其中 J 為 Jacobian 行列式值。

i i

i i

N N

x J

N N

y









 

 

 

  

   

   

   

   

   

(i=1~6 or 8) (5.21)

其中

6 8 6 8

1 1

6 8 6 8

1 1

or or

i i

i i

i i

or or

i i

i i

i i

N N

x y

J N N

x y

 

 

 

 

 

 

   

 



    

   

 

 

 

，

稱為 Jacobian Matrix。

另外在組成勁度、質量矩陣的式(5.4)、式(5.5)中積分的變數，也要因座標轉換而改變如下：

dA



dxdy



J d d  

(5.22)

其中

J 為 Jacobian 行列式值。

5.4 收斂性分析

為了展示角函數在具有應力奇異性問題之有限元素解中的影響，以下針對具有奇異性 之板分別作動力分析，探討角函數對有限元素解收斂速度快慢影響。本節以扇形板與具有 裂縫的矩形板為實例，使用有限元素法配合二階形狀函數，於奇異點附近元素引入角函 數，再藉由收斂性分析探討角函數對收斂速度之影響。

5.4.1 扇形板自然振動頻率分析

如圖 5.5，為

  355

^完全無束縛的扇形板，即在徑向及環向的邊界條件皆為自由邊 界(free)，取 h/a=0.1(a 為扇形板半徑)，波松比()為 0.3；傳統有限元素的分析中，當切割

的網格越多，越能逼近到正確解。本案例共切割了四種網格分別具有 397、635、667、779 個元素，為了方便描述，分別給予編號為 sp1、sp2、sp3、sp4，如圖 5.6-5.9 所示。圖中灰 色區域即為加入角函數之區域。由於應力的奇異點產生的部分都是在尖端；為方便切割，

吾人皆採用三角形元素來涵蓋奇異點附近的區域。sp1 網格中，引入角函數的區域_c內切 割成 8 個元素，該元素遠比外圍的元素大。sp2 網格則將_c範圍縮小，並用 16 個元素連 結於奇異點(參看如圖 5.7)，並將外圍的網格分割的比 sp1 者細。sp3(a)的_c區域和 sp2 相 同，而 sp(b)則再把_c區域縮小。最後的 sp4 則是將 sp3 靠近奇異點處切的更細(如圖 5.9 所示)，而圖 5.10 為其內部示意圖；此時奇異點附近網格已足夠故暫不考慮角函數作用之 情形。

表 5.1 所列者為利用不同有限元素網格配合不同數目之角函數所得之無因次自由振動 頻率 (=₁

 a

²

 h

/

D

)。另外，利用 Ritz 法結合角函數所得結果(第三章)亦列於表中。從 該表發現：

(a) 傳統的有限元素，其網格的精細度影響其數值結果，本案例 sp1~sp4 隨著網格元素 的增加而收斂到準確解。

(b) 角函數確實可以增加收斂速度，尤其是低模態者。當 sp1 有限元網格配合角函數

 、

xc

 及

_yc

w 各 10 項、10 項與 4 項所得前 2 模態之結果較 sp3 有限元解佳；而基本模態

_c 則較 sp4 有限元解佳。

(c) 角函數最主要是用於準確描述應力奇異行為，而該奇異行為則在

r  0

處才顯現重 要。因此，理論上，可把_c區域儘量內縮。sp3(a)及 sp3(b)之結果支持以上論點。但此論 點不足之處為若當_c內之有限元網格過粗，則稍微擴大_c，將對結果之準確度有所幫忙。

5.4.2 具裂縫之矩形板自然振動頻率分析

現再將上述方法應用到具裂縫之矩形板(參看圖 5.11)。此矩形板具有/₃ =0.5 的裂縫₁ 於中間，為裂縫長度而₃ 為矩形板之長。考慮在四周邊界為 CFCF(與 x 軸平行之邊界為₁ 固定端)而內部裂縫處的邊界條件為自由端，且/h=10，波松比()0.3。圖 5.12 為裂縫端₁ 點示意圖，圖中裂縫視為兩平行線，但裂縫的端點須閉合成一點，因此可視為一尖角，其

開口約 0.5 度，；本案例將裂縫的端點模擬成 359.5 度的尖角。於矩形板之振動，定義無 因次自由振動頻率

   

