具應力奇異點之Mindlin板振動問題探討(III)

行政院國家科學委員會專題研究計畫 成果報告

具應力奇異點之 Mindlin 板振動問題探討(3/3)

計畫類別： 個別型計畫 計畫編號： NSC93-2211-E-009-009- 執行期間： 93 年 08 月 01 日至 94 年 10 月 31 日 執行單位： 國立交通大學土木工程學系(所) 計畫主持人： 黃炯憲 計畫參與人員： 張明儒、洪彥斌、劉凱明 報告類型： 完整報告 處理方式： 本計畫可公開查詢

中 華 民 國 94 年 12 月 10 日

行政院國家科學委員會補助專題研究計畫

■ 成 果 報 告

□期中進度報告

具應力奇異點之 MIndlin 板振動問題探討

計畫類別：■個別型計畫

□整合型計畫

計畫編號：NSC 93－2211－E－009－009－

執行期間：92 年 8 月 1 日至 94 年 7 月 31 日

計畫主持人：黃炯憲

共同主持人：

計畫參與人員：張明儒、洪彥斌、劉凱明

成果報告類型(依經費核定清單規定繳交)：□精簡報告

■完整報告

本成果報告包括以下應繳交之附件：

□赴國外出差或研習心得報告一份

□赴大陸地區出差或研習心得報告一份

□出席國際學術會議心得報告及發表之論文各一份

□國際合作研究計畫國外研究報告書一份

處理方式：除產學合作研究計畫、提升產業技術及人才培育研究計畫、

列管計畫及下列情形者外，得立即公開查詢

□涉及專利或其他智慧財產權，□一年□二年後可公開查詢

執行單位：國立交通大學

中

華

民

國

94 年

12 月 31

日

目錄

摘要 i 第一章 背景及目的 1 第二章 奇異漸近解之推導 6 第三章 扇形板之振動分析 19 第四章 斜形板之振動分析 26 第五章 裂縫矩形板之振動分析 33 第六章 結論 45 參考文獻 48 表格 54 圖 85

摘要

關鍵詞：應力奇異；特徵函數展開法；Ritz 法；有限元素法；振動分析 板是工程設計上(土木工程、機械工程、航空工程…..等)之主要構件之一。Mindlin 板 理論亦經常被使用於板相關問題分析上。由於外力點荷重、點彎矩及邊界之不連續性與尖 角之存在，應力奇異點常發生於板相關問題。該奇異點須準確地處理，方能使得相關之數 值分析解得到準確的答案。但依文獻回顧，目前對 Mindlin 板理論，由於邊界不連續或尖 角之存在而引致之應力奇異階數，並未有一完整之探討。更不用論將其應用於含有應力奇 異點且幾何較複雜問題之數值分析解。本研究即此相關問題深入探討。 本研究首先以特徵函數展開法(eigenfunction expansion)，求解由於邊界不連續或尖角 之存在所引致 Mindlin 板應力奇異之解析漸近解，以求得各種不同條件下之應力奇異階數 及其對應漸近解函數。 本研究把所得之漸近解函數融合於 Ritz 數值分析法中，分析含有 V 型開口圓形板及懸 臂斜板(cantilevered skewed plates)之振動問題。並進行此等板幾何參數(如 V 型開口大小及 位置)探討，以了解該等參數對板振動之影響。並從 Ritz 法中探討漸近解函數於數值分析 法中收斂性之效益。

最後，本研究將所得之漸近解函數，進一步融合於有限元素法中 。並提出新融合方式， 以使得該漸近解函數能被更廣泛地應用於解含有應力奇異點之板問題。所提解題程序被應 用於解 V 型開口圓形板及含有裂縫矩形板之振動問題，並進行相關參數探討。

Abstract

Keywords: Stress Singularity, Eigenfunction Expansion, Ritz Method, Finite Element Approach, Vibration Analysis

Plates are widely used components in engineering applications for civil engineering,

mechanical engineering, and aerospace engineering. The Mindlin plate theory is often applied to

describe the behaviors of plates. It is well known that stress singularities arise in the

mathematical solutions of plate problems, which can be due to concentrated forces and moments,

discontinuities in edge conditions or sharp corner. It has been pointed out and numerically

shown that if singularities due to discontinuities in edge conditions or sharp corners are not

properly considered in numerical solutions, significant errors will occur in the calculated global

behavior of plates, such as static deflection, free vibration frequencies, forced dynamic response,

and critical buckling load. However, there is no comprehensive study in the stress singularities

for the Mindlin plate theory. Consequently, it is also short of accurate numerical solutions for the

plates with stress singularities. It is the main purpose of this study to investigate the stress

singularity behaviors of Mindlin plates due to discontinuities in edge conditions or sharp corner

and apply these results to some well known numerical solution techniques to solve some

complicate vibration problems involving stress singularities.

Eigenfunction expansion approach is applied to find the asymptotic solution for stress

singularity behavior in the Mindlin plate theory. The singularity orders corresponding to various

combinations of edge conditions will be determined and expressed in graphic form. The results

will be compared with those for thin plate theory.

The obtained asymptotic solutions are used in the Ritz method and to solve the vibration

problems such as circular plates with V notches and cantilevered skewed plates. Parameter

studies are carried out to investigate the effects of V notches and skewed angles on the

approach are also investigated.

