碎形維度在訊息資料上的應用研究

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國立臺中教育大學教育測驗統計研究所

教學碩士學位暑期在職進修專班碩士論文

指導教授：許天維博士

廖博毅博士

碎形維度在訊息資料上的應用研究

研究生：陳秉哲撰

中華民國九十八年八月

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謝

辭

本文能夠順利完成首先要感謝我的指導教授許天維博士及廖博毅

博士，在這段時間內的悉心指導及無私的付出，從老師的身上學到作研

究的方法以及求真求知的努力態度，讓我獲益良多。

感謝口試委員范瓊盛博士、辛俊德博士以及胡豐榮博士對論文的

指教，提供許多寶貴的意見，使論文更加的完備，致上衷心的感謝。

在論文的撰寫過程，感謝一起度過研究生生涯的同學們，冰海、明

儀、玟秀以及子謙，大家在求學的過程中互相勉勵、協助與討論，也因

為這樣才能讓整份研究更趨完備。也謝謝學校同仁與校長的協助與體

諒，在研究過程中提供的意見與關心，讓我在研究的過程中獲得許多不

同的想法，增加研究的內涵。

最後要感謝家人在精神上及生活上的支持，尤其最親愛的老婆，在

研究過程中的體諒與支持，讓我更無後顧之憂，也給我繼續努力的原動

力。

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中文摘要

本研究目的在探討台灣東北地震帶之餘震 b 值與相關碎形維度 DC 的關係，並利用碎形概念分析國小學童繪畫之盒子碎形維度特色。本研究以中央氣象局網站上台灣東北地震帶 1974～2007 年之地震資料為分析樣本，分別以年度及時間順序編號為單位，分析其餘震 b 值與相關碎形維度，經研究分析後，其結果摘述如下：一、以年度為單位：（一）台灣東北地震帶在 1974~1979、1991~1997 及 1998~2007 年為不穩定之斷層系統。（二）當 DC 大幅度降低、且 b 維持在 1 左右時，可推斷該年有大地震發生。（三）當 b 約於 1~1.55、DC 約於 1.4~2 時，可以找出 b 值與 DC 的關係式為：DC=2.2979DC=2.2979DC=2.2979DC=2.2979----0.4837b0.4837b0.4837b0.4837b，顯示本地區為一個複雜的多斷層系統。二、以時間編號為單位：將地震資料以時間編序，b 值和 DC 在集集地震發生的前、中、後，會呈現出正、負、正的迴歸結果，但地震活動的變化是否有受集集地震影響，需要進一步研究。

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另外，本研究以彰化縣路上國小全校學生為對象、加上茄荖國小、曉陽國小、三潭國小共四所國小所有學生為參考母群體，分析其繪畫之盒子碎形維度，結果發現研究樣本及參考母群體的兒童繪畫碎形維度分析，都在三年級到達最低點，而此年齡與 Lowenfeld、Eisner 及 Gardner 所提出的兒童藝術發展階段中的分界年齡相符，顯示藝術發展階段的轉變會影響孩童繪畫的表現，導致其繪畫碎形維度的降低。關鍵字關鍵字關鍵字關鍵字：：餘震：：餘震餘震餘震 bbbb 值值值、值、、、相關碎形維度相關碎形維度、相關碎形維度相關碎形維度、、盒子維度、盒子維度盒子維度盒子維度、、、、兒童繪畫兒童繪畫兒童繪畫兒童繪畫

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Abstract

The main purpose of this research is to analyze the correlation between the b-value and the correlation dimension (DC) from the aftershocks in the northeast earthquake zone of Taiwan. Furthermore, the fractal dimension of the pictures drawn by the elementary school students is analyzed with box-counting method.

The analyzing data for earthquakes was selected in the northeast earthquake zone of Taiwan and during 1974~2007, and the data were provided from the website of the “Central Weather Bureau”. The b-value and the correlation dimension are analyzed individually by the units of years and time serial numbers. The brief result is shown as follows:

1. The unit of years:

i. The systems of fault are unstable during 1974~1979, 1991~1997 and 1998~2007 in the northeast earthquake zone of Taiwan.

ii. We could infer there would be big earthquakes when the DC decreased by a wide margin and the b-value kept around 1.

When the b-value was of 1~1.55, DC of 1.4~2, we could conclude a correlation between the b-value and DC: DC=2.2979-0.4837b. It shows that this area is a complex system of multi-fault.

2. The unit of time serial numbers:

Put the seismic data by the time in order, the correlation between the b-value and DC would be positive before the Chi-Chi earthquakes, negative during the Chi-Chi earthquakes, and positive after the Chi-Chi earthquakes individually.

All the students in Lu-Shang elementary school are selected as the object of this research, and moreover all the students in Cie-Lao elementary school, Sheau-Yang elementary school, and Tian-Jhong elementary school are as the references of the whole community. The fractal dimension of the draws is

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analyzed with box-counting method. We can find there is no relation between the object and the references of the community, and the fractal dimension of the drawings appears the bottom level in the third-grade of elementary school students.

The child art development phase proposed by Lowenfeld, Eisner and Gardner indicated that a dividing line for the child’s artistic development at this age. The transformation of the art development phase could influence the performance of the child’s drawing and reduce the fractal dimension of the child’s drawing.

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目

次

第一章第一章第一章第一章緒論緒論緒論 … … … …緒論… … … …… … … …… … … 1111 第一節研究動機 … … … 1 第二節研究目的 … … … 2 第三節研究問題 … … …… … … …… … … …… … … … 2 第四節名詞定義 … … … 3 第二章第二章第二章第二章文獻探討文獻探討文獻探討 … … … …文獻探討… … … …… … … …… … … …… … … …… … … …… … … ………… … …… …… …… … 5555 第一節 b 值的研究………5 第二節碎形理論 … … …… … … …… … … …… … … … 9 第三節 b 值與碎形維度的關係………20 第四節兒童繪畫發展………24 第三章第三章第三章第三章研究方法研究方法研究方法 … … … …研究方法… … … …… … … 3 3… … … …3 33 3 3 3 第一節餘震 b 值的計算… … … 3 3 第二節碎形維度的計算 … … … 3 5 第三節資料的來源與選取 … … … 3 8

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第四章第四章第四章第四章分析結果與討論分析結果與討論分析結果與討論 … … … …分析結果與討論… … … …… … … …… … … …… … … …… … … 4 3… … … …4 34 3 4 3 第一節 b 值和 DC 的相關………43 第二節 b 值和 DC 的討論………46 第三節兒童繪畫的碎形維度分析………59 第五章第五章第五章第五章結論與建議結論與建議結論與建議………結論與建議……… ………66669999 第一節結論………69 第二節建議………71 參考文獻參考文獻參考文獻參考文獻……… ………72727272 中文部分………72 英文部分………73 附錄附錄附錄附錄受試兒童繪畫圖樣受試兒童繪畫圖樣受試兒童繪畫圖樣 … … … …受試兒童繪畫圖樣… … … …… … … …… … … 7 67 67 6 7 6

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表

次

表 2-1 早期兒童繪畫研究………24 表 2-2 皮亞傑認知發展階段的順序………25 表 2-3 不同學者之兒童藝術發展階段………32 表 3-1 兒童繪畫樣本人數分佈………40 表 4-1 b 與 DC 的相關………43 表 4-2 b 值與 DC 之平均………46 表 4-3 b 值與 DC 之迴歸斜率………51 表 4-4 不同階段的 b 值和 DC 平均及斜率………57

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圖

次

圖 2-1 日本三個區域規模大於 6 的地震的 b 值變化曲線圖………7 圖 2-2 地震數量與 b 值隨時間變化圖………8 圖 2-3 不同量測單位下的英國海岸線長度………10 圖 2-4 不同尺度與總長度的關係圖………11 圖 2-5 碎形特徵示意圖………14 圖 2-6 自然界中的碎形例子………15 圖 2-7 碎形的無限延展性………16 圖 2-8 寇赫雪花圖………17 圖 2-9 b 值、p 值和 D2 值的關係………22 圖 2-10 b 值和 D 的關係………23 圖 2-11 Gardner 的『U 形曲線』理論………28 圖 3-1 不同尺寸網格之覆蓋方時示意圖與盒子維度求法………37 圖 3-2 台灣地震帶分布………38 圖 3-3 研究範圍之地震分佈………39 圖 4-1 b 與 DC 每年的分布………44 圖 4-2 不同年段的 b 與 DC 的分佈圖………47 圖 4-3 限定 b 值與 DC 之後不同年段的分佈圖………49

