中華民國第 61 屆中小學科學展覽會 作品說明書

中華民國第 61 屆中小學科學展覽會 作品說明書

排版\030411-封面

國中組 數學科

第一名

030411-封面

錐心覓跡 -圓錐曲線及其內接四邊形的作圖與幾 何性質之探討

學校名稱：臺北市立內湖國民中學

作者： 指導老師：

國三 林士哲 國三 彭士鳴

鄭忠興 林鳳美

關鍵詞：圓內兩交弦定理、

拋物線及其內接四邊形的作圖、

圓錐曲線作圖

i

得獎感言

無心錐線變有心錐線，圓錐曲線仍是一體的！

國中數學組作品為錐心覓跡-圓錐曲線及其內接四邊形的作圖與幾何性質之探討，這是我 們參賽全國科展的第二篇作品，此作品是解決第一篇作品延伸問題，完成後首度順利參賽2021 年台灣國際科展，再發展成更完備的這次參賽作品。我們鍥而不舍地努力在研究路上，是為 了證明數學猜想能成理論的夢想。當中雖然遇到無數次的困難，但我們都逐一克服了，數學 知識上的見解也跟隨逐日增強，因而數學成為我們最酷愛的科目。

研究過程中體會到數學推論是靠數學思考的啟發，作品能持續發展重在研究方法。若能 尋覓到一個好的研究方法，就能順利證明推論，得到漂亮的定理。當然研究中常有意外的驚 喜，這是支撐我們勇往直前的動力，只要不放棄，就有新的發現，這是研究的可貴之處。

最後十分感謝指導老師以及支持我的師長和家人一路上陪伴與指導，也感謝學校給予我 們的協助與支持。

參賽北市科展複審

1

摘要

在平面上，我們都知道相異五點可決定一圓錐曲線。若給定任意四邊形，是由四邊形的 四個頂點及異於此四頂點的第五點來決定圓錐曲線，則稱此四邊形為圓錐曲線内接四邊形。

本研究將四邊形分成平行四邊形、梯形及兩雙對邊皆不平行的四邊形等三種來討論，並 同時考慮其為圓内接與非圓内接之兩種情形的四邊形，探討圓錐曲線内接四邊形的作圖及其 幾何性質。研究中藉由六個輔助定理(包含圓錐曲線的直徑與定值性質及推廣圓内兩交弦定理) 論證出二種拋物線及其内接四邊形的作圖及其判定條件，再進一步推導出圓錐曲線内接四邊 形的作圖及其判定條件。也發現圓錐曲線內接四邊形的兩對角線斜率性質，並證明有趣的錐 線中心軌跡圖形。

壹、研究動機及研究問題

參賽 2021 年臺灣國際科學展覽會完成一篇作品：「婆羅摩笈多定理推廣至圓錐曲線內接 多邊形中之探討」，是藉由二個輔助定理論證出二種拋物線及其内接四邊形的作圖，上述輔 助定理談拋物線的情形，事實上可推廣至圓錐曲線，同時也可推廣圓内兩交弦定理。因此，

對圓錐曲線及其內接四邊形的性質有更進一步的推論，於是開始我們研究之路。本作品的主 要研究問題是：「圖 1 中圓錐曲線如何作圖呢 ？」、「圖 1 中圓錐曲線必通過四邊形的 四個頂點，那麼如何取異於此四頂點的第五點來決定圓錐曲線的種類呢？」及「當考慮圓 内接或非圓内接之兩種情形的四邊形時，圓錐曲線內接四邊形中的幾何性質有何差異呢？」

圖 1：圓錐曲線內接四邊形

我們先透過 GeoGebra 繪圖軟體進行作圖，發現圖 1 中拋物線作圖最為困難，所以本作 品是從拋物線作圖出發，再利用拋物線作圖延伸推導出圓錐曲線内接四邊形的作圖，並推導 出其作圖的判定條件來區分圓錐曲線的種類。

貳、研究目的

一、由圓錐曲線族性質來探討判定條件來區分圓錐曲線內接平行四邊形中的圓錐曲線種類。

二、證明圓錐曲線及其內接四邊形的作圖之輔助定理及其推廣幾何定理。

三、給定平面上三點與拋物線的平行軸之直線，探討拋物線及其內接四邊形的作圖。

四、給定圓内接與非圓内接之兩種情形的四邊形，探討如何建構拋物線的平行軸，並且探討 拋物線及其內接四邊形的作圖。

五、透過拋物線及其內接四邊形的作圖延伸推導出二種圓錐曲線內接四邊形的作圖，進而探 討判定條件來區分圓錐曲線內接四邊形中的圓錐曲線之種類。

六、探討圓錐曲線內接四邊形對角線的斜率性質，進而推導有心錐線的中心軌跡圖形。

參、研究架構

圓錐曲線(含退化圖形)內接四邊形

平行四邊形 兩雙對邊皆不平行

區分七種圓錐曲線

拋物線 及其內 接四邊 形的 作圖 (I)(II) 中心軌跡圖形：雙曲線

•

•

•

•

非圓內接

圓錐曲 線內接 四邊形 的作圖 (I)(II)

