光子晶體在波束掃描的特性研究

前言:

由 2-1 節的天線理論我們找到在某一特殊狀況下，固定波源的振幅、相位 差的情況下以改變波源間距可以達到調變波束方向的目的。而一維光子晶體即擁 有在禁帶外側穿透峰值，在規律的層數變化下不變的特性以及光通過此結構可以 維持固定相位差特性。在本章的 3-1 節將會介紹在不同的結構下，也就是高低折 射率層週期變化分別為 2 的倍數(如圖(3.1))、3 的倍數(如圖(3.2))以及 4 的倍數時 穿透峰值以及相位的特性，之後透過結構改變可設計大角度調變(3-2 節)，若僅 調整板隔長短變化可做出小角度調變(3-3 節)。

圗(3.1) 偶數層的光子晶體結構 圗(3.2)奇數層的光子晶體結構

n

L

(網狀格子折射率為

n

_H，厚度為d_H ，空白區域間隔部分折射率為 ，厚度為

L ) d

3-1 光子晶體的穿透與相位特性分析

2 n high layers 4 n high layers 6 n high layers 8 n high layers

由圖(3.3)可以看到在禁帶外側有幾個穿透率極値不會隨層數變化而改變，我們把

這些峰値的特色就是在偶數層的情況下，不隨層數而改變其穿透率，這是光子晶

2 n high layers 4 n high layers 6 n high layers 8 n high layers

(1)

(1)

f0 也有同樣的特性存在，透過這個現象可以知道只要結構的折射率比固定時，

則 f₁⁽¹⁾與 f₂⁽¹⁾跟 f₀⁽¹⁾的比值就會固定。若根據所需要的使用頻率( f₁⁽¹⁾或 f₂⁽¹⁾)就可以 定出相對應的帶隙中心頻率，那此光子晶體的結構就可以決定。

0 5 10 15 20 25 30 35 40

0 10 20 30 40 50 60 70

central frequency f0(GHz)

f(GHz)

f2=1.58f0 f1=0.42f0

Bandgap central frequency f0(GHz)

nH

圖(3.5) 在設計為 =3， n_L=1 之光子晶體其 f₁⁽¹⁾、f₂⁽¹⁾與帶隙中心頻率 f₀⁽¹⁾的關

係

以上的討論是在折射率固定的情況下做的分析，但是隨著使用折射率的不同會影 響到 f₁⁽¹⁾/ f₀⁽¹⁾ 與 f₂⁽¹⁾/ f₀⁽¹⁾的比值，所以現在來觀察在不同折射率情況下所對應 到的比値，以圖(3.6)表示。

1.5 2 2.5 3 3.5 4

0( )ⁿ

圗(3.7)左:四層光子晶體圖 右:通過光子晶體之穩定態電場場強分怖圖

圗(3.8)左:六層光子晶體圖 右: 通過光子晶體之穩定態電場場強分怖圖 由圖(3.7)和圗(3.8)可以看出平面波通過四個週期和六個週期的結構時電場的振 幅皆相等，可以驗證上述的理論。

(3.1.1)和(3.1.2)兩式的頻率皆為穿透峰值不隨層數增加而改變的頻率點，已符合 我們設計波束掃瞄的第一個充要條件，也就是波通過此結構時振幅可維持相同，

接下來分析這些頻率點通過不同層數下的相位特性。

圗(3.9)是光通過結構的相位表示圖，其中θ是代表光在空氣中所走路徑造成的相 位，而ϕ 是代表光在光子晶體內的相位，所以θ₁代表的意思就是光在通過兩個週 期光子晶體前在空氣中所走的路徑造成的相位，ϕ₁ ±2nπ就是指光在兩個週期光 子晶體內的相位。

圗(3.9)光通過結構相位表示圖

π

nH

圗(3.10) =3， =1，f0=30GHz 的相位圗(右圖為左圖在 f=10Ghz 附近的放大 圖)

nL

所以可以將(3.1.3)式寫成:

0

1 1

( )( ) * 4

4 _H 4 _L f

f n n

ζ = − +π + π (3.1.5)

所以總相位差可由(3.1.5)來計算推得。因為相位差跟折射率的選擇有關，當輸入 頻率(fin)為 f₁⁽¹⁾、 f₂⁽¹⁾的時候，相位差和折射率的關係以圖(3.11)來顯示。

1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

-2 -1.5 -1 -0.5

nH/nL

phase shift

fin=f1 fin=f2

ζ

圗(3.11)輸入頻率為 f₁⁽¹⁾和 f₂⁽¹⁾時的總相位差和折射率比的關係(n_L皆為 1)

經由上述的討論可以知道禁帶外的穿透峰值所對應的頻率，有穿透率固定及相位

結構如圖(3.2)所示，假設 =3.5， =1，f0=30Ghz，用 TMM 法計算平面波通 過光子晶體後穿透率的頻譜圖，如圖(3.12)所示。

3 n high layers 6 n high layers 9 n high layers

圗(3.12)n =3.5，_H n_L=1，f0=30Ghz 的穿透率圗

1(1)

( ) (1) (1)

1ⁿ 2( 1) 0 ₀

f = n− f +kf 或 f₁^{( )n} =(2n−1)f₀⁽¹⁾− Δf n=1,2,3… (3.1.6)

( ) 2

f n (1)

f1 f₀⁽¹⁾

其中 k 是在不同折射率比下的 / 的比值，而 可以寫成(3.1.7)式:

( ) (1) (1)

2ⁿ 2 0 0

f = nf −kf 或 f₂^{( )n} =(2n−1)f₀⁽¹⁾+Δf

)

n=1,2,3... (3.1.7) 在禁帶旁穿透率極值的頻率點已經可以預測了，但這些頻率點的穿透相位會與 3-1.1 的相位有一樣的性質嗎？現在我們來觀察在此結構下的相位特性。以圗 (3.14)做說明。相位差等於空氣中的相位和光子晶體中的相位相減得來，以式 (3.1.8)表示。

2 1 1 2

( ) (

ζ = − ϕ ϕ− + θ θ− (3.1.8)

圗(3.14)相位表示說明圖

nH

我們先看光通過光子晶體內的相位差(ϕ ϕ₂− )，以₁ =3.5， =1，f0=20Ghz 為 例，此時

nL (1)

f1 =0.512f0=10.24Ghz， f₂⁽¹⁾=1.488f0=29.76Ghz，以圗(3.15)和圗(3.16) 來表示這兩個頻率的相位，從圗我們可以發現波以此兩頻率通過結構時所造成的 相差為 0，或是 2π的整數倍，如此一來在考慮相位差時就可以不用考慮ϕ ϕ₂− 的₁

影響，只要把光通過空氣中的相位差計算出來即可。

3 n high layers 6 n high layers 9 n high layers

3 n high layers 6 n high layers 9 n high layers

(1)

3 n high layers 6 n high layers 9 n high layers

3 n high layers 6 n high layers 9 n high layers

(1)

f2 =29.76Ghz 的相位圗 圗(3.16)

所以(3.1.8)式就可以寫成:

1.5 2 2.5 3 3.5 4

f1/f0 under different structures

(2,4,6...)even nH layers

1.5 2 2.5 3 3.5 4

4 n high layers 8 n high layers 12 n high layers

π

圗(3.19) f₁⁽¹⁾ =0.591f₀ =6.91GHz 在不同週期層數下的相位關係圖 π，與週期變化為 2 的倍數特性一樣，所以總相位差 波在光子晶體內的相位差為

就要考慮空氣相差和光子晶體內的相位差:

以上是高低折射率週期變化分別為 2、3、4 的倍數的討論，經由這些討論我們可

現，不過在相位差方面卻無法滿足波通過不同層數的結構仍然可維持等相位差的 特性，所以不能應用在我們的波束掃描結構上。

對於不同結構下的穿透頻率特性和相位關係有了了解以後，接下來要開始設計波 束掃瞄結構，首先會先利用結構的不同達到大角度的變動，再透過調整 d 值來達 到小角度調變。