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圖 4-4 1974~2007 之 b 值與 DC 的分佈圖………52 圖 4-5 以編號為單位計算的 b 值與 DC………54 圖 4-6 不同階段 b 值與 DC 的分佈圖………55 圖 4-7 研究樣本兒童繪畫盒子碎形維度分佈圖………60 圖 4-8 低年級學生之繪畫………61 圖 4-9 三年級學生之繪畫………63 圖 4-10 四、五年級學生之繪畫………64 圖 4-11 六年級學生之繪畫………65 圖 4-12 參考母群體兒童繪畫盒子碎形維度分佈圖………66 圖 4-13 參考母群體與研究樣本之兒童繪畫盒子碎形維度分佈圖………68

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第一章

緒論

本研究在由理論探討，分析實際之地震資料，建立該地區不同的地震參數，以此討論其相關特性；並以碎形理論為基礎，分析兒童繪畫的碎形特性，進而討論其與兒童繪畫心理學的關連性。本章將說明研究動機、目的，並對本研究所需的特定名詞加以定義。

第一節

研究動機

地震是一種人類無法預測的自然現象，它的發生沒有明顯規則性存在，但是它的發生時間、空間甚至規模大小卻也不是隨機的，所以可以把地震視為一種碎形結構，它具有自我相似性，可以自我組織、複製，就好像一種動力系統在時間空間上朝向一種臨界穩定狀態自動發展(王薇茜， 2006)。在研究地震當中，餘震b值可視為一個重要的指標，b 值的改變反映大小地震之間的比例關係，而b值隨著研究區域內的地質構造、應力分佈情況及地體的構造等條件的不同而有所變化。因此若將震源參數b去做分析，可以推斷地震應力與分布的關係，而地震本身具自我相似性，因此分析地震的時間和空間特性對長期預測地震有幫助，而且可以提供地震活動的特性和其內部動力學的資訊。

由自組織臨界現象（self-organized critical phenomena, SOC）理論可以得知，當地殼處在一種臨界現象，只要一個地震發生，必定會引發其他的地震，如同沙堆一樣，不斷的崩塌直到能量消失為止。如果想要了解一個大地震引發的破裂過程乃至於破裂結束，最好的方法就是研究斷層破裂與地震分佈的情形。藉由分析餘震的參數b值、破裂面的碎形維度等，可以瞭解整個破裂情形，也能夠對該地區的地質特性做一推論。一般情況下大地震發生前b值會下降，而集中的群震現象也會造成地震空間分佈的碎形維度D值降低（Ouchi & Uekawa, 1986）。在前人的研究中大地震發生之前的兩三年，b與D值都會明顯的下降，表示兩者有很好的相關性（Enescu & Ito，2001）。但是b值跟碎形維度D之間，不只有存在

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正相關也存在負相關，而不同的結果也意味著不同的地質特性。本研究將利用台灣東北地震帶1974~2007這三十多年來的地震資料，以不同的時間為單位分析餘震b值與其相關碎形維度，希望能發現兩者之關係。而碎形理論的應用範圍非常廣，除了在地震學之外，舉凡地質學、生物學、醫學、物理化學、甚至社會科學都普遍存在碎形現象，甚至有藝術創作者利用碎形理論來創造瑰麗的圖畫。但在教育學方面，鮮有研究論文觸及碎形理論及針對兒童的圖畫來分析其碎形特性，因此本文期望能以碎形理論為基礎來探討兒童的繪畫中，是否也存在碎形的特徵，並分析其與兒童繪畫心理的關聯。

第二節

研究目的

綜合以上的論述，本研究主要目的在利用三十多年來台灣東北地震帶的地震資料，以此分析該地區的餘震 b 值與碎形維度，藉由探討兩者的關係來推論該地區的地質特性。此外由碎形理論的探討分析兒童繪畫的碎形特性，並與兒童繪畫心理學做相關研究。茲將具體目的分析如下：一、探討台灣東北地震帶的餘震 b 值與碎形維度相關性。二、分析台灣東北地震帶餘震 b 值與碎形維度的特性。三、探討國小學童繪畫之碎形維度與兒童繪畫心理學的相關性。

第三節

研究問題

根據研究目的，提出研究問題如下：一、台灣東北地震帶的餘震 b 值與碎形維度的相關性為何？二、台灣東北地震帶餘震 b 值與碎形維度的特性為何？三、國小學童繪畫之碎形維度與兒童繪畫心理學的相關性為何？

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第

第四

四

四節

節

名詞定義

一、台灣東北地震帶本研究的台灣東北地震帶係由中央氣象局網站上所劃定的東北地震帶，範圍由北緯 23.5 ﾟ~ 25.5 ﾟ、東經 121.5 ﾟ以東。二、國小學童國小學童係指目前就讀於國小的學童。本研究的施測對象為九十七學年度就讀於彰化縣地區的國小學童。三、訊息資料本研究以不同的碎形維度計算方式，將實際地震的資料及兒童繪畫轉變成數字資訊，以此探討其中的特性。

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第二章

第二章文獻探討

文獻探討

本研究主在探討台灣東北地震帶餘震 b 值與碎形維度之間的關係，並利用碎形維度計算國小學童繪畫的圖形複雜程度，以下將針對以往的文獻分四個章節，分別探討 b 值的研究、碎形維度、b 值與碎形的關係以及兒童繪畫心理。

第一節

第一節 b 值的研究

值的研究

b 值的改變反映大小地震之間的比例關係，隨著研究區域內的地質構造、應力分佈情況及地體的構造等條件的不同而有所變化。因此將震源參數b做分析，可以去推斷地震應力與分佈的關係，而地震本身具自我相似性，因此分析地震的時間和空間特性對長期預測地震有幫助，而且可以提供地震活動的特性和其內部動力學的資訊。

1944年 Gutenburg and Richter 提出斷層帶地震規模與頻率關係式： Log N = a – bM，這個關係式成為推求b值的理論基礎。此後b值的推論大致分為兩大方式： Aki and Utsu 在1965年提出最大概似法(maximum likelihood method)，此方法必須先得到完整之地震目錄，再由完整規模與平均規模求出b 值，當大規模地震次數少，則地震發生頻率的分佈範圍也較大；相反的，當小規模地震次數增加，地震發生頻率的分佈範圍也較小。因此，以最大概似法來計算b值時，各個規模區間內的地震數目越多，則計算上給予的加權比重則越高，也因為這樣，最大概似法推估的b值，偏重資料較多的小規模地震。

而另一種主要推估b值的方法為 Shi and Bolt 在1982年提出的最小平方法（Least-squares method），利用計算規模 M 以上的地震數目 N ，並找出兩者之間的關係式，此方法可廻歸出 a 和 b 值。a 值是廻歸直線於縱軸上的截距，可以顯現這個地區地震活動的頻繁與否；b 值則為線性廻歸後的直線斜率，可以反應出該地區的地質特性，且b 值會隨著不同的區域、時間或範圍大小改變。

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就會比較小，所以b 值小的區域常被視為有比較大的機會發生大規模地震。因此 Schorlemmer, Wiemer, and Wyss（2005）認為b 值與應力的大小有顯著的關係，在剪應力較高的地區會得到較低的b值，而低b 值的區域容易累積較大的應力而造成地拴（asperity），因此引發大地震的發生（Schorlemmer & Wiemer,2004）。當大地震發生前剪應力達到最大，所以在大地震發生前，b 值會隨時間的變化曲線在這個時候達到相對的低點（Wiemer & Wyss,1977），但對於b 值會多低並沒有一個明確的數值。

日本學者 Imoto (1991)對日本地區規模大於6的地震做空間和時間上的探討，綜合來說，在日本Kanto、Takai、Tottori三個區域中，規模大於6的地震，在大地震發生前的確有b 值變小的趨勢(圖2-1)。而Oncel, Main, Alptekin, and Cowie(1996)也同樣認為，伴隨著大地震的發生b 值會變小。 Wu and Chiao(2006)挑選 1994 年到集集地震發生前，發生於陸地上或近岸 20 公里內的地震資料，研究集集地震的地震寧靜期發現，在大地震發生前的 9 個月規模較小的地震減少(圖 2-2)，b 值也降低。吳美俐（2007）更發現，在集集震央所在震源區 15 公里上下之深度，震前（1994.0~1999.7 年）b 值顯著變小，降到約 0.65；震中（1999.73~2000.55）升至約 0.85；震後（2000.6~2006.0）再升至約 1.15。這顯示集集大地震發生前在此深度累積了較大的地殼應力，而由車籠埔斷層錯斷釋放震源區的壓力。

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圖2-1 日本地區Kanto、Takai、Tottori 三個區域，規模大於6 的地震的b 值變化曲線圖，虛線為偏差值範圍，箭頭為地震發生時間點。

Note. From “Changes in the magnitude-frequency b-value prior to large (M 6) earthquake in ≧ Japan,” by M. Imoto,1991, Tectonophysics, 193, 311-325.

