ok322

o

o

o

k

k

k

3

3

3

2

2

2

2

2

2

線

線

線

性

性

性

規

規

規

劃

劃

劃

主題一、二元一次不等式

1. 二元一次不等式﹕ 若 a ﹐b﹐ c 為三個實數且 a ﹐b至少有一不為 0﹐ 則形如axby c 0﹐ax by c  0﹐ax by c  0﹐ 0 ax by c   ﹐都稱為二元一次不等式﹒ 2. 在坐標平面上﹐直線L ax by c:   0將 L以外的部分分成兩個半平面H 與1 H ﹒ 2 分別為axby c 0的所有解所成的半平面H ﹐ 1 及ax by c  0的所有解所成的半平面H ﹒ 2 3. 兩點 A x y ﹐



₁, ₁



B x y



₂, ₂



﹐直線L ax by c:   0 (1) 若 A﹐B兩點在L的異側﹐則



a x1 b y1



c a x2 2b y



0﹒ c (2) 若 A﹐B兩點在L的同側﹐則



a x1 b y1



c a x2 2b y



0﹒ c 4. 一個聯立二元一次方程組的解區域﹐ 是這些不等式解區域的共同部分﹒ 5. 格子點指的是點坐標

 

x y 中﹐ x 與, y均為整數的點﹒

【例題 1】 畫出下列二元一次不等式解的圖形﹒ (1) 3x2y 6 0﹒ (2)x2y4﹒ 【詳解】 (1) 先畫出直線L: 3x2y 6 0﹒ 由於直線 L 不過(0，0)﹐ 將點(0，0)代入3 0     2 0 6 6 0﹐ 因此3x2y 6 0的解就是

 

0,0 所在的半平面﹒ 圖形如右﹒ (2) x2y  4 x 2y 4 0﹐ 先畫出直線L x: 2y 4 0﹐ 由於直線 L 不過(0，0)﹐ 將點(0，0)代入1 0      2 0 4 4 0﹐ 因此 x2y 4 0的解就是(0，0)所在的半平面﹐ 而 x2y4的解包括直線 L x: 2y 4 0﹒ 圖形如右﹒ 【類題 1】 畫出下列二元一次不等式解的圖形﹒ (1) 2x  y 4 0﹒ (2)x2y4﹒ 【詳解】 (1) 先畫出直線 L：2x－ y＋4＝0﹒ 由於直線 L 不過(0，0)﹐ 將點(0，0)代入 20－0＋4＝4＞ 0﹐ 因此 2x－y＋4＝≧0 的解 就是(0，0)所在的半平面及直線 L﹒ 圖形如下﹒ (2) 先畫出直線 L：x－2y－4＝0﹐ 由於直線 L 不過(0，0)﹐ 將點(0，0)代入 10－20－4＝4＜0﹐ 因此 x－2y＞4 的解 就是不包含(0，0)所在的半平面﹒

圖形如下﹒ 【例題 2】 圖解二元一次不等式 3 0 2 4 0 x y x y          ﹒ 【詳解】 在坐標平面上畫出 3 0 x  y 與x2y 4 0兩直線﹐ 又 x  y 3 0為直線 x  y 3 0及其左半平面﹐ 2 4 0 x y  為直線 x2y 4 0及其右半平面﹐ 右圖即為所求圖解﹒ 【類題 2】 圖解二元一次不等式 2 3 6 0 2 0 x y x y          ﹒ 【詳解】 在坐標平面上畫出 2x3y 6 0與x  y 2 0兩直線﹐ 又2x3y 6 0為直線2x3y 6 0及其右半平面﹐ 2 0 x  y 為直線 x  y 2 0及其右半平面﹐ 右圖即為所求圖解﹒ 【例題 3】 圖解二元一次不等式 2 6 3 3 2 3 2 x y x y x y             ﹒ 【詳解】 設 L1:x2y 6﹐L2: 3x y 3﹐L3: 2x3y2

2 6 x y  的圖形為 L1及右半平面﹐ 3x y 3的圖形為 L2及左半平面﹐ 2x3y2的圖形為 L3及右半平面﹐圖形如下﹒ 【類題 3】 試作出 6 2 y   x 2 y 4的圖形﹐並求其面積﹒ Ans：6 【詳解】 6 2 2 2 8 0 6 2 2 4 2 2 0 4 4 y x x y y x y x y x y y y                _   _     _  _   設 L1:x2y 8 0﹐ L2:x  y 2 0﹐L3:y4 2 8 0 x y  的圖形為 L1及右半平面﹐ 2 0 x  y 的圖形為 L2及左半平面﹐ 4 y 的圖形為 L3及下半平面﹐ 圖形如右﹒ 面積 1 6 2 6 2     _﹒ 【例題 4】 圖解二元一次不等式 0 5 0 6 7 x y x y            ﹐ 並求在此解區域內有多少個格子點﹒ Ans：17 【詳解】

0 5 0 6 7 x y x y            的圖形為一五邊形﹐如下圖﹒ 又 x﹐y 都是整數﹐討論如下﹕ (1) x＝1 時﹐ y＝ 1﹐2﹐3﹐4﹐5﹐共有 5 組﹐ (2) x＝2 時﹐ y＝ 1﹐2﹐3﹐4﹐5﹐共有 5 組﹐ (3) x＝3 時﹐ y＝ 1﹐2﹐3﹐4﹐共有 4 組﹐ (4) x＝4 時﹐ y＝ 1﹐2﹐3﹐共有 3 組﹐ 故所求為 5＋5＋4＋3＝17﹒ 【類題 4】 圖解二元一次不等式 3 5 20 2 0 0 x y x y x y              ﹐ 並求在此解區域內有多少個格子點﹒ Ans：17 【詳解】 不等式組 3 5 20 2 0 0 x y x y x y              的圖形如右﹒ 此外﹐x﹐y 必須是整數﹒討論如下﹕ y＝0 時﹐3x≦20﹐得 x＝2﹐3﹐4﹐5﹐6﹐ 計 5 組解﹔ y＝1 時﹐3x≦15﹐得 x＝1﹐2﹐3﹐4﹐5﹐ 計 5 組解﹔ y＝2 時﹐3x≦10﹐得 x＝0﹐1﹐2﹐3﹐

