3. 研究方法 研究方法 研究方法 研究方法
3.1. 因子模型 因子模型 因子模型 因子模型
對於現在大多的網絡資料的研究方法都是使用相鄰矩陣(adjacency matrix)來 進行實驗，而相連矩陣與網絡是 1:1 的關係，但相鄰矩陣能直接提供的網絡特徵 的資訊並不多，例如：三角形的個數，以相鄰矩陣乍看之下並不能直接馬上得出 有幾個三角形，而是必須透過一些運算才能得到答案。所以我們認為在網絡矩陣 的形式當中，必須要有一個網絡矩陣表示法能夠直接提供網絡相關的特徵，這樣 對於建立這類型的矩陣之後，作因子重抽的實驗成效性提高許多，然而作因子的 重抽實驗，我們在這裡考慮研究的核心就是因子或者是團(clique)來進行。通常 當一個網絡圖中，研究者如果對於分群的議題有興趣，都會利用團的做法作實 驗，而我們欲利用團的特徵來作重抽樣的動作。
所謂團就是一個由單個點或多個點互相連結所組成的，像是 1-Clique(單 點) 、2-Clique(兩點互相連結)、3-Clique(三點互相連結)或者是 4-Clique(四個點 互相連結)等，由於團是一個很特別的特徵，通常出現在關係緊密的節點中，因 此只要能建立將網絡特徵形式的矩陣，對於研究有相當大的益處。然而我們該如 何建構這類型的矩陣呢? Kuo, Ho and Liu (2013)首先提出因子模型可以用來刻劃 研究中所需的網絡特徵，所謂因子是虛擬的元素，解釋上有時候容易不好解釋，
例如友誼網絡中的連結，三個同學都是好友的因素，可能是因為有相同嗜好的因 子或是與其他班同學有另一種興趣的因子所建立的。換言之，兩點之間的連結，
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其實一定有什麼因素去讓他們兩點去產生連結的，而每個點連結的因素都不盡相 同，Kou, Ho and Liu (2013)不在乎背後因素是什麼，統稱因子。然而他們考慮兩 個假設，第一個是每個點各別都有自己的因子集，本身屬於一個因子，第二個是 兩點之間的連結等價於兩點因子集的交集，而這集合為非空集合。因此只要能定 義清楚每個點的因子集，就能基於前兩個敘述來建構網絡。
以下舉個例子來說明：
圖表 16: 由 8 個點所組成的網絡
由上圖 16，是由 8 個點的小網絡作為例子，假如以上述兩個假設皆成立，
利用每個點的因子集作出新的因子矩陣，此時我們可以舉出非常多種的因子集的 組合來對應這張網絡圖。
舉例來說，假如我們單看一個 3-Clique 的例子(4 號、6 號、7 號) 第一種組合:
三個點都屬於一種因子集合，可以看成Fu = Fv = Fw = xf/z 第二種組合:
三個點由三個 2-Clique 所形成的因子集合，如把 2-Clique 看成因子，最後可以看 成Fu = xf/, f z, Fv xf , f{z, Fw xf/, f{z
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(a) (b)
圖表 17: 因子組合 (a)第一種組合 (b)第二種組合
在上述的兩種假設下，假如看的是整個的網絡圖，我們就會有多種可能組 合，所以為了讓因子集具有唯一性，Kuo, Ho and Liu (2013)建議使用最大團 (maximal clique)來描述因子。
圖表 18: 圖 16 的各種可能的最大團
以下為每個點的因子集:
節點 節點節點
節點 因子集合因子集合 因子集合因子集合 節點節點節點節點 因子集合因子集合 因子集合因子集合 1 xf/z 5 xf z 2 xf/, f z 6 xf{, fuz 3 xf z 7 xf{z 4 xf , f{z 8 xfuz
圖表 19: 各點所屬之因子集
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我們根據上述的資訊，得知 8 個點與 4 種因子，如此一來可以建構出因子矩陣 F。
F =
|} }} }}
}~1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1•€€€€€€•
‚×u
然而我們從一張網絡圖可以得知會 1:1 對應一個相鄰矩陣，同樣的因子矩陣 也會與網絡有 1:1 的對應(在無需考慮行的順序情況下)，而原因是因子矩陣是由 網絡分解成數個最大團，而最大團本身具唯一性，因此因子矩陣也唯一。所以整 體來說，整個網絡到相鄰矩陣再到因子矩陣彼此之間都有 1:1 轉換，且先有了因 子矩陣也能反推回去到網絡的相鄰矩陣。
因子矩陣轉回相鄰矩陣作法如下：
I. 計算因子矩陣 F 與因子矩陣的轉置F„相乘，得到矩陣 A。(AO×O = FO×… F…×O„ ) II. 將矩陣 A 的對角線設為 0，其餘不是對角且大於 1 的元素設為 1，此時的矩
陣 A 即是相鄰矩陣。
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3.2. Factor 新因子重抽法 新因子重抽法 新因子重抽法 新因子重抽法
從上章節中，提到的 Bootstrap 以及 Jackknife 的重抽樣方法，其實兩者都是 在統計學傳統的重抽樣方法，是近年國外才有學者把完整的思維帶入到網絡分析 中，其作法都大同小異，然而在緒論裡也提到目前在網絡研究的發展過程中，重 抽樣的技術還未發展的成熟，Kuo, Ho and Liu (2013)則透過因子模型提出一個新 的重抽樣方法來估計網絡參數的標準差，使得網絡分析重抽樣的方式更加多元。