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圖2-2 地震數量與b 值隨時間變化圖。A:每月規模大於2 的地震數量圖；B:b 值 隨時間變化圖；C:每月規模大於4 的地震數量圖。

Note. From “Seismic quiescence before the 1999 Chi-Chi, Taiwan, Mw 7.6 earthquake,” by Y. M. Wu & L. Y. Chiao, 2006, Bull. Seism. Soc. Am., 96, 321-327.

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第二節

第二節碎形理論

碎形理論

壹

壹、

、

、碎形簡介

、

碎形簡介

在大自然中有許多事物和現象都是不規則且複雜又無法預測的，例如海岸線的形狀、山脈的起伏、地震、河流水系、海洋的變動、雲的變化及閃電的路徑等等，這些都沒有辦法以單純的歐氏幾何（Euclidean geometery）去測量計算，無論以點、直線、平面、圓形、矩形等何種尺度都無法完全涵蓋這些不規則的物質或現象，因此，為了量測這些不規則物體、現象的單位或維度時，就必須使用特殊的方法。為了因應上述的需求，從 70 年代起開始有少數的科學家投入研究，並試圖找出一個方法來詮釋這些現象。其中 Mandelbrot 在 1967 年創造了碎形理論，針對英國海岸線的長度，導出了碎形理論的兩個重要概念，即自我相似性和碎形維度的概念。 Mandelbrot 在所發表的論文—『英國的海岸線有多長？』中卻認為海岸線長度是不確定的，當使用的比例尺越大或使用之度量單位越小，則海岸線的長度越長（圖 2-3），這樣運算下去甚至可認為英國海岸線是無限長的。然而， Mandelbrot 卻利用在不同的度量單位中找到共同的規則，就是自我相似性 (self-similarity)，因而發展出碎形維度的概念。 Mandelbrot 也定義出不同量測尺度與總長度之間的關係式：

log L = C + (1-D)log S……….………(2-a)

其中D為碎形維度（fractal dimension），L為總長度、C為常數、S為量測尺度。在不同的海岸線中，因為海岸線的複雜程度與不規則情形不盡相同，得到的碎形維度D也會有所不同，當D值越大時，海岸線越不規則；相反的，D值越小，海岸線則越平直。從圖2-4 中可以發現，南非海岸線的線性關係較平緩，斜率較低，則碎形維度值也最低，這表示南非海岸線相當平滑。而英國西海岸的斜率較高、碎形維度值最高，表示其海岸線較為不規則。

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圖形圖形圖形圖形單位長度單位長度單位長度

單位長度 _{200 miles} _{100 miles} _{50 miles} _{25 miles} 測量次數測量次數測量次數 測量次數 7 16.25 40 96 總長度總長度總長度

總長度 _{1400 miles} _{1625 miles} _{2000 miles} _{2400 miles}

圖 2-3 不同量測單位下的英國海岸線長度。當單位長度越小，量測岀的總長度越大，若用極小的單位長度量測，則海岸線長度會趨近於無限大。

Note. From Fractal Geometry in Architecture and Design, by C. Bovill, 1996, Boston: Birkhauser.

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圖 2-4 不同尺度與總長度的關係圖。

資料來源：集集地震地表破裂的碎形幾何分析，梁介于，2004，國立中正大學應用地球物理研究所碩士論文，嘉義縣。

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貳

貳、

、

、碎形特性

、

碎形特性

一般而言，組成碎形的三要素為形狀（form）、機率（chance）及維度（dimension）。碎形是從型態的解析開始，所以形狀是不可或缺的要素；而主要的碎形分類則是從機率而來，可分為定率碎形（deterministic fractal）及隨機碎形（random fractal）；維度更是碎形與歐式幾何最大的不同。因此碎形擁有不具特徵尺度但具有自我相似性及分數性維度的三項主要特徵（黃怡靜，2007），分別介紹如下：一一一一、、、、尺度不變性尺度不變性尺度不變性（尺度不變性（（（scale-invariant））））一般在傳統幾何中，或在觀察測量某一個物體的時候，都會使用一個適當的比例尺來做為基準，譬如說利用公分來表示一支筆的長度或寬度等等，這就是所謂的『特徵尺度』。然而對碎形幾何以不同的尺度觀測並進行尺度變換時，可以發現其形狀特性、分佈密集程度及各種不規則的幾何特徵均不會產生變化，這種和測量尺度無關的現象就是尺度不變性。但是一般地表物體只能在特定尺度範圍下具有尺度不變性，有著自我相似性的存在，若一旦超過這個範圍，就不屬於碎形的體系範圍了（黃怡靜，2007），例如地震在物理學的相當程度上與尺度無關。尺度不變性又分伸縮對稱性（Dilation Symmetry）、無限遞迴性（Infinite Recursion）及均勻性（Homogeneity）（謝銘泰，2007）。伸縮對稱性是指在碎形集上任選一局部區域，對其進行放大或縮小等，所得之變換集又會顯示出原碎形集的型態特徵。無限遞迴性表示碎形的自我相似性之遞迴次數是無窮的。均勻性指碎形結構之各個構成部件其遞迴次數在空間上呈現均勻分佈。二二二二、、、、自我相似性自我相似性自我相似性 (self-similarity) 自我相似性自我相似性是碎形理論中的一個重要特性，即在碎形圖形中，每一個組成的局部造形，都在特徵上和整體的造形相似，是一種循環重現的特徵，也稱為『自

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我模仿性』(金傳珩，2006)，也就是當從觀察中的物件中，取其中的一小部分放大後，仍然和整體的形狀是相似的；或者說，某種結構特徵，從不同的空間尺度來觀察都是相似的，也就是在任何一個觀測尺度下，其形狀會完全一樣，也就是在各個尺度下的形狀都可以視為原來圖形的縮小（陳盈赬，2007）。如圖2-5，B、 C所圈的地方（局部造形），都和A圈（整體造形）相似，只有大小不同的差別，這就是自我相似性。而自然界中最容易找到碎形特徵的物體就是『樹』，如圖2-6，對生的葉子本身就是一種碎形的表現，此外樹枝也是由同一種分支結構所構成。另外，自我相似性的再現，可以延伸到無限的運送循環系統中，也就是具有兩側極大與極小的連續變化無限延伸的特性，如圖2-7。三三三三、、、、分數維度分數維度分數維度（分數維度（（fractal dimension）（）））分數維度是一種測量方式，傳統歐式幾何的整數維度描述的是零維的點、一維的線、二維的面及三維的空間概念，但分數維度可以描述不規則、破碎、粗糙、有機的形狀，是定量描寫碎形的重要參數。因為碎形具有不均勻性的層次結構，它不能用面積、體積等歐式幾何的整數維度特徵來描述。碎形維度不一定為整數，它完全憑藉物體的粗糙、破裂、不規則程度和物體所佔的空間效率決定，因此，分數維度是對於物體複雜性程度的測量。如圖2-8，這個圖形是由中心一個大的正三角形開始，將每邊分為三等分，把中間那一等分當作邊，往外再做一個突出的正三角形，可以得到下一個圖形，如果再重複一次就可以得到下一個圖形，如此重複做無限多次，就可以得到類似雪花的『寇赫雪花圖』，其計算公式如下：D= n N log log 。其中D表示碎形維度、N是線段量度、n代表單位量度。而寇赫曲線的維度為 3 log 4 log =1.26，不過只有相同維度的圖形，比較其長度或面積才有意義，當量度一改變，我們可以由微積分重新計算曲線的長度。

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圖2-5 碎形特徵示意圖。B、C所圈的地方（局部造形），都和A圈（整體造形）相似。

資料來源：「出口」－海洋生物的碎形表現，金傳珩，2006，私立輔仁大學應用美術學系碩士論文，台北縣。

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圖2-6 自然界中的碎形例子。

Note. From “A Complexity Perspective to Deploy Artistic Exhibits,” by C.H. Lan, C.Y. Hsui, & L.C. Wei, 2005, Operational Research Society, 56(10),1151-1158.