•

•

•

梯 形

•

•

•

區分九種圓錐曲線

肆、研究過程或方法

一、名詞定義與預備定理

(一)名詞定義

我們知道圓內接四邊形的四個頂點都在同一個圓上，這裡談到圓錐曲線內接四邊形的四 個頂點都在同一個圓錐曲線上。本作品特別將通過同一四邊形的四個頂點之圓錐曲線推導出 判定條件來區分圓錐曲線的種類。值得一提，在文獻上並無針對圓錐曲線內接四邊形的作圖 及其幾何性質作深入探討，這正是本作品研究核心，特別是我們是利用無心錐線(拋物線)作 圖去推導有心錐線(橢圓或雙曲線)作圖。

【定義 1】(圓錐曲線内接四邊形，黃家禮[2]及 Keith Kendig [4])

若給定任意四邊形A A A A_{1 2 3 4}，是由四邊形的四個頂點及異於此四頂點的第五點(記作點Q)來決 定圓錐曲線，則稱此四邊形為圓錐曲線内接四邊形，參見圖 1-3。注意當點Q取四邊形的邊 或對角線的延長線上一點時，五點A A A A Q₁, ₂, ₃, ₄, 所決定圖形為圓錐曲線的退化圖形。

另外定義 1 中的四邊形考慮其為圓内接與非圓内接之兩種情形的四邊形，參見圖 2-3，

注意非圓内接四邊形時，點 A₄必須考慮在拋物線上一點。

圖 2：拋物線內接四邊形為圓內接四邊形 圖 3：拋物線內接四邊形為非圓內接四邊形 考慮拋物線及其内接四邊形的作圖上，提供兩種觀點：一是給定平面上三點與拋物線的 平行軸之直線決定一拋物線，再決定四邊形的第四個頂點，此作圖稱為拋物線及其内接四邊 形的作圖(I) ，參見第四章。二是給定一四邊形，作過其四個頂點的拋物線，此作圖稱為拋物 線及其内接四邊形的作圖(II)，參見第四章。由拋物線及其内接四邊形的作圖推導出圓錐曲線 内接四邊形的作圖(I)，再推導出圓錐曲線内接四邊形的作圖(II)，參見第五章。

我們想進一步區分圓錐曲線内接四邊形中圓錐曲線的種類，參見定義 2。

【定義 2】(區分圓錐曲線内接四邊形中圓錐曲線的種類，項武義 [1]及 Keith Kendig [4]) 設圓錐曲線(包含退化情形)方程式為二次方程式Ax²+Cy²+Dx+Ey+ =F 0或

2 2

0

Ax +Bxy Cy+ +Dx+Ey+ =F ，其中A B C, , 不全為 0。則前者圖形稱為標準形，後者稱為 非標準形。標準形進一步再配方得到(i)~(iii)的分類情形，定義種類名稱為

(i)二次方程式滿足(y−k)² =4 (c x−h)或(x−h)² =4 (c y−k)的拋物線分別稱為左右型拋物線或 上下型拋物線，其頂點( , )h k 且| |c 為焦距。

(ii)二次方程式滿足

2 2

2 2

( ) ( )

x h y k 1

a b

− −

+ = 或

2 2

2 2

( ) ( )

x h y k 1

b a

− −

+ = 分別稱為扁型橢圓或 直立型 橢圓，其中心O h k( , )且a  。 b 0

(iii)二次方程式滿足

2 2

2 2

( ) ( )

x h y k 1

a b

− − − = 或

2 2

2 2

( ) ( )

y k x h 1

a b

− − − = 分別稱為左右型雙曲線或 上

下型雙曲線，其中心O h k( , )且 ,a b  。 0

當考慮雙曲線內接四邊形時，特別分成二種來定義：若四邊形的四個頂點接在雙曲線同 一支上，則稱此四邊形為雙曲線單接四邊形，參見圖 4。若四邊形的四個頂點接在雙曲線二 支上，則稱此四邊形為雙曲線雙接四邊形，參見圖 5。另外雙曲線的退化圖形-兩相交直線也 有單接與雙接情形，圖 6 為兩相交直線雙接四邊形。

圖 4：雙曲線單接四邊形 圖 5：雙曲線雙接四邊形 圖 6：兩相交直線雙接四邊形 注意圓錐曲線方程式為二次方程式Ax²+Bxy Cy+ ²+Dx+Ey+ =F 0是可以透過坐標軸的 平移與旋轉方式轉換標準形，所以同樣可以以(i)~(iii)來分類。

(二)預備定理

【預備定理 1】(判定二次方程式的圖形，項武義 [1]及 Keith Kendig [4])

給定二次方程式為Ax²+Bxy Cy+ ²+Dx+Ey+ =F 0時，若判別式 =B²−4AC，則(i)當  時，0 則其圖形為一橢圓或是其退化情形。(ii)當 = 時，則其圖形為一拋物線或是其退化情形。 0 (iii)當  時，則稱為其圖形為一雙曲線或是其退化情形。 0

【預備定理 2】(圓內兩交弦定理，黃家禮[2]及 Coxeter[3])

給定一圓內接四邊形A A A A_{1 2 3 4}，設A A 與_{1 3} A A 相交於_{2 4} P，則PA PA₁ ₃ =PA PA₂ ₄，參見圖 1。