計 4 組解﹔ y＝3 時﹐3x≦5﹐得 x＝0﹐1﹐計 2 組解﹔ y＝4 時﹐3x≦0﹐得 x＝0﹐計 1 組解﹔ 故總計有 5＋5＋4＋2＋1＝17 個格子點﹒ 【例題 5】 設 A

 

2,1 ﹐B



3, 2



﹒若 AB 和直線 : 2L x3y k 0相交﹐ 則k的範圍為何﹖ Ans：   1 k 12 【詳解】 4 2 -2 -5 5 B A K 因為 AB和直線L: 2x 3y k 0相交﹐ 所以 A﹐B 兩點在直線 L 的兩側﹐ 或者是 A﹐B 兩點在直線 L 上﹐因此﹐



2 2 3 1   k





2    

 

3 3 2 k



0﹐ 整理得



k1



k12



 0﹐ 故  1 k 12﹒ 【類題 5】 若

 

1,3 ﹐



2, 1



兩點在直線x  y a 0的同側﹐求 a 的範圍﹒ Ans：a2或a 3 【詳解】 兩點在直線 x  y a 0的同側



1 3 a



2

 

1 a 0    _    _



a 2



a 3



0     2 a   或a 3﹒ 【例題 6】 圖解不等式



xy



x2y 3



0﹒ 【詳解】 不等式



x y



x2 y3



0的解區域即 0 2 3 0 x y x y         與 0 2 3 0 x y x y         的解區域的聯集﹒ 先畫出 L1:x y 0與 L2:x2y 3 0﹐ 此二直線將坐標平面分成四個區域﹐ 所求的解區域為以



 1, 1



為頂點的兩對角區域﹒ 將

 

1,0 代入



xy



x2y3



得值 40﹐ 所以

 

1, 0 並不在



x y



x2 y3



0的解區域內﹐ 故其解區域如右圖所示﹒ 【類題 6】 圖解不等式



x y 5 3



x  y 3



0﹒ 【詳解】 不等式



x y 5 3



x y 3



0的解區域即 5 0 3 3 0 x y x y          與 5 0 3 3 0 x y x y          的解區域的聯集﹒ 先畫出 L1:x  y 5 0與L2: 3x  y 3 0﹐ 此二直線將坐標平面分成四個區域﹐ 所求的解區域為以

 

2,3 _{為頂點的兩對角區域﹒} 將

 

0,0 代入



x y 5 3



x y 3



得值15 0﹐ 所以

 

0, 0 _在



x y 5 3



x  y 3



0_{的解區域內﹐} 故其解區域如右圖所示﹒ 【例題 7】 求不等式 3x 4 y 12之解區域的圖形﹒ Ans：見詳解

【詳解】 將不等式3x 4 y 12分成 4 部分考慮如下﹕ 0, 0, 3 4 12, x y x y          0, 0, 3 4 12, x y x y          0, 0, 3 4 12, x y x y          0, 0, 3 4 12, x y x y          分別畫圖如下﹕ 將上面四圖合併可得﹕ 【解二】 因為不等式3x 4 y 12_{中﹐x 與 y 均加上絕對值﹐} 即3x 4 y 12_與3x4y12在第一象限的圖形是一樣的﹐ 所以我們可以先畫出3x4y12在第一象限的圖形﹒ 而後因為在第二﹑第三﹑第四象限的圖形分別與 第一象限的圖形對稱於 y 軸﹑原點與 x 軸﹐ 所以可得3x4 y12的圖形為

【類題 7】 試畫出不等式 x 2 y 4的圖形﹐並求其面積﹒ Ans：16（平方單位） 【詳解】 2 4 x y 的圖形對稱 x 軸﹑y 軸及原點﹐ 先畫第一象限 0 0 2 4 x y x y          ﹐ 再利用對稱原理畫第二﹑三﹑四象限﹐如圖所示﹒ 面積 4 1 4 2 16 2    _   _   （平方單位）

主題二、最佳值

1. 平行線法﹕ 0 a a0 b0 b0 ax by k 向右移動﹐k 值變大﹒ 向右移動﹐k 值變小﹒ 向上移動﹐k 值變大﹒ 向上移動﹐k 值變小﹒ 2. 頂點法﹕ 二元一次聯立不等式的解區域常形成一個封閉的多邊形﹐ 而ax by k的最大或最小值發生在多邊形的頂點上﹒ 因此若欲求得ax by k的最大或最小值﹐可將多邊形的 各頂點代入 ax by ﹐然後列表比較﹐即可得 ax by k  的 最大或最小值﹒

【例題 8】 已知 x ﹐ y 滿足聯立不等式 2 4 2 5 0, 0 x y x y x y     _{ }      ﹐求 3x4y的最小值﹒ Ans：10 【詳解】 可行解區域如圖﹕ 將直線3x4y 0向右上方平行移動時﹐ 最先通過解區域中的點

 

2,1 ﹐此時 3x4y    3 2 4 1 10﹒ 根據平行線法可知﹕ 在

   

x y,  2,1 _{時﹐k 有最小值 10﹒} 【類題 8】 在 y2﹐2x y 0﹐x y 0及5x y 18的條件下﹐ 試求函數x2y的最大值與最小值﹒ Ans：最大值為 9﹐最小值為3 【詳解】 畫出聯立不等式的可行解區域﹐如圖﹒ 將直線 x2y0在解區域間平行移動﹒ 與解區域相交的所有平行直線中﹐ 位在最左邊的直線通過點

 

1,2 ﹐ 此時 x2y    1 2 2 3﹔ 又位在最右邊的直線通過點



3, 3



﹐ 此時 x2y    3 2

 

3 9﹐根據平行線法可知﹕ 2 x y的最大值為 9﹐最小值為3﹒ 【例題 9】 已知 x ﹐ y滿足聯立不等式 1 4 2 3 17 3 4 x x y x y            ﹐ 求2xy的最大值與最小值﹒

Ans：最大值 11，最小值 3 【詳解】 畫出聯立不等式的可行解區域﹐如圖﹒ 解區域的頂點分別為

 