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(往小延伸)

（往大延伸）

圖2-7 碎形的無限延展性。

資料來源：「出口」－海洋生物的碎形表現，金傳珩，2006，私立輔仁大學應用美術學系碩士論文，台北縣。

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圖2-8 寇赫雪花圖。

資料來源：數位影像碎形壓縮演算法之研究，謝銘泰，2007，私立南台科技大學電子工程研究所碩士論文，台南縣。

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參

參、

、

、碎形維度的計算方式

、

碎形維度的計算方式

測量碎形維度的方法有很多種，有相關維度（Correlation Dimension）、盒子維度（Box Counting Dimension）、自相似維度（Similarity Dimension），還有三角稜柱表面積法（Triangular Prism Surface Area Method, TPSA）、定規法（Divider Method）等。分別介紹如下：

一一一

一、、、、相關維度相關維度相關維度（相關維度（（Correlation Dimension）（）））

相關維度又稱為雙點相關維度（DC, two points correlation dimension），主旨就是兩點之間的相關性，計算相關維度，主要是用來描述自然界中不規則離散體的自然碎形，可以分析群體中個別質點分佈的疏密關係，瞭解其空間分佈的特性。

二二二

二、、、、盒子維度盒子維度盒子維度（盒子維度（（Box Counting Dimension）（）））

除了容易看出擁有自我相似性的碎形結構之外，大自然中許多看不出自我相似性之型態物體就需要使用其他方法來計算碎形維度值，而盒子計數法就是實際應用上最常見的方法之一。其計算方式即網格計數法（box counting algorithm），其概念就是將互不重疊的n維網格(一般為二維)覆蓋在所欲求得的物體上，計算網格邊長和覆蓋所需個數之間的關係，將這兩個數量各取對數於直角座標圖紙上，圖上斜率的負值即為碎形維度抑或網格維度（林伯航，2004）。三三三三、、、、自相似維度自相似維度自相似維度（自相似維度（（（Similarity Dimension））））如果將一個集合分為 N 個小部分，每個小部分都是從原來圖形縮小 r 倍而成（r >1），則把DS定義為自相似維度，如：DS= ) log( ) log( r N 。例如正方形可以分為四個由原來圖形縮小兩倍而成的小正方形，所以其自相似維度就等於2。

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四四四四、、、、三角稜柱表面積法三角稜柱表面積法三角稜柱表面積法（三角稜柱表面積法（（（TPSA））））三角稜柱表面積法是利用數值地形模型（DTM）讀取高程資料，並針對不同尺度反覆進行地表面積之計算，建立地表總面積與不同尺度之間的對數關係，以最小平方法線性迴歸分析求得斜率，再利用2-(斜率)，即為碎形維度值，藉此反映地表面起伏狀況與維度間之相對關係（黃怡靜，2007）。因相關碎形維度主要是用來分析群體中個別質點分佈的疏密關係，所以本研究利用相關維度來分析特定範圍中所發生的地震，以此瞭解其空間分佈的特性；此外，盒子維度法為測量平面型碎形物件之維度常用的一種方法，而兒童繪畫正是此一類型之物件，因此本研究以盒子維度計算兒童繪畫的碎形維度。

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第三節

第三節 b 值與碎形維度的關係

值與碎形維度的關係

地震是一種人類無法預測的自然現象，它的發生沒有明顯規則性存在，但是它發生的時間、空間甚至規模大小卻也不是隨機的，所以可以把地震視為一種碎形結構，它具有自我相似性，可以自我組織、複製，就好像一種動力系統在時間、空間上朝向一種臨界穩定狀態自動發展(王薇茜，2006)。將地震的碎形維度和震源參數 b 做分析，可以去推斷地震應力與分布的關係，而分析具自我相似性地震的時間和空間特性對長期預測地震有幫助，且可以提供地震活動特性和內部動力學的資訊。在前人的研究中，b值跟碎形維度D之間，不只有存在正相關也存在負相關， Mandal, Mabawonku, and Dimri（2005）分析1968 到1996 年的 Koyna-Warna 地震目錄，就發現此一現象。正相關表示有較弱的群震關係，或是地震的分佈幾乎填滿整個二維空間。負相關則代表在大地震發生的區間有較小的b 值，但分散在主震周圍有較多的群震發生，造成其碎形維度較高。

Aki(1981)則認為地震b值與地震碎形維度間存在正相關，彼此之關係式為: D=3b/c(c=1.5，是地震矩(Mo)取對數值，用最大概率法算出)，後來Turcotte (1986) 利用地殼變形的模型，證明並解釋Aki的關係式D = 2 b。而Hirata（1989）從 Tohoku 地區地震分佈來分析，取樣時間從1926至1986年且規模大於4，以最大概率法（maximum likelihood method）取得b值，並用相關維度（correlation dimension）算出地震震央空間分佈的碎形維度，得到一負相關：DC=2.3−0.73b，但 Hirata 沒有計算深度。Wang and Lin（1993）也算出台灣西部地震b與DC呈現負相關，他們解釋此地區可能不是獨立或發育完整的斷層系統，因此算出來的維度可能只是斷層破裂表面的碎形維度。

而王薇茜（2006）則使用集集餘震12個月內規模大於2.2的地震資料，利用最小平方法（Least-squares method）計算b值，以此和相關維度做比較，卻得出正相關的結果。Ouchi and Uekawa（1986）則認為，在一般情況下，大地震發生前 b 值會下降，而集中的群震現象也會造成空間分佈的碎型維度值降低，而Roy and

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Nath （2007）發現，大地震前DC與b值會同時明顯降低。姚喬鈞（2006）也發現，地震頻率在許多大地震發生前確實有明顯變大的現象，且Enescu and Ito（2001）分析Kobe大地震也發現，大地震發生之前的兩三年，兩者都會明顯的下降，表示兩者有很好的相關性。而在唐毅鈞，張永孚與李宛純（2007）的研究中，當大地震發生前後，b 值與相關維度 DC (correlation dimension) 值呈正相關性，但在主震發生後與第一個大餘震之間的第一餘震區段內，b 值與DC值卻呈負相關性。在主震發生之後，餘震地震活動度會隨著時間遞減，於是DC值依然減少而b值增加，但在之後DC 值逐漸回復背景值（如圖2-9）。

Henderson, Barton, and Foulger (1999) 從注井實驗中也發現 b 和 DC 不但有正相關也有負相關。他將該地區地震資料從 1989 至 1995 年按照發生時間排序，將 200 個資料點為一組計算 b 和 DC，每次往後推 10 個資料點，逐次計算 b 和 DC，以此觀察 b 和 DC 之間的關係。在注井開始前，b 和 DC 成現正相關，在開始將水注入時，b 和 DC 卻呈現負相關，過了一段時間後，兩參數又呈現正相關（如圖 2-10）。這關係式改變的機制為，當水壓持續增加並超過地層所能承受時，將誘發應力釋放，產生許多密集且相關的小地震，使得 b 值升高且 DC 下降，造成負相關；而經過一段時間後，水壓逐漸擴散，代表應力的分佈也逐漸均勻而呈現正相關。對於負相關的說法大多暗示，算出來的維度可能只是斷層破裂表面的碎形維度，導致應力與地震分佈不均勻；若地殼中的應力均勻分佈，b 和 DC 則會呈現斜率為 2 的正相關（Henderson et al., 1999；Mandal et al., 2005）。而 Chang, Chen, and Liang（2007）分析集集地震 6 個月的餘震資料發現，小規模但數量多的地震較常出現於高 D 值（Fractal Dimension）且高 b 值的區域；而低 D 值且低 b 值的區域 對於中規模和大規模的地震有較大發生的可能性。

