光波的偏振理論

第二章基本原理

2.1. 光波的偏振理論

Christian Huygens 根據光在晶體內傳播的研究首先提出光並非為一個純量，套用 Newton 的話，光有“方向性＂，用現在的術語則是偏

x y

0 0

2.2. 史托克斯參數 (Stokes parameters) 與穆勒矩陣 (Mueller Matrix)

將 (2-4) 式取時間平均可得到

偏振態水平線

與 (2-15) 式比較，當 θ=90°-2χ，

φ

ψ

時， (2-15) 式的

S ，

₁

S ，

₂

S 與 (2-16) 式的 x, y, z 在形式會一樣，因此我們可以利用

S ，

₁

S ，

₂

S 為直角座標的三個座標軸，描繪一個半徑為

S 的球面，此即為邦加球

₀ (Poincaré sphere) 。由此可知， (2-15) 式表達的即是任一偏振態的在邦加球上的幾何意義；利用邦加球，我們可以很輕易的描述任何一個光 (pure polarized light) ；若為部分偏振光，則大於符號成立，在圖上為球面內的任何一點，這也是使用史托克斯向量的優點之一，可以用來表示部分偏振光 (partially polarized light) ，瓊斯向量只可表示純偏振光。在邦加球上，因為已經作歸一的動作，故球面半徑為 1， Matrix 則是用來表示各種偏光元件的運算矩陣 (Operator) ，其通常為 4 × 4 階的矩陣。

圖 2-2 邦加球，經過歸一化，故球半徑為 1。

0 sin(4 )sin sin(2 )sin ( ) 2

0 sin(4 )sin cos(2 )sin 2

0 sin(2 )sin cos(2 )sin cos

m C C

2.3. 瓊斯向量 (Jones vectors)與瓊斯矩陣 (Jones Matrix)

若將 (2-1) 式寫成 2 × 1 階的矩陣，則是另一種偏極光的表示法，此

上式為直角座標表示，也可採用以右旋偏振光 (Right-hand Circularly Polarized Light) 與左旋偏振光 (Left-hand Circularly Polarized Light) 為基底 (basis) 的圓座標表示法。

1.Jones matrix 會因座標不同，而有不同型式，但 Mueller matrix 的型式卻固定不變。

2.Mueller matrix 各個元素皆為實數，方便矩陣元素間乘積之運

算。

3.配合 Stokes vector 可方便地表示部分偏振態。

4.Mueller matrix 與 Stokes vector 相乘之後，其第一行第一列之值即為光強度值。

2.4. 單光軸晶體的特性

可利用折射率橢球 (index ellipsoid) 來說明異向性晶體的光學特性，折射率橢球的式子[6]如下 retardation) ，此為雙折射性質最重要的物理現象。如果以瓊斯矩陣

J 來表示一厚度為 d 的單光軸晶體，則

2.5. 傳統的相位可變延遲片 (variable compensator)

以往的相位可變延遲片大致上可分為三種類型，第一種類型為 Berek compensator ，第二種為 Soleil-Babinet compensator ，第三種為 Liquid crystal variable compensator 。

(a) Berek compensator ：在 1913 年由 Max Berek 發明的 Berek compensator，其結構如圖 2-4

圖 2-3 Berek compensator 結構圖

2 1 thickness

Retardation ( )

(

cos sin

^o sin

由於 Berek compensator 是利用傾角θ來產生所需延遲量，故此種延

入射光入射光

遲片用在小角度的效果較佳，延遲量過大則所需傾角也越大，在校正光路時可能會出現問題。

(b) Soleil-Babinet compensator ：

結構如圖，由兩個楔型且光軸同一方向的雙折射性材料與一個矩形且光軸與楔型材料互相垂直的材料所組成，矩形材料的厚度為 X1 ，兩楔型材料的厚度為 X2 ，材料的雙折射率為

Δ n

，則由 (2-24) 式，延遲量為

Retardation= Δ ×

n

( 2

X

−

X

1) /

λ

(2-27)

圖 2-4 Soleil-Babinet compensator 結構圖。X1，X2 分別為光軸垂直出紙面與平行於紙面的晶體厚度

液晶相位可變延遲片是使用 Nematic 型的液晶，此種延遲片與前述兩種最大的不同在於這種類型的延遲片需要使用交流電壓來驅動，才能任意的改變延遲量。結構如圖 2-6。在未加電壓時，液晶分子為水平排列，因為液晶分子的光軸與液晶分子的長軸平行，所以此時延遲量為最大；當增加電壓時，液晶分子傾角亦增加延遲量則開始減少。