本作品將圓內兩交弦定理推廣至圓錐曲線，型如

1 3

2 4

PA PA PA PA t

 =

 ，其中t為正實數。

參見輔助定理 5-6 及定理 4，特別t值與圓錐曲線內接四邊形的兩對角線與其圓錐曲線的對 稱軸有關，與參考文獻資料中黃家禮[3]的推導結果是不同的，它的結果是與切線有關。

二、探討圓錐曲線內接平行四邊形

(一) 不存在拋物線內接平行四邊形

現在要探討何種圓錐曲線可內接平行四邊形，先證明「不存在拋物線內接平行四邊形」。

【性質 1】(圓錐曲線內接平行四邊形不存在拋物線內接平行四邊形) 設四邊形A A A A_{1 2 3 4}為一平行四邊形，則不存在拋物線內接平行四邊形。

圖 7：不存在拋物線內接平行四邊形

【證明】不失一般性，考慮拋物線方程式為y² =4cx，若 A x y₂( ,_{2 2}),A x y₃( ,_{3 3})在拋物線上，

則y₂² =4cx₂,y₃² =4cx₃，參見圖 7。又四邊形A A A A_{1 2 3 4}為一平行四邊形，可令A x y₁( ,_{1 2}),

4( ,4 3)

A x y ，代入 y² =4cx，得到 y₂² =4cx y₁, ₃² =4cx₄，所以x₁=x x₂, ₃ =x₄，即 A A₁, ₂代表 同一點且A A₃, ₄代表同一點，與已知矛盾。因此，不存在拋物線內接平行四邊形。 ■ (二)區分圓錐曲線的種類

我們知道相異五點決定一圓錐曲線，若考慮一圓錐曲線必通過平行四邊形的四頂點

1, 2, 3,

A A A A₄，那麼在平面上任意取異於四個頂點的一點Q後會是何種圓錐曲線呢？

不失一般性，設平行四邊形A A A A_{1 2 3 4}的四個頂點A s₁( ₁+s₂cot , s₂),A s₂( ₂cot , s₂),A₃(0, 0),

4( , 0)1

A s ，其中A A A_{2 3 4} =, 0   90 ，則A A m x_{1 3}: ₁ − =y 0, A A m x_{2 4}: ₂ − −y m s_{2 1}=0,

2 3: cot 0,

A A x−  =y A A_{1 4}:x−cot − = ，其中 y s₁ 0

1 3 2 4

2 2

1 2

1 2 2 1

cot , cot

A A A A

s s

m m m m

s s  s  s

= = = =

+ − ，參見圖 8。

【性質 2】(退化圓錐曲線內接平行四邊形的判定條件)

給定一平行四邊形A A A A_{1 2 3 4}，設Q為平行四邊形A A A A_{1 2 3 4}中其四個邊及兩對角線延長線上一 點，則五點Q A A A A, ₁, ₂, ₃, ₄所決定的圖形為三種：二種兩平行直線及一種兩相交直線。

【證明】由圓錐曲線族性質可設通過四點A A A A₁, ₂, ₃, ₄的圓錐曲線方程式為

₁(m x₂ − −y m s_{2 1})(m x₁ −y)+ ₂(x−coty x)( −cot −y s₁)=0，其中 ₁, ₂ 0。 (1) (i)當 ₁0, ₂ =0時，(1)式得(m x₂ − −y m s_{2 1})(m x₁ −y)=0，所以

m x₂ − −y m s_{2 1}=0,m x₁ − =y 0，代表兩相交直線 A A 與_{1 3} A A ，即_{2 4} Q點在直線A A 或_{1 3} A A_{2 4}

上。(ii)當 ₁=0, ₂ 0時，(1)式得(x−coty x)( −cot −y s₁)=0，所以

x−cot =y 0,x−cot − =y s₁ 0，代表兩平行直線A A 與_{1 4} A A ，即_{2 3} Q點在直線A A 或 _{1 4}

A A 上。同理也可證明(iii)_{2 3} Q點在直線 A A 與_{1 2} A A 上，因此，五點_{3 4} Q A A A A, ₁, ₂, ₃, ₄所決 定的圖形為三種退化圓錐曲線：二種兩平行直線及一種兩相交直線。 ■ 進一步將(1)式兩邊同除以 ₁後，以 ²

1

= 0 表示為

(m x₂ − −y m s_{2 1})(m x₁ −y)+ (x−coty x)( −cot −y s₁)=0，其中 R\ {0} (2) 將(2)式化簡二次方程式為

2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1

(m m + )x −(m +m +2 cot ) xy+( cot +1)y −(m m s + s x) +(m s + s cot ) y=0。(3)

【定理 1】(圓錐曲線內接平行四邊形中圓錐曲線的判定條件)

給定通過平行四邊形A A A A_{1 2 3 4}中四個頂點的二次方程式為(3)式，則(i)當 = +1 m₁²時，則其圖 形為一圓，其中四邊形A A A A_{1 2 3 4}為矩形，其中 ₁ ²

1 2cot

m s

s s 

= + 。(ii)當

2

1 2

1 2

( )