Finally, the obtained asymptotic solutions are further used in conventional finite element

approach. A new approach is proposed so that the proposed approach can be broadly applied to

solve the vibration problems with complicated geometry and stress singularities. Numerical

investigations on the vibrations of circular plates with V notches and rectangular plates with

第一章 背景及目的

板構件常見於許多工程應用，例如土木工程，航空工業，機械工程等等。在板結構之 設計上，常會產生應力奇異(singularity)之問題。其發生的原因有：(1)幾何形狀之不連續， 如裂縫尖銳切角或邊界條件；(2)載重如單點載重或衝擊載重；(3)材料性質如複合材料之性 質之陡變。當所分析之結構元件含有奇異點時，須找到能夠正確描述奇異點特性之漸近 解，方能得到準確之數值解。例如於一般有限元素中，以奇異元素(singular element)(例如 Yosibash 和 Schiff, 1993)，或針對薄板理論中在 Ritz 法將角函數(corner function)引入允許函 數(admissible function)中(例如 McGee 等人, 1992a；Leissa 等人, 1993)。

薄板理論或是平面彈性問題之應力奇異性探討，在 1970 年代已被廣泛的研究(參看下 節之回顧)；但是於利用厚板理論之研究，則非常少且未完整。故本研究主要利用一階剪力 變形板理論，探討具有幾何應力奇異點板振動行為。從推導一階剪力變形板理論應力奇異 解，再將該解應用於傳統之數值分析法如 Ritz 法和有限元素法，探討扇形板(參見圖 1.1)、 懸臂斜形板(參見圖 1.2)及具有裂縫矩形板(參見圖 1.3)之振動行為，以改進其解(含應力奇 異點)之精確度。以下回顧本研究四大主題相關文獻：板理論之幾何應力奇異行為、扇形板 振動分析、懸臂斜形板振動分析及具有裂縫矩形板之振動分析。

1.1

板理論之幾何應力奇異行為

彈性板之應力奇異性時常發生於邊界條件及幾何不規則處，如存在於 V 型缺口板之角 隅尖端，或是有缺角的不規則形狀。準確地決定應力奇異行為的重要性不僅僅只是對破壞 力學(Williams, 1966)而言，對於任一含尖銳角之複雜問題進行數值分析(Bartholomew, 1978) 也是一樣重要。 文獻中已有了許多關於板由形狀幾何與材料所引起應力奇異之文章，但大多數以古典 薄板理論或平面線彈性理論為主。Williams [1952a, 1952b]首先分析均質等向扇形板，探討 由邊界條件所引起之應力奇異解問題。接著，Williams 及 Chapkis [1958]擴展 Williams [1952a, 1952b]之研究至極正向性薄板(polarly orthotropic plate)。Hein 和 Erdogan [1971]，Bogy 和 Wang [1971]應用 Mellin 轉換，探討雙材料(bi-material)楔形區域之應力奇異行為。Dempsey

和 Sinclair [1979]以一新 Airy 應力函數求解等向板受拉力所引致之應力奇異解。Ting 和 Chou [1981]應用 Stroh [1962]法求解異向性(anisotropic)楔形板受拉力之應力奇異問題。 Ojikutul 等人 [1984]則探討層狀複合薄板之應力奇異行為。Sinclair [2000]求解受彎矩之彈 性角板(angular plate)，於各種齊性(homogeneous)與非齊性(nonhomogeneous)邊界條下之應 力奇異解，此處之應力奇異性含對數項所造成者(即lnr，在r0)，不同於 Williams [1952a, 1952b]之應力奇異解。 一階剪力變形板理論已廣為許多學者採用於厚板或積層板(laminated plate)的分析；但 該理論因幾何不連續所引起之應力奇異解，則鮮少有人探討。針對一階剪力板奇異解問題 之研究，Burton 和 Sinclair [1986]利用應力位能函數探討由六個邊條件所引起之應力奇異 解，但此解並沒有考慮剪力造成的奇異性。Huang 等人 [1994]則透過求取徑向簡支撐扇形 Mindlin 板之正確解，探討應力奇異現象。Burton 和 Sinclair [1986]解中，只能描述彎矩奇 異性，無法滿足剪力奇異性的條件，然而 Huang 等人 [1994]解中，卻證明了剪力奇異解之 存在。依本研究之成果，Huang [2003]利用特徵函數展開法求解扇形板各種徑向邊界條件 組合之應力奇異解；該奇異解具有彎矩奇異性及剪力奇異性。Huang [2002a]使用特徵函數 展開法進一步推導雙材料楔形複合板之應力奇異解，並探討雙材料界面接合處及尖銳角處 之奇異現象。Huang [2002b, 2004]再進一步擴展其對 Mindlin 板奇異解之探討至 Reddy 三 階板理論及更高階板理論。

1.2

扇形板之振動分析

Leissa [1969, 1977a, 1977b, 1981a, 1981b, 1987a, 1987b]，在文中回顧了上千篇在 1985 年以前有關薄板及厚板振動的相關文章。Liew 等人 [1995]則將回顧的焦點集中在 1994 年 以前有關厚板振動的文獻。從這些回顧發現，對於扇形板振動之研究遠少於對圓形、矩形、 環狀扇形板。扇形板尖銳角處之彎矩與剪力奇異性的存在，增加了這類平板在求取精確頻 率及振動模態上，數值分析過程的困難度。

過去，已經有一些薄扇形板振動分析之相關論文。基於古典薄板理論，Huang 等人 [1993]首先提出徑向簡支撐扇形板之正確解析解(exact analytical solution)。但其他徑向邊界 條件之扇形板則未有正確解析解；因此，發展出各種數值解，例如：能量法(Rubin, 1975； Bhattacharya 和 Bhowmic, 1975)，有限元素法(Houmat, 2001)，有限條狀法(finite strip

method)(Cheung 和 Chan, 1981)，微分數值法(differential quadrature method)(Wang 和 Wang, 2004)以及 Ritz 法(Leissa 等人, 1993；McGee 等人, 2003)。然而上述這些數值方法當中，又 以由 Leissa 等人[1993]和 McGee 等人 [2003]所提出的解法最準確，因為在 Ritz 法中之允 許函數包含了角函數，該角函數能準確地描述扇形板尖銳角附近區域的彎矩奇異行為。關 於實驗方面，則有 Waller [1952]，Maruyama 和 Ichinomiya [1981]各自針對邊界為自由端與 固定端扇形板之振動行為所作的研究。

雖然眾所皆知分析厚板或者是決定薄板高模態之振動頻率，剪力變形或旋轉慣量是為 重要因素，但很少研究利用 Mindlin [1951]板理論或 Reissner [1945]板理論探討扇形板振動 行為。 Huang 等人 [1994]提供了徑向簡支撐扇形板之正確解析解，此解包括了原來及修 正後之 Bessel 函數。Liu 和 Liew [1999]應用微分數值法分析邊界為固定端或簡支撐之扇形 板自由振動；事實上，他們是將扇形板考慮成內半徑和外半徑比為 0.00001 的環狀扇形板， 而內半徑的邊界條件為自由端，以致於不須考量扇形角處之彎矩與剪力奇異性。Liu 和 Liew [1999]所得解之精確度取決於內外半徑比以及內半徑的邊界條件。另外，有許多學者利用 不同方法來探討環狀扇形板之振動問題(例如：Guruswamy 和 Yang, 1979；Cheung 和 Chan, 1981；Srinivasan 和 Thiruvenkatachari, 1985；Mizusawa, 1991；Xiang 等人, 1993；Mizusawa 等人, 1994；McGee 等人, 1995a；Liew 和 Liu, 2000)；其中只有 Xiang 等人 [1993]分析內