此種延遲片因為液晶分子在電壓增加到最大時，接近上下兩基板的

Optical axes

Linear polarized light

液晶分子仍然不會完全垂直於基板，故此種延遲片最小的延遲量無法到接近零度的延遲量；且因為需要 rms 電壓驅動，所以電壓的穩定性也會影響延遲量的穩定性。

圖 2-5 液晶相位可變延遲片結構圖。(a)為未加電壓時，此時延遲量最大 (b)為外加電壓至產生最小延遲亮時液晶分子的排列

2.6. 三片延遲片組成的相位可變延遲片

(2-28)

2 2

第三章實驗步驟

3.1. 量測系統架構

實驗基本設置如下：

雷射光源： He-Ne Laser ： Melles Griot laser 10mw 偏光片及析光片： Melles Griot 03FPG sheet polarizer 光偵測器：Thorlabs PDA55 silicon pin diode

Spectral Range：400-1100 nm

偏光片與析光片均使用機械作旋轉，故解析度可達百分之一度

圖3-1 量測系統架構

He - Ne Laser

Polarizer

Analyzer Sample

Detector

3.2. 偏光片與析光片之夾角的校正

為了降低系統誤差，在開始整個量測之前我們必須確定的是偏光片 (Polarizer) 及檢光片 (Analyzer) 的相對座標，令檢光片的方位角 (a=0) 為系統的X 軸，只要量出偏極片與檢光片的偏差角就可以完成校

3.3. 延遲片之夾角與延遲量的量測原理

cos 2

3.4. 可變延遲量延遲片的方位角與延遲量的量測

根據第二章的計算量測，我們可將可變延遲量延遲片視為單一延遲片；故這邊沿用量測普通延遲片的系統；一樣使用 PSA 的結構；量測條件的設定是將前後兩塊四分之一波長延遲片的方位角固定在 0°，以這組數據來量測並與理論作對照。旋轉中間的半波延遲片，半波延遲片的方位角從-45°到 45°，每 3 度量測一次。實際上的結構如圖 3-2。

圖3-2 可變延遲量延遲片的量測系統結構

Half wave plate

He - Ne Laser

Polarizer

Analyzer

Quarter wave plate

Detector

Quarter wave plate

Sample

第四章實驗結果與討論

4.1. 三片延遲片個別的量測結果

4.1.1 四分之ㄧ延遲片量測結果

選用的四分之一延遲片的材質為 Mica ，公司為 Knight Optical Ltd. ，型號是 RYM2506 。

將析光片起始位置視為 X 軸 (零度角) ，偏光片的方位角 (P 角) 擺在 45°，量測靠近析光片的延遲片 Q2 的結果如圖 4-1

圖4-1 Q2的方位角(C角) V.S 延遲量的關係

圖中可看出大部分位置的延遲量均在87度附近，圖中有某些奇點是因為量測系統造成的，而非原本本身的因素，原因會在4-1-2節與二分之一延遲片的量測結果一起作討論

4.1.2 二分之ㄧ延遲片量測結果

選用的二分之一延遲片的材質為 Mica ，出產公司一樣為 Knight Optical Ltd. ，型號是 RQM2506 。

將析光片起始位置視為 X 軸 (零度角) ，偏光片的方位角擺在 15°,30

°, 60°, 75°，量測靠近析光片的延遲片 H2 的結果如圖 4-2。

圖 4-2 改變 P 角，半波延遲片的轉盤刻度與實際量測到的方位角關係圖

由公式 (3-14) 的分母可化簡成

sec(2 )

θ sin

θ

2 )

p

− − (4-1) 當

θ

− = °

p

0 , 90 , 180 , 270° ° ° 公式 (3-14) 的分母會為零，故在使用三個強度量測法量測延遲片的延遲量時，在延遲片的方位角與偏光片的方位角關係等於這些角度時，量測的結果會出現奇點 (Singular point) 。同理， (3-13) 式的分母可化簡成