₁²

 h / D

由於裂縫的位於板內，故須考慮兩個應力奇異點，分別在裂縫的起點和終點。藉由本 實例也可觀察角函數對於描述角度將近 360 度的應力奇異點，是否能達到良好的效果。

為方便收斂性分析之網格劃分，將此板內部區分為三個區間如圖 5.11 所示，其中 n1 及 n2 隔間數由 4 個增加到 8 個，最後增加到 10 個，而 n3 由 8 個隔間數增加到 16 個，最 後增加到 20 個；共產生三組網格，分別有 128、512、800 個元素(參看圖 5.13)。為了方便 描述，分別給予編號為 rec1、rec2、rec3。圖 5.13 中深色部分為角函數涵蓋之區域。第一 組網格 rec1 在含奇異點之_c內各含 4 個較粗之有限元素；rec2(a)便是將 rec1 再作等分切 割的動作，而在每個_c內包含 16 個元素；rec2(b)不同於 rec2(a)處為將_c內縮至祇包含 4 個元素。最後的 rec3 則是將 rec2(a)針對裂縫周圍再加以切割，而在每個_c內包圍的元素 為 64 個 。

表 5.2 所列者為三組網格配合不同數之角函數所得無因次自然振動頻率。該表所顯示 之現象與上節扇形板之收斂性分析所發現者同。

5.5 案例分析

此節將探討不同裂縫長度、位置及方向對矩形板振動之影響。該矩形板之長寬比為 2，

寬厚比為 10 或 20；包松比 0.3。四邊邊界條件為 CFCF(長邊為固定端)。本節考慮水平裂 縫時，其長度與板長度之比(/₃ )=1/8,2/8,3/8 或 6/8，位置為₁

c

₁/ ₁=0,1/4 或 1/2 且

b

₁/ ₂=1/2 或 1/4(參看圖 1.3)。當考慮裂縫方向之影響時，取裂縫斜角

  30

^,

60

^及

90

^；裂縫長度 及位置則取為/₃ =3/8,₁

c

₁/ ₁=1/2 及

c

₁/ ₂=1/2。

分析每一塊板時，有限元素網格如圖 5.14~5.18 所示，每一正方元素之長寬為₁/16， 共有 512 個元素(但當考慮斜向裂縫時，則在裂縫附近採用三角形元素，故總元素數稱大於 512)。一般而言，在奇異點 (裂縫尖端處)取_c含有 16 個正方元素(或有部份一正方形元素 分割成 2 三角元素)如圖 5.14~5.18 所示深色區域。依照上節收斂性分析，在每一_c內，加 入對稱及反對稱之

 及

_xc

 角函數各一項，與反對稱的

_yc

w 一項。

_c

表 5.3-5.4 所列之無因次頻率為水平裂縫者。表 5.5 所列者則為考慮斜向裂縫。另外，

圖 5.19~5.22 所示者為具有不同裂縫矩形板之前 5 模態的節點模式。從此些結果可發現下 列事實:

(1) 在其他因素不變下，隨著裂縫長度增加，將導致板撓曲勁度之減小，故自然振動頻率 隨之減小。

(2) 當/₃ =1/8 時，代表小裂縫；故該裂縫之存在並不明顯導致頻率之降低，除了當₁

1 1/ 

c

=0，

b

₁/ ₂=0.5 時之第 5 模態。其他者的頻率降低程度(相對於裂縫者)小於 7%。

而當

c

₁/ ₁=0 且

b

₁/ ₂=0.5 時，第 5 模態之所以明顯改變，可從其節點模式看出端倪；

該節點模式是完全不同於其他板第 5 模態者。

(3) 當改變裂縫之水平位置(即改變

b

₁/ ₂)，對之影響無一定之趨勢，決定於/₃ 及模₁ 態數。

(4) 改變裂縫左端之點(即改變

c

₁/ ₁)對之影響亦無一定之趨勢。不過，一般而言，

1 1/ 

c

=0 者之頻率相對於其他者小。

(5) 改變裂縫角度()對頻率之影響亦無一定趨勢。例如第一模態之頻率隨從

0

^改變至

90

而增加，而第 4 模態則呈相反趨勢。

(6) 不同寬厚比亦為改變

b

₁/ ₁，

c

₁/ ₁及

對頻率影響之趨勢。例如當

₁/

h

=20 時，

1 1/ 

c

=1/4，

b

₁/ ₂=1/2 且₃/ ₁=1/4 之前 5 模態自然振動頻率均較

c

₁/ ₁=1/2，

b

₁/ ₂=1/2 且₃/ ₁=1/4 者低；但於₁/

h

=10 時，則不盡然如此。

(7) 從節點模式可發現當₃/ ₁=3/4 時，其節點模式大部份均與₃/ ₁=0 或 1/8 者大不相 同，因此，其頻率改變也相對大。

第六章 結論

本結論將依本研究之四大主題來分述：

6.1 應力奇異性

本研究提出以特徵函數展開法求解三條位移分量表示之偏微分方程式，並探討各種不 同邊界條件下，在厚板角隅處之 Williams-type 漸近解。此特徵方程式決定彎矩和剪力奇異 性階數。值得注意的是，在相同邊界條件下，彎矩奇異性所顯示出的特徵現象完全不同於 剪力奇異行為。