1,1 ﹐

 

4,0 ﹐

 

4,3 與

 

1,5 ﹐ 它們所對應的函數值2xy如下表所示﹕  x y,  1,1  4,0  4,3  1,5 2xy 3 8 11 7 根據頂點法可知﹕當

   

x y,  4,3 時﹐ 2xy有最大值 11﹔ 而當

   

x y,  1,1時﹐ 2xy有最小值 3﹒ 【類題 9】 已知 x ﹐ y滿足聯立不等式 2 4 3 2 12 2 x y x y x y             ﹐ 求4x2y的最大值與最小值﹒ Ans：最大值為 44﹐最小值為 4 【詳解】 作出二元一次聯立不等式的可行解區域﹐ 如圖﹒求出可行解區域的各頂點坐標為

 

8,6 ﹐ 16, 6 5 5  _     ﹐

 

0,2 ﹐ 將頂點坐標分別代入4x2y﹐ 所得之值列表如下﹕ 頂點  8,6 16, 6 5 5  _       0,2 4x2y 44 52 5 4 故4x2y的最大值為 44﹐最小值為 4﹒

【例題 10】 設一線性規劃的可行解區域為如圖所示的正六邊形內 部 （含邊界）﹐而目標函數為 y ax ﹒若已知A點為此目標 函數取得最大值之唯一的點﹐則 a 值的範圍要有限制﹒ 若以不等式表示﹐則 a 的範圍為何﹖ Ans： 3 a 0 【詳解】 設直線 yax k﹐因為在 A 點可以取得最大值﹐ 所以當直線向右上方移動時﹐k 的值會愈來愈大﹒ 又因為當 yaxk向右移動時﹐最後碰到的是 A 點﹐ 所以直線的斜率介在直線 AC 與直線 AB 之間﹒ 計算直線 AC 的斜率為 0﹐直線 AB 的斜率為  3﹐ 所以  3 a 0﹒ 綜合上面的討論可知﹕ 3 a 0﹒ 【類題 10】 已知一個線性規劃問題的可行解區域為四邊形 ABCD及其內部﹐ 其中A

 

4, 0 ﹐B



8,10



﹐C



6,14



﹐D

 

2, 6 為坐標平面上的四個點﹒ 若目標函數kax by 32（ a ﹐b為實數）在四邊形ABCD的邊界上 一點



4,10 有最小值 18﹐求 a ﹐



b之值﹒ 【99 指乙】 Ans：a＝14，b＝7 【詳解】 作出二元一次聯立不等式的可行解區域﹐如圖﹒ 將axby32k平行移動﹐利用平行線法﹐ 在



4,10



有最小值 18﹐此時a   4 b 10 3218﹐ 即2a5b 7﹐ 因為



4, 10



非四邊形區域頂點﹐表示axby32k 與通過

 

2, 6 ﹐



6,14



的邊線平行﹐ 得 14 6 6 2 a b     ﹐即a 2b﹐ 聯立 2 5 7 2 a b a b         ﹐

解得 a14﹐b 7﹒ 【例題 11】 設點P x y 是右圖三角形區域（含邊界）中的一點﹐

 

, 求下列各式的最大值與最小值﹕ (1) yx﹒ (2) x2y2﹒ (3) y x ﹒ Ans：(1) M＝ 2，m＝1，(2) M＝13，m＝ 5，(3) M＝3，m＝ 1 2 【詳解】 (1) 觀察直線 y x k和三角形區域的相交情形﹐ 如右圖所示﹒ 因為直線 y x k與三角形區域相交時﹐ k 滿足  1 k 2﹐故 yx的最大值為 2﹐最小值為1﹒ 我們也可以列表計算三頂點所對應的值如下﹕  x y,  1,3  2,1  3,2 yx 2 1 1 得到相同的結論﹒ (2) 設 P 為三角形區域內的一點﹐O

 

0,0 為坐標平面的原點﹒ 因為 2 2



 

2



2 2 0 0 x y  x  y OP ﹐ 所以我們觀察三角形區域上的點 P 與原點 O 之距離的 平方﹐進而求得 2 2 x y 的最大值與最小值﹒ 當PC時﹐OP有最大值﹐ 即 2 2 x y 的最大值為 2 2 2 3 2 13 OC    ﹒ 當OP有最小值時﹐P 點應落在線段 AB上﹒ 因為直線 AB 的方程式為2x y 5﹐ 所以由距離公式得 O 到直線 AB 的距離為 5 5 5  ﹐ 又OA 10﹐OB 5﹐B 點恰好是原點 O 到直線 AB 的垂足﹐ 因此OP的最小值為 5﹐即 2 2 x y 的最小值為

 

5 2 5_﹒

(3) 設 y m x  ﹐則 y mx﹒ 因為直線 y＝mx 是過點

 

0,0 的直線﹐ 所以我們連接直線 AO 與 BO﹐ 並觀察直線 y＝mx 與三角形區域相交時﹐ 發現直線 y＝mx 的斜率最大值為 3﹐最小值為 1 2﹐ 因此可知 y x 的最大值為 3﹐最小值為 1 2﹒ 【類題 11】 在 x ﹐ y滿足x0﹐ y0﹐3x2y120﹐x  y 2 0之 條件下﹐求下列各式的最大值與最小值﹕ (1) 2x y 3﹒ (2) 3 1 y x   ﹒ (3) 2 2 x y ﹒ Ans：(1) M＝ 11，m＝3， (2) M＝9，m＝3 5，(3) M＝36，m＝2 【詳解】 作圖如右﹕ (1) 利用頂 點法﹕ 頂點  2,0  4,0  0,6  0,2 2x y 3 7 11 3 1 ∴最大值為 11﹐最小值為3.﹒ (2)

_{ }

 

3 3 1 1 y y x x    _    表P x y

 

, 與Q



 1, 3



之斜率﹐ 當P

 

0,6 時﹐斜率最大為 6

 

_{ }

3 9 0 1      ﹐ 當P

 

4,0 時﹐斜率最小為 0

 

