George Henry Luquet
Cyril Burt
（1922）
這些研究大多以發展理論為基礎，而兒童的生理年齡與其認知發展的關連性
Sensor motor Stage
其後陸續有學者提出兒童的繪畫階段與年齡發展階段關聯性的研究，如1972 年的Eisner、1980 年的Gardner及1987年的Lowenfeld and Brittain，分別介紹如下：
壹 壹
四 階段（Scribbling，1~4 歲）、圖示階段（Schemas，4~9 歲）和寫實階段（Realism，
9 歲~成人），干涉兒童會加速或減緩這些階段發展的過程，並認為文化以不同的 方式影響不同年紀兒童的繪畫表現。
另外，Gardner 還提出了「U 型曲線」（U-curve model of artistic development）
的理論，如圖 2-11。他認為學前的幼兒是藝術創作的黃金階段，創作充滿了想像 力與自由獨特的表現力，但隨著年齡增長，太過傾向於寫實的表現，因此獨創的 能力漸漸下降，而進入『拘泥寫實』階段（literal stage），原因在兒童傾向照相式 的寫實表現，努力使用大家都相同的形式來表現，作品便壓抑了情感與創意的表 現，同時太過在意別人的批評。Gardner 稱此時是藝術創作的『潛伏期』（latency age），很多人的繪畫能力便停留至此，唯有繼續堅持下去，不斷練習技巧並累積
圖 2-11 Gardner 的『U 形曲線』理論。
資料來源：『創造性圖畫書教學』對國小學童創造力與繪畫表現之研究，周文敏，
2004，國立中山大學教育研究所碩士論文，高雄市。
參 參
參 參、 、 、Lowenfeld and Brittain 的繪畫發展理論 、 的繪畫發展理論 的繪畫發展理論 的繪畫發展理論
Lowenfeld 以兒童為中心，提出一套繪畫的心理發展理論，其中包含幾個重 要論述：
Lowenfeld and Brittain（1987）提出「創造與心智的成長」（Creative and Mental Growth），將繪畫發展依年齡分為五個階段：塗鴉階段（scribbling stage）、樣式 化前階段（pre-schematic stage）、樣式化階段（schematic stage）、黨群寫實階段
（gang age stage）、擬似寫實階段（pseudo-naturalistic stage）等五個階段，介紹 如下（引自陳金燕，2006、林佩嬈，2008）：
（二）縱橫線塗鴉或有控制塗鴉
的畫法；在同一個空間中，出現兩種以上的時間段落；在同一空間呈現多樣物體
設計上的表現則注重美感以及和外在實體之間的關係。
第三章 第三章
而古登堡關係式（Gutenberg-Richter law, 1944）的提出：log N= a - bM，正是最好 觀察地震頻率與規模關係的基本假設。其中
計算b值的方法有許多，Aki(1965) and Utsu(1965)用最大概似法（maximum likelihood method）來計算，計算式如：
b= log10 e / (M−Mc)………..(3-a) 其中Mc 為最小規模限制（cutoff magnitude）。由於最小平方法是將各規模區 間的發震次數視為等量權重，而最大概似法則是規模區間數目愈多者權重越高。
所以最大概似法推估的b 值較偏重資料較多的小規模地震，無論採樣的地震資料
最小平方法中則會隨著產生不規則的變動；在此比較下，使用最大概似法可以求 取較穩定b 值，是比較好的分析方法（盧怡利，2006）。
但是在本研究中並不適合以最大概似法計算b 值，因使用最大概似法前提是 小規模的地震目錄資料必須完整，否則會影響迴歸結果，當計算樣本少時，估計 的值會被幾個少數樣本影響，如此得到的b值較不具代表性（吳美俐，2007）。且 與前人研究比較，以往用最大概似法計算b 值的最小規模限制都在3 以上，但本 研究最小規模限制在4以上，而總地震數目僅三千多個，因此容易因數量過少而 造成誤差過大，王薇茜（2006）在分析集集餘震時也發生了同樣的問題。
儘 管 如 此 ， 以 往 仍 有 許 多 學 者 使 用 最 小 平 方 法 計 算 b 值 ， 找 出 滿 足 Gutenberg-Richter law 的線性。因此本研究以最小平方法（Least squares method）
來計算b值，把地震目錄中規模大於Mi的地震找出，i = 1,2,3..., n，計算其累積次 數Ni並取對數，將之對應數值定義為( M1 , log N1 ), ( M2 , log N2),…, (Mn , log Nn )，則可用最小誤差平方法，將log N 對M求出古登堡關係式的線性廻歸係數a、
b 值。
第二節 第二節
第二節 第二節 碎形維度的計算 碎形維度的計算 碎形維度的計算 碎形維度的計算
測量碎形維度的方法有很多種，有定規法（Divider Method）、自相似維度
（Similarity Dimension）、盒子維度（Box Counting Dimension）、相關維度