外半徑比為 0.00001 之情況，而且其扇形角小於  90 。 根據上述的相關文獻可知，需要發展出各種邊界條件下在尖銳角附近，具有彎矩與剪 力奇異性的數值解，以求獲得更精確的厚扇形板之振動頻率。本研究利用 Ritz 法，其位移 允許函數除了有一組具完備性的多項式函數外，並結合具有彎矩與剪力奇異性之角函數。 角函數將相當有效地加速了數值結果的收斂。本研究將分析不同的邊界條件、不同的角度 (90，  180 ，  270 ，  300 ，  330 及  355 )與不同的厚徑比(h/a0.1或0.2)之扇形板。

1.3

懸臂斜形板之振動分析

如圖 1.2 所示之懸臂斜形板常被應用於工程上(如飛機翼或導向飛彈之平衡翼)。懸臂 斜三角形板或平行四邊形板可視為梯形板之特殊案件。在圖 1.2 中，若c/b0，則為斜三 角形板；若c/b1，則為平行四邊形板。複雜之邊界條件和幾何形狀導致該問題沒有正確

依據古典薄板理論， Leissa [1969, 1977a, 1981a, 1987a]收集並回顧了早期分析探討此類板 之文獻，而近期相關研究則可參考 McGee 等人 [1992a, 1992b]之文章。由於奇異應力點之 存在，以上文獻用了許多不同的方法，所得到之結果卻有明顯的差異。

利用考慮剪力變形及旋轉慣量之板理論，分析斜形板之文獻並不多見。McGee 和 Butalia [1992c]利用高階板理論及有限元素法，分析懸臂斜梯形及三角形板之振動。 Karunasena 等人 [1996]則以 Mindlin 板理論，利用 pb-2 Rayleigh-Ritz 法分析懸臂斜三角形 板。Kanaka 和 Hinton [1980]及 Liew 等人 [1993]依據 Mindlin 板理論，分別利用有限元素 法和 pb-2 Rayleigh-Ritz 法分析懸臂斜平行四邊形板。。McGee 和 Leissa [1991]以 Ritz 法與 三維彈性理論，探討懸臂斜平行四邊形板之振動行為。McGee 和 Butalia [1994]則以三種剪 力變形的厚板理論，並使用 9 個節點之 Lagrangian 等參數元素分析斜板振動行為。 利用古典薄板理論，McGee 等人 [1992a, 1992b]於數值近似法中引入應力奇異函數， 為了獲得更精確的懸臂斜形板振動頻率。但是，上述關於懸臂斜三角形、梯形、平行四邊 形厚板之文獻，均沒有考慮應力奇異性。McGee 和 Butalia [1994]藉由有限元素法，分析懸 臂斜形板之收斂性中發現，數值結果的收斂性有隨斜角的增加變差。另外，Karunasena 等 人 [1996]亦承認利用 pb-2 Rayleigh-Ritz 法分析懸臂斜三角形 Mindlin 板所得之結果，在大 斜角時並不精確；因為，沒有將應力奇異性考慮進去。因此，實有必要利用更準確之數值 法再重新檢驗文獻上有關懸臂斜形厚板之結果。 本研究的目的即為提出一精確的數值方法，使用 Ritz 法及加入角應力奇異性來探討懸 臂斜三角形、梯形、平行四邊形 Mindlin 板之自由振動問題。Ritz 法已被廣泛應用於結構 元件振動行為之研究。Ritz 法中常選用多項式函數當允許函數，然而，大量的多項式函數 卻容易讓求解特徵值問題的過程，造成奇異矩陣(ill-conditioned matrix )。本研究除了使用 多項式函數外，並同時引入角函數(corner functions)，以加速數值解之收斂。含有彎矩與剪 力奇異性的角函數即為本研究所得之漸近解。因此，角函數不只可以適當地描述懸臂斜形 板固定端凹角處(re-entrant)之奇異行為，更可以同時符合位移及部分力的邊界條件。從各 種不同斜角之收斂性分析中，將證明角函數對數值結果之精確度的影響。本研究將探討懸

臂斜梯形板之振動頻率，考慮各種不同的斜角、幾何比(aspect ratios)

 

a /b 、翼弦比(chord

ratios)

 

c /b 以及厚度比(thickness ratios)

 

h /b ，並與過去的文獻所獲得的結果作比較，以

1.4

具有裂縫矩形板之振動分析

傳統上，考慮奇異點之應力奇異特性的有限元素方法有二；一為利用奇異元素(singular element)正確地描述應力隨 r 趨近於零而趨近於奇異之階數，而另一種為疊加應力奇異解於 有限元素。後者另有兩種方式處理：【1】為該應力奇異解含蓋整個問題之幾何區域(Igarashi 和 Honma, 1996)；【2】為該應力奇異解只含蓋奇異點附近之區域，然後再用所謂之 “transfinite elements”，連接該區域與外面由正規(regular)有限元素所含蓋之其他區域 (Yosibash 和 Schiff, 1993)。本研究將採用類似第【2】種方式，但不需有“transfinite elements”。本研究主要是探討具裂縫之 Mindlin 矩形板，以下是針對本研究的實例分析相 關文獻做一概略回顧。

利用古典板理論分析具裂縫板，Lynn 與 Kumbasar [1967]首先利用 Green 函數推導出 Fredholm 第一型積分方程式，分析具之有裂縫簡支承矩形薄板之自然振動。Stahl 與 Keer [1972]進一步發展出 Fredholm 第二型積分方程式，來決定具裂縫薄板矩形板之自然振動；