4 ( cot 1)( cot 1) m m

m  m 

 −

− − 時，則其圖形為一橢圓。(iii)當

2

1 2

1 2

( )

4 ( cot 1)( cot 1) m m

m  m 

 −

− − 時，

則其圖形為一雙曲線，其中當 = 時，其圖形為兩相交直線。參見圖 8。 0

圖 8：圓錐曲線內接平行四邊形

【證明】(i)若四邊形為圓內接平行四邊形，由泰利斯定理知A A A_{2 3 4} = = 90 ，即cot =0。 所以平行四邊形為矩形，再預備定理 1 知m₁+m₂+2 cot =0且m m_{1 2}+ = cot²+1， 故m m =₁+ ₂ 0且m m + =_{1 2} 1，即 = −1 m m_{1 2} = −1 m₁(−m₁)= +1 m₁²，其中 ₁ ²

1 2cot

m s

s s 

= + 。

進一步推導(3)式為x²+y²−s x₁ −s y₂ =0，即圓方程式為

2 2 2 2

1 2 1 2

2 2 4

s s s s

x y +

 −  + −  =

   

    。

接著由預備定理 1 來判定(3)式的圖形，考慮判別式 =B²−4AC，化簡得到

2

1 2 1 2

(m m ) 4 (m cot 1)(m cot 1)

 = − − −  − 。 (4)

因為0   90 ,m₁ 0,m₂0，所以cot 0且m₁cot − 1 0,m₂cot − 1 0，得

1 2

(m cot −1)(m cot − 1) 0。

(ii)由預備定理 1 知當  時，則其圖形為一橢圓，(4)式小於零，故 0

2

1 2

1 2

( )

4 ( cot 1)( cot 1) m m

m  m 

 −

− − 。

(iii)由預備定理 1 知當  時，則其圖形為一雙曲線，(4)式大於零，故 0

2

1 2

1 2

( )

4 ( cot 1)( cot 1) m m

m  m 

 −

− − 。由性質 2 知當 = 時，(3)式的圖形為兩相交直線。 ■ 0

三、探討圓錐曲線內接四邊形的作圖之輔助定理及斜率性質

探討圓錐曲線內接四邊形的作圖，需要藉助輔助定理及四邊形中兩對角線的斜率性質。

(一)拋物線的直徑及定值性質

【輔助定理 1】(拋物線的直徑性質)

設M₁為拋物線中斜率為 m 的弦 A A_{1 2}之中點，則所有斜率為 m 的弦的中點形成的軌跡必定 平行對稱軸，參見圖 9。

圖 9：拋物線的直徑性質 圖 10： HN 為定值(拋物線的定值性質)

【證明】(i)不失一般性，以對稱軸為平行 x 軸的拋物線來證明。

設拋物線方程式為(y−k')² =4 (c x−h')，若 A x y₁( ,_{1 1}),A x y₂( ,_{2 2})，則 中點M₁的坐標為( ', ') ^{1 2}, ^{1 2}

2 2

x x y y

x y  + + 

=  且 ^{2 1}

2 1

y y m x x

= −

− 。

又(y₁−k')² =4 (c x₁−h'), (y₂−k')² =4 (c x₂−h')，兩式相減化簡得 ^{2 1}

2 1

4 2 ' 2 '

y y c

x x y k

− =

− − 。

所以A A_{1 2}的斜率 ^{2 1}

2 1

4 2 ' 2 '

y y c

m x x y k

= − =

− − 且 ' ²c '

y k

= m + 。 (5) 由於 m、 'k 與 c 均為定值，弦 A A_{1 2} 的中點的y坐標等於²c '

m +k為定值，故所有弦A A_{1 2} 的 中點形成的軌跡必定平行對稱軸。同理可推導出當對稱軸平行 y軸的拋物線時，所有 弦 A A_{1 2}的中點形成的軌跡必定平行對稱軸。 ■

【輔助定理 2】(拋物線中弦的中垂線與軸的交點 N ，與弦中點到軸的垂足點H，HN 為定值) 設M x y₁( ', ')為拋物線₁中斜率為 m 的弦 A A_{1 2}之中點，且過M₁作垂直線交對稱軸於H且 作 A A_{1 2}的中垂線與對稱軸交於 N ，參見圖 10，則HN =2 | |c ，其中| |c 為焦距。

【證明】不失一般性，先以對稱軸為平行 x 軸的拋物線來證明。由(5)式知弦A A_{1 2}的斜率為 ⁴

2 ' 2 ' m c

y k

= − ，所以A A_{1 2} 中垂線方程式為 ^{' 2 ' 2 '}

(

)

4 y k

y y x x

c

− = − − − 且軸方程式為y=k'。

求A A_{1 2}的中垂線與對稱軸的交點 N ，即令y=k'，解得x=x₀+2c， 故HN = −x x₀ =2 | |c ，因此，HN =2 | |c ，其中焦距為| |c 。

同理可推導出當對稱軸為平行y軸的拋物線時，HN =2 | |c ，其中焦距為| |c 。 ■ (二)圓、橢圓及雙曲線的直徑及定值性質

不失一般性，令圓、橢圓及雙曲線的方程式為a x h'( − )²+b y'( −k)² =1，其中心為( , )h k 。

【輔助定理 3】(圓、橢圓與雙曲線的直徑性質)