2cos(2 )sin [ ]2 (2 2 ) 2

sin p

θ δ θ

− (4-2) 故當

θ

− 為上述特定角度時，公式 (3-13) 的分母會為零，故使用三

p

個強度量測法量測延遲片的方位角，在延遲片的方位角與偏光片的方位角關係等於這些角度時，會出現奇點。由以上可知在

θ

− 為上述特定

p

角度時，量測結果會出現較大的誤差，要解決此問題可另取 P 角做量測即可取得待測延遲片的參數。

圖 4-3 改變 P 角，半波延遲片的轉盤刻度與實際量測到的延遲量關係圖

4.2. 可變延遲量延遲片的量測結果

4.2.1 可變延遲量延遲片在不同 P 角時的量測結果

圖 4-4 P = 15°、30 °、 60°、 75°，可變延遲量延遲片方位角與半波延遲片方位角關係圖

圖 4-5 P = 15°、30 °、 60°、 75°，可變延遲量延遲片延遲量與半波延遲片方位角關係圖

在 4.1.2 節裡，選擇了 P = 15°、30 °、 60°、 75° ，量測半波延遲

點，所以此時奇點的出現與量測系統無關，應與元件有關；

4.2.3 可變延遲量延遲片量測結果與考慮誤差後的理論圖形

選擇 P=75° ，個別量測元件得到 Q1=93°， Q3 = 87° ， H2=171°，

由此可畫出經過修正後的理論線; 量測多組後，可找出延遲量斜率的平均值與延遲量斜率的標準差，如表 4-1。圖 4-6 為延遲量的理論值與四組量測值圖，圖 4-7 為方位角的理論值與四組量測值圖。

理論值斜率 3.920 第一組斜率 3.929 第二組斜率 3.931 第三組斜率 3.936 第四組斜率 3.938

平均值 3.934

標準差 0.004 表 4-1 延遲量斜率的平均值與標準差

圖 4-6 延遲量的理論值與四組量測值圖

圖 4-7 方位角的理論值與四組量測值圖

圖 4-8 延遲量的標準差與半波延遲片方位角關係圖，單位為度(Degree) 標準差均在 1.5° 內。

根據之前的理論，當θ2＜0° 時，此時的延遲量應為負值。因為 three intensity 量測公式是利用三角函數來做運算，而延遲量的公式有無法判斷正負號的問題，所以在使用電腦做運算後，需要自行判斷此時的延遲量為正值或負值。在實驗上可以再多加一塊四分之一波長延遲片，或是直接量測經過可變延遲量延遲片的 Stokes Vectors，即可判斷出當 θ2＜0° 時，可變延遲量延遲片的延遲量為負值；當 θ2＞0°

standard deviation (degree)

時，此時的延遲量為正值。

第四塊四分之一波長的延遲片，此延遲片的延遲量可以不必是很理想的 90 度延遲量，且方位角與可變延遲量延遲片的方位角差 90 度，得到可線性變化的小角度延遲量，圖 4-10 為利用此一概念得到的延遲量理論圖

圖 4-9 增加補償片的系統示意圖

圖 4-10 增加補償片的延遲量與半波延遲片方位角關係理論圖 4.2.5 前後兩塊四分之一波長延遲片方位角未對齊的影響

藉由 Matlab (附錄三) 可以推算前後兩塊四分之一波長延遲片方位角未對齊的影響，如圖 4-11；圖 4-11 是以三個元件延遲量均理想，但兩塊四分之一波長延遲片方位角差 1°，0.75°，0.5°，0.25°，與 0°為條

可變延遲量延遲片

光軸延遲片Q4

等效為

可變延遲量延遲片

延遲片Q4

光軸

件畫圖，可看到方位角即使相差一度，在 90 度附近的延遲量也不會受到影響。因為我們設定的使用範圍在 90 度延遲量附近，因此在實用上，

即使前後兩塊方位角有誤差，對我們使用可變延遲量延遲片的影響是極小的。

圖 4-11 元件理想，兩塊四分之一波長延遲片方位角差 1°，0.75°，

0.5°，0.25°，與 0°的延遲量與半波延遲片方位角關係圖

4.3. 各式可變延遲量延遲片的規格

4.3.1 Berek Compensator

目前市面上有的是 New Focus 所銷售的，型號 5540 [9]，使用 indicator調整光軸的傾角，公式如下:

傾角與延遲量 (R) 的關係:

sin (0.2841 )