在本節中，我們欲利用類似的手法，同樣都是利用上節所介紹的因子矩陣來建構 一個新的因子重抽樣技術，與之前的作法不同。
首先我們先找到網絡的相鄰矩陣 A 所對應的因子矩陣 F，於是每個因子集就 確定，接下來我們欲對每個點重新給予新的因子集，之後就會有新的因子矩陣產 生，其給予的作法為：利用原網絡的邊個數去產生一個隨機數(二項分布隨機產 生)，產生出來的數值再隨機給予新矩陣裡的因子元素，即為新的因子矩陣F∗。
^A`
O×O †,‡ˆ‰Š‹ŒŒŒ• ^F`
O×… Ž‹ŒŒŒŒŒŒŒŒŒŒŒŒŒŒŒ• ^F
•~p:O(‘’“, Ž•/‘’“) ∗`
O׎•有了新因子矩陣F∗，因為與相鄰矩陣為 1:1 的性質，所以透過轉換的方式得到新 的相鄰矩陣A∗，接著新的相鄰矩陣A∗同樣會有一個因子矩陣，我們欲擴充這個因 子矩陣，利用擴充機制(expansion mechanism)來執行，當作最後擴充的新因子 矩陣，作法為：先對網絡A∗的點連結數(degree)採取後不放回的方式去作為新的 擴充因子，然而對於擴充的原因是因為原始網絡 A 的 3-Clique 以及 4-Clique 的 和新的網絡A∗的個數不一，我們考慮按照它們之間的個數差來擴充，而被擴充的 點就是利用點連結數(degree)的機率來進行選擇被擴充，點連結數高的點被擴充 的機率越大，反之越小。
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^ F
∗`
O׎• †,‡ˆ‰Š‹ŒŒŒ• ^A
∗`
O×O N—˜O™:šO Ž ›l˜O:™Ž‹ŒŒŒŒŒŒŒŒŒŒŒŒŒŒŒŒ• ^F
∗∗`
O×…最後的因子矩陣F∗∗經過轉換為相鄰矩陣A∗∗之後，為一次的重抽樣網絡，接著重 複上述動作 1000 次，即為因子重抽法。
^F
∗∗`
O׎• †,‡ˆ‰Š‹ŒŒŒ• ^A
∗∗`
O×O- 28 -
Bootstrap Jackknife Factor
Density:
(den: density; tri: number of ∆; dia: diameter; clos: closeness centrality; bet:
betweenness centrality)
表格 1: ER 模型下，由 50 個點且連結機率為 0.07 的結果
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從上表得知，因子重抽法在網絡密度、三角形個數、直徑以及近距中間度 的標準差估計值，與實際的標準差最為接近，只有參與中間度的估計值略比 jackknife 的方法高一點，但兩者與實際值的標準差是相差不大的。
2.ER 模型節點為 50 的第二種情況:
Node=50 P=0.1 Times=1000 Std of den=0.0088 Std of tri =6.8565 Std of dia= 0.6073 Std of clos =0.0035 Std of bet = 0.0045
Bootstrap Jackknife Factor
Density: (den: density; tri: number of ∆; dia: diameter; clos: closeness centrality; bet:
betweenness centrality)
表格 2: ER 模型下，由 50 個點且連結機率為 0.1 的結果
從表格 2 得知，因子重抽法在網絡密度、三角形個數、直徑以及近距中間度 的標準差估計值，也與實際的標準差最為接近，但是參與中間度的標準差估計值，
相較之下 jackknife 的方法好一點。
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3.ER 模型節點為 50 的第三種情況:
Node=50 P=0.2 Times=1000 Std of den=0.0109 Std of tri =27.7669 Std of dia= 0.2564 Std of clos =0.0002 Std of bet = 0.0011
Bootstrap Jackknife Factor
Density: (den: density; tri: number of ∆; dia: diameter; clos: closeness centrality; bet:
betweenness centrality)
表格 3: ER 模型下，由 50 個點且連結機率為 0.2 的結果
從表格 3 得知，因子重抽法在網絡密度、三角形個數以及近距中間度的標準 差估計值，也與實際的標準差最為接近，其中網絡密度與近距中間度估計值與真 值幾乎一樣(小數點後 4 位會些微不一樣)。參與中間度的標準差估計值，相較之 下雖然 jackknife 和 factor 只差些微的誤差，但還是 jackknife 的方法好一點。
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4.ER 模型節點為 100 的第一種情況:
Node=100 P=0.07 Times=1000 Std of den=0.0037 Std of tri =11.7855 Std of dia= 0.5389 Std of clos =0.0010 Std of bet = 0.0011