漸近解之正確性，可透過與正確解之彎矩和剪力奇異行為相比較之下得知。而所比較 之正確解為徑向邊界皆為第一型簡支撐之扇形板自由振動解析解。此外，針對徑向邊界為 F_ F 之特徵方程式，則符合完全自由端的楔形板之三維線彈性之解。

除了徑向邊為簡支撐(S(I))之案例外，一階剪力變形板理論之特徵方程式完全異於古典 薄板理論。邊界條件與尖角角度()大小決定了一階剪力變形板理論或古典薄板理論何者 具有較大的彎矩奇異性。不過，由於古典薄板理論沒有考慮剪力變形的影響，故古典薄板 理論比一階剪力變形板理論具有較強的剪力奇異性。

在

小於 60

^時，不論是何種邊界條件都不會有彎矩奇異性。相對地，在

大於 180

^ 時，不論是何種邊界條件都會產生彎矩奇異性。C_ F 邊界條件下，當小於

105

^時，比其 他邊界條件者具有較強的彎矩奇異性。

各種邊界條件只要在大於

180

^時，就會產生剪力奇異性。對於徑向邊界條件 C_F，

S(I)_ F 和 S(II)_ F，在

大於 90

^時，就會發生剪力奇異性。

6.2 扇形板之振動分析

在 Ritz 法，於傳統允許函數，三角函數多項式中加入角函數，有效加速扇形板數值結 果的收斂性。角函數主要的影響是精確地提供了尖銳角附近之彎矩與剪力奇異性。若尖銳 角附近之彎矩或剪力以振盪的方式趨近於無限大時(當

為複數)，則允許函數必須能顯示

_k

正確的彎矩或剪力奇異階數，並且須能準確地描述該振盪行為。

本研究針對各種不同邊界條件和不同扇形角角度情況下之厚扇形板(

h / a  0 . 1

及

2

. 0 / a 

h

)，提供了詳細的數值結果。本研究所得頻率之有效位數至少三位。一般來說，

振動頻率會隨著角度的增加而減，而無因次化頻率(

 a

²

 h

/

D

)會隨著厚度的增加而減 少，對於節點模態也是首先出現在文獻中。這些可靠的資訊不僅提供了對扇形板振動更進 一步的了解，也給予其他計算方法(例如：有限元素法，邊界元素法或微分數值法)有了參 考與比較的依據。雖然本研究只考慮扇形板之振動行為，但此方法也易延伸至具有 V 型缺 口圓板振動之研究。

6.3 斜形板之振動分析

本研究再次利用 Ritz 法，及搭配 Mindlin 板理論，求解出懸臂斜三角形板，梯形及平 行四邊形板之準確自然振動頻率。本研究除了在允許函數中加入完備地多項式函數，並結 合角函數；不祇可以描述固定端凹角(re-entrant corner)處之彎矩與剪力奇異行為，更可以滿 足凹角處自由端彎矩為 0 之邊界條件。

針對各種不同形狀板之收斂性分析，了解到將角函數引入多項式之允許函數中，對於 Ritz 法中決定板振動頻率之影響。事實證明，加入角函數對於加速解之收斂性確實有很大 的效能。如此一來，不僅可以從較小的特徵值行列式中獲得精確的頻率，也可減少奇異矩 陣的發生。

針對臂斜三角形板，梯形及平行四邊形板，將本研究方法所獲得之結果與文獻者比較，

發現前者之精確度較高。特別是針對大角度(



45^o)的厚板時，明顯地看的出改善的程度。

本研究方法易於改變至分析其他形狀，且由邊界條件引起的應力奇異性之 Mindlin 板。除了可以處理固定端-自由端邊界所造成的尖銳角以外，亦可將此方法應用於其他不同 邊界下的尖銳角，例如，裂縫或缺口(邊界為自由端-自由端)之問題也令人矚目。因此，雖 然本研究方法只有探討到自由振動的問題，但是也可將此法應用於其他板的問題，如靜載 重，挫掘或動力反應等。

6.4 具有裂縫矩形板之振動分析

本研究以有限元素法為基礎，引進角函數來探討具有奇異應力矩形 Mindlin 板之問

本研究以有限元素法為基礎，引進角函數來探討具有奇異應力矩形 Mindlin 板之問

在文檔中 具應力奇異點之Mindlin板振動問題探討(III) (頁 47-54)