六、探討圓錐曲線內接四邊形的幾何性質

由定理 8-11 知當圓內接四邊形A A A A_{1 2 3 4}為兩雙對邊皆不平行的四邊形時，得到由Q

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,A A, A A₃, ₄五點可決定十一種的圓錐曲線內接四邊形。那麼若考慮非圓內接四邊形時，可 決定幾種呢？那麼其餘四邊形如平行四邊形(含矩形)、等腰梯形、梯形及矩形可決定幾種呢？

【定理 12】(圓錐曲線內接兩對邊皆不平行的四邊形的幾何性質)

給定一四邊形A A A A_{1 2 3 4}，設Q為平面上一點，則當四邊形A A A A_{1 2 3 4}分別為兩雙對邊皆不平行 的四邊形、梯形及平行四邊形，由Q,A A A A₁, ₂, ₃, ₄五點可決定十一種、九種及七種的圓錐 曲線(不含圓)。

【證明】(i)當四邊形A A A A_{1 2 3 4}為兩雙對邊皆不平行的四邊形時，由定理 4-6 知圓内接與非 圓内接之兩種情形的四邊形皆可建構相互垂直的對稱軸的兩種拋物線內接四邊形。

更一般的二次方程式由定理 3 知同樣可由Q,A A A A₁, ₂, ₃, ₄五點可決定二種的拋物線 內接四邊形。再由定理 7-11 知由拋物線及其內接四邊形的作圖中中垂線建構軸或圓 錐曲線族可再由Q,A A A A₁, ₂, ₃, ₄五點可決定九種的圓錐曲線(不含圓)，因此，

由Q,A A A A₁, ₂, ₃, ₄五點可決定十一種的圓錐曲線(不含圓)，參見圖 16.18.21.23-29。

(ii)當四邊形A A A A_{1 2 3 4}為梯形時，與(i)做比較，多了一兩平行直線，就少了一種拋物線 且一種相交直線且左右型單接雙曲線，因此，由Q,A A A A₁, ₂, ₃, ₄五點可決定九種的圓錐 曲線(不含圓)，參見圖 29。

圖 29：由Q,A A A A₁, ₂, ₃, ₄五點可決定九種的圓錐曲線內接等腰梯形

(iii)由(ii)知由Q,A A A A₁, ₂, ₃, ₄五點可決定九種的圓錐曲線內接梯形，而四邊形A A A A_{1 2 3 4} 為平行四邊形時，再多了一兩平行直線，就再少了一種拋物線且一種相交直線且上下 型單接雙曲線，因此，由Q,A A A A₁, ₂, ₃, ₄五點可決定七種的圓錐曲線(不含圓)。 ■

【定理 13】(圓錐曲線內接四邊形的斜率性質)

給定一圓錐曲線內接四邊形A A A A_{1 2 3 4}，設m m₁, ₂為對角線A A 與_{1 3} A A 的斜率，則(i)當四邊_{2 4} 形A A A A_{1 2 3 4}為圓內接四邊形時，m m₁+ ₂=0。(ii)當四邊形A A A A_{1 2 3 4}為圓內接四邊形且

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A A ⊥ A A 時，m₁=1,m₂ = −1。(ii)當四邊形A A A A_{1 2 3 4}為非圓內接四邊形時，m m ₁+ ₂ 0。

【註】定理 13 中m m₁, ₂改考慮相對斜率m m₁^', ₂^' 時，定理 13 中(i)改m m₁^'+ ₂^'=0；(i)改m m ₁^'+ ₂^' 0。

【證明】(i)由定理 2-3 知當四邊形A A A A_{1 2 3 4}為圓內接四邊形時，m m₁+ ₂=0。(ii)因為 A A_{1 3}⊥ A A_{2 4}，所以m m = −_{1 2} 1。又由(i)知m m₁+ ₂=0且m ₂ 0。因此，m₁ =1,m₂ = −1。 (iii)現在要證明四邊形A A A A_{1 2 3 4}為非圓內接四邊形的情形。

由於我們是固定三頂點A A A₁, ₂, ₃作拋物線，另一頂點A₄取拋物線上但不是圓上，如圖 30 ，則四邊形A A A A_{1 2 3 4}為非圓內接四邊形，參見圖 30。

圖 30：證明四邊形A A A A_{1 2 3 4}不為圓內接四邊形的斜率性質

注意到圖 30 中左圖滿足m m ₁+ ₂ 0，而右圖滿足m m ₁+ ₂ 0，因此，m m ₁+ ₂ 0。 ■ 接著探討由定理 7 知若Q為 A A 的中垂線_{2 3} L₂上一點，則以過Q作 HN 的平行直線為

對稱軸可建構圓錐曲線內接四邊形。那麼以 HN 的平行直線為對稱軸移動時，所形成圓錐曲 線的中心所形成的圖形為何呢？為了方便，將圓錐曲線的中心所形成的圖形稱為中心軌跡圖 形，其中心記作 O 。

【定理 14】(圓錐曲線內接四邊形中有心錐線的中心軌跡圖形)

設四邊形A A A A_{1 2 3 4}為圓錐曲線內接四邊形，其對角線交於P，M M M M₁, ₂, ₃, ₄分別A A 、_{1 2} A A 、_{2 3}

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A A 、A A 的中點，若_{1 4} O為圓錐曲線的中心，則(i)當四邊形為平行四邊形時，中心軌跡圖形 為一點P。(ii)當四邊形為梯形時，中心軌跡圖形為一直線。(iii)當四邊形為兩雙對邊皆不平 行的四邊形時，中心軌跡圖形為過P M M M M, ₁, ₂, ₃, ₄五點的一雙曲線。參見圖 31。

圖 31：圓錐曲線內接四邊形中圓錐曲線中心軌跡圖形

【證明】(i)由定理 1 知圓錐曲線內接平行四邊形A A A A_{1 2 3 4}中圓錐曲線方程式參見(3)式，現 在要證明所有通過四邊形A A A A_{1 2 3 4}四個頂點的圓錐曲線之中心軌跡圖形，我們是用解析

幾何來證明，不失一般性，用矩形來證明，考慮=90⁰且m₁+m₂ =0，其中 ₁ ²

我們可以考慮中心( , )x y 的y坐標化簡為