_{ }

3 3 4 1 5      ﹒ (3) x2 y2表點

 

x y, 與原點 O 的距離平方﹐ 當 x＝0﹐y＝6 時﹐ 2 2 36 x y  為最大﹒

又原點

 

0, 0 _到 AD之距離為 _{2 2} 0 0 2 2 1 1     ﹐ 故 2 2 x y 之最小值為

 

2 2 2_﹒

主題三、線性規劃

1. 整理資料﹐依問題設定兩個變數 x ﹐ y﹐ 列出不等式組及目標函數﹒ 2. 依聯立不等式組繪製圖形﹐找出可行解區域﹒ 3. 利用頂點法或平行線法找目標函數的極值﹐ 此時滿足的 x ﹐ y 稱為問題的最佳解﹒ 4. 若最佳解為非格子點﹐而所須解為格子點﹐ 即所得的解之 x ﹐ y需為整數﹐則可列出最佳解 附近的格子點﹐代入目標函數加以比較﹐ 找出最佳的格子點﹒

【例題 12】 某歌唱訓練班根據以往的經驗得知﹕每花 10 萬元在報章雜誌上替歌手 打廣告﹐可以提升歌手的形象指數 5 點﹐知名度指數 10 點﹔而如果是 在電臺上﹐同樣花 10 萬元替歌手打廣告﹐那麼可以提升歌手的形象 指數 6 點﹐知名度指數 4 點﹒根據市場調查發現成為名歌星的形象指數 至少 160 點﹐知名度指數至少 160 點﹐而且綜合指數（形象指數與知名 度指數）至少 360 點﹒試問﹕歌唱訓練班要讓一位新歌手（假設其形象 指數與知名度指數皆為 0）成為名歌星﹐至少應該花多少廣告費﹖ 這些廣告費報章雜誌與電 臺應各分配多少﹐效果最好﹒ 【91 指乙】 Ans：報章雜誌的廣告費為 140 萬元﹐ 電臺的廣告費為 150 萬元時﹐有最好的效果 【詳解】 報章雜誌 電臺 限制 廣告費 10 萬元 10 萬元 形象指數 5 點 6 點 160 點 知名度指 數 10 點 4 點 160 點 設報章雜誌與電臺的廣告費分別為 10x 萬元與 10y 萬元﹐ 廣告花費共 P10x10y萬元﹒ 依題意列式為

_

_{ }

_

5 6 160, 10 4 160, 5 6 10 4 360, 0, 0. x y x y x y x y x y     _{ }   _{   }      整理得 5 6 1 6 0, 5 2 8 0, 3 2 7 2, 0, 0 . x y x y x y x y                此聯立不等式的解如右圖所示﹒ 根據平行線法﹐當 x y 0的直線向右上方移動時﹐ 最先碰到解區域內的點為



14,15



﹐ 此時 P10 14 10 15  290為最小值﹒ 因此最少的花費為 290 萬元﹐

此時報章雜誌的廣告費為 140 萬元﹐ 電臺的廣告費為 150 萬元時﹐有最好的效果﹒ 【類題 12】 為預防禽流感﹐營養師吩咐雞場主人每天必須從飼料中提供至少 84 單位的營養素 A﹑至少 72 單位的營養素B和至少 60 單位的 營養素C給他的雞群﹒這三種營養素可由兩種飼料中獲得﹐ 且知第一種飼料每公斤售價 5 元並含有 7 單位的營養素 A ﹐ 3 單位的營養素B與 3 單位的營養素C﹔第二種飼料每公斤 售價 4 元並含有 2 單位的營養素 A﹐6 單位的營養素B與 2 單位 的營養素C﹒ (1) 若雞場主人每天使用 x 公斤的第一種飼料與y公斤的 第二種飼料就能符合營養師吩咐﹐則除了 x0﹐ y0 兩個條件外﹐寫下 x ﹐ y必須滿足的不等式組﹒ (2) 若雞場主人想以最少的飼料成本來達到雞群的營養要求﹐ 則 x ﹐ y的值為何﹖最少的飼料成本又是多少﹖【 95 指乙】 Ans：(2) x18﹐ y3時﹐飼料的成本最少為 102 元 【詳解】 (1) 先列出線性規劃的數學模式 A B C 價格（元） 第一種 7 3 3 5 第二種 2 6 2 4 需求 84 72 60 7 2 84 3 6 72 3 2 60 0, 0 x y x y x y x y     _{ }   _{ }      ﹒ 目標函數 P5x4y﹐ 根據平行線法﹐當5x4y0的直線向右上方移動時﹐ 最先碰到解區域內的點為



18,3



﹐ 此時 P 5 18  4 3 102為最小值﹒ 故當 x18﹐ y3時﹐飼料的成本最少為 102 元﹒

【例題 13】 某工廠用A﹐B﹐C三種不同的原料調製二種產品﹒第一種產品 A ﹐ B ﹐C三種原料各占1 3﹐ 1 6與 1 2﹔第二種產品 A ﹐ B ﹐C三種 原料各占1 4﹐ 1 2與 1 4﹒若現有 A原料 6 公噸﹐B原料 5 公噸﹐ C原料 7 公噸﹐而第一種產品的售價為每公噸 5000 元﹐第二種產品 的售價為每公噸 4000 元﹐而且產品均能銷售完畢﹒問﹕這兩種產品 各生產若干公噸時可獲得最高的收入﹖ Ans：第一種產品生產 54 5 公噸﹐第二種產品生產 32 5 公噸時﹐ 有最高的收入 79600 元 【詳解】 設第一種產品生產 x 公噸﹐ 第二種產品生產 y 公噸﹐ 總收入為 P5000x4000y元﹒ 依題意列式得﹕ 1 1 6, 3 4 1 1 5, 6 2 1 1 7, 2 4 0, 0, x y x y x y x y  _{ }    _{ }            第一種 第二種 限制 A 原料 1 3 1 4 6 公噸 B 原料 1 6 1 2 5 公噸 C 原料 1 2 1 4 7 公噸 售價 5000 元 4000 元

整理得 4 3 7 2 , 3 3 0, 2 2 8, 0, 0, x y x y x y x y        _{ }       此聯立不等式的解如下 圖所示﹕ 將解區域的頂點

