第一章 波導模態共振基本原理
1.1 光柵繞射異常現象簡介
第一章 波導模態共振基本原理
1.1 光柵繞射異常現象簡介
根據一般光柵繞射理論，繞射光的強度分佈不管隨著波長或角度均應緩慢連續變化，
因為繞射的分頻效果與干涉的波程差效應都是連續變化。然而於 1902 年，美國約翰霍 普金斯大學教授 R. W. Wood 發現光柵繞射的光波有異常(anomaly)的現象[1]，此異常現 象就是經過光柵作用的繞射光在特定的波長或角度光強度會有急遽的變化，並非大家熟 悉的緩慢變化。此異常現象是當時的光柵繞射理論所無法解釋的，因此延宕了數十年都 無人解決。
直到 1965 年 Hessel 跟 Oliner 把光柵繞射的異常現象做了整理[2]，整理結果說明正 常繞射理論仍是對的，所以異常現象一定是繞射光能量重新分配的結果，或是光柵與其 他結構或材料特性有關，即光和其他結構或材料共振的結果。於是 Hessel 跟 Oliner 將這 種異常的現象區分成兩大類：
第一類稱為“Rayleigh anomaly”，即繞射光能量重新分配的結果。
第二類稱為“Resonance anomaly”，即光和其他結構或材料共振的結果。
其中第二類又可細分為兩種，一種是 Surface-plasma resonance，即光和自由電子共振的 結果；另一種是 Guided-mode resonance，即光和波導結構共振的結果
Rayleigh anomaly 產生的原因是能量重新分配的的結果，如圖 1.1.1 所示，當光波的 繞射角度使的某階繞射光(在此為 m = 1)跟光柵表面相切時，此時這道光波正處於可以延 Z 軸傳播與不能延 Z 軸傳播的極限，若這時再稍微增加入射角或者是增加波長，則 m = 1 的波再也不能延 Z 軸傳播，而形成漸逝波(evanescent wave)，而為了滿足能量守恆，m
= 1 光波的能量必頇重新分配到其他階可以傳播的繞射光上(在此為 m = 0)，所以 m = 0 的光波在這個角度或波長強度就會有急遽的變化。
2
Resonance anomaly 產生之原因是光波經由光柵的耦合效應，把入射光耦合到電磁波 的表面模態(surface modes)。若是金屬光柵，則是入射光耦合到金屬的自由電子震盪模 態 ， 在 發 生 共 振 的 地 方 光 波 會 被 樣 品 強 烈 的 吸 收 ， 如 下 圖 1.1.2 所 示 ， 稱 之 為 Surface-plasma resonance。若是介電質光柵，則是入射光耦合到介電質的波導模態，在 發生共振的地方會光波會被樣品強烈的反射，如下圖 1.1.3，稱之為 Guided-mode resonance。
其中 Guided-mode resonance(簡稱 GMR，中文「波導模態共振」)正是本論文的理論 基礎，因此我們將只深入探討 GMR 所產生的效應及其應用。
圖 1.1.1 Rayleigh anomaly[3]
圖 1.1.2 Ag 金屬光柵中所產生的 surface plasma resonance effect[4]
3
圖 1.1.3 介電質光柵波導結構中的 guided-mode resonance[4]
4 1.2 波導模態共振效應
波導模態共振大致的物理機制是：光柵的繞射光耦合到光柵本身的波導模態，亦即 當入射光波在某個特定波長剛好跟平面波導結構產生相位匹配(phase match) ，此波長的 光就會被光柵耦合到波導的模態而在波導中傳遞，但是由於光柵的存在，光波無法永遠 沿著波導傳遞，因為行進過程中會被光柵再次繞射出去，形成洩漏模態(leaky mode) ， 利用多次干涉模型(multiple interference model)發現，再次耦合出去的光波(穿透方向)會 跟零階的透射波產生完全破壞性干涉，即沒有光能夠穿透，而耦合出去的光波(反射方 向)會建設性干涉，所以反射率為 100%，於該波段 GMR 是完美的反射鏡[5]，如圖 1.2.1 所示。
圖 1.2.1 GMR 物理機制示意圖[5]
波導模態共振的效應中，光柵扮演耦合器(coupler)的角色，將入射光耦合到波導中，
再由波導結構來傳遞光波，所以元件結構必頇包含光柵及波導這兩個部分，缺一不可，
但是若光柵使用高折射率的材料如 Ge (n = 4.0)、GaAs (n = 3.54)，則只要設計讓光柵的 等效折射率(effective index)大於其他膜層的折射率，那麼光柵就同時具有耦合器及波導 結構，也可以產生波導共振的效應，如圖 1.2.2，而且此光柵波導合一的結構使光柵的耦 合效果更佳，因為光柵和波導若分開，則光柵繞射的光要耦合進波導仍頇經過一層介面
Constructive Interference
Destructive Interference
5
(光柵與波導之間的介面)，使得耦合效果變差，合一結構則無此問題；除此之外，製程 也較為容易。本論文即是採用光柵波導結構合一(簡稱波導光柵)的設計。
圖 1.2.2 光柵波導結構[6]