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圖 2-9 b 值、p 值和 D2值（D2即本文所稱之 DC）的關係。資料來源：嘉義地區地震活動特性研究，唐毅鈞、張永孚、李宛純，2007，台灣地球科學聯合學術研討會。 ◆ ▲ ●

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圖 2-10 b 值和 D 的關係(a)注井前(b)注井中(c)注井後。

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第四節

第四節兒童繪畫發展

兒童繪畫發展

探討兒童的心智發展階段，能了解兒童知覺的特質，確知兒童心智發展，關於兒童繪畫，十九世紀以來已有許多學者對這方面多所研究，林玉山（1990）曾針對兒童繪畫發展相關研究進行整理，這些研究試圖將兒童繪畫進行階段分期，並透過分析發現兒童繪畫發展的特徵，茲將這些早期兒童繪畫研究列於表 2-1。學者/年份發展階段重要論述 Edenezer Cooke （1883） 1.筋肉運動的塗抹 2.筋肉運動漸受精神指揮 3.思考漸受想像的影響 4.具有基本組織的繪畫認為兒童天生具有想像力及自我表現的能力，其進步的動力是因為興趣所引起與促成的。 George Kerschensteiner （1905） 1.實驗前期 2.圖式期 3.線與形式之欣賞期 4.外貌之表現情 5.立體形式表現期認為兒童的繪畫成長最後是傾向寫實主義，「人」是兒童在繪畫時所選取次數最多的主題。 George Henry Luquet （1913, 1927） 1.偶然的寫實階段 2.未完成的寫實關階段或稱為缺乏綜合能力的階段 3.智性的寫實觀階段 4.視覺的寫實觀階段認為兒童的繪畫最初只是一種遊戲，在八、九歲以前，描繪的意圖主要是寫實主義，但開始描繪他所知道的比他描繪實際看到的人或物早的多。 Cyril Burt （1922） 1.塗鴉式階段 2.畫線階段 3.技術的象徵主義階段 4.技術的寫實主義 5.視覺的寫實主義 6.抑制的階段 7.藝術的復活對於兒童的繪畫發展階段的畫分，提供最有系統的綱要。 Herga Eng （1931） 1.塗鴉階段 2.圖式化階段 3.平版畫階段 4.線造形繪畫與線空間繪畫 5.裝飾文字與裝飾插圖針對姪女自一歲四個月到八足歲，九至二十四歲的繪畫作整理、探討，對於繪畫發展歷程作詳細的研究。資料來源：皮亞傑認知發展理論與兒童繪畫發展之探討，林玉山，1980，國立台灣師範大學美術研究所碩士論文，台北市。表 2-1 早期兒童繪畫研究

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這些研究大多以發展理論為基礎，而兒童的生理年齡與其認知發展的關連性也有許多學者進行研究，其中最著名的當屬皮亞傑（Piaget）的認知發展論，他認為隨著兒童成長階段的不同，認知發展也有其階段順序，如下表：表2-2 皮亞傑認知發展階段的順序期別年齡特徵感覺動作期 Sensor motor Stage 0～2歲 1.憑感覺與動作以發揮其基模功能 2.由本能性的反射動作到目的性的活動 3.對物體認識具有物體恆存性概念前運思期 Preoperational Stage 2～7歲 1.能使用語言表達概念，但有自我中心傾向 2.能使用符號代表實物 3.能思維但不合邏輯，不能見及事物的全面 4.缺乏質量、重量、容量的保留概念具體運思期 Concrete-operation Stage 7～11歲 1.能根據具體經驗思維以解決問題 2.能理解可逆性的道理 3.能理解守恆的道理 4. 此階毇之認知尚不能完成抽象的假設,尚須藉具體物以協助認知。形式運思期 Formal-operational Stage 11歲以上 1.能作抽象思維 2.能按假設驗證的科學法則解決問題 3.能按形式邏輯的法則思維問題資料來源：兒童圖畫書的圖像語言表現賞析教學對兒童繪畫表現影響之研究（以 6-9 歲兒童為例），謝正瑜，2005，國立新竹師範學院國民教育研究所美勞教學碩士論文，新竹市。

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其後陸續有學者提出兒童的繪畫階段與年齡發展階段關聯性的研究，如1972 年的Eisner、1980 年的Gardner及1987年的Lowenfeld and Brittain，分別介紹如下：

壹

壹、

、

、E.W. Eisner 的兒童繪畫發展

、

的兒童繪畫發展

Eisner 是著名之藝術教育與課程理論學者，他強調藝術教育的學科特性，透過觀察與實證研究，融合各種理論，發現兒童隨著年齡成長有以下的發展順序（林佩嬈，2008）：一一一一、、、、機能快感階段機能快感階段機能快感階段（機能快感階段（function-pleasure stage，（（，，零至四歲，零至四歲零至四歲零至四歲））））兒童最早的繪畫是視覺與運動知覺的刺激，並藉由繪畫得到自我的滿足。這時期的兒童繪畫一開始因為動作無法控制而沒有特定的形狀，此後慢慢發展出縱線、橫線以及圓圈，並能為圖形命名並以色彩來分辨塗鴉，代表從運動感到想像思考的變化。二二二二、、、、圖畫記述階段圖畫記述階段圖畫記述階段（圖畫記述階段（pictographs stage，（（，，，四至九歲四至九歲四至九歲四至九歲））））兒童開始創造與環境連結的意象，發現繪畫和所表現事物間的關係。開始透過說故事或命名，以簡單的平面形體來象徵所表達的事物。人物的表現本來只是在追求概念、並經常改變符號，透過重複的練習，改用簡單的幾何圖形來描繪人。色彩也從無意義的使用，經過重複練習確定色彩與物體之間的關係。三三三三、、、、再現的階段再現的階段再現的階段（再現的階段（representational stage，（（，，，九至十四歲九至十四歲九至十四歲九至十四歲））））九到十歲的兒童對圖畫記述的形式不滿意，也首度對自己的表現感到不滿而尋求幫助，並希望得到更適當的技巧來創造更具說服力的圖畫，「使它看起來正確」更是這個階段的重點。此外，約十二、十三歲的兒童在圖畫技術之精密性方面會達到高原期。且超過十三歲而未受藝術教導之兒童，將會很緩慢地發展其早年獲得的技巧。

(39)

四四四四、、、、美感表現階段美感表現階段美感表現階段（美感表現階段（aesthetic-expressive stage，（（，，十四歲以後，十四歲以後十四歲以後十四歲以後））））兒童愈接近青春期就愈喪失對記號世界的強烈主觀關係，雖然非常注重作品的美感與表現的層面，並且擁有創造形式的能力，但多數兒童並沒有具備這些能力，也因此喪失對繪畫的信心，只有學習才能有所突破。

貳

貳、

、

、Gardner 的兒童繪畫發展

、

的兒童繪畫發展

Gardner 認為兒童繪畫發展基本順序是不變的，他將兒童繪畫階段分為塗鴉階段（Scribbling，1~4 歲）、圖示階段（Schemas，4~9 歲）和寫實階段（Realism，

9 歲~成人），干涉兒童會加速或減緩這些階段發展的過程，並認為文化以不同的方式影響不同年紀兒童的繪畫表現。

另外，Gardner 還提出了「U 型曲線」（U-curve model of artistic development）的理論，如圖 2-11。他認為學前的幼兒是藝術創作的黃金階段，創作充滿了想像力與自由獨特的表現力，但隨著年齡增長，太過傾向於寫實的表現，因此獨創的能力漸漸下降，而進入『拘泥寫實』階段（literal stage），原因在兒童傾向照相式的寫實表現，努力使用大家都相同的形式來表現，作品便壓抑了情感與創意的表現，同時太過在意別人的批評。Gardner 稱此時是藝術創作的『潛伏期』（latency age），很多人的繪畫能力便停留至此，唯有繼續堅持下去，不斷練習技巧並累積知識，進而突破寫實規範，才能達到藝術表現的另一高峰。從那些非常年幼兒童的繪畫與成年藝術家的繪畫作品中可以看到，居於 U 形兩高點的學前兒童與藝術家，都能不拘泥於陳規，隨心所欲的表現，作品裡充滿自信、生動、獨特與吸引人的特性；雖然中期不再具有那種特質，但是到了後期，成年藝術家卻失而復得，從表面看似與早期相同，但是本質卻已相當不同。處於人類藝術發展高峰期的四至六歲兒童，其圖象表現與許多傑出西方藝術家作品相似，這些相似性在兒童成長至八歲時開始逐漸消失，一般人在八歲至十一歲之後繪畫表現逐漸衰退，直至成人，故形成 L 型的發展傾向；只有少數人能夠在成人