設M₂為圓錐曲線a x h'( − )²+b y'( −k)² =1中斜率為 m 的弦 A A_{2 3}之中點，則所有斜率為 m 的弦的中點形成的軌跡必定通過的中心，參見圖 11。

【證明】若 A x y₂( ,_{2 2}),A x y₃( ,_{3 3})，則中點M₂的坐標為( ,x y_{0 0})，其中 ₀ ^{2 3}, ₀ ^{2 3}

2 2

x x y y

x + y +

= =

且 ^{3 2}

3 2

y y m x x

= −

− 。又a x'( ₂−h)²+b y'( ₂−k)² =1, '(a x₃−h)²+b y'( ₃−k)² =1，兩式相減化簡得

3 2 0

3 2 0

' '

y y a x h x x b y k

 

− −

= −  

−  − 。所以斜率 ⁰

0

' '

x h m a

b y k

 − 

= −  − 且 ⁰

0

' '

y k a

mb x h

− = −

− 。 (6)

圖 11：橢圓的直徑性質

由於 m、 'a 與 'b 均為定值，所以弦 A A_{1 2}的中點與中心( , )h k 的斜率等於 ^' ' a

−mb 為定值，

故所有弦 A A_{1 2}的中點形成的軌跡必定通過的中心( , )h k 。 ■

將輔助定理 2 中HN =2 | |c 推至圓錐曲線a x h'( − )²+b y'( −k)² =1的情形。為了區分，

將橢圓中弦A A_{2 3}的中垂線與軸的交點N₂，與弦A A_{2 3}的中點到軸的垂足點H₂，推導出H N 定_{2 2} 值；圓、雙曲線分別推導出H N 及_{1 1} H N 值，參見輔助定理 4，在證明時，統一記作_{3 3} H N 。 ' '

圖 12：H N 及_{2 2} H N _{3 3}

【輔助定理 4】(圓中H N 、橢圓中_{1 1} H N 及雙曲線中_{2 2} H N 皆為定值) _{3 3}

設M₂( ,x y_{0 0})為圓錐曲線: '(a x h− )²+b y'( −k)² =1中斜率為 m 的弦 A A_{2 3}之中點，且過M₂ 作垂直線交對稱軸： y=k於H'且作 A A_{2 3}的中垂線與對稱軸： y=k交於 N ，則 '

0

' ' '( )

' H N a h x

= b − ，參見圖 12。【註 1】(i)當為扁型橢圓或左右型雙曲線時，

2

2 2 3 3 2 0

H N H N b x h

= = a − 。(i)當為直立型橢圓

(

)

2

2 2 3 3 2 0

H N H N a x h

= = b − 。另外圓是橢圓特例，由於 a b= ，所以H N_{1 1}=|x₀− 。 h|

【證明】由(6)式知弦A A_{2 3}的斜率 ⁰

0

' '

x h m a

b y k

 − 

= −  − ，其中 ₀ ^{2 3}, ₀ ^{2 3}

2 2

x x y y

x = + y = + 。

所以A A_{2 3}的中垂線方程式為 0 ⁰

(

)

0

' '

y k

y y b x x

a x h

 − 

− =  −  − 且對稱軸方程式為y=k'。

求A A_{2 3}的中垂線與對稱軸的交點N ，即令' y=k'，解得 ₀ ^'( ₀) '

x x a h x

− =b − ，

故 ' ' ₀ ^'( ₀) '

H N x x a h x

= − = b − ，因此， ' ' ^'( ₀)

' H N a h x

= b − 。 ■

(三)推廣圓內兩交弦定理

【輔助定理 5】(圓內兩交弦定理推廣至拋物線)

給定一拋物線內接四邊形A A A A_{1 2 3 4}，兩對角線 A A 與_{1 3} A A 交於_{2 4} P，設 I J, 分別為兩對角

線 A A 、_{1 3} A A 與對稱軸的交點，參見圖 13，則(i)_{2 4}

2

1 3

2

2 4

PA PA PI PA PA PJ

 =

 。(ii)若四邊形A A A A_{1 2 3 4}

為圓內接四邊形，則 PI =PJ。

圖 13：拋物線或橢圓內接四邊形的兩對角線與對稱軸性質

【證明】(i)不失一般性，可設拋物線方程式為(y−y₀)² =4 (c x−x₀)，其中頂點為( ,x y_{0 0})且

P(0, 0)，A A 與_{1 3} A A 的斜率分別為_{2 4} m m₁, ₂，則 A A 與_{1 3} A A 的方程式為 _{2 4} y=m x y₁ , =m x₂ ，可令 A x m x₁( ,_{1 1 1}), A x m x₂( ,_{2 2 2}), A x m x₃( ,_{3 1 3}), A x m x₄( ,_{4 2 4})，則 A A₁, ₃顯然為(y−y₀)² =4 (c x−x₀)與y=m x₁ 聯立的解，即