 

0,0 ﹐



14,0



﹐ 54 32, 5 5      ﹐



0,10



代入 P5000x 4000y﹐如下表所示﹕  x y,  0,0 14,0 54 32, 5 5       0,10 5000 4000 P x y 0 70000 79600 40000 因此當第一種產品生產 54 5 公噸﹐第二種產品生產 32 5 公噸時﹐ 有最高的收入 79600 元﹒ 【類題 13】 王先生有樓房一幢﹐室內占地 70 坪﹐欲分租給學生﹔ 房間分為兩類﹐大房間每間占地 6 坪﹐可住 4 名學生﹐ 月租每人 500 元﹐小房間每間占地 4 坪﹐可住 2 名學生﹐ 月租每人 700 元﹒已知大房間裝潢費用每間需要 16000 元﹐ 小房間每間需要 12000 元﹒現在王先生準備 200000 元用於 裝潢﹐而且學生來源充足﹐那麼王先生應將樓房隔成大房間 與小房間各多少間﹐才可得最大月租收益﹖ Ans：大房間 5 間﹐小房間 10 間時﹐有最大的月租金收入 24000 元 【詳解】

大房間 小房間 限制 占地 6 坪 4 坪 70 坪 裝潢費用 16000 元 12000 元 200000 元 設隔成大房間 x 間﹐小房間 y 間﹒ 租金收入為 P500 4 x700 2 y 2000x1400y元﹒ 依題意列式為 6 4 70, 16000 12000 200000, 0, 0, x y x y x y     _{ }        其中 x﹐y 均為整數﹐並整理得 3 2 35, 4 3 50, 0, 0. x y x y x y     _{ }        此聯立不等式的解如右圖所示﹕ 將 0,50 3      ﹐5,10﹐ 35 ,0 3      代入P2000x 1400y﹐所得對應的值如下表﹕  x y, 0,50 3       5,10 35 ,0 3       2000 1400 P x y 70000 3 24000 70000 3 因此當隔成大房間 5 間﹐小房間 10 間時﹐有最大的月租金收入 24000 元﹒ 【例題 14】 某公司有A﹐B兩座倉庫儲存產品﹐現知 A倉庫有產品 48 萬個﹔ B倉庫有 60 萬個﹒今公司接獲甲﹑乙兩地訂貨﹐分別需要 36 萬個 及 44 萬個﹐而運費如下表（元／萬個）﹒若現在從 A 倉庫運 x 萬個 到甲地﹔運 y萬個到乙地﹐可使所需運費最小﹒ 求 x ﹐ y的值及此時所需運費﹒ 甲地 乙地 A倉庫 200 元 300 元 B倉庫 300 元 350 元 Ans：當  x y,  36,12時﹐最少運費為22000元

【詳解】 依題意﹐ 從 A 倉庫運 x 萬個到甲地﹔運 y 萬個到乙地﹐ 從 B 倉庫運(36－x)萬個到甲地﹔ 運(44－y)萬個到乙地﹒ 依題意可列式如下﹕



 



0 0 36 0 44 0 48 36 44 60 x y x y x y x y                       0 36 0 44 48 20 x y x y x y          _{ }      ﹐ 此聯立不等式的解如圖﹒ 所求為 P200x 300 36



x



 300y 350 44



y



100x 50y 26200     的最小值﹐ ∴目標函數為100x50y26200﹒ 由於解區域為一封閉多邊形﹐將頂點 代入可得﹕  x y, 0,44 0,20 20,0 36,0 36,12 4,44 100 50 26200 P  x y 24000 25200 24200 22600 22000 23600 由此可知﹐當

  

x y,  36,12



時﹐最少運費為 22000 元﹒ 【類題 14】 某公司所生產的產品﹐存放在甲﹐乙兩倉庫分別有 50 單位﹐40 單位﹐ 現在市場 A ﹐市場 B 分別的需求量是 20 單位﹐30 單位﹐右表是各倉庫 運輸到各市場的每單位 運輸成本﹕在滿足 A ﹐ B 市場的需求下﹐ 最節省的運輸成本為____________元﹒【95 指乙】 市場 A 市場B 倉庫甲 500 元 450 元 倉庫乙 400 元 300 元 Ans：18000 元 【詳解】 先列出線性規劃的數學模式﹒

設市場 A﹐B 來自倉庫甲的產品各 x﹐y 單位﹐ 則目標函數 P500x400 20



x



450y300 30



y



100x 150y 17000    ﹒ 市場 A 市場 B 倉庫甲 x y 倉庫乙 20x 30y 依題意可列式如下﹕



 



0, 20 0 0, 30 0 50 20 30 40 x x y y x y x y                    ﹐即 0 2 0 0 3 0 1 0 5 0 x y x y             ﹒ 作可行解區域如圖﹕ 由於解區域為一封閉多邊形﹐將頂點代入可得 ﹕  x y, P100x150y17000 10,0 ₁₈₀₀₀ 20,0 ₁₉₀₀₀ 20,30 ₂₃₅₀₀ 0,30 ₂₁₅₀₀ 0,10 ₁₈₅₀₀ 故

  

x y,  10,0



_{時﹐有最小運費 18000 元﹒} 【例題 15】 某貨運公司有載重 4 噸的小貨車 7 輛﹐載重 5 噸的大貨車 4 輛及 9 名司機﹐現在受託每天至少要運送 30 噸的煤﹒試問﹕ (1) 這家公司有幾種調度車輛的辦法﹖ (2) 假設小貨車開一趟要 500 元﹐大貨車要 800 元﹐ 怎樣調度才能最省錢﹖ Ans：(1) 10，(2) 小貨車派 5 輛﹔大貨車派 2 輛時最節省﹒ 【詳解】 (1) 設派出小貨車 x 輛﹐大貨車 y 輛﹐ 則依題意可列式如下﹕