3-2 大角度變動主束方向

cos d

ϕ^{= −}ζ β

根據天線公式 ，其中ϕ 為出射角，ζ 為相位差， 為波數，d 為波β 數(參照圖(2.1))，對同一頻率的波而言可以透過改變 d 值和 值來做調變，現在 ζ 利用不同的結構分別是高低折射率週期變化分別為 2 的倍數層、3 的倍數層和 4 的倍數層來造成ζ 值的不同(參照圖(3.20))藉以改變波束的出射方向達到大角度 的變動。在進行大角度變動前，我們先來檢驗光子晶體結構與天線理論的吻合 度，也就是對歸一化陣列因式(2.1.11)的比較。晶體以週期變化為 2 的倍數層為 例，波通過兩、四、六個週期的結構時彷彿形成了三個彼此之間有相等相位差，

但振幅相等的波源，選取不同週期層數之間的間隔為 d，相當於是波源間距，角 度的調變以整體結構中心點為參考點，以圗(3.22)表示之。

入射波源 0.01um*0.01um，跑 60000 次，因為有 5 個週期，每一週期結構相當於一個波源，

所以高折射率層最長為 5*d=15cm，最短為 1*d=1cm。。圖(3.23)是結構圖，圖(3.24)

圖(3.23)FDTD 結構示意圖(藍色部份為高折射率層，白色部份為空氣層，紅色為入射波)

69.1°

φ=69.8°

圖(3.24)穩定態時電場強度分佈圖與天線理論圖

(1)

f1

現在我們使用第一禁帶左側的頻率點，也就是令 =5.5Ghz 的情況下，在 d 值

等於 3cm 下於不同的結構所造成的波束出射角的比較，以表(3.5)說明之，並附 上 FDTD 所對應到之波束角。表中的＂2-4-6-8＂表示高低折射率層共有 4 週期，

第一週期有兩層，第二週期有四層，以此類推。將表(3.5)的條件代入天線理論程 式中可得圖(3.25)。圖(3.25)為歸一化波束電場強度分佈圖(以第一象限 0~90°為 主)。

n =1.7，H n_L=1，f=5.5GHz，d=3cm

念，只是以光子晶體當底板(ground plane)，鋪上微帶線(microstrip line)，透 過將底板挖洞形成光子晶體結構使得微帶線上的訊號通過不同層數的光子晶體 造成相位差，他們從沒挖洞，也就是沒有光子晶體結構，到形成週期為 4 的倍數 的結構共 4 個週期(0-4-8-12)，波束調變了 24 度，而我們的設計從沒有光子晶 體到週期為 4 的倍數也是 4 個週期(4-8-12-16)波束從 90 度變化到 45.1 度，總 共產生了大約 45 度的變化，所以我們利用這樣的結構變化所產生的角度調變是 比上述現象更明顯，如果我們將波通過週期層數變化為五的倍數的結構可讓波偏 轉 59 度。所以透過層數的改變是可以達到大角度的調變波束方向。以上是針對 在固定 d 值但是改變結構造成相位差進而調變波束方向的討論。接下來我們來探 討在固定結構下調整 d 值對波束做小角度的調變。

3-3 小角度變動主束方向

cos d

ϕ∝ζ

cos d

ϕ^{= −}ζ β

根據天線公式 ，在固定的入射波前提下 ，而從圖(2.2)可

以看出 d 值與波長的比值越小，越容易調變波束方向，但是此時會產生另外一個 問題，那就是波束寬的問題，因為從(2.1.15)式的討論可以知道波束寬會跟

Nd λ 的

比值有關，當 d 值越小時波束會越寬，因為會產生繞射效應。在週期變化為 2 的倍數的情況下共 4 個週期，也就是結構為(2-4-6-8)，以n =1.7，_H =1，入射 頻率

nL (1)

f1 =5.5Ghz=0.478 f₀⁽¹⁾=> f₀⁽¹⁾=11.5GHz 為例，把 d 值從 1.5cm 每隔 1cm 調 變一次到 3.5cm，波束的變化以圖(3.26)表示。