(m x₁ −y₀)² =4 (c x−x₀)化簡得m x₁^{2 2}−2(m y_{1 0}+2 )c x+y₀²+4cx₀ =0，所以

2

0 0

1 3 2

1

4 y cx

x x m

= + 。

同理可知

2

0 0

2 4 2

2

4 y cx

x x m

= + ，故

2

1 3 2

2

2 4 1

x x m x x =m 。 因為

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 3 1 3 1 3 1

1 3 1 3 1 1 3 1

2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 4 2 2 4 2

2 4 2 2 2 4 2 4 2 4 2

( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

x m x x m x x x m

PA PA x x m x x m

x x m x x m PA PA x m x x m x x x m

+  + +

 = = = − + = +

− + +

 +  + +

又

2

1 3 2

2

2 4 1

x x m x x =m ，故

2 2

1 3 2 1

2 2

1 2

2 4

( 1) ( 1) PA PA m m PA PA m m

 = +

 + 。

因為I J, 分別為兩對角線 A A 、_{1 3} A A 與對稱軸_{2 4} y=y₀的交點，所以

⁰ ₀ ⁰ ₀

1 2

, , ,

y y

I y J y

m m

   

   

   ，推得

2 0 2

2 0 2 2

1 2 1

2 2 2 2

1 2

0 2

0 2

( 1) ( 1)

y y

m m m

PI

PJ y m m m y

 

  + +

 

= =

  +

  +

 

。因此，

2

1 3

2

2 4

PA PA PI PA PA PJ

 =

 。

(ii)因為四邊形A A A A_{1 2 3 4}為圓內接四邊形，所以由圓內兩交弦定理知 ^{1 3}

2 4

PA PA 1 PA PA

 =

 ，所

以

2

1 3

2

2 4

PA PA PI 1 PA PA PJ

 = =

 ，因此，PI =PJ。 ■

【定理 2】(圓錐曲線內接四邊形的兩對角線斜率性質)

給定圓錐曲線方程式為 Ax²+Cy²+Dx+Ey+ =F 0(A C, 至少有一個不為零)且圓錐曲線內 接四邊形A A A A_{1 2 3 4}，兩對角線 A A 與_{1 3} A A 交於_{2 4} P，若四邊形A A A A_{1 2 3 4}為圓內接四邊形且

1, 2

m m 為對角線 A A 與_{1 3} A A 的斜率，則_{2 4} m₁+m₂ =0，參見圖 13。

【證明】考慮拋物線內接四邊形A A A A_{1 2 3 4}的情形。由輔助定理 5 中證明知

當四邊形A A A A_{1 2 3 4}為圓內接四邊形時， PI =PJ，即

2 2 2

2 1

2 2 2

1 2

( 1) ( 1) 1 m m PI

PJ m m

= + =

+ ，所以

m m₂²( ₁²+ =1) m m₁²( ₂²+ ，得1) m₂² =m₁² m₁ =  ，但m₂ m₁m₂，故m₁+m₂ =0。

僅要考慮一組對邊不平行的四邊形，必存在拋物線內接四邊形，所以當考慮其餘圓錐 曲線內接四邊形也保有m₁+m₂ =0此性質。 ■

【輔助定理 6】(圓內兩交弦定理推廣至橢圓或雙曲線)

給定圓錐曲線: '(a x h− )²+b y'( −k)² =1且圓錐曲線內接四邊形A A A A_{1 2 3 4}，兩對角線A A_{1 3} 與 A A 交於_{2 4} P，設I J, 分別為兩對角線A A 、_{1 3} A A 與對稱軸的交點，參見圖 13，則 _{2 4} (i)扁型橢圓(及左右型雙曲線 )或 直立型橢圓 (及 上下型雙曲線 )：

2 2 2

1 3 2 1

2 2 2

1 2

2 4

( ' ' ) ( ' ' )

PA PA a b m m PI a b m m

PA PA PJ

 

 +

=  + 

   或

2 2

1 3 2

2 2

2 4 1

' ' ' '

PA PA a b m PI a b m

PA PA PJ

 

 +

=  + 

   。

(ii)若四邊形A A A A_{1 2 3 4}為圓內接四邊形，則 PI =PJ。

【證明】(i)不失一般性，可設P(0, 0)且m m₁, ₂分別為 A A 與_{1 3} A A 的斜率，則_{2 4} A A 與_{1 3} A A _{2 4} 的方程式為 y=m x y₁ , =m x₂ ，可令 A x m x₁( ,_{1 1 1}), A x m x₂( ,_{2 2 2}), A x m x₃( ,_{3 1 3}), A x m x₄( ,_{4 2 4})， 則 A A₁, ₃顯然為a x h'( − )²+b y'( −k)² =1與y=m x₁ 聯立的解，即

a x'( −h)²+b m x'( ₁ −k)² =1，化簡得( 'a +b m x' ₁²) ²−2( 'a h b m k x+ ' ₁ ) +a h' ²+b k' ²− =1 0， 所以