0 7 0 4 9 4 5 30 x y x y x y                ﹐x﹐y 為整數﹒ 此聯立不等式的解如圖﹒ 由於 x﹐y 為整數﹐也就是格子點﹒ 討論如下﹕由圖可知﹕3 x 7﹒ 當 x＝3 時﹐18 4 5  y ﹐故 y＝4﹒ 當 x＝4 時﹐14 4 5  y ﹐故 y＝3﹐4﹒ 當 x＝5 時﹐2 y 4﹐故 y＝2﹐3﹐4﹒ 當 x＝6 時﹐ 6 3 5 y ﹐故 y＝2﹐3﹒ 當 x＝7 時﹐ 2 2 5 y ﹐故 y＝1﹐2﹒ 共有 10 個格子點﹐故有 10 種調度方法﹒ (2) 所求為500x 800y的最小值﹐ ∴目標函數為 P500x800y100 5



x8y



﹒ 由平行線法可觀察出﹐當5x8y0往解區域移動時﹐ 最小值會發生在靠近4x5y 30的邊界附近﹒因此﹐ 將附近的格子點

 

3,4 ﹐

 

4,3 _﹐

 

5,2 _﹐

 

6,2 ﹐

 

7,1 這 5 點代入檢驗即可﹒  x y,

 

3,4

 

4,3

 

5,2

 

6,2

 

7,1   100 5x8y _{4700 4400 4100 4600 4300} 由此可知﹐當

   

x y,  5,2 時﹐最少運費為 4100 元﹒ 因此﹐小貨車派 5 輛﹔大貨車派 2 輛時最節省﹒

【類題 15】 甲種維他命丸每粒含 5 單位的維他命 A﹐9 單位的維他命B﹔ 乙種維他命丸每粒含 6 單位的維他命 A﹐4 單位的維他命B﹔ 若每人每天最少需要 29 單位的維他命 A﹐35 單位的維他命B﹒ 已知甲種維他命丸每粒 5 元﹐乙種維他命丸每粒 4 元﹐問這 兩種維他命丸每天各需吃多少粒才能攝取足夠維他命 A 與 B ﹐ 而使消費最少﹖ Ans：每種各吃 3 粒時﹐總費用 27 元為最少 【詳解】 設吃甲種 x 粒﹐乙種 y 粒﹐ 則依題意可列式如下﹕ 0 0 5 6 29 9 4 35 x y x y x y              ﹐x﹐y 為整數﹒ 此聯立不等式的解如圖﹒ 目標函數 P5x4y﹒ 由平行線法可觀察出﹐ 當5x4y0往解區域移動時﹐ 最小值會發生在靠近 47 43, 17 17      的附近﹒ 因此﹐將附近的格子點

 

2,5 _﹐

 

3,3 _﹐

 

4,2 代入檢驗﹐ 得

   

x y,  3,3 _時﹐ P    5 3 4 3 27為最小值﹒ 故每種各吃 3 粒時﹐總費用 27 元為最少﹒ A B _售價 甲種 5 9 5 乙種 6 4 4 需求 29 35

o

o

o

k

k

k

3

3

3

2

2

2

2

2

2

e

e

e

x

x

x

1. 設 A



 1, 2



﹐B

 

5, 2 ﹐C

 

1, 2 為坐標平面上的三點﹐ (1) 試以聯立不等式來表示△ ABC的內部（含邊界）﹒ (2) 若P k k



, 1



為△ABC（含邊界）內部一點﹐求實數k的範圍﹒ Ans：(1) 2 3 4 0 2 0 2 0 x y y x y      _{ }   _{ }  ，(2)   1 k 3 【詳解】 如下圖， AB的斜率為 2 3，故方程式為 2x－3y－4＝0， AC 的斜率為 2，故方程式為 2x－ y＝0， BC 的斜率為 0，故方程式為 y－2＝0， (1) △ ABC的內部（含邊界）為 2 3 4 0 2 0 2 0 x y y x y      _{ }   _{ }  。 (2) 設 x＝k， y＝k－1，消去 k 得 x－ y＝1， 當值線通過 A(1，2)時，k＝1 為最小， 當值線通過(3，2)時，k＝3 為最大， 故1≦k≦3。

2. 若二元一次聯立不等式 y ax b y cx d y ex f            之解區域如 右圖斜線部分﹐則a b c d    e f 的值為何﹖ Ans：2 【詳解】 (1) AC ：斜率為 3，方程式為 y＝3x－3， B 代入得 1≧0－3，故為 y≧3x－3。 (2) AB：斜率為1，方程式為 y＝x＋1， C 代入得 3≧2＋1，故為 y≧x＋1， (3) BC ：斜率為 1，方程式為 y＝x＋1， A 代入得 0≦1＋ 1，故為 y≦x＋ 1。 由上知， a＝1，b＝1， c＝3，d＝3， e＝1，f＝1，或 a＝1，b＝1， c＝1，d＝1，e＝3，f＝3， 故a b c d    e f ＝2。 3. 王先生採收酪梨共獲 1080 粒﹐要打包裝箱上市﹒已知大箱 一箱可裝 25 粒﹐小箱一箱可裝 8 粒﹔每個大箱子成本 60 元﹐ 每個小箱子成本 20 元﹒試問能將這 1080 粒的酪梨剛好裝完﹐ 所用的箱子成本最少為多少元﹖ Ans：2600 元 【詳解】 設大箱用 x 個，小箱用 y 個，則 25x＋8y＝1080， x 8 16 24 32 40 y 110 85 60 35 10 2680 2660 2640 2620 2600 箱子成本為 f(x，y)＝60x＋20y 之最小值為 f(40，10)＝ 2600。 3 2 1 -1 2 B: (0.0, 1.0) C: (2.0, 3.0) A: (1.0, 0.0) C B A