Solecki [1983]則利用有限傅立葉轉換。Lee [1991]利用 Ritz 法分析邊界條件為簡支承及

固定端且具有環向裂縫的環狀薄板。Yuan 等人 [1993]也用了 Ritz 法對具有不同邊界條件 的徑向、環向裂縫之環狀板及十字裂縫之圓形板作分析。Khadem 和 Rezaee [2000]以古典 板理論，利用 Ritz 法並代入“modified comparison function”分析具裂縫的矩形板。

利用 Mindlin 厚板理論分析具裂縫版，Qian 等人 [1990]用有限元素法分析在板中央有 不同長度裂縫的簡支承矩形厚板；Lee 和 Lim [1992]用 Ritz 法分析含有裂縫之簡支承矩形 厚板的振動。

綜觀上述前人有關矩形裂縫板振動之研究，其數值解均未考慮奇異點之特性，本研究 將以一階剪力變形板理論為基礎，提出以有限元素法(搭配二階形狀函數)，在包含奇異點 元素引入奇異點之漸近解(即角函數)；用以求取含有奇異點厚板之自然振動頻率。

第二章 奇異漸近解之推導

2.1

基本公式

應用無外力作用下之一階剪力變形板理論 ，並配合漢米爾頓變分原理(Hamilton Principal)，可以推導出系統之平衡方程式。以極座標(參見圖 2.1)表示平衡方程(參見 Mindlin [1954])： 0 1 , ,      r _r r r r Q r M M M r M _  (2.1a) 0 2 1 , ,    r  r r r Q r M M r M _{ }  (2.1b) 0 1 , ,   Q r r Q Qrr r (2.1c) 式(2.1)中，下標”

,

”代表對自變數r或之微分，M 為垂直於r r面上沿方向每單位長度的 彎曲力矩，M 為垂直於_ 面上沿r方向每單位長度的彎曲力矩，M_r為垂直於r面或面 上沿方向或r方向每單位長度的扭轉力矩，Q 為於垂直r

r

之面上沿z方向每單位長度的

剪力(shear force intensity)，Q 為在垂直之面上沿_ z方向每單位長度的剪力。

在一階剪力變形板理論中，力(stress resultants)與位移分量的關係式為： )] ( [ , 1 ,        r r r r D r M (2.2a) ] ) ( [ , , 1 r r r r D M_  _  (2.2b) ] ) ( [ 2 ) 1 ( , , 1 r r r r D M _   __ _ (2.2c) ) ( _, 2 r r r Gh W Q    (2.2d) ) ( 1 _, 2    Gh r W Q    (2.2e)

其中W為中平面(midplane)之垂直向位移，、r  分別為徑向與環向撓曲造成中平面上之 轉角，h 為板厚度， E 為彈性模數，為波松比，G 為剪力模數， 為剪力修正因子，D2 為撓曲剛度( ) 1 ( 12 2 3    Eh D )。 之值，Reissner [1945]取為2 6 5 ，而 Mindlin [1951]則取為 12 / 2  。將式(2.2)代入式(2.1)中可得到以位移分量所表示的平衡方程式表示如下： ) 2 )( 1 {( 2 , 2 2 , 2 , 1 ,                  r r r r D r r r r rr r )} )( 1 (  _r,rrr 2_r r 1_r,r r 2,r 1_,r      0 ) ( _, 2 _{  } Gh r Wr (2.3a) ) 2 )( 1 {( 2 , 2 2 , 2 , 1 ,       rr r r r r r r D               )} )( 1 ( , 1 , 2 , 2 r r r r r r               0 ) ( 1 _, 2        Gh r W (2.3b) . 0 ) ( _, 1 _, 2 _{, ,} 1 1 _, 2 _ _ _{ }__{ }    GhW_rr r W_r r W _rr r _r r (2.3c) 利用分離變數的觀念，將式(2.3)中的三個位移分量假設成下列形式： ) ( ) , (r e r r p r      , _(r,)ep_(r) 和 W(r,)epwˆ(r) (2.4) 上式中 p 可為一複數，將式(2.4)代入式(2.3)中，整理得 ) 2 ) 1 ( )( 1 {( 2 2 2 2 1       _ _{ }  _   r p r pr D r r r 0 ) ˆ ( )} )( 1 (   2  1  2  1   2         w Gh pr pr r r r r r r         _{ } (2.5a) ) 2 ) 1 ( )( 1 {( 2 2 2 2 1 r pr r p r D _{   }          0 ) ˆ ( )} )( 1 (  2 2  2  1  2   1       w pr Gh pr pr r p  r r    (2.5b)

0 ) ˆ ˆ ˆ ( 1 2 2 1 1 2             Gh w r w p r w _r r _r pr (2.5c) 上式中上標“´”表示對 r 微分，式(2.5a)~(2.5c)為一組變係數常微分方程，可利用 Frobenius 級數來求解。

2.2

彎矩奇異性之漸近解

假設板的三個位移分量與 r 相關的函數為：



   0 2 2 ) ( m m m r r a r   ,



   0 2 2 ) ( m m mr b r    and



    0 1 2 2 ) ( ˆ m m mr c r w  (2.6) 可為一複數，且在 r 趨近於 0 時， 之實部必須大於 0，以滿足位移分量的正規情況 (regularity conditions)。倘若將式(2.6)代入式(2.2)，則在 r=0 處會發生彎矩奇異(singular moments)的現象，但不會引致剪力的奇異性。式(2.6)代入式(2.5)，整理得      

_

_{       }    0 2 2 2 2 2 2 ] ) 3 ) 1 )( 2 (( )) 1 ( ) 2 ( 2 2 [( 2 m m m m p m b r a p m D _{    } 



  _      0 2 2 2 2 0 ] ) 1 2 ( [ m m m m m c r a Gh    (2.7a)      

_

_{         }    0 2 2 2 2 2 2 2 ((1 )(( 2 ) 1) (1 ) ) ] )) 2 )( 1 ( 3 [( 2 m m m m m p p b r pa m D _{    } 



