本章節將引入半導體微碟共振腔計算共振模態和電場分佈等所使用 的方法。主要有二，分別是解析近似法( analytic approximation method )和三 維有限時域差分法( finite-difference time-domain method，3D-FDTD )。解析 近 似 法 是 求 解 空 間 中 與 時 間 無 關 電 磁 場 的 馬 克 斯 威 爾 方 程(Maxwell’s equations)，並將空間維度由三維簡化到二維結構計算，此計算需引入有效 折射率(effective refractive index，neff)的觀念，以減少計算所帶來的誤差。
且由於其時間項已屏除，雖然電磁場在空間中的分佈和共振模態均可求 得，但卻無法提供電磁場或能量隨時間變化和傳播等資訊；然而三維有限 時域差分法正好彌補了此不足之處，再者，解析近似法告訴我們共振模態 擁有雙重簡併的特性，然而這是在使用3D-FDTD 模擬模態時無法得知的資 訊，故我們使用解析近似法配合3D-FDTD 模擬，以達到精確的共振模態預 測。
2-1 解析近似法9-11
在一沒有自由電荷或電流存在的介質中，馬克斯威爾方程式可以寫成：
假設此介質是線性且非散射的，D r t( , )=ε( ) ( , )r E r t 、 1
其中neff為材料之有效折射率。這裡為了將空間維度由三維簡化到二維結構
考慮如圖 2-1 的三層結構，薄板的折射率n大於外界(空氣層)的折射
(azimuthal mode number，m > 0)。由式(2.13)知，當給定一 m 值時則有相對 應之共振波長λm。由於圓柱對稱，所以λm =λ−m，故對於每一個模態皆會有 二重簡併(twofold degeneracy)解的存在。式(2.13)為徑向的解，若R為微碟共 振腔之半徑，則在微碟共振腔內部(ρ≤R)，其解為第一類貝索函數(Bessel
2-2 共振模態分析
半導體微碟共振腔主要是藉由高折射率材料與周圍低折射率介質之不 連續性，經由內部全反射將電磁波侷限在共振腔內。依模態的在腔體內的 行徑模式可分為三類12，分別是侷限模態(confined modes，CMs)、法布里-伯羅模態(Fabry-Perot modes，FPMs)和耳語廊模態(WGMs) ，如圖 2-2 所 示。而在微碟共振腔主要的行進模態是 WGMs，也就是在微碟圓周內部環 繞的模態。對於每一個WGM 可用三個模態數13來表示：方位角模態數(m)，
表示在微碟周圍形成幾個共振波長；徑向模態數(radial mode number， )，
說明了沿半徑方向有幾個極大值；而平面模態數(p)是指在垂直微碟平面方 向共振模態的節點數。基於上述，若給定一橫向電場模態(transverse electric mode，TE)，即電場方向平行微碟表面，我們可表示成 TEm, ,p。文獻指出當 微碟共振腔的薄板厚度d 接近 λ/2n 時，波導將只支持最低階模態(p=0)的傳 輸 4，故一般將 TEm, ,p=0 表示成 TEm, ,；同理橫向磁場模態(transverse magnetic mode，TM)，即電場方向垂直微碟表面，可表示成 TM m, ,。
【圖 2- 2】存在於微碟共振腔內的三種主要傳播模態示意圖
對於微碟共振腔之共振模態波長，可經由解析近似法得到。首先計算 有效折射率(neff )的效應，將微碟共振腔之結構參數帶入式(2.12)，砷化鎵 (GaAs)塊材的折射率n=3.4、空氣折射率n0 =1，且將共振波長定在 1300 nm。計算結果顯示於圖 2-3，圖中分別表示了三種平面模態數(p=0、1、2) 時的neff與微碟共振腔厚度d 的關係。這裡主要集中在基模(p=0)時的情況，
由圖中知若共振腔薄板厚度較大( d > 190 nm ) 時，有效折射率趨近砷化鎵 塊材之折射率 3.4；而當共振腔薄板厚度小於190 nm 時，隨著厚度越小，