4. 若已知建宏與英傑兩人擁有的王建民棒球卡合起來不超過 20 張﹐ 同時建宏的王建民卡並沒有超過英傑的王建民卡 3 倍﹒若建宏 最少擁有 11 張﹐英傑最少擁有 6 張﹐則兩人擁有王建民卡的 可能情形有幾種﹖ Ans：10 種 【詳解】 設建宏有 x 張，英傑有 y 張，則 x＋y≦ 20，x≦3y，x≧11， y≧6， x＝11  y＝ 6，7，8，9， x＝12  y＝ 6，7， 8， x＝13  y＝ 6，7， x＝14  y＝ 6 共 10 種。 5. 欲將兩種大小不同的鋼板截成 A﹐B﹐C 三種規格﹐各種鋼板可截 得這三種規格 的件數如右表所示﹕若欲得 A﹐B﹐C三 種規格的成品各 15﹐18﹐27 件﹐問這兩 種鋼板各多少片可使需用到的鋼板總數 最少﹖ Ans：第一種鋼板用 4 片﹐第二種鋼板用 8 片﹐或第一種鋼板用 3 片﹐第二種鋼 板用 9 片 【詳解】 第一種鋼板用 x 片﹐第二種鋼板用 y 片，則 2x＋y≧15， x＋2y≧18，x＋3y≧27， x，yN 或 0， f(x，y)＝x＋y， f(4，8)＝12，f(3，9)＝12 滿足上述不等式，故 第一種鋼板用 4 片﹐第二種鋼板用 8 片﹐ 或第一種鋼板用 3 片﹐第二種鋼板用 9 片。 第一種鋼板 第二種鋼板 A規格 2 件 1 件 B規格 1 件 2 件 C規格 1 件 3 件 10 8 6 4 2 -2 5 10 15 q x  = k-x k = 11.5 K

6. 某宅配公司有載重3噸的小貨車4輛和載重5噸的大貨車3輛﹐ 共有6名司機﹒若該公司每天最少須運送15噸的貨物﹐且每輛 車最多只能運送一次﹐ (1) 這家公司共有幾種調度車輛的方法﹖ (2) 若小貨車出一趟車需花費500元﹐大貨車需花費1500元﹐ 則如何調派大小貨車才能最節省出車費用﹖ Ans：(1) 8， (2) 小貨車 4 輛和大貨車 1 輛 【詳解】 (1) 設派出小貨車 x 輛和大貨車 y 輛﹒ 依題意列式得﹕ 0 4, 0 3, 6, 3 5 15. x y x y x y                x ﹐ y是整數﹒ 作聯立不等式區域﹐ 合乎所求的解是區域中的格子點坐標﹐如圖所示﹒ 即

 

0,3 ﹐

 

1,3 ﹐

 

2, 2 ﹐

 

2,3 ﹐

 

3, 2 ﹐

 

3,3 ﹐

 

4,1 ﹐

 

4, 2 ﹐共八種﹒ (2) 欲求最佳解使運費 P500x1500y為最小﹒ 將各點一一代入P500x1500y得﹕

                 

, 0,3 1,3 2, 2 2,3 3, 2 3,3 4,1 4, 2 4500 5000 4000 5500 4500 6000 3500 5000 x y P 故在 x4﹐ y1時﹐P有最小值3500﹒ 即派出小貨車4輛和大貨車1輛﹐可最節省出車費用﹒ 7. 設點P x y 是右圖三角形區域（含邊界）中的一點﹐

 

, 求下列三式的最大值與最小值﹕ (1) yx﹒ (2) x2y2﹒ (3) y x ﹒ Ans：(1) M＝2﹐m＝1，(2) M＝13﹐m＝ 5，(3) M＝3﹐m＝ 1 2

【詳解】 (1) 觀察直線 y x k和三角形區域的相交情形﹐ 如右圖所示﹒ 由平行線法可知﹕因為直線 y x k 與三角形區域相交時﹐k滿足  1 k 2﹐ 所以 yx的最大值為2﹐最小值為1﹒ 另由頂點法列表﹕

       

, 1,3 2,1 3, 2 2 1 1 x y yx   可得到相同的結論﹒ (2) 設P為三角形區域內的一點﹐

 

0, 0 O 為坐標平面的原點﹒ 因為 2 2



 

2



2 2 0 0 x y  x  y OP ﹐ 所以我們觀察三角形區域上點 P 與原點O之距離的平 方﹐進而求得 2 2 x y 的最大值與最小值﹒ 首先﹐當 PC時﹐ OP 有最大值﹐ 即 2 2 x y 的最大值為 2 2 2 3 2 13 OC    ﹒ 其次﹐當 OP 有最小值時﹐P點應落在線段 AB上﹒ 因為直線 AB的方程式為2x y 5﹐ 所以由距離公式得原點O到直線 AB的距離為 5 5 5  ﹐又OA 10﹐OB 5﹐ B點恰好是原點O到直線 AB的垂足﹐ 因此 OP 的最小值為 5﹐ 即 2 2 x y 的最小值為

 

5 2 5﹒ (3) 設 y m x  ﹐則 y mx﹒ 因為 y mx是過點

 

0, 0 的直線﹐ 所以我們連接直線 AO與BO﹐ 並觀察所有與三角形區域相交的直線 ymx﹐ 發現直線 y mx 的斜率最大為3﹐最小為 1 2﹐

因此可知 y x 的最大值為3﹐最小值為 1 2﹒ 8. 設 A

 

4, 4 ﹐B

 

2,1 為xy平面上兩點﹐而直線 yax b 與 線段 AB 相交﹒試作一圖以 a 為橫坐標﹐b為縱坐標﹐ 並將數對

 

a b 的範圍表示出來﹒ , Ans：見詳解 【詳解】 因為直線 yax b 與線段 AB相交﹐ 所以點 A與點B位在直線 yax b 的兩側﹐ 或其中一點在直線 yax b 上﹐ 因此將 A

 

4, 4 ﹐B

 

2,1 代入ax y b時﹐ 得到的值相乘會小於或等於0﹐ 即



4a 4 b



2a 1 b



0﹒ 因為



4a 4 b



2a 1 b



0 與 4 4 0 2 1 0 a b a b      _{  }  或 4 4 0 2 1 0 a b a b      _{  }  的解相同﹐ 所以其數對

 

a b 的範圍如下圖所示﹕ , 9. 某投資人打算投資 A ﹐ B 兩項目﹒根據預測﹐ A ﹐ B 兩項目可能 的獲利分別為100%和50%﹐可能的虧損率分別為30%和10%﹒ 投資人計劃投資金額不超過10萬元﹐要求確保虧損金額不超過 1.8萬元﹒問應投資 A﹐B兩項目各多少萬元﹐才能獲得最大利潤﹖ Ans：用 4 萬元投資 A 項目﹐6 萬元投資 B 項目時﹐ 可得最大利潤 7 萬元 【詳解】 設投資人分別用 x 萬元投資 A 項目﹐用 y 萬元投資 B 項目﹒