(40)

圖 2-11 Gardner 的『U 形曲線』理論。

資料來源：『創造性圖畫書教學』對國小學童創造力與繪畫表現之研究，周文敏， 2004，國立中山大學教育研究所碩士論文，高雄市。

(41)

參

參、

、

、Lowenfeld and Brittain 的繪畫發展理論

、

的繪畫發展理論

Lowenfeld 以兒童為中心，提出一套繪畫的心理發展理論，其中包含幾個重要論述：主張兒童繪畫的發展是由內而外的自然發展。相信兒童的技巧及繪畫發展與兒童的年齡與一般性發展有關聯，其發展階段是有順序且不可逆轉，但並非以年齡為絕對劃分。相信兒童畫中所表現的細節顯示出智力上的改變。相信年齡和發展階段間有不正常的差距時，兒童可能有心智發展遲滯的狀況。情感受到壓抑或遇到障礙時，會讓兒童的創作表現受到阻礙。

Lowenfeld and Brittain（1987）提出「創造與心智的成長」（Creative and Mental Growth），將繪畫發展依年齡分為五個階段：塗鴉階段（scribbling stage）、樣式化前階段（pre-schematic stage）、樣式化階段（schematic stage）、黨群寫實階段（gang age stage）、擬似寫實階段（pseudo-naturalistic stage）等五個階段，介紹如下（引自陳金燕，2006、林佩嬈，2008）：一一一一、、、、塗鴉階段塗鴉階段塗鴉階段（塗鴉階段（（（二至四歲二至四歲二至四歲二至四歲））））塗鴉是一種手臂運動軌跡的產物，這階段的兒童剛開始還沒具有可控制能力的塗鴉，仍屬於本能的運動，隨著時間的前進，兒童也越能控制自己的身體，協調性提升，慢慢的才開始具備有控制能力的塗鴉。此階段又可分為四個時期：（一）無秩序塗鴉大約開始塗鴉的六個月後，兒童會開始發現自己的動作和紙上痕跡有些關連，但因為還無法控制肌肉，所以大多會重複某樣動作，處於隨意塗鴉，作品留白甚多，這個時候的塗鴉無法表現兒童的意念。

(42)

（二）縱橫線塗鴉或有控制塗鴉隨著肌肉、關節、手眼協調等逐漸成熟，當他會開始重覆動作時，表示他已經發現可以用視覺來控制動作，這時塗鴉的控制明顯進步。（三）圓圈塗鴉經由不斷的重複，兒童逐漸開始出現大圈圈的線條，此時他運用整隻手臂來塗鴉。（四）命名塗鴉此時期兒童開始出現小圈圈，塗鴉的圖形也開始表現各種意義，他會開始嘗試把經驗轉變成圖畫，兒童會邊塗鴉邊說故事，繪畫成為一種傳達溝通的手段。二二二二、、、樣式化前階段、樣式化前階段樣式化前階段（樣式化前階段（（四至七歲（四至七歲）四至七歲四至七歲）））：：：：兒童開始了有意識的具象表現，他們會用圓形代表頭，縱橫線代表手或腳，開始有人物的表現，但隨時會改變象徵的符號。物體在空間中常是沒有秩序的，相互之間的關係沒有一定的準則。所使用的色彩取決於兒童的喜好，和實際色彩沒有關係。三三三三、、、樣式化階段、樣式化階段樣式化階段（樣式化階段（（七至九歲（七至九歲）七至九歲七至九歲）））：：：：兒童開始探索人和環境之間的關係，這個時期的畫具有下列特徵：（一）透過樣式的改變表現主觀的經驗透過人物圖示重複的出現，開始產生人物的樣式，有時會誇張重要的部分、或省略他認為不重要的部分，但因為人物是非常個人化的概念，因此與身體與心智認知有直接關係；其他物品則大多用特定的幾何圖形來表示特定物體。（二）主觀空間的再現兒童意識到他是環境的一部份，他們發現在這個空間裡存在著明確的秩序，因此某些兒童開始使用基準線，所有的事物都放在上面，但有時會因強烈的感情經驗改變他表現的方式，例如採用上下顛倒的「摺疊」畫面；「平面和垂直混合」

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的畫法；在同一個空間中，出現兩種以上的時間段落；在同一空間呈現多樣物體的『鳥瞰法』；以 X 光透視法來表現內在與外表等。（三）客觀的色彩兒童開始發現色彩和物體之間的關係，相同的物體會重複使用相同的顏色，所以用色開始脫離主觀，採用客觀色彩，但如果有特殊經驗還是會影響用色。四四四四、、、、黨群寫實期黨群寫實期黨群寫實期（黨群寫實期（（（九至十一歲九至十一歲九至十一歲）九至十一歲）））兒童此時進入黨群期，較意識到自我，開始脫離圖示期的表現，比較傾向寫實。人物由幾何線條進入寫實線條，會想以更多細節來表現男女；空間則捨棄基底線，而以平面代替地面並分割出天空。開始會使用重疊的方式來表現遠近，空間的表現更佳；用色改採固有色調。由象徵的表現轉變到寫實，兒童開始在衣物、器物上有了裝飾的圖案，並且應用重複的性質。五五五五、、、、擬似寫實期擬似寫實期擬似寫實期（擬似寫實期（（十一至十三歲（十一至十三歲十一至十三歲）：十一至十三歲）：）：）：這個年齡的兒童開始進入推理的年齡，能作抽象的思考，對於自己的作品產生批判的意識，重視結果甚於過程，依照知覺反應的不同，有視覺型與觸覺型兩種類型的表現：（一）觸覺型觸覺型的兒童不管是在人物的描繪或物體的設計，主要都以主觀的興趣來決定，強調個人的情感與詮釋。空間表現可能會採用基準線或以主觀感覺來決定，色彩使用上也以主觀情緒為主，設計上則喜歡直接操作材料或注意情緒的表現。（二）視覺型視覺型的兒童對人物強調寫實並且重視細節，開始會描繪關節，並且會注意

(44)

設計上的表現則注重美感以及和外在實體之間的關係。綜合以上所介紹，各家學者對兒童繪畫理論皆有不同的詮釋，透過這些研究，提供許多對兒童繪畫階段的不同見解，但不管是哪一派學者，其對年齡的分野仍有一些共同點，筆者將其整理如表 4-3：表 2-3 不同學者之兒童藝術發展階段年齡 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 學制學齡前國小國中高中 Lowenfeld (1947) 塗鴉期前圖式期圖式期寫實萌芽期擬似寫實期決定階段 Eisner (1976) 機能快感階段圖畫記述階段再現階段美感表現階段 Gardner (1980) 塗鴉階段圖式階段寫實階段透過表4-3可以發現，不管是Lowenfeld、Eisner或是Gardner，他們在兒童藝術發展階段皆有兩個相同的分界年齡：4歲及9歲，顯示兒童的藝術發展在這兩個年齡應有顯著的改變。

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第三章

第三章研究方法

研究方法

本研究旨在探討以年度為單位時，台灣東北地震帶的地震餘震 b 值與地震發生時相關碎形維度之間的關連，另外並利用盒子維度計算方法來分析國小學童繪畫的碎形維度。本章主要是在說明研究的方法與歷程，共分為幾個部分：餘震 b 值的計算、碎形維度的計算及資料的來源與選取。

第一節

第一節餘震

餘震

餘震 b 値的計算

値的計算

地震是個相當複雜的現象，當地震發生時，不但會釋放應力也會造成應變，而古登堡關係式（Gutenberg-Richter law, 1944）的提出：log N= a - bM，正是最好觀察地震頻率與規模關係的基本假設。其中 M 為地震規模； a 、b 為常數； N 為時間內規模大於 M 的地震發生次數。 a 值是地震規模大於或等於 0 的總地震次數的對數值，可以反映該地區的地震活躍程度；而地震規模與數目的對數值則呈現一比例關係，它們的比值就是 b，通常應力大的地方，b 値會較小，等區域釋放應力後，b 値就會回復正常。一般而言，b 值的範圍介於 0.5~1.5 之間。