（Correlation Dimension），還有三角稜柱表面積法（Triangular Prism Surface Area Method, TPSA）等。在本次研究裡主要使用相關維度與盒子維度，在此介紹如下：
壹 壹 壹
壹、 、 、相關維度 、 相關維度 相關維度 相關維度（ （ （ （Correlation Dimension） ） ） ）
相關維度主旨是利用兩點之間的相關性來計算相關維度，使用的相關積分式 是由 Grassberger and Procaccia (1983) 提出的，定義如下：
C(r)=
究採用 3D 相關碎形維度，在座標的輸入除了經度、緯度之外再加上深度，期望 能得到更精準的資訊。
貳 貳
貳 貳、 、 、盒子維度 、 盒子維度 盒子維度 盒子維度（ （ （ （Box Counting Dimension） ） ） ）
除了容易看出擁有自我相似性的碎形結構之外，大自然中許多看不出自我相 似性之型態物體就需要使用其他方法來計算碎形維度值，而盒子計數法就是實際 應用上最常見的方法之一。其計算方式即網格計數法（box counting algorithm），
其概念就是將互不重疊的n維網格(一般為二維)覆蓋在所欲求得的物體上，計算網 格邊長和覆蓋所需個數之間的關係，將這兩個數量各取對數於直角座標圖紙上，
圖上斜率的負值即為碎形維度抑或網格維度（林伯航，2004），式子如下：
N ∝ X−DB………(3-d) 其中 N：覆蓋方格數目；
X：方格尺寸；
DB：盒子維度
如圖 3-1(a) 表示如何將方格覆蓋在圓形的物件上，變換不同的方格尺寸。而 圖 3-1(b) 將計算得到的方格數目與方格尺寸對應關係畫在雙對數座標圖上，因為 方格尺寸縮小，使得覆蓋物件所需要的方格數量隨之增加。因此，在雙對數座標 上就得到一條斜率為負的直線，這條直線斜率的絕對值就是盒子維度 DB。
本研究將先蒐集兒童的繪畫，利用掃瞄機將紙本轉成電子檔（jpg 檔），接著 利用 Matlab 程式計算繪畫的盒子碎形維度。
圖 3-1 不同尺寸網格之覆蓋方時示意圖與盒子維度求法。
資料來源：曾文水庫集水區之地形幾何特性與山崩分佈關係之研究，陳盈赬，
2007，國立成功大學資源工程學系碩士論文，台南市。
(a)盒子維度法
(b)盒子維度之求法
第三節 第三節 第三節
第三節 資料的來源與選取 資料的來源與選取 資料的來源與選取 資料的來源與選取
壹 壹 壹
壹、 、 、地震資料 、 地震資料 地震資料 地震資料
本文分析之地震資料來自中央氣象局網站，自 1974~2007，共計 34 年時間；
以台灣東北部地震帶為例，如圖 3-2，找出介於北緯 23.5 ﾟ~ 25.5 ﾟ、東經 121.5 ﾟ 以東、芮氏規模 4~5.5 的地震加以分析，如圖 3-3。
其中資料點共計 3338 個，包含年、月、日、經度、緯度、深度、規模等資 訊，以此來計算地震 b 值與相關碎形維度。
圖 3-2、台灣地震帶分布
資料來源：台北市：中央氣象局。2007 年 3 月 11 日，取自：
http://scman.cwb.gov.tw/eqv5/eq100/100/053.HTM。
圖 3-3 研究範圍之地震分佈
貳
本研究兒童繪畫的進行方式如下：
一、 每位兒童發給一張 A4 的圖畫紙及一枝 2B 鉛筆。
二、 帶領兒童至戶外寫生。
三、 請每人選擇一棵樹，並將這棵樹畫出來。
四、 使用掃瞄機將兒童繪畫紙本掃瞄成電子檔。
五、 利用 Matlab 7.1 計算繪畫的盒子碎形維度。
第四章
1991~1997 及第四階段：1998~2007，如圖 4-1 的虛線所示。
接著分別找出各階段 b 與 DC 的相關，其結果如表 4-1。其中 1974~1979 年 DC 和 b 值的迴歸相關為-0.36994；1991~1997 年為-0.6907，而 1998~2007 年則為 -0.85284，根據 Wang and Lin（1993）計算台灣西部地震 b 與 DC 也呈現負相關，
他們解釋此地區可能不是獨立或發育完整的斷層系統，可見台灣東北地區在這些 年段中為不穩定之斷層系統。
表 4-1 b 與 DC 的相關
年段 1974~1979 1980~1990 1991~1997 1998~2007
b 與 DC 的相關 -0.36994 0.51696 -0.6907 -0.85284
44
圖4-1 b與DC每年的分布。框框為DC大幅下降的年份。
而在圖 4-1 中的框框表示，當 DC 值降低且有大幅度變化，而 DC 大約小於 1.4、b 值大約為 1 時，如 1978、1988、1999 與 2002 年，比對地震資料發現，1978 年有 1 個規模(ML)6 的地震；1988 年也有 1 個規模 6 的地震； 1999 年則有 1 個 規模 6.1 的地震；2002 年則分別有 2 個規模 6.8、3 個 6.2、1 個 6 的地震。雖然 本研究的資料只選取規模小於 5.5 的餘震，但卻可以經由 DC 與 b 的變化，發現 該年有大地震的發生。此現象可能是因為當該年發生大地震前，b 值會降低，又 因為大地震發生後，餘震數目變多使得 DC 下降所產生的變化。這與 Chang et al.