  _    0 2 2 2 2 0 ] [ m m m m pc r b Gh   (2.7b) 0 ] ) 1 2 ( ) ) 1 2 [(( 2 1 0 2 2 2 2 2           



m m m m m m a pb r c p m    (2.7c) 為滿足式(2.7a)~(2.7c)， r 之不同階數係數必須為 0。因此，



2 2 2 2



2 2 ] 3 ) 1 )( 2 2 [( )] 1 ( ) 2 2 ( 2 2 [( 2  m  p  a m p m    bm D _{    } m m m c a Gh _{2 2} 2 _[ ₍ ₂ ₁₎     (2.8a)



[3 (1)( 2 2)] _ [(1)(( 2 2)  1) 2 2 2 2 2 m p pa m D m     



[ ] ] ) 1 ( p2 b_2m2 2Ghb_2m pc_2m (2.8b) 0 ] ) 3 2 [( ) 3 2 ( 2 2 2 2 2 2 2 2          m a m_ pb m_  m p c m_ (2.8c) 且 0 ] 3 ) 1 [( ] 2 2 )] 1 [(  p2  2 a₀p  b₀  (2.9a) 0 ] ) 1 ( ) 1 )( 1 [( ] ) (1 3 [    a₀  2p2   p2 b₀ p     (2.9b) 0 ] ) 1 [( ) 1 (  ₀ ₀  2 2 ₀   a pb  p c (2.9c) 式(2.9)中之a 、₀ b 及₀ c 一組齊次線性代數方程式之解；故₀ a ，₀ b ，₀ c 有非零解(nontrivial₀ solution)時，p 須滿足

 

1   i  p 和 pi

 

1 (2.10) 當pi(1)，b₀ ia₀，且c 是未定係數。₀ 當pi(1)，b₀ k₁a₀，c₀ ₁a₀ (2.11) 其中 )] 1 )( 1 ( ) 1 ( 2 [ )] 1 )( 1 ( ) 1 ( 2 [ 1                 i k (2.12a)            3 1 1 (2.12b) 因此，從以上推導知，







          _{ }   0 2 3 , 2 ) 1 ( 0 2 2 , 2 ) 1 ( 0 2 1 , 2 ) 1 ( m m m i m m m i m m m i r e a r e a r e a r         



     0 2 4 , 2 ) 1 ( m m m i r a e    (2.13a)







          _{ }   2 3 , 2 ) 1 ( 2 2 , 2 ) 1 ( 2 1 , 2 ) 1 ( m m i m m i m m i r b e r b e r b e          



     0 2 4 , 2 ) 1 ( m m m i r b e    (2.13b)







             _{ }  0 1 2 3 , 2 ) 1 ( 0 1 2 2 , 2 ) 1 ( 0 1 2 1 , 2 ) 1 ( m m m i m m m i m m m i r c e r c e r c e W         



      0 1 2 4 , 2 ) 1 ( m m m i r c e    (2.13c) 其中b_0,1 ia_0,1，b_0,2 ia_0,2，b_0,3 k₁a_0,3，b_0,4 k₁a_0,4，c_0,3₁a_0,3，c_0,4 ₁a_0,4；而a_0,1， 2 , 0 a ，a0,3，a0,4，c0,1和c0,2為待定係數。式(2.13)中的其他係數可從式(2.8)來決定。 式(2.13) 亦可表示成 ) ( ) ) 1 sin( ) 1 cos( ) 1 sin( ) 1 cos( ( ) , (  ₁   ₂   ₃   ₄   2  _{        }   r O r A A A A r r ) ( ) ) 1 sin( ) 1 cos( ) 1 sin( ) 1 cos( ( ) , (  ₂  ₁  _{2 4}  _{2 3}   2    r A   A   k A   k A  r O r 1 4 1 3 1 2

1cos( 1) sin( 1) cos( 1) sin( 1) )

( ) , (r C  C  A A  r W ) ( 3   r O _(2.14) 上 式 中 ， A1 a0,1 a0,2 ， A2 i(a0,1 a0,2) ， A3 a0,3 a0,4 ， A4 i(a0,3 a0,4) ， 2 , 0 1 , 0 1 c c C   ，C₂ i(c_0,1 c_0,2)，k₂ ik₁。這些係數決定於邊界條件。 扇形板尖角處之應力奇異性決定於其邊界條件。在一階剪力變形板理論中，其徑向邊 界條件有四種(其中 )：₀ 固定端

     

r,₀  r,₀ _r,₀ 0 W _r (2.15a) 自由端

 

,0  

   

,0   ,0 0 r M r Q r M r (2.15b) 第一型簡支撐端

   

r,0  r,0 M

 

r,0 0 W r (2.15c) 第二型簡支撐端

 

r,₀ M_

 

r,₀ M _

 

r,₀ 0 W _r (2.15d) 以下將針對一為固定端，另一為自由端之徑向邊界條件，闡述其求取特徵方程式 (characteristic equation)之值的過程，以及其所相對應的位移場漸近解。將式(2.14)代入式 (2.15a)及(2.15b)，可以得到一組六元一次聯立方程式，為扇形角(參見圖 2.1)： 0 3 1 A  A (2.16a) 0 4 2 2  Ak  A (2.16b) 0 3 1 1 A  C  (2.16c)

   

   

   

   1 cos 1 ₂ 1 sin 1 1   A   A

 



₂ 1 1



cos

 

1 ₄



₂

 

1 1



sin

 

1 0 3           A k     A k     (2.16d)

 

  

 

 

    

  

sin 1 2 cos 1 1 1sin 1

2 1   2   3 2    A A A k

    

1 ₂ 1cos 1 0 4     A k    (2.16e)

 

 1 cos

 

 1



 

  

sin  1 sin 2 3 1 2 1 1        A A A k



_{1 2} ₁

  

cos  1 ₁

   

1 sin  1 4       A k C

   

1 cos 1 0 2    C    (2.16f) 整理之後，可得一組三元一次聯立方程式



 

 





(1 )cos( 1) ₂( 1)  1cos ( 1)



1   k     A



 









₂( 1) 1sin ( 1) ₂ (1 )sin ( 1)



0 4         A k     k     (2.17a)











2sin ( 1) (1 2)( 1)sin ( 1)



1    k   A











(1 2)( 1)cos( 1) 22 cos( 1)



0 4       A k    k    (2.17b)















sin ( 1) (_{1 2} ₁)sin ( 1) ₁(1 )sin ( 1)



1    k      A











₂ cos ( 1) (_{1 2} ₁)cos( 1)