分析波導模態共振效應必頇結合許多理論，在之後的章節都會一一提及，並且將這 些理論結合於波導模態共振效應，最後討論其性質及應用。首先在 1.2.1 中簡單介紹波 導理論(Waveguide theory)；接著在 1.2.2 中介紹等效介質理論(EMT : effective medium theory)；最後在 1.2.3 中介紹嚴格耦合波分析(RCWA)，並推導出光柵波導產生共振在 光柵結構上的條件限制。
1.2.1 波導理論
波導的用途在於讓光波在介質中傳導，不讓光波四處傳遞。在介電質中，光容易被 侷限在折射率較高的介質裡，為此波導的基本結構必頇包含高折射率的光學介質(稱為 core)並且被低折射率的光學介質(稱為 cladding)所包覆著，好讓光波能在 core 裡面進行 全反射，以此傳導。
其中最簡單的波導結構為平板波導(slab waveguide)，如圖 1.2.3 所示，結構中有三 層介電質:介質 2 (厚度為 d，折射率為 n2)，介質 1 跟 3 (折射率分別為 n1及 n3)，其中 n2
> n1且 n2 > n3，當折射率滿足上述條件時，電磁波就可以靠全反射的效應將能量延 z 軸 方向傳遞。在一般的波導結構中，通常介質 1 為基板，介質 3 為空氣，假設 n1 > n2 > n3。
6
對於線性、等向性的介電質波導而言電磁場所滿足的 Maxwell equations 如下:
0
代入 Maxwell equations 得
H (Boundary conditions)處理，故得
0
7
Ey 為模態場分佈(mode-field profile)，為傳播常數(propagation constant)，或寫為
0
8
光柵的光學性質除了可以使用馬克斯威爾方程(Maxwell equations)來精確的計算之 外(如嚴格耦合波分析)，還可以使用等效介質理論(簡稱 EMT)來分析。等效介質理論是
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常數不同，造成電位移場 D (electric displacement)不相同，分別為E
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成電場 E(electric field)不相同，分別為1
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法，叫做嚴格耦合波分析(Rigid Coupled Wave Analysis, RCWA)[8-9]。0.6
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本論文將使用 Rsoft Design Group 寫的 DiffracMOD 3.1 模擬軟體來模擬元件的反射 率、穿透率、吸收率及光場分佈，此軟體的演算法正是嚴格耦合波分析。接下來將介紹
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Tm，再根據繞射效率(Diffraction efficiency)的定義，可得到 Region 1 及 Region 3 的繞射 效率分別為接著將上式代入 Region 2 的電場分佈方程式(1.36)式，得到耦合波方程式(coupled wave equation)
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當 增加，耦合波方程式越複雜，越無法以人工計算，所以欲求得正確的結構參 數及頻譜可以利用嚴格耦合波分析(RCWA)模擬軟體得到。例如之後製作光柵的結構，
其折射率分佈為步階函數(step function)變化，傅立葉展開的耦合波方程式如(1.49)式
0
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圖 1.2.7 波導光柵本徵方程式曲線[12]
弱調制波導光柵本徵方程式用處很大，雖然波導光柵多為強調制光柵，無法直接使 用本徵方程式曲線求解，但是弱調制波導光柵可以做為選擇光柵結構參數之參考，大幅 縮短模擬的範圍與時間。
A
18 1.3 波導模態共振原理之特性
波導模態共振效應的性質跟光柵的結構參數息息相關，本節將會討論光柵的厚度 d、
週期Λ、填充因子 f (filling factor)、折射率調制等對於共振位置(1.3.1 項)、共振線寬 (1.3.2 項)的影響。
1.3.1 共振位置
共振位置與厚度 d
從波導光柵的本徵方程式曲線可清楚知道(圖 1.2.7)，當光柵厚度愈薄，共振波長愈 短。直觀地從波導模型想像，平面波導越薄，垂直平面方向的侷限越窄，上下共振的波 長自然變短。
共振位置與填充因子 f
填充因子決定等效折射率，而等效折射率決定光波在介質的長短，所以影響共振位 置。從不同等效折射率的本徵方程式曲線比較(圖 1.3.1)知道，填充因子愈小，共振波長 愈短。同樣以波導模型類推，當等效折射率越小，對光而言相當於波導越窄，所以共振 波長自然變短。
圖 1.3.1 neff= 1.8、neff= 2.2 之 TE0 mode 本徵函數曲線[6]
2 .