Bootstrap Jackknife Factor
Density: (den: density; tri: number of ∆; dia: diameter; clos: closeness centrality; bet:
betweenness centrality)
表格 4: ER 模型下，由 100 個點且連結機率為 0.07 的結果
從表格 4 得知，當我們把點數調高到 100 個節點時，因子重抽法在網絡密度、
三角形個數、近距中間度以及參與中間度的標準差估計值，與實際的標準差最為 接近，唯有直徑的標準差估計值，沒有明顯很好的表現。
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5.ER 模型節點為 100 的第三種情況:
Node=100 P=0.1 Times=1000 Std of den=0.0040 Std of tri =23.8983 Std of dia= 0.1714 Std of clos =0.0006 Std of bet = 0.0004
Bootstrap Jackknife Factor
Density:
(den: density; tri: number of ∆; dia: diameter; clos: closeness centrality; bet:
betweenness centrality)
表格 5: ER 模型下，由 100 個點且連結機率為 0.1 的結果
從表格 5 得知，因子重抽法在直徑以及近距中間度的標準差估計值，也與實 際的標準差最為接近，而網絡密度沒有明顯好的表現，jackknife 和 factor 的結果 都差不多，但是三角形個數和參與中間度的標準差估計值，相較之下 jackknife 的方法好一點。
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6.ER 模型節點為 100 的第三種情況:
Node=100 P=0.2 Times=1000 Std of den=0.0059 Std of tri =110.2543 Std of dia= 0
Std of clos =0.00006 Std of bet = 0.0003
Bootstrap Jackknife Factor
Density:
(den: density; tri: number of ∆; dia: diameter; clos: closeness centrality; bet:
betweenness centrality)
表格 6: ER 模型下，由 100 個點且連結機率為 0.2 的結果
從表格 6 得知，因子重抽法在網絡密度以及近距中間度的標準差估計值，與 實際的標準差最為接近，三角形個數 jackknife 比 factor 好，然而直徑的結果為 0，
所以我們不予討論，參與中間度的標準差估計值，jackknife 和 factor 的結果都差 不多。
從多個不同點數以及連結機率的 ER 模型下，我們可以得出結果，整體來看 兩種傳統的重抽樣方法比較之下，jackknife 的方法比 Bootstrap 的方法較好，也 驗證了(Frank and Snijders 1994)的說法。而因子重抽法的表現上也是不錯的，只 是在某些情況下的特徵值的標準差估計上沒比 jackknife 還要好，所以說 factor 的方法並非精準，傳統方法其實在某些情況下也是略勝一籌的。
- 34 - Std of tri=3.6891 Std of PL=0.4805 Std of clos=0.0002 Std of bet=0.0022
Bootstrap Jackknife Factor
Triangle:
Power-Law MLE:
σ•¯ ° = Ÿ. ¢Ÿ ¨
(den: density; tri: number of ∆; PL=Power-Law; clos: closeness centrality; bet:
betweenness centrality)
表格 7: 由初始 3 個點每次增加兩點，增長到 50 個點的結果
從表格 7 得知，因子重抽法在三角形個數、冪率指數和參與中間度的標準差 估計值，與實際的標準差最為接近，但是在近距中間度的標準差估計值，相較之 下都沒來的比 jackknife 好。
- 35 - Std of tri=6.9519 Std of PL=0.2238 Std of clos=0.0001 Std of bet=0.0001
Bootstrap Jackknife Factor
Triangle:
Power-Law MLE:
σ•¯ ° = Ÿ. ¤ £
(den: density; tri: number of ∆; PL=Power-Law; clos: closeness centrality; bet:
betweenness centrality)
表格 8: 由初始 5 個點每次增加三個點，增長到 50 個點的結果
從表格 8 得知，因子重抽法在三角形個數、近距中間度和參與中間度的標準 差估計值，與實際的標準差最為接近，但是在冪率指數的標準差估計值，相較之
從表格 8 得知，因子重抽法在三角形個數、近距中間度和參與中間度的標準 差估計值，與實際的標準差最為接近，但是在冪率指數的標準差估計值，相較之