2 2

1 3 2

1

' ' 1

' ' a h b k x x a b m

+ −

= + 。同理可得

2 2

2 4 2

2

' ' 1

' ' a h b k x x a b m

+ −

= + ，故

2

1 3 2

2

2 4 1

' ' ' ' x x a b m x x a b m

= +

+ 。

因為

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 3 1 3 1 3 1

1 3 1 3 1 1 3 1

2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 4 2 2 4 2

2 4 2 2 2 4 2 4 2 4 2

( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

x m x x m x x x m

PA PA x x m x x m

x x m x x m PA PA x m x x m x x x m

+  + +

 − + +

= = = =

− + +

 +  + +

又

2

1 3 2

2

2 4 1

' ' ' ' x x a b m x x a b m

= +

+ ，故

2 2

1 3 2 1

2 2

1 2

2 4

( ' ' )( 1) ( ' ' )( 1) PA PA a b m m

a b m m PA PA

 = + +

+ +

 。

扁型橢圓及左右型雙曲線：I J, 分別為兩對角線A A 、_{1 3} A A 與長軸 (或貫軸)：_{2 4} y=k

的交點，所以

1 2

, , ,

k k

I k J k

m m

   

   

   ，推得

( ) ( )

2 2 2 2 2

1 2 1

2 2 2 2 2

1 2

2

/ ( 1)

( 1) /

k m k m m PI

k m k m m PJ

+ +

= =

+ + 。

故

2 2 2 2 2

1 3 2 1 2 1

2 2 2 2 2

1 2 1 2

2 4

( ' ' )( 1) ( ' ' ) ( ' ' )( 1) ( ' ' )

PA PA a b m m a b m m PI a b m m a b m m

PA PA PJ

 

 = ++ ++ =  ++ 

   。

直立型橢圓及上下型雙曲線：I J, 分別為兩對角線 A A 、_{1 3} A A 與長軸(或貫軸)： _{2 4}

x h= 的交點，所以I h m h J h m h ，推得

(

) (

)

2 2 2 2

1 1

2 2 2 2

2 2

( ) 1

( ) 1

h m h m PI

h m h m PJ

+ +

= =

+ + 。

故

2 2 2 2

1 3 2 1 2

2 2 2 2

1 2 1

2 4

( ' ' )( 1) ' ' ( ' ' )( 1) ' '

PA PA a b m m a b m PI a b m m a b m

PA PA PJ

 

 = ++ ++ =  ++ 

   。

(ii)因為 A A A A_{1 2 3 4}為圓內接四邊形，所以由圓內兩交弦定理知 ^{1 3}

2 4

PA PA 1 PA PA

 =

 ，並且 由定理 3 知m₁+m₂ =0，所以

扁型橢圓及左右型雙曲線：

2 2

2 2

1 3 2 1

2 2

2 2

1 2

2 4

( ' ' )

1 ( ' ' )

PA PA a b m m PI PI a b m m

PA PA PJ PJ

 

 +

=  = +  = ，故 PI =PJ。

直立型橢圓及上下型雙曲線：

2 2

2

1 3 2

2 2

2

2 4 1

' '

1 ' '

PA PA a b m PI PI a b m

PA PA PJ PJ

 

 +

=  = +  = ，故 PI =PJ。

因此， PI =PJ。 ■

【定理 3】(圓內兩交弦定理推廣更一般的圓錐曲線)

給定圓錐曲線方程式為 Ax²+Bxy Cy+ ²+Dx+Ey+ =F 0(A B C, , 至少有一個不為零)且圓錐 曲線內接四邊形A A A A_{1 2 3 4}，兩對角線 A A 與_{1 3} A A 交於_{2 4} P，設I J, 分別為兩對角線 A A 、_{1 3}

2 4

A A 與對稱軸: y=m x₃ + 的交點，則(i)

2 2 2

1 3 2 2 1 3

2

2 2

1 1 2 3

2 4

( )( )

( )( )

PA PA A Bm Cm m m PI A Bm Cm m m

PA PA PJ

 + + −

= + + −

 。

(ii)若四邊形A A A A_{1 2 3 4}為圓內接四邊形，則 PI =PJ，參見圖 14。

圖 14：一般圓錐曲線內接四邊形的兩對角線與對稱軸性質

【證明】仿照來輔助定理 6 證明。(i)A A₁, ₃顯然為:Ax²+Bxy Cy+ ²+Dx+Ey+ =F 0與 y=m x₁ 聯立的解，即 Ax²+Bx(m x₁ )+C(m x₁ )²+Dx+E(m₁x)+ =F 0，化簡得

2 2

1 1 1

(A+Bm +Cm x) +(D+Em x) + =F 0，所以 _{1 3 2}

1 1

x x F

A Bm Cm

= + + 。

同理可得 _{2 4 2}

2 2

x x F

A Bm Cm

= + + ，故

2

1 3 2 2

2

2 4 1 1

x x A Bm Cm x x A Bm Cm

+ +

= + + 。因為

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 3 1 3 1 3 1

1 3 1 3 1 1 3 1

2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 4 2 2 4 2

2 4 2 2 2 4 2 4 2 4 2

( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

x m x x m x x x m

PA PA x x m x x m

x x m x x m PA PA x m x x m x x x m

+  + +

 − + +

= = = =

− + +

 +  + +

又

2

1 3 1 2

2

2 4 1 1

x x A Bm Cm x x A Bm Cm

+ +

= + + ，故

2 2

1 3 2 2 1

2 2

1 1 2

2 4

( )( 1)