2 neff
8 .
1 neff
1.8
1.4
1.0
1.0 0.8
0.6 0.4
0.2 0.0
2.2
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共振位置與週期光柵週期與共振位置的關係無法從本徵函數曲線得知，必頇從相位匹配條件求得
n m
n1sin i eff sin , (1.60) 其中n1為入射區域折射率，neff為光柵等效折射率，i為入射角，為折射角，λ為波 長，Λ為光柵週期， m = 0, 1, 2, …。
電磁波經由光柵耦合到波導時，頇滿足相位匹配條件(1.60)，即平行波導光柵的 k 分量要相等。上式可以觀察到當週期變大時，為了使等式成立，共振波長必頇變長，故 得知週期愈大，共振波長愈長。
1.3.2 共振線寬
波 導 模 態 共 振 效 應 反 射 率 頻 譜 的 線 寬 主 要 決 定 於 光 柵 的 耦 合 效 率 (coupling efficiency)和元件結構的模態侷限(mode confinement)，線寬之寬窄決定波導光柵各種不 同的應用。
光柵的耦合效率
波導共振的結構當中，光柵提供了電磁波能量的耦合損耗(coupling loss)，繞射強度 越強的光柵其共振線寬會越寬。從(1.49)式的光柵耦合項(第三項)之係數可以觀察到，影 響光柵耦合效率的因素分別是光柵折射率調制 還有填充因子 f ，其式如下
1
) sin(
n n
f n
, (1.61)
發現 越大，耦合項越大；亦即光柵調制愈強，共振線寬愈寬，如圖 1.3.2。(1.61)式的 級數和大小主要由 n = 1 的項決定，故耦合項於 f = 0.5 時有最大值，所以當填充因子等 於 0.5 時，共振線寬最寬，如圖 1.3.3。
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圖 1.3.2 共振線寬與折射調制之關係圖[13]
圖 1.3.3 共振線寬與填充因子之關係圖[13]
元件結構的模態侷限
波導折射率與上下介質的折射率差異程度會影響模態侷限的程度，模態侷限的程度 會影響共振線寬的大小，如圖 1.3.4 所示當波導層的平均折射率√ 與環境折射率√ 差 越大時，共振的線寬越寬，故具有較強侷限的波導結構會有較寬的線寬，舉一個極端的 例子來說，若波導的平均折射率與環境折射率相同，此時雖然仍有光柵的結構存在，但
10-1
10-4
10-5
10-6
10-7 10-2
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是波導的結構已經消失，所以無法產生波導共振模態的效應，也可以說共振的線寬趨近 於零，故當模態侷限的強度越強，共振的線寬越寬。
圖 1.3.4 共振線寬與模態侷限強度之關係[13]
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第二章 遠紅外線高反射率反射鏡
2.1 動機
為了驗證波導模態共振是否有如預期的高反射率頻譜，我們曾製作出 100 μm 見方 的 GaAs 懸空二維光柵，並量測 1 μm 附近的反射率[6]3。量測時因為光柵太小，必頇將 入射光聚焦在光柵上，量反射回來的光，然而聚焦的光並非真正的平行光，而是由 0 到 12 度角入射光所組合而成的，所以反射頻譜和模擬大相逕庭。雖然可用不同角度入射的 模擬圖線性組合出較接近的頻譜，但這只會讓之後的分析更加繁複，並非長遠之計。
有鑑於此，我們決定製作 5 mm 見方的二維光柵，但是又發現用 E-beam 寫如此大 的面積太曠日廢時，非得用曝光機製作不可。所以最後考慮製作週期約 5 μm，且在 8 μm 波段有高反射率的大尺寸光柵，因為根據電磁波的等效原理，只要能驗證大尺寸的光柵
有鑑於此，我們決定製作 5 mm 見方的二維光柵，但是又發現用 E-beam 寫如此大 的面積太曠日廢時，非得用曝光機製作不可。所以最後考慮製作週期約 5 μm，且在 8 μm 波段有高反射率的大尺寸光柵，因為根據電磁波的等效原理，只要能驗證大尺寸的光柵