌時制(有效綠燈時間)之函數，且此函數不具封閉型式，無法直接計算其導 函數，而敏感度分析可運用變數在均衡解附近之微量擾動，有效推估其均衡解附近之導 函數，作為搜尋最佳解之有效資訊。因此本研究將以此方法搜尋目標函數之尋優方向 (descent direction)，相關文獻整理如下:
在参考文獻中，Fiacco and Mccormick(1968)最早提及敏感度分析，當初他們為了 提高非線性數學規劃問題之求解演算法效率，探討當目標函數或限制式小幅變動的情況 下最佳解之改變量。改變後問題，若能滿足
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(1) 目標函數及限制式二階可微 (Twice Differentiable)
(2) 唯一解之二階充分條件(Second order Sufficient Condition) (3) 限制式之一階偏微滿足線性獨立
(4) 等式限制式及其對偶變數滿足嚴格互補性質(Strict Complementary) 則新的最佳解可視為微擾變數之函數。
Fiacco(1976)建構以懲罰值函數預測非線性規劃問題局部解(Local Solution)附近 敏感度資訊之理論基礎。若最佳解滿足唯一解之二階充分條件及完全互補條件，即可獲 得一階敏感度分析(First-order Sensitivity Analysis)資訊，該文獻並利用懲罰值函 數推導目標式、限制式小幅擾動後之最佳解與微擾變數間的函數關係。
Tobin(1986)参照 Fiacco 所提之非線性規劃問題敏感度分析方法，提出變分不等式 敏感度分析理論與求解方法，文獻中提及若欲獲得變分不等式敏感度分析資訊，其均衡 解及對偶變數必須滿足局部唯一解之充分條件(Sufficient Conditions for a Locally Unique Solution)、限制式一階偏微線性獨立及嚴格互補鬆弛條件(Strict Complemen- tary Slackness)，若上述之條件成立，將均衡解存在之必要條件恆等式對微擾變數進 行偏微，便可獲得均衡解附近敏感度分析資訊，而微擾後之均衡解亦可由其一階敏感度 分析與微擾值函以估算。
Tobin and Friesz(1988)將變分不等式敏感度分析應用至網路均衡問題中。由於網 路問題之路徑解或路段流量間有交互影響之路段解並不滿足唯一解之充分條件，無法對 其變分不等式模型進行敏感度分析。但是當路段成本函數為嚴格單調(Strictly Mono- tonic)函數時，則網路均衡問題之路段解符合局部唯一解之充分條件，則路段解之變分 不等式模型符合敏感度分析之要件。但敏感度分析是分析路徑流量間的變動狀況。因此 在該篇文獻中，Tobin and Friesz 利用數學規劃的方式，以唯一之路段流量解推估一組 路徑流量解進行敏感度分析，此路徑流量必須滿足角點(Extreme point)且非退化 (Nondegenerate)之假設，亦即該數學規劃問題所使用到路徑流量為正之路徑數必須小 於或等於使用到的路段數與起迄對數目之合，以確保可以找到一組可行之路徑解。
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由於 Tobin and Friesz 欲將變分不等式敏感度分析應用至網路均衡分析所需之假 設過於強烈，降低了求解一般網路問題的適用性，因此 Cho(1991)提出廣義反矩陣方法 (Generalized Inverse Approach)，將路徑可行解空間轉換至路段可行解空間，再由路 段可行解空間探討敏感度分析問題，以避免唯一性的困擾。
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