倍﹒若建宏最少擁有 11 張﹐英傑最少擁有 6 張﹐則兩人擁有王建民卡的

可能情形有幾種﹖

Ans：10 種

【詳解】

設建宏有 x 張，英傑有 y 張，則 x＋y≦ 20，x≦3y，x≧11， y≧6，

x＝11  y＝ 6，7，8，9，

x＝12  y＝ 6，7， 8，

x＝13  y＝ 6，7，

x＝14  y＝ 6 共 10 種。

5. 欲將兩種大小不同的鋼板截成 A﹐B﹐C 三種規格﹐各種鋼板可截得這三種規格的件數如右表所示﹕若欲得 A﹐B﹐C三 種規格的成品各 15﹐18﹐27 件﹐問這兩 種鋼板各多少片可使需用到的鋼板總數 最少﹖

Ans：第一種鋼板用 4 片﹐第二種鋼板用 8 片﹐或第一種鋼板用 3 片﹐第二種鋼板用 9 片

【詳解】

第一種鋼板用 x 片﹐第二種鋼板用 y 片，則 2x＋y≧15， x＋2y≧18，x＋3y≧27，

x，yN 或 0，

f(x，y)＝x＋y，

f(4，8)＝12，f(3，9)＝12 滿足上述不等式，故

第一種鋼板用 4 片﹐第二種鋼板用 8 片﹐

或第一種鋼板用 3 片﹐第二種鋼板用 9 片。

第一種鋼板第二種鋼板 A規格 2 件 1 件 B規格 1 件 2 件 C規格 1 件 3 件

-2

5 10 15

q x  = k-x k = 11.5

6. 某宅配公司有載重3噸的小貨車4輛和載重5噸的大貨車3輛﹐

共有6名司機﹒若該公司每天最少須運送15噸的貨物﹐且每輛 車最多只能運送一次﹐

(1) 這家公司共有幾種調度車輛的方法﹖

(2) 若小貨車出一趟車需花費500元﹐大貨車需花費1500元﹐

則如何調派大小貨車才能最節省出車費用﹖

Ans：(1) 8， (2) 小貨車 4 輛和大貨車 1 輛

【詳解】

(1) 設派出小貨車 x 輛和大貨車 y 輛﹒

依題意列式得﹕

0 4,

0 3,

6, 3 5 15.

x y x y

x y

  

  

  

  



x ﹐ y是整數﹒

作聯立不等式區域﹐

合乎所求的解是區域中的格子點坐標﹐如圖所示﹒

即

 

^{0,3 ﹐}

 

^{1,3 ﹐}

 

^{2, 2 ﹐}

 

^{2,3 ﹐}

 

^{3, 2 ﹐}

 

^{3,3 ﹐}

 

^{4,1 ﹐}

 

4, 2 ﹐共八種﹒

(2) 欲求最佳解使運費 P500x1500y為最小﹒

將各點一一代入P500x1500y得﹕

                 

^, ^0,3 ^1,3 ^{2, 2} ^2,3 ^{3, 2} ^3,3 ^4,1 ^{4, 2}

4500 5000 4000 5500 4500 6000 3500 5000 x y

故在 x4﹐ y1時﹐P有最小值3500﹒

即派出小貨車4輛和大貨車1輛﹐可最節省出車費用﹒

7. 設點P x y 是右圖三角形區域（含邊界）中的一點﹐

 

求下列三式的最大值與最小值﹕

(1) yx﹒ (2) x²y²﹒ (3) y x ﹒

Ans：(1) M＝2﹐m＝1，(2) M＝13﹐m＝ 5，(3) M＝3﹐m＝ ¹ 2

【詳解】

(1) 觀察直線 y x k和三角形區域的相交情形﹐

如右圖所示﹒

由平行線法可知﹕因為直線 y x k

與三角形區域相交時﹐k滿足  1 k 2﹐ 所以 yx的最大值為2﹐最小值為1﹒ 另由頂點法列表﹕

       

^, ^1,3 ^2,1 ^{3, 2}

2 1 1

x y

yx  

可得到相同的結論﹒

(2) 設P為三角形區域內的一點﹐

 

^{0, 0}

O 為坐標平面的原點﹒

因為 ^x²^^y² ^



^x^⁰

 