( )( 1)

PA PA A Bm Cm m A Bm Cm m PA PA

 + + +

= + + +

 。

設I J, 分別為兩對角線 A A 、_{1 3} A A 與對稱軸_{2 4} : y=m x₃ +的交點，所以

^{1 2}

1 3 1 3 2 3 2 3

, m , , m

I J

m m m m m m m m

 

 

   

 − −   − − 

   ，推得

2 2 2

2 3 1

2 2 2

1 3 2

( ) ( 1) ( ) ( 1)

m m m PI

m m m PJ

− +

= − + 。

故

2 2 2

1 3 2 2 1 3

2 2 2

1 1 2 3

2 4

( )( )

( )( )

PA PA A Bm Cm m m PI A Bm Cm m m

PA PA PJ

 = + + −

+ + −

 。

(ii)因為 A A A A_{1 2 3 4}為圓內接四邊形，所以由圓內兩交弦定理知 ^{1 3}

2 4

PA PA 1 PA PA

 =

 ，並且 由定理 3 知若選定對稱軸: y=m x₃ + 平行的直線為 x 軸，則m =₃ 0且m m₁, ₂得到 m m₁^', ₂^'(相對斜率：以對稱軸: y=m x₃ + 方向為 x 軸方向來計算斜率)滿足

m₁^'+m₂^' =0，所以

2 2

' ' 2 ' 2

1 3 2 2 1

2 2

' ' 2 ' 2

1 1 2

2 4

[ ( ) ]( )

1 [ ( ) ]( )

PA PA A Bm C m m PI PI A Bm C m m

PA PA PJ PJ

 + +

= = =

+ +

 。

因此， PI =PJ。 ■

四、探討拋物線及其內接四邊形的作圖

由性質 1 可此推測至少一雙對邊不平行的四邊形，必然存在拋物線內接四邊形。透過 GeoGebra 繪圖發現拋物線內接四邊形中拋物線作圖最為困難，所以就先探討拋物線及其內接 四邊形的作圖，推導出二種作圖方式，記作拋物線及其內接四邊形的作圖(I)及(II)。我們將四 邊形分成平行四邊形、梯形及兩雙對邊皆不平行的四邊形等三種，不失一般性，底下直接 考慮兩雙對邊皆不平行的四邊形。

(一)拋物線及其內接四邊形的作圖(I)

利用拋物線的直徑性質(參見輔助定理 1-2)來探討拋物線及其內接四邊形的作圖(I)：

已知三點A A A₁, ₂, ₃與平行對稱軸L的直線L'條件下確定一拋物線，再取A₃點在拋物線上一點 A4。注意其四邊形A A A A_{1 2 3 4}可能為非圓內接四邊形，參見圖 15。

現在要建構拋物線及其內接四邊形的作圖(I)，注意對 與 作中垂線 與 且 與 的交點落在對稱軸 上，但交點在L上不在同一點，參見圖 16。作法上我們必須考 慮使 、 交L於同一點，方法是底下其作圖(I)中Step1及Step2，參見圖 17及證明參見 定理 5，再由輔助定理 1-2知HN =2 | |c 且 HN 為對稱軸，此拋物線因而被決定。

圖 15：非圓內接四邊形 圖 16：Step1 圖 17：拋物線及其內接四邊形的作圖(I) 拋物線及其內接四邊形的作圖(I)：圖 17中

1

Step ：過 的中點M₁作 且過 的中點 作 的垂直線 交 於 。

2

Step ：過 作 的中垂線 且過 作 的垂直線 ， 與 相交於 。

3

Step ：過 作 的垂直線交 於 ，即 為對稱軸 。 4

Step ：Step3中得到 HN 為對稱軸且由輔助定理 2知HN =2 | |c ，此拋物線因而被決定。

5

Step ：四邊形A A A A_{1 2 3 4}為圓內接四邊形－過 三點作一圓 交拋物線於 ； 四邊形A A A A_{1 2 3 4}不為圓內接四邊形－取A₃點右邊在拋物線上一點A₄(異於圓 上一 點)，即四邊形 為拋物線內接四邊形。 ■

【定理 4】(拋物線及其內接四邊形的作圖(I))

設三點 A A A₁, ₂, ₃滿足拋物線及其內接四邊形的作圖(I)，參見圖 17，則(i)Step −1 3使得直線 L2與L₅相交對稱軸 上同一點 N 。(ii)Step −1 5得到拋物線內接四邊形A A A A_{1 2 3 4}。

【證明】(i)不失一般性，考慮拋物線方程式為y² =4cx，設A x y₁( ,_{1 1}),A x y₂( ,_{2 2}),A x y₃( ,_{3 3})

1 2

A A A A_{2 3} L₁ L₂

L1 L₂ L

L1 L₂

1 2

A A L"/ / 'L A A_{2 3} M₂ L" L₃ L" M₃

M2 A A_{2 3} L₂ M₃ A A_{1 2} L₅ L₂ L₅ N

N L₃ L₃ H HN L

1, 2, 3

A A A  A₄



1 2 3 4

A A A A

L