依題意列式得﹕ 10, 0.3 0.1 1.8, 0, 0. x y x y x y     _{ }        欲求獲利 P x 0.5y的最大值﹒ 作可行解區域如圖﹒ 其頂點坐標為

 

0, 0 ﹐

 

6, 0 ﹐

 

4, 6 ﹐



0,10 ﹒



將此四點代入 P x 0.5y﹐得對應的值如下﹕

 

,

      

0, 0 6, 0 4, 6 0,10



0.5 0 6 7 5 x y P x y 得在 x4﹐ y6時﹐P 4 0.5 6  7（萬元）為最大值﹒ 故用4萬元投資 A項目﹐6萬元投資B項目時﹐ 可得最大利潤7萬元﹒ 10. 一線性規劃問題的可行解區域為坐標平面上由點 A(0，30)、 B(18， 27)、 C(20， 0)、 D(2， 3)所圍成的平行四邊形 及其內部。已知目標函數 ax＋by（其中 a，b 為常數）在 D 點 有最小值 48，則此目標函數在同個可行解區域的最大值 為____⑬⑭⑮____。 (untits100) Ans：432 【詳解】 如下圖，在 D 點有最小值 48，故 2a＋3b＝48，則 目標函數 ax＋by 必在 B 點得最大值為 18a＋ 27b＝9(2a＋3b)＝948＝432。 35 30 25 20 15 10 5 10 20 D C B A

11. 已知一個線性規劃問題的可行解區域為四邊形 ABCD 及 其內部，其中 A(4，0)，B(8，10)，C(6，14)，D(2，6)為 坐標平面上的四個點。若目標函數 k＝ax＋by＋32（a，b 為實數） 在四邊形 ABCD 的邊界上一點(4，10)有最小值 18，則 a＝________， b＝ ________。 (units99) Ans：a＝14，b＝7 【詳解】 CD 的斜率為14 6 6 2   ＝2， 若 k＝ax＋by＋32 的斜率不是 2， 則最小值必產生在 C 或 D， 故斜率 a b  ＝2  a＝2b………。 又(4，10)代入得 4a＋10b＋32＝18……  代入 8b＋10b＝14  b＝7， 代入得 a＝14， 即 a＝14，b＝7。 12. 建 築公司在房市熱絡時推出甲、乙兩型熱門預售屋。 企劃部門的規劃如下：甲型屋每棟地價成本為 500 萬元， 建築費用為 900 萬元，乙型屋每棟地價成本為 200 萬元， 建築費用為 1500 萬元，公司在資金部分限制地價總成本 上限為 3500 萬元，所有建築費用的上限為 1 億 2000 萬元； 無論甲型或乙型售出，每棟獲利皆為 500 萬元，假設推出的 預售屋皆可售出，請問推出甲、乙兩型預售屋各幾棟， 公司才可得到最大利潤。 (13 分) (unit97s) Ans：最大利潤為 5000 萬元 【詳解】 設甲型 x 棟，乙型 y 棟，則 500x＋200y≦3500， 900x＋1500y≦12000， x≧0， y≧0， 14 12 10 8 6 4 2 5 E D C B A

即 5x＋2y≦35，3x＋5y≦40， x≧0， y≧0， 作圖如右。 目標函數 f(x，y)＝500(x＋y)， f(5，5)＝5000 為最大， f(7，0)＝3500， f(0，8)＝4000， 故最大利潤為 5000 萬元。 13. 設 a，b 為實數。已知坐標平面上滿足聯立不等式 (unit100s) 的區域是一個菱形。 (1) 試求此菱形之邊長。（ 4 分） (2) 試求 ａ，ｂ。（8 分） Ans：(1) 2 5 ，(2) a＝2，b＝ 10 【詳解】 如右圖， (1) 解 2x－ y＝0，x＋ y＝ 6，得 C(2， 4)， 故此菱形的邊長為 OC ＝ 22 42 2 5。 (2) y＝ax－b 平行於 2x－ y＝0， 故斜率 a＝2， 設 A(t，–t)， 2 2 ( ) 2 5 OA t  t OC  2t2＝20  t＝ 10  A( 10 ， 10 )， 8 6 4 2 5 10 g x  = 1 5

 

40-3x f x  = 1 2

 

35-5x C B A O 4 3 2 1 -1 -2 -3 2 4 6 C: (2.00, 4.00) B: (5.16, 0.84) A: (3.16, -3.16) 2x-y=0 x+y=6 x+y=0 B A C O

代入得 10 ＝2 10 －b， 故 b＝ 10 。 14. 若

 

x y 為聯立不等式, 4 5 17 0 7 4 0 5 2 20 0 x y x y x y               所表示圖形上的任一點﹐ 且Pkxy在

 

2,5 有最小值時﹐試求k的範圍﹒ Ans： 5 4 2 k 5    【詳解】 6 4 2 5 C: (-3.0, 1.0) B: (2.0, 5.0) A: (4.0, 0.0) C B A P＝kx－y 在 (2，5)有最小值，則 直線 P＝kx－y 只通過 A，B，C 三點中的 B 點，而 BC 的斜率為 5 1 4 2 3 5    ， AB的斜率為 5 0 5 2 4 2     ， 故斜率 k 的範圍為 5 4 2 k 5    。 15. 考慮滿足下列兩個條件的二位數﹕ (1) 個位數字的 2 倍減去十位數字的差大於 2﹐ (2) 十位數字的 3 倍與個位數字的和小於 23﹐ 則其中最大的一個二位數為何﹖ Ans：57 【詳解】 設 n＝x･10＋y，則 2y－x＞2，3x＋ y＜ 23，

x＞0， y≧0，x， yZ， 作圖如右。 取 x＝5，y＝7 時， 原數 57 為最大。 8 6 4 2 5 C