有效折射率遽減且趨近空氣之折射率 1。在我們所製備的微碟共振腔樣品，
其薄板厚度由SEM 影像估計約為 220 nm，計算出在此厚度下折射率已非原 本塊材的3.4，而是向下修正到 2.87。圖中也說明了當厚度分別大於 200 和 400 nm 時，p=1 和 2 的模態會開始出現。
【圖 2- 3】有效折射率neff 與微碟共振腔厚度d 之關係圖
接著計算共振波長，由 2-1 節知電場在微碟共振腔內的平面場形分佈 為：
W( , ) ~ρ φ Jm( )x exp im( φ)， (2.16) 其中x=k n0 effρ且k0 2π
= λ ，為了求得共振波長 λ，我們考慮邊界條件當ρ =R時
( , ) 0
W ρ φ = ，也就解貝索函數為零(Jm( ) 0x = )的點。給定一方位角模態數 m，
可得對應之xm，最後便可求得WGMs 的共振波長λm。不同的零點代表不同 的徑向模態數 ，第一個零點對應到的徑向階數是 =1，此時模態擁有最大的 有效半徑(effective radius，Reff)。Reff 定義為沿著半徑方向，WGMs 強度 極大值至微碟中心的距離。
這裡假設微碟半徑R 為 1 μm、厚度 d=220 nm、砷化鎵折射率 3.4，以及空 氣折射率1。結果如圖 2-4(a) 所示，共振模態在波長範圍介於 1100 至 1400 nm 之間(即量子點發光範圍)，可觀察到徑向模態數為 1 的 WGMs 有 4 個，
位於1116、1181、1255 和 1339 nm，其所對應的方位角模態數 m 分別為 12、
11、10 和 9；而徑向模態數為 2 的 WGMs 有 3 個，m 值則為 6 到 8。圖 2-4(b)(c) 分別表示TE 和9,1 TE 的 WGMs 在微碟共振腔內的平面電場分佈，虛線表6,2 示微碟共振腔邊界。圖2-4(d)是 WGMs 模態數 m 為 9 時，分別對 值為 1、
2 和 3 時所做的電場強度對微碟半徑的分佈關係。可看出隨著 值越大，
WGMs 場形分佈的有效半徑越小， 為 1、2 和 3 所對應之 Reff分別約為0.8、
0.6 和 0.5R。
間距對直徑倒數的關係圖。圖中微碟共振腔的直徑由2.0到2.8 µm分佈，且 有兩種族群的模態能量間距存在，分別為 =1和 =2的WGMs，其斜率分別 為123和133。
由上頁所述的駐波關係式，對於同一 m 值的 WGMs，可知隨著微碟直 徑越大，模態波長會有紅移的現象。圖2-6 為直徑 2.0~2.8 µm 的微碟共振 腔與其WGMs 波長的關係。為避免圖過於複雜，圖中只標示了 =1 的模態。
對於D=2 µm 的微碟，TE10,1的波長位於1255nm；而 D=2.2 µm 的微碟，TE10,1
的波長位於 1356nm，故微碟直徑每增加 100nm，WGMs 的波長紅移約為 50 nm。可見微碟共振腔的直徑大小對 WGMs 的波長是相當敏感的。
0.34 0.38 0.42 0.46 0.50
2-3 三維有限時域差分法 (3D-FDTD)
前面章節提到，解析解近似法是將三維空間轉換到二維平面來計算；
然而 3D-FDTD 是將實際的三維空間切割成不連續的空間與時間來交錯計 算，故3D-FDTD 提供了另一種模擬方法讓我們可以和解析解近似法交叉比 對獲得共振模態的預測。
圖2-7 為 3D-FDTD 模擬直徑為 2 µm、厚度 220 nm 微碟共振腔的結果。
圖 2-7(a)為模擬的譜圖。針對譜圖中每個 WGMs 的共振波長去做激發可得 到各模態的場型分佈圖，如圖2-7(b)所示。
圖 2-8 為直徑 2.0~2.8 µm 微碟共振腔的模擬譜圖，虛線表示同樣模態
1100 1200 1300 1400
TE9,1
0.34 0.38 0.42 0.46 0.50
40