計算b值的方法有許多，Aki(1965) and Utsu(1965)用最大概似法（maximum likelihood method）來計算，計算式如：

b= log10 e / (M−Mc)………..(3-a)

其中Mc 為最小規模限制（cutoff magnitude）。由於最小平方法是將各規模區間的發震次數視為等量權重，而最大概似法則是規模區間數目愈多者權重越高。所以最大概似法推估的b 值較偏重資料較多的小規模地震，無論採樣的地震資料

(46)

最小平方法中則會隨著產生不規則的變動；在此比較下，使用最大概似法可以求取較穩定b 值，是比較好的分析方法（盧怡利，2006）。但是在本研究中並不適合以最大概似法計算b 值，因使用最大概似法前提是小規模的地震目錄資料必須完整，否則會影響迴歸結果，當計算樣本少時，估計的值會被幾個少數樣本影響，如此得到的b值較不具代表性（吳美俐，2007）。且與前人研究比較，以往用最大概似法計算b 值的最小規模限制都在3 以上，但本研究最小規模限制在4以上，而總地震數目僅三千多個，因此容易因數量過少而造成誤差過大，王薇茜（2006）在分析集集餘震時也發生了同樣的問題。儘管如此，以往仍有許多學者使用最小平方法計算 b 值，找出滿足 Gutenberg-Richter law 的線性。因此本研究以最小平方法（Least squares method）來計算b值，把地震目錄中規模大於Mi的地震找出，i = 1,2,3..., n，計算其累積次數Ni並取對數，將之對應數值定義為( M1 , log N1 ), ( M2 , log N2),…, (Mn , log Nn )，則可用最小誤差平方法，將log N 對M求出古登堡關係式的線性廻歸係數a、 b 值。

(47)

第二節

第二節碎形維度的計算

碎形維度的計算

測量碎形維度的方法有很多種，有定規法（Divider Method）、自相似維度（Similarity Dimension）、盒子維度（Box Counting Dimension）、相關維度（Correlation Dimension），還有三角稜柱表面積法（Triangular Prism Surface Area Method, TPSA）等。在本次研究裡主要使用相關維度與盒子維度，在此介紹如下：

壹

壹、

、

、相關維度

、

（

（Correlation Dimension）

）

相關維度主旨是利用兩點之間的相關性來計算相關維度，使用的相關積分式是由 Grassberger and Procaccia (1983) 提出的，定義如下：

C(r)= ) 1 ( 1 − N N

∑

− − N j i j i X X r , ) ( θ _{………(3-b)} 其中 C(r)為小於距離 r 之中所包含的組數 r 為距離 θ_{為 Heaviside fuction} N 為空間中的觀察點總數 Xi 、Xj 為兩觀察點的座標位置表示設定一段距離 r，當兩點（X_i ,X_j）距離小於 r 時，兩者有相關性，θ_=1；相反的話θ_{=0。C(r)最大值為 1，其為介於 0 到 1 之間的實數。由相關積分式得出} C(r)與 r 有一指數關係： C(r) ∝_rDC_{………(3-c)} 其指數為 DC，就是所謂的相關維度。王永昱（2004）曾以地震震央位置及人工模擬之質點對 DC 值大小進行解釋。 DC 值較大時表示該區分佈情況較為平均、分散；DC 值較小時表示該區分佈情況較為集中。

(48)

究採用 3D 相關碎形維度，在座標的輸入除了經度、緯度之外再加上深度，期望能得到更精準的資訊。

貳

貳、

、

、盒子維度

、

盒子維度

盒子維度（

（

（Box Counting Dimension）

）

除了容易看出擁有自我相似性的碎形結構之外，大自然中許多看不出自我相似性之型態物體就需要使用其他方法來計算碎形維度值，而盒子計數法就是實際應用上最常見的方法之一。其計算方式即網格計數法（box counting algorithm），其概念就是將互不重疊的n維網格(一般為二維)覆蓋在所欲求得的物體上，計算網格邊長和覆蓋所需個數之間的關係，將這兩個數量各取對數於直角座標圖紙上，圖上斜率的負值即為碎形維度抑或網格維度（林伯航，2004），式子如下： N ∝_X−DB_{………(3-d)} 其中 N：覆蓋方格數目； X：方格尺寸； DB：盒子維度如圖 3-1(a) 表示如何將方格覆蓋在圓形的物件上，變換不同的方格尺寸。而圖 3-1(b) 將計算得到的方格數目與方格尺寸對應關係畫在雙對數座標圖上，因為方格尺寸縮小，使得覆蓋物件所需要的方格數量隨之增加。因此，在雙對數座標上就得到一條斜率為負的直線，這條直線斜率的絕對值就是盒子維度 DB。本研究將先蒐集兒童的繪畫，利用掃瞄機將紙本轉成電子檔（jpg 檔），接著利用 Matlab 程式計算繪畫的盒子碎形維度。

(49)

圖 3-1 不同尺寸網格之覆蓋方時示意圖與盒子維度求法。資料來源：曾文水庫集水區之地形幾何特性與山崩分佈關係之研究，陳盈赬， 2007，國立成功大學資源工程學系碩士論文，台南市。 (a)盒子維度法 (b)盒子維度之求法

(50)

第三節

第三節資料的來源與選取

資料的來源與選取

壹

壹、

、

、地震資料

、

地震資料

本文分析之地震資料來自中央氣象局網站，自 1974~2007，共計 34 年時間；以台灣東北部地震帶為例，如圖 3-2，找出介於北緯 23.5 ﾟ~ 25.5 ﾟ、東經 121.5 ﾟ以東、芮氏規模 4~5.5 的地震加以分析，如圖 3-3。其中資料點共計 3338 個，包含年、月、日、經度、緯度、深度、規模等資訊，以此來計算地震 b 值與相關碎形維度。圖 3-2、台灣地震帶分布資料來源：台北市：中央氣象局。2007 年 3 月 11 日，取自： http://scman.cwb.gov.tw/eqv5/eq100/100/053.HTM。

(51)

(52)

貳

貳、

、

、兒童繪畫樣本

、

兒童繪畫樣本

本研究樣本選自九十七學年度彰化縣路上國小全體學生 109 名，再加上茄荖國小、曉陽國小、三潭國小共四所國小一到六年級的所有學生為參考母群體，共計 1093 名，篩選無效樣本之後有 94 名，母群體為 917 名，人數分佈如表 3-1。表 3-1 兒童繪畫樣本人數分佈學校性別一年級二年級三年級四年級五年級六年級小計合計男 18 26 16 19 26 28 133 茄荖國小女 12 8 21 22 24 19 106 239 男 20 13 21 24 23 31 132 曉陽國小女 21 18 18 16 23 18 114 246 男 32 36 29 26 30 29 182 三潭國小女 30 25 28 32 21 20 156 338 男 9 6 6 9 3 8 41 路上國小女 6 11 12 8 6 10 53 94 男 79 81 72 78 82 96 488 女 69 62 79 78 74 67 429 合計全 148 143 151 156 156 163 917

(53)

本研究兒童繪畫的進行方式如下：一、每位兒童發給一張 A4 的圖畫紙及一枝 2B 鉛筆。二、帶領兒童至戶外寫生。三、請每人選擇一棵樹，並將這棵樹畫出來。四、使用掃瞄機將兒童繪畫紙本掃瞄成電子檔。五、利用 Matlab 7.1 計算繪畫的盒子碎形維度。

(54)

(55)