4       A k k







(1 )cos( 1)



0 2     C    (2.17c) 因為A、1 A4、C2有非零解，故以上聯立方程組的係數矩陣之行列式值要等於 0。結果可 得到兩條特徵方程式： 0 ) 1 cos( (2.18) ) 1 )( 3 ( sin ) 1 ( 4 sin 2 2 2 2            (2.19) 但當cos(1)0 時，會造成 A、1 A4、C2皆為 0，此結果與上述假設矛盾，故此特徵方 程式不該取。 將式(2.19)代回式(2.17)可解出A₁、A₄、C₂等係數，可求得具有彎矩奇異性之漸近解，整 理如下： } ) 1 sin( ) 1 cos( ) 1 sin( ) 1 {cos( ) , (  1   21     1    _{      }  r r Ar k } ) 1 cos( ) 1 sin( ) 1 cos( ) 1 sin( { ) , (  1   21   2   21               r Ar k k k } ) 1 sin( ) 1 cos( ) 1 sin( ) 1 cos( { ) , ( 1 2 1 1 1 1 1             _  _{      } r A r W (2.20) 其中

 

 

cos

 

 

1 /2 2 / 1 cos 1 1 1 2 1 _{ }                k (2.21a)



  

   

1 sin 1 /2 2 / 1 sin 1 1 2 1 1 2 _{  }                k (2.21b)

)] 1 )( 1 ( ) 1 ( 2 [ )] 1 )( 1 ( ) 1 ( 2 [ 2                 k (2.21c) 表 2.1 與表 2.2 分別將不同徑向邊界條件組合下之特徵方程式及其對應的角函數均列 於 其 中 。 表 2.2 之 角 函 數 ， 當 兩 徑 向 邊 界 條 件 相 同 時 ， 角 度 所 考 慮 的 範 圍 為 2 / 2 /       ；如此，將有助於具有對稱性問題的推導。其他情況下之角度範圍，則為    0 。從表 2.1 中，針對一階剪力變形板理論在十種徑向邊界條件組合下之特徵方程 式可發現，兩邊徑向皆自由端與兩邊徑向皆為第二型簡支撐端之特徵方程式相同。此結果 顯示出特徵方程式與邊界條件W 和Q 無關，但此兩種型式之邊界條件卻產生不同角函數_ (可參見表 2.2)。 以下，將 C 與 F 分別定義成固定端及自由端邊界條件，而 S(I)與 S(II)則定義為第一型 及第二型簡支撐端邊界條件。在 r 趨近於 0 時，值之實部必須大於 0，以滿足位移分量 的正規情況。各種邊界條件在此限制下，值之實部最小值隨尖銳角()之變化，可參見 圖 2.2。其數值結果所使用之波松比()為 0.3。彎矩造成之應力奇異性發生在 值之實部 小於 1 時。曲線 1 和曲線 6 之曲折尖端處是由於對稱與反對稱模態改變所致。例如，當尖 銳角()小於  180 時，曲線 6 之值實部是由對稱部分的特徵方程式所決定；相反地，當 尖銳角()大於  180 時，則是由反對稱部分的特徵方程式所決定。曲線 2 及 5 的非平滑段 分別發生在  130 和  145 處，這現象是起因於特徵方程式之根從實數改變成複數所致，而非 曲線相交造成的。 從圖 2.2 顯示的結果可以發現，不論是任一種邊界條件下，當角度()小於  60 ，不會 發生彎矩奇異性；當角度()大於  180 ，則必然會發生彎矩奇異性。邊界條件為 C_F 和 C_S(II)時，當角度()大約比105小一點點處，會有彎矩奇異性。以下幾種情況下，皆會

產生彎矩奇異性：如邊界條件為 S(I)_ S(I)和 S(I)_C 時，在角度()大於 

90 ；邊界條件為

S(I)_ F，S(I)_ S(II)及 S(II)_ F 時，在角度()超過128；邊界條件為 F_ F，S(II)_ S(II)和

C_C 時，在角度()超過 

180 。奇異性會伴隨著角度的增加而變強，只有 S(I)_ S(I)，C_F

與 C_S(II)三種情況是例外。當角度為2時，在 F_ F，S(II)_ S(II)和 C_C 邊界條件下，會

使得彎矩奇異性的階數為 1/2

r ；然而，在 S(I)_ S(I)情形下，會得到彎矩奇異性的階數為

1 

2.3

剪力奇異性之漸近解

式(2.5)的解也可假設為下列半無限級數(infinite series)的展開式：



    0 1 2 2 n n n r a r   ，



    0 1 2 2 n n nr b    和



   0 2 2 2 ˆ n n nr c w  (2.22) 式(2.22)中是一個帶有正實部的複數，以滿足位移分量在 r=0 附近的正規情況(regularity

conditions)。倘若將式(2.22)代入式(2.2)，則在 r=0 處會發生剪力奇異(singularity of shear force)，但不會引致彎矩的奇異性。 有關剪力奇異性的漸近解之推導過程和前一節彎矩奇異性的漸近解相同，在這裡便不 再贅述。經過計算之後得三個位移表示式如下： ) ( ) ) 2 sin( ) 2 cos( sin cos ( ) , (  ₁  ₂  ₃   ₄  1 3  _{    }   r O r A A A A r r (2.23a) ) ( ) ) 2 sin( ) 2 cos( sin cos ( ) , ( 1 2 4 3 1 3  _           r B  B  A  A r O r (2.23b)



 



 

2 1 2 2 2 1

1 cos sin cos sin )

( ) , (r l A A l B B rOr W (2.23c) 其中

 

 



  



       3 1 1 2 2 1 Gh D l (2.24a)

   



 



     21 1 2 2 2 Gh D l (2.24b) 如同 2.2 節推導的過程，將式(2.23)代入式(2.15a)、(2.15b)中，可得到一組六元一次聯 立方程式： 0 3 1 A  A (2.25a) 0 4 1A  B (2.25b)

0 2 2 1 1A  Bl  l (2.25c)



1  



cos 2



1  



sin 1   A   A

    

1  1 cos 2 ₄

    

1  1sin  2 3        A A

 

cos

 

0 sin 2 1   B  B   _(2.25d)