²^ ^y^⁰



² ^^OP²^﹐

所以我們觀察三角形區域上點 P 與原點O之距離的平方﹐進而求得 x²y²的最大值與最小值﹒

首先﹐當 PC時﹐ OP 有最大值﹐

即x²y²的最大值為OC² 3²2² 13﹒

其次﹐當 OP 有最小值時﹐P點應落在線段 AB上﹒

因為直線 AB的方程式為2x y 5﹐

所以由距離公式得原點O到直線 AB的距離為 5 5

5  ﹐又OA 10﹐OB 5﹐ B點恰好是原點O到直線 AB的垂足﹐

因此 OP 的最小值為 5﹐

即x²y²的最小值為

 

⁵ ² ^⁵^﹒

(3) 設 ^y m

x  ﹐則 y mx﹒

因為 y mx是過點

 

0, 0 的直線﹐

所以我們連接直線 AO與BO﹐

並觀察所有與三角形區域相交的直線 ymx﹐ 發現直線 y mx 的斜率最大為3﹐最小為 ¹

2﹐

因此可知 ^y

x 的最大值為3﹐最小值為¹ 2﹒

8. 設 ^A

 

^{4, 4} ^﹐^B

 

^2,1 ^為^xy^{平面上兩點﹐而直線} ^y^^{ax b}^ ^與

線段 AB 相交﹒試作一圖以 a 為橫坐標﹐b為縱坐標﹐

並將數對

 

a b 的範圍表示出來﹒ ^, Ans：見詳解

【詳解】

因為直線 yax b 與線段 AB相交﹐

所以點 A與點B位在直線 yax b 的兩側﹐

或其中一點在直線 yax b 上﹐

因此將 ^A

 

^{4, 4} ^﹐^B

 

^2,1 ^代入^ax^{ }^y ^b^時﹐

得到的值相乘會小於或等於0﹐ 即



⁴^a^{ }⁴ ^b



²^a^{ }¹ ^b



^⁰^﹒

因為



⁴^a^{ }⁴ ^b



²^a^{ }¹ ^b



^⁰

與 ⁴ ⁴ ⁰

2 1 0

a b a b

  

   

 或 ⁴ ⁴ ⁰

2 1 0

a b a b

  

   

 的解相同﹐

所以其數對

 

a b 的範圍如下圖所示﹕ ^,

9. 某投資人打算投資 A ﹐ B 兩項目﹒根據預測﹐ A ﹐ B 兩項目可能 的獲利分別為100%和50%﹐可能的虧損率分別為30%和10%﹒ 投資人計劃投資金額不超過10萬元﹐要求確保虧損金額不超過 1.8萬元﹒問應投資 A﹐B兩項目各多少萬元﹐才能獲得最大利潤﹖

Ans：用 4 萬元投資 A 項目﹐6 萬元投資 B 項目時﹐

可得最大利潤 7 萬元

【詳解】

設投資人分別用 x 萬元投資 A 項目﹐用 y 萬元投資 B 項目﹒

依題意列式得﹕

為____⑬⑭⑮____。 (untits100) Ans：432

【詳解】

如下圖，在 D 點有最小值 48，故 2a＋3b＝48，則目標函數 ax＋by 必在 B 點得最大值為

18a＋ 27b＝9(2a＋3b)＝948＝432。

11. 已知一個線性規劃問題的可行解區域為四邊形 ABCD 及 其內部，其中 A(4，0)，B(8，10)，C(6，14)，D(2，6)為

坐標平面上的四個點。若目標函數 k＝ax＋by＋32（a，b 為實數）

在四邊形 ABCD 的邊界上一點(4，10)有最小值 18，則 a＝________， b＝ ________。 (units99)

Ans：a＝14，b＝7

又(4，10)代入得 4a＋10b＋32＝18……

 代入  8b＋10b＝14  b＝7，

即 5x＋2y≦35，3x＋5y≦40，

代入得 10 ＝2 10 －b，

x＞0， y≧0，x， yZ，

作圖如右。

取 x＝5，y＝7 時，

原數 57 為最大。

5 C

在文檔中 ok322 (頁 29-37)

倍﹒若建宏 最少擁有 11 張﹐英傑最少擁有 6 張﹐則兩人擁有王建民卡的

 

 

 

 

 

 

 

 

                 

 

       

 



 



 

 

 

 

 

 

 













 

倍﹒若建宏最少擁有 11 張﹐英傑最少擁有 6 張﹐則兩人擁有王建民卡的