λ R

θ

⁼ ⁻ (4-4) Indicator 與傾角的關係式：

50.22 71sin( ) 4 ^R

I π

θ

= − − (4-5)

圖 4-12 為 New Focus 所生產的 Berek compensator 的轉盤刻度 (indicator) 與延遲量 R 的關係圖，利用 (4-4) (4-5) 式所畫出的，

延遲量很明顯的為非線性，操作上會較其他的補償片複雜。利用改變刻度 (indicator)來改變延遲量，之前所提過它的原理是靠傾角的改變來增加延遲量，理論上這個元件應該針對用來補償小角度的延遲量。

圖 4-12 New Focus 的 Berek Compensator 的 indicator 與延遲量 (藍線)以及傾角(紅線)的關係圖(針對 632.8 nm 波長的雷射)。

4.3.2 Soleil-Babinet Compensator

目前市面上有許多家公司都有生產，如 Thorlab 等已經做到將系統利用 Labview 軟體與電腦做連結；不過我選擇 Melles Griot 公司生產的產品，元件使用的材料為 Quartz ，圖 4-13 為此種元件的圖形，表 4-3 為公司網站上表列的元件規格。

Wavelength Range 250–3500 nm Materials quartz

Retardation Range 0 to 4λ±82% atλ= 300 nm 0 to 2λ±81% atλ= 546 nm 0 to 1λ±80.5% atλ= 1000 nm 0 to 0.5λ±80.5% atλ= 2000 nm Retardation Resolution 0.001λ，atλ= 632.8 nm

Wavefront Distortion ≤λ/4 or less at 632.8 nm Clear Aperture 10 mm diameter

Temperature Limits -20°C to +80°C

表 4-2 Melles Griot 公司生產的 Soleil-Babinet Compensator 規格

圖 4-13 Melles Griot 所生產的 Soleil-Babinet Compensator 在操作上，刻度與延遲量是線性的關係，且解析度有 0.36 度，延遲量可變化的範圍 0 ~ 360°，應算是可用性極高的補償片

4.3.3 Liquid crystal variable compensator

這種利用液晶補償的元件有許多廠商都有生產，這裡選擇 meadowlark optics 的產品作代表。

圖 4-14 液晶調變延遲量延遲片與電壓關係圖(波長 632.8 nm ,溫度 21°C ) a)未加補償片 b)增加一片補償片

之前提過此種延遲片因為液晶分子在電壓增加到最大時，接近上下

在文檔中新式可變延遲量的延遲片 (頁 13-0)

第二章 基本原理

2.1. 光波的偏振理論

2.2. 史托克斯參數 (Stokes parameters) 與穆 勒矩陣 (Mueller Matrix)

φ

ψ

S ，

S ，

S 與 (2-16) 式的 x, y, z 在形式會一樣，因此我們可以利用

S ，

S ，

S 為直角座標的三個座標軸，描繪一個半徑為

S 的球面，此即為邦加球

m C C

2.3. 瓊斯向量 (Jones vectors)與瓊斯矩陣 (Jones Matrix)

2.4. 單光軸晶體的特性

J 來表示一厚度為 d 的單光軸晶體，則

2.5. 傳統的相位可變延遲片 (variable compensator)

cos sin

Δ n

n

X

X

λ

Optical axes

Optical axes

Linear polarized light

2.6. 三片延遲片組成的相位可變延遲片

第三章 實驗步驟

3.1. 量測系統架構

He - Ne Laser

Polarizer

Analyzer Sample

Detector

3.2. 偏光片與析光片之夾角的校正

3.3. 延遲片之夾角與延遲量的量測原理

3.4. 可變延遲量延遲片的方位角與延遲量的量測

Half wave plate

He - Ne Laser

Polarizer

Analyzer

Quarter wave plate

Detector

Quarter wave plate

Sample

第四章 實驗結果與討論

4.1. 三片延遲片個別的量測結果

θ sin

θ

p

θ

p

sin p

θ δ θ

θ

p

θ

p

4.2. 可變延遲量延遲片的量測結果

4.3. 各式可變延遲量延遲片的規格

λ R

θ

I π

θ

第二章基本原理

2.2. 史托克斯參數 (Stokes parameters) 與穆勒矩陣 (Mueller Matrix)

第三章實驗步驟

第四章實驗結果與討論