 

 

 



   

  

sin ₂ cos ₃21 sin 2

1 A A  

A

   

1 cos 2 cos

 

sin

 

0

2 1 2

4     

A    B  B   _(2.25e)

 

cos

 

cos

 

sin

 

0

sin _{2 1 1 2 2 2} 1 1l A l Bl  B l    A (2.25f) 整理之後，可得一組三元一次聯立方程式 ] cos ) 2 cos( ) 1 )( 1 ( cos ) 1 [( 2 1 1          l l A        0 ] sin ) 2 sin( ) 1 )( 1 [( sin ) 1 ( 4 2         A    A      (2.26a) ] sin ) 2 sin( ) 1 ( 2 sin [ 2 1 1        l l A      0 ] cos ) 2 cos( ) 1 ( 2 [ cos 4 2      A   A      (2.26b) 0 ) cos ( ) cos ( ] sin sin [_{1 1 2 1 4 2} 1 l  l  A l  A l    A (2.26c) 因為A 、1 A 、2 A 有非零解，因此以上聯立方程組的係數矩陣之行列式值要等於 0。4 結果可得到特徵方程式： 0 cos (2.27a) ) 1 )( 3 ( sin ) 1 ( ) 1 ( 4 ) 1 ( sin 2 2 2 2               (2.27b)

將式(2.27)代回式(2.26)可解出A、₁ A₂、A4，可求剪力奇異性之角函數。式(2.27b)之解， 將導致A、₁ A 、₂ B 、1 B 為零而退化成 2.2 節之解。且由式(2.27a)得知2    2 ) 1 2 (   n ，在  90   時有奇異性。具剪力奇異性之漸近解如下：



     



  ) 2 sin( ) 2 cos( sin cos ) , ( 1 2 1 1         r A r r               _  _{      }

( , ) cos sin 2cos(2 ) sin(2 )

2 1 2 1 1 l l r A r       sin ) ( ) , (r A1 l_{1 1} l_{2 2} r W   (2.28) 其中 l 及1 l 如式(2.24)所示。2                   sin ) 1 ( ) sin ) 2 sin( ) 1 )( 1 (( ) 2 cos( ) 1 )( 1 ( 2 1 _{ }                      ) 2 cos( ) 1 ( 2 ) 2 sin( ) 1 ( 2 sin ) / 1 ( _{1 2} 2        l l (2.29) 各種邊界條件下，剪力奇異性所產生之特徵方程與相對應角函數的推導，如同上述之 過程，而其結果可參見表 2.3。

表 2.3 所示，特徵方程式的正根(positive root)容易獲得。如cos0和sin0時，

各自得到    2 ) 1 2 (   n 及   (n1) (n0,1,2,...)。從圖 2.3 發現，當曲線 1 與曲線 2 中 之案例，角度()分別大於 及時，會產生剪力奇異性。圖 2.3 之結果為隨角度()改/2 變而產生之最小正根。 若正根小於 1，則會使奇異階數

 

1 產生剪力奇異性。藉由圖 2.3 可知，當角度() 愈大，就會產生愈大的奇異性。特別是曲線 1 之三種案例(C_F，S(I)_ F 和 S(II)_ F)，對於 剪力所造成之奇異性就更加顯著。

2.4

結果討論

將本研究中由第一型簡支撐所得到之彎矩及剪力奇異行為，與 Huang 等人[1994]相比 較，以驗證推導結果之正確性。Huang 等人 [1994]以 Bessel 函數來表示 Mindlin 徑向簡支

撐扇形板自由振動之正確解(exact solution)：其結果顯示，當/2，彎矩奇異性階 數是/2，且無剪力奇異性存在；當3/2和3/22，彎矩奇異性階數 分別為/和2/2。當3/2，剪力奇異性階數是/1。 根據圖 2.2 中曲線 1 顯示 S(I)_ S(I)之值之實部最小值，可發現以下幾種現象：若   ，可從cos(1)/20獲得/1；若3/2，可從cos(1)/20獲 得/1；此外，若3/22，則由sin(1)/20求得2/1。總而 言之，本研究所求得之彎矩奇異行為與 Huang 等人 [1994]之結果完全相同。圖 2.3 亦顯示，

在 S(I)_ S(I)條件下之剪力奇異性，值之實部最小值為/1，亦與 Huang 等人 [1994]

所得之剪力奇異性完全相同。 從一階剪力變形板理論所推導之特徵方程式，可與三維線彈性理論所得之結果比較。 Hartranft 和 Sih [1969]根據三維線彈性理論，求取完全自由端扇形板之特徵方程式，如下 所示：    sin sin  (2.30a)    sin sin  (2.30b)   2 / (2.30c) 或  n(2 1)/ (2.30d) 其中n0,1,2,3,...。由於式(2.30c)之大於 1，以致於沒有應力奇異性產生。然而，式(2.30a) 和式(2.30b)之特徵方程式，及式(2.30d)之值與本研究之 F_F 結果完全一樣(可參看表 2.1 與表 2.3)。 表 2.1 也列出由 Williams [1952a]所得各種不同邊界條件所求得古典薄板理論之特徵方 程式，以便與一階剪力變形板理論之應力奇異行為比較。乍看一下，從表 2.1 可發現，邊 界條件相同之情況下，一階剪力變形板理論之特徵方程式卻與古典薄板理論完全不同。然 而，經過小心地研究發現，邊界條件為 S(I)_ S(I)時，有著相同的特徵方程式；原因在於， 三 角 函 數 恆 等 式 (cos(1)/2)(cos(1)/2)0 可 化 簡 成 coscos，