（2007）分析集集地震時得到的結果相似，他們認為小規模的地震較常出現於高 D 值（Fractal Dimension）且高 b 值的區域；而低 D 值且低 b 值的區域對於中規 模和大規模的地震有較大發生的可能性。
第二節 第二節
第二節 第二節 b 值與 值與 值與 DC 的討論 值與 的討論 的討論 的討論
本節將針對b值與DC的關係，以兩種方式分析，分別是：
壹、 以年度為單位，分別計算b值與DC。
貳、 將地震按照發生順序編號，以編號為單位計算b值與DC。
壹 壹
壹 壹、 、 、以年度為單位 、 以年度為單位 以年度為單位 以年度為單位
筆者將這34年的地震資料分為：1974~1979、1980~1990、1991~1997、
1998~2007四階段後，分別計算各階段b值與DC的平均值如表4-2。
表 4-2 b 值與 DC 之平均
1974~1979 1980~1990 1991~1997 1998~2007 總平均 b 值 1.262 1.321 1.336 0.996 1.218
DC 1.747 1.721 1.558 1.457 1.614
由表中可以看到，1998~2007年的b值平均明顯小於之前的年段，由此可見 1998年後該地區累積較多的應力，較大規模的地震發生率也較高。而b值大致都 高於世界平均1，顯示該地區有相對數量多的小地震。(Richa, et al.,2003)
另針對四個階段的 b 值與 DC 畫出分佈圖並計算迴歸值，得到結果如圖 4-2。
從圖中可以看到，b 與 DC 其實分布相當分散，其關係並不明顯，但是若限制 b 值與 DC 的大小（如圖 4-3 中之虛線框），可以從圖 4-3 看到 b 與 DC 都呈現負相 關，其斜率摘錄如表 4-3：
(a)
(b)
圖 4-2 不同年段的 b 與 DC 的分佈圖。
(a)1974~1979。(b)1980~1990。直線為迴歸結果。
(c)
(d)
續圖 4-2 (c)1991~1997。(d)1998~2007。直線為迴歸結果。
(a)
(b)
圖 4-3 限定 b 值與 DC 之後不同年段的分佈圖。
(a)1974~1979：b=0.8~2,DC=1.4~2.4。(b)1980~1990：b=1.1~1.5,DC=1.4~2.。
(c)
(d)
續圖 4-3 (c)1991~1997：b=1.15~1.55,DC=1.4~2.05。
(d)1998~2007：b=0.9~1.3,DC=1.2~2。
虛線框為選定範圍，直線為範圍內迴歸結果。
表 4-3 b 值與 DC 之迴歸斜率
年份 1974~1979 1980~1990 1991~1997 1998~2007 原斜率 -0.36994 0.51696 -0.6907 -0.85284 likelihood method）取 b 值，用相關維度（correlation dimension）計算震央的碎形 維度，得到負相關：DC=2.3−0.73b，這與本研究所得的結果相類似，值得進一步
圖 4-4 1974~2007 之 b 值與 DC 的分佈圖。
(a)未設定條件。直線為迴歸結果。虛線框為限定 b 與 DC 之後的選取範圍。
(b)設定 b=1~1.55、DC=1.4~2 之分佈圖。直線為迴歸結果。
貳
（During），而在這之前未包含編號 570 號的組別視為發生前（Before）、之後未 包含編號 570 號的組別視為發生後（After），如圖 4-5 實線所劃分。
由圖 4-5 我們可以發現，在 Before 階段 b 值和 DC 都處於較高的數值，而愈 接近集集大地震 b 值和 DC 開始同步下降，而在集集大地震發生中（During）可 以看到 b 值始終維持在相當低的數值，約在 1 以下，顯示大地震的發生持續影響 著 b 值；而因為大地震的發生，引發集中的群震現象，造成空間分佈的碎型維度 的降低，這與 Ouchi and Uekawa（1986）的研究相同。之後 DC 開始逐步回升，
漸漸恢復到大地震發生前的水準。
此外，筆者針對三階段 b 值和 DC 做迴歸分析，得到結果如圖 4-6。從 a、b、
c 三圖中可以看到，b 值和 DC 的關係從 Before 的正相關；During 的負相關；到
c 三圖中可以看到，b 值和 DC 的關係從 Before 的正相關；During 的負相關；到