第四章

第四章分析結果與討論

分析結果與討論

根據研究結果，本章將分為三個部分，分別為：壹、b 值和 DC 的相關分析；貳、b 值和 DC 的討論；參、兒童繪畫的碎形維度分析。

第一節

第一節 b 值和

值和

值和 DC 的相關分析

的相關分析

本研究將所有的地震資料以年度為單位進行分析，以最小平方法計算 b 值、以相關碎形維度計算出 DC，得到如圖 4-1 的分佈圖。由圖可以看出 DC 在 1974~1979 年間有相當大的起伏變化，且 b 值和 DC 的相關性也不高；在 1980~1990 年這階段 b 值和 DC 的變化有相當的一致性；但在 1991~1997 年 b 值和 DC 又有不同的變化；而在 1998~2007 年則是普遍 b 值偏低的情形。因此筆者將 34 年分成四個階段，分別為第一階段：1974~1979、第二階段：1980~1990、第三階段： 1991~1997 及第四階段：1998~2007，如圖 4-1 的虛線所示。接著分別找出各階段 b 與 DC 的相關，其結果如表 4-1。其中 1974~1979 年 DC 和 b 值的迴歸相關為-0.36994；1991~1997 年為-0.6907，而 1998~2007 年則為 -0.85284，根據 Wang and Lin（1993）計算台灣西部地震 b 與 DC 也呈現負相關，他們解釋此地區可能不是獨立或發育完整的斷層系統，可見台灣東北地區在這些年段中為不穩定之斷層系統。

表 4-1 b 與 DC 的相關

年段 1974~1979 1980~1990 1991~1997 1998~2007 b 與 DC 的相關 -0.36994 0.51696 -0.6907 -0.85284

(56)

4

(57)

而在圖 4-1 中的框框表示，當 DC 值降低且有大幅度變化，而 DC 大約小於 1.4、b 值大約為 1 時，如 1978、1988、1999 與 2002 年，比對地震資料發現，1978 年有 1 個規模(ML)6 的地震；1988 年也有 1 個規模 6 的地震； 1999 年則有 1 個規模 6.1 的地震；2002 年則分別有 2 個規模 6.8、3 個 6.2、1 個 6 的地震。雖然本研究的資料只選取規模小於 5.5 的餘震，但卻可以經由 DC 與 b 的變化，發現該年有大地震的發生。此現象可能是因為當該年發生大地震前，b 值會降低，又因為大地震發生後，餘震數目變多使得 DC 下降所產生的變化。這與 Chang et al. （2007）分析集集地震時得到的結果相似，他們認為小規模的地震較常出現於高 D 值（Fractal Dimension）且高 b 值的區域；而低 D 值且低 b 值的區域對於中規模和大規模的地震有較大發生的可能性。

(58)

第二節

第二節 b 值與

值與

值與 DC 的討論

值與

的討論

本節將針對b值與DC的關係，以兩種方式分析，分別是：壹、以年度為單位，分別計算b值與DC。貳、將地震按照發生順序編號，以編號為單位計算b值與DC。

壹

壹、

、

、以年度為單位

、

以年度為單位

筆者將這34年的地震資料分為：1974~1979、1980~1990、1991~1997、 1998~2007四階段後，分別計算各階段b值與DC的平均值如表4-2。表 4-2 b 值與 DC 之平均 1974~1979 1980~1990 1991~1997 1998~2007 總平均 b 值 1.262 1.321 1.336 0.996 1.218 DC 1.747 1.721 1.558 1.457 1.614 由表中可以看到，1998~2007年的b值平均明顯小於之前的年段，由此可見 1998年後該地區累積較多的應力，較大規模的地震發生率也較高。而b值大致都 高於世界平均1，顯示該地區有相對數量多的小地震。(Richa, et al.,2003) 另針對四個階段的 b 值與 DC 畫出分佈圖並計算迴歸值，得到結果如圖 4-2。從圖中可以看到，b 與 DC 其實分布相當分散，其關係並不明顯，但是若限制 b 值與 DC 的大小（如圖 4-3 中之虛線框），可以從圖 4-3 看到 b 與 DC 都呈現負相關，其斜率摘錄如表 4-3：

(59)

(a)

(b)

圖 4-2 不同年段的 b 與 DC 的分佈圖。 (a)1974~1979。(b)1980~1990。直線為迴歸結果。

(60)

(c)

(d)

(61)

(a)

(b)

圖 4-3 限定 b 值與 DC 之後不同年段的分佈圖。

(62)

(c)

(d)

(63)

表 4-3 b 值與 DC 之迴歸斜率年份 1974~1979 1980~1990 1991~1997 1998~2007 原斜率 -0.36994 0.51696 -0.6907 -0.85284 限定條件 b=0.8~2 DC=1.4~2.4 b=1.1~1.5 DC=1.4~2 b=1.15~1.55 DC=1.4~2.05 b=0.9~1.3 DC=1.2~2 限定條件後之斜率 -0.7531 -1.1945 -1.1351 -2.0659 若我們設定條件，當 b 約於 1~1.55、DC 約於 1.4~2 時，則 1974~2007 年其 b 值與 DC 的分佈如圖 4-4，且 b 與 DC 的關係式為： DC=2.2979-0.4837b………(4-a) 根據此一結果我們可以看出，該地區的 b 與 DC 呈現負相關，而 Hirata（1989）分析 Tohoku 地區 1926～1986 年規模大於 4 的地震，以最大概率法（maximum likelihood method）取 b 值，用相關維度（correlation dimension）計算震央的碎形維度，得到負相關：DC=2.3−0.73b，這與本研究所得的結果相類似，值得進一步探討兩地區之地質特性及地震分佈。

另根據此一結果，以年度來看，設定 b 約於 1~1.55、DC 約於 1.4~2 時，b 值越小則 DC 越大，相對來說即 b 值越大，DC 則越小。Roy and Nath （2007）認為當呈現低 DC 時，代表該地區可能為滑動或有破裂阻礙的斷層系統。而根據 Chen,

et al.（2006）研究認為，當 DC 與 b 值為正相關時，代表該地區為單一碎裂斷層

或連通的斷層系統；而當其呈現負相關時，該地區可能為複雜的多斷層系統。因此，本研究找出 DC 與 b 值呈現負相關，顯示本地區為一個複雜的多斷層系統。

(64)

圖 4-4 1974~2007 之 b 值與 DC 的分佈圖。

(a)未設定條件。直線為迴歸結果。虛線框為限定 b 與 DC 之後的選取範圍。 (b)設定 b=1~1.55、DC=1.4~2 之分佈圖。直線為迴歸結果。

碎形維度在訊息資料上的應用研究

國立臺中教育大學教育測驗統計研究所

教學碩士學位暑期在職進修專班碩士論文

指導教授：許天維 博士

廖博毅 博士

碎形維度在訊息資料上的應用研究

研究生：陳秉哲 撰

中 華 民 國 九 十 八 年 八 月

謝

謝

謝

謝

辭

辭

辭

辭

本文能夠順利完成首先要感謝我的指導教授 許天維博士及 廖博毅

博士，在這段時間內的悉心指導及無私的付出，從老師的身上學到作研

究的方法以及求真求知的努力態度，讓我獲益良多。

感謝口試委員 范瓊盛博士、 辛俊德博士以及 胡豐榮博士對論文的

指教，提供許多寶貴的意見，使論文更加的完備，致上衷心的感謝。

在論文的撰寫過程，感謝一起度過研究生生涯的同學們，冰海、明

儀、玟秀以及子謙，大家在求學的過程中互相勉勵、協助與討論，也因

為這樣才能讓整份研究更趨完備。也謝謝學校同仁與校長的協助與體

諒，在研究過程中提供的意見與關心，讓我在研究的過程中獲得許多不

同的想法，增加研究的內涵。

最後要感謝家人在精神上及生活上的支持，尤其最親愛的老婆，在

研究過程中的體諒與支持，讓我更無後顧之憂，也給我繼續努力的原動

力。

中文摘要

中文摘要

中文摘要

中文摘要

Abstract

目

目

目

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次

次

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表

表

表

表

次

次

次

次

圖

圖

圖

圖

次

次

次

次

第一章

第一章

第一章

第一章

緒論

緒論

緒論

緒論

第一節

第一節

第一節

第一節

研究動機

研究動機

研究動機

研究動機

第二節

第二節

第二節

第二節

研究目的

研究目的

指導教授：許天維博士

廖博毅博士

研究生：陳秉哲撰

中華民國九十八年八月

本文能夠順利完成首先要感謝我的指導教授許天維博士及廖博毅

感謝口試委員范瓊盛博士、辛俊德博士以及胡豐榮博士對論文的

第二章文獻探討

第二節碎形理論