0 ) 2 / ) 1 )(sin( 2 / ) 1

(sin(     亦可化簡成coscos。有趣的是，在不同邊界條件 下，某些古典薄板理論之特徵方程式會出現在一階剪力變形板理論之特徵方程式中。譬 如，古典薄板理論中 S(I)_ C 之特徵方程式，等於一階剪力變形板理論中 S(I)_ F 之特徵方 程式。 圖 2.4 繪製了不同角度時，值之實部最小值，其中包括了古典薄板理論以及一階剪 力變形板理論。圖 2.4 顯示(1) 當 C_F 邊界條件時，若小於  130 ，一階剪力變形板理論 會比古典薄板理論產生較強的彎矩奇異性；若大於  130 ，則趨勢相反。(2) 當 S(I)_ F 邊 界條件時，若   270 180  ，一階剪力變形板理論會比古典薄板理論產生較強的彎矩奇 異性，而其他角度時，則剛好相反。(3) 當 F_ F 邊界條件時，一階剪力變形板理論的彎矩 奇異性一直都比古典薄板理論強。從圖 2.2 中，比較曲線 3 和曲線 4 結果顯示，針對 S(I)_ C 邊界條件，若180270，則古典薄板理論的彎矩奇異性將大於一階剪力變形板理 論；其他角度時，則剛好相反。另外，比較曲線 5 和曲線 6 可知，針對 C_ C 邊界條件， 不論是任何角度，古典薄板理論將比一階剪力變形板理論擁有較強的彎矩奇異性。 古典薄板理論並沒有將剪力變形計算在內；因此，剪力是由力平衡方程決定的。剪力 奇異性總是比彎矩奇異性強，剪力奇異性的階數比彎矩奇異性的階數少 1 階。故，古典薄 板理論中剪力奇異性要比在一階剪力變形板理論者強大。

表 2.1 中，案例 1-6 之特徵方程式與 Burton 和 Sinclair [1986]利用 Reissner 的理論所作 之結果完全相同，只是表示式不同而已。但這些學者並沒有將表 2.1 中案例 7-10 之考慮進 去。此外，他們的解也並未考慮剪力奇異性，如此，更突顯了他們解的不完整性。最後， 值得注意的是表 2.1 中邊界條件為 C_ C，C_ F 及 F_ F 之特徵方程式，與 Williams [1952b] 文中針對板承受張力(extension)之下，所得之結果相同。

第三章 扇形板之振動分析

本章將於 Ritz 法中，利用傳統滿足幾何邊界條件之完整集合允許函數，再配合由上章 所推導之漸近解，探討含有奇異點之 Mindlin 扇形板之振動行為。

3.1

研究方法

利用 Ritz 法求解板之振動頻率，須由一最小能量函數 max max T V    (3.1)

其中V_max和T_max分別為一振動週期內最大應變能及最大動能。將V_max和T_max以極座標(參見

圖 3.1)表示，如下：





_      _{ }  h

_

_

dA h

_

_

w dA T _r2 2 2 3 2 max 12 2    (3.2)

 









_                   _{ }  _{rr r rr r} r r r D V   _  _, _,  2 , , max 1 1 2 1 1 2 1

 





w dA r w Gh r r r r r r                                  _{ }  2 , 2 , 2 2 , , 1 1 1 1 2 1             (3.3) 其中 w 為中平面(mid-plane)之側向位移， 及_r  分別為徑向與環向撓曲造成中平面上之轉_ 角。h 為板厚度， E 為彈性模數，為波松比，G 為剪力模數， 2  為剪力修正因子。D 為 撓曲剛度(D hE 3/



12(12)



，為之質量密度，為板之自然振動頻率。 位移分量的允許函數假設成兩個函數之集合， ) , ( ) , ( ) , (    _r r _rp r _rc r (3.4a) ) , ( ) , ( ) , (     r p r c r (3.4b)

) , ( ) , ( ) , (r  W r  W r  w  p  c (3.4c) 其 中 _rp ， _p 及W_p 為 代 數 - 三 角 多 項 式 (algebraic-trigonometric polynomials) 函 數 ， ) , (r  rc  ，_c(r,)及Wc(r,)為描述在尖銳角處之彎矩與剪力奇異行為之角函數集合。代 數-三角多項式函數如下所示：              







( , ) ( ) ( )[ cos 1cos ] 5 , 3 1,3 1 4 , 2 2,4 1 1 2 1     j I j I r r

g

f

_B

_r

_B

_r

i i i j ij i i i j ij rp            





sin sin ] )[ ( 1 5 , 3 1,3 1 4 , 2 2,4 2 4 3

~

~

_{ }  j I j I

r

B

r

B

f

i i i j ij i i i j ij (3.5a)              







( , ) ( ) ( )[ cos 1cos ] 5 , 3 1,3 1 4 , 2 2,4 3 2 2 1      j I j I r r

g

f

_C

_r

_C

_r

i i i j ij i i i j ij p            





sin sin ] )[ ( 1 5 , 3 1,3 1 4 , 2 2,4 4 4 3

~

~

   I

_C

_r

j I

_C

_r

j

f

i i i j ij i i i j ij (3.5b)        

 



    ] cos cos )[ ( ) ( ) , ( 2 5 5 , 3 1,3 4 , 2 , 0 0,2,4 5 3     j I j I r r

g

f

_A

_r

_A

_r

W

i i i j ij i i i j ij p      





    ] sin sin )[ ( 8 7 5 , 3 1,3 4 , 2 2,4 6

~

~

_{ }  j I j I

r

A

r

A

f

i i i j ij i i i j ij (3.5c) 其中，Aij，Bij，Cij，Aij ~ ，Bij ~ 和Cij ~ 是由最小值所決定之係數。式(3.5)中，Ij 對不同 j 可取不同值。以下分析中設定I₁I₃ I₅ I₇和I₂ I₄ I₆ I₈。函數g_i(r)及 ) ( j f 則配合允許函數，使滿足環向與徑向之幾何邊界條件。 對於不同環向邊界條件下

 

r  ，a g_i(r)的選擇如下： 固定端：gi(r)(1r/a)，其中i1,2,3。 簡支撐端：g2(r)g3(r)(1r/a)和g1(r)1。 自由端：g_i(r)1，其中i1,2,3。 ) ( j f



j1,2,....,6



的表示式如下：

) 1 ( ) (







  n m j j f_j (3.6) 其中mj和nj不是 0 就是 1，完全取決於徑向邊界條件。針對0不同邊界條件下，mj之 值如下所示： 固定端：m₁ m₃ m₅ 1，其餘之值等於 0。 簡支撐端：m₁ m₅ 1，其餘之值等於 0。 自由端：所有值等於 0。 於之不同邊界條件下，nj值也是利用上述相同的原則決定之。 值得注意的是，當面對具有對稱性問題時(例如，