傳統網絡重抽樣方法 傳統網絡重抽樣方法 傳統網絡重抽樣方法 傳統網絡重抽樣方法

2.2.1. Jackknife 摺刀法 摺刀法 摺刀法 摺刀法

Jackknife 的網絡重抽樣方法(Frank and Snijders, 1994)，它的作法其實與我們 在傳統統計裡談的方法大同小異，原本是(Quenouille 1949)提出了摺刀法，其概 念就是假設a_/, a , … , a_W為來自相同母體分配 F(x)的獨立隨機變數，θ為我們感興 趣的參數，且de為完整的樣本估計量，將完整的樣本分成 k 群，每群有 m 個觀察 值，即n = mk。若刪除第 i 群樣本，則可以利用剩餘的 n=m(k-1)個樣本求得相同 形式的參數估計量de_,。Frank and Snijders 所提出的網絡重抽樣的概念其實也是與 傳統的作法雷同，每次從我們所觀察到的網絡中抽樣的時候，每次去除掉一個點，

就像小刀一樣割去一部分，同樣有多個網絡參數估計。

以下為作法的步驟：

I. 產生由一個由 N 個節點所組成的觀察網絡 G。

II. 從原本的網絡 G 依序移除掉 N 個節點，因此造出多個網絡g_/… g_O。

III. 由多個網絡 g 的網絡特徵，計算它的標準差。

IV. 上述步驟完成後，最後可以得到網絡特徵值的信賴區間。

在步驟 III 計算的標準差為：

s. e._f(g) = h0 − 1

0 5(g^9,− g_9∙)

,./

g_9,: 從步驟 II 所造出 N 個網絡g_:的統計量 Z(網絡特徵) g_9∙: N 個網絡特徵(g_9/, g₉ , … , g₉ )的平均

然而 Frank and Snijders 認為上式的標準差的乘數因子(multiplication factor)

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N-1/N 不適用在網絡特徵的計算上，對於 jackknife 刪掉點的特性，應用在隨機的 樣本中，它們之間的變異數會與他們的樣本大小成反比，所以他們認為網絡計算 的標準差可能需要一個修正項藉此修正。

修正後的標準差為：

s. e._f g! h0 2

20 5 g^9, g_9∙!

,./

以下為 jackknife 重抽樣的整體概念:

圖表 14: Jackknife 重抽樣方法示意圖

由上圖可以簡單知道由網絡 Frank and Snijders 兩人提出 jackknife 的重抽樣 的方法，依照刪掉點來產生多個網絡，同時每個網絡擁有網絡特徵，最後有了標 準差的估計之後，使得建立信賴區間。對於重抽樣的方法，在 1994 那篇文獻中，

兩人認為 jackknife 的方式在估計網絡參數標準差的估計表現上是較好的。

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2.2.2. Bootstrap 拔靴法 拔靴法 拔靴法 拔靴法

Bootstrap 的方法是一種無母數的抽樣方法，最早是由 Efron 在 1979 年所提 出(Efron, 1979)，最初是使用在標準差的估計。一般來說，統計推論的方法有兩 種，一種是有母數的統計推論，另一種是無母數的統計推論，兩者的差異是在於 對於母體有沒有做分布的假設，在研究者觀察的網絡當中，我們通常都不會知道 其背後的分布是什麼，所以無母數的推論相較於之下比較適合用在網絡分析的思 維。

此作法與傳統(Efron, 1979)所抽樣的方式也是差不多的，傳統方法為先假設 a_/, a , … , a_W為相同來自母體分配 F(x)的獨立隨機變數，θ為我們感興趣的參數，

其估計值為de，接著從原始的隨機樣本a_/, a , … , a_W中以取後放回的方式抽出 n 個 樣本，因此得到新的一組樣本a_/^∗, a^∗, … , a_W^∗，一樣得到估計值de^∗，此方法重複 B 次，所以最後會得到估計值de^∗ 1!, de^∗ 2), … , de^∗(;)，同樣在 Snijders and Borgatti 在 1999 年提出的網絡抽樣方法(Snijders and Borgatti, 1999)，兩者都是同樣的精 神去作重抽樣的估計。

以下為作法的步驟：

I. 產生由一個由 N 個節點所組成的觀察網絡 G。

II. 從原本的網絡 G，以取後放回的方式抽出 N 個點，再由這些抽出的點造出 第一個網絡，同時有一個參數估計de^∗(1)。

III. 步驟二重複作 M 次(假設做 1000 次)，得到估計值de^∗(1), de^∗(2), … , de^∗(1000)。

IV. 在由多個估計值(網絡特徵值)，計算它的標準差。

V. 上述步驟完成後，最後可以得到網絡特徵值的信賴區間。

在步驟 II 由原網絡 G 抽出的點所造出的網絡G_/^∗，當中G_/^∗裡的點與點的連結

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是根據原網絡 G 的點與點之間的連結所連成的，而抽到重複的點不會與自己相 連，為一個或多個的單一孤立的點。假設在網絡 G 裡點 k 和點 h 相連可看成G_kl， 另外每次利用取後放回的所造出的網絡中，第 i 次所造出的網絡G_,^∗裡的點 k 和點 h 可記成 i(k)和 i(h) ，最後做一個整理，可以把上述連結的意義簡化為：

G_kl^∗ = G_{: k!: l!}, m n >(o) ≠ >(V) 在步驟 III 計算的標準差為：

s. e._p(g) = h 1

q − 1 5(g^∗(r)− g^∗(.))

s

r./

g^∗(,): 第 i 個所造出的網絡G_,^∗的網絡統計量(網絡特徵值) g^∗(.): 所有g^∗(/), g^{∗( )}, … , g^∗(r)的平均

以下為 Bootstrap 重抽樣的整體概念:

圖表 15: Bootstrap 重抽樣方法示意圖

由上圖可以簡單知道由網絡 Snijders and Borgatti 兩人對於 Bootstrap 的重抽 樣的方法，依照取後放回的方式來產生多個網絡，同時每個網絡擁有網絡特徵，

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最後有了標準差的估計之後，使得建立信賴區間。