0.2

2 2.5 3 3.5 45

50 55 60 65 70 75 80

value of d (cm)

mainbeam angle(degree)

(3-6-9-12) (2-4-6-8)

圖(3.27) 在週期變化為 2 的倍數和 3 的倍數共 4 個週期下於不同 d 值所對應的波 束方向角關係圖

觀察圖(3.27)可以發現在 d 值變越大時可調變角度會越小，但是此兩種結構在一 樣的 d 值變化下(3-6-9-12)的結構可以調變的範圍較大，原因是因為此結構的相 位差透過(3.1.9)式可得ζ =-1.57(徑度)=-90°而(2-4-6-8)的結構的相差透過(3.1.5) 式可得ζ =-0.76(徑度)=-43.5°，所以前者可產生較大的相位差讓波束變化較明 顯，另一方面，在調整 d 值的時候波束寬會隨著 d 值減少而增加，以前者變化較 為明顯，以圗(3.28)做比較。在[5]文獻中是透過改變層數週期變化來做小角度變 化，本論文是利用在不改變結構週期的前提下，經由改變高低折射率層的大小來 對波束做微調，可視所須要的精準度選擇結構進行微調，若要使調變的範圍變 大，就要增加結構的週期變化。此種設計的優點是可以達到連續性微調，只要調 整高低折射率層大小即可進行調變。

0.2 0.4

0.6 0.8

1

30

210

60

240

90

270 120

300 150

330

180 0

phase

elementfactor

d=2cm d=2.5cm d=3cm d=3.5cm

圗(3.28 上)週期變化為 2-4-6-8 的波束電場強度歸一化變化圖

圗(3.28 下) 週期變化為 3-6-9-12 的波束電場強度歸一化變化圖 從圖(3.28)可看出週期變化為 3-6-9-12 的結構波束寬增加的現象比週期變化為 2-4-6-8 明顯，因為相位差也是會影響波束的寬度。將此兩個結構的波束半高寬 與 d 值的變化以圖(3.29)做整理，相位差越大波束將會越寬，所以可以預測在 4-8-12-16 的結構雖然用一樣的 d 值可以獲得更大的調變角度，但是當 d 值變小 時波束的寬度會變化的更明顯。

2 2.5 3 3.5 20

25 30 35 40 45 50 55 60 65

value of d(cm)

beam size(degree)

(2-4-6-8) (3-6-9-12)

圖(3.29)光子晶體結構週期變化分別為 2、3 的倍數共 4 個週期的波束半高寬角與 d 值的關係圖

在變化 d 值的探討中，我們知道 d 值的改變會影響波束方向，但是 d 值變越大時 波束的變化會越小(參照圖(3.27))，但是波束會越集中(參照圖(3.29))，反之 d 值 變小波束變化會越大，但是伴隨著波束寬也會越大。

若要減少束寬，可以透過增加結構週期層數，比如說在高低折射率變化週期為 2 的倍數的情況下，3 個週期(結構為 2-4-6)會比 4 個週期(結構為 2-4-6-8)來的

寬，以天線理論來看當週期數變多時相當於是增加波源數量，以 為

例，相位差

1.7, 1

H L

n = n = ζ =-0.76(徑度)，高低折射率層長短間隔為 3cm(d 值)，將 d 值與相

位差代入天線理論公式去計算波束半高寬和波源數量的關係可得圖(3.30)，所以 我們可以知道增加層數可以將波束集中，但是隨著波源數量增加的越多，半高寬

位差代入天線理論公式去計算波束半高寬和波源數量的關係可得圖(3.30)，所以 我們可以知道增加層數可以將波束集中，但是隨著波源數量增加的越多，半高寬

在文檔中 一維光子晶體應用在波束掃描之特性研究和設計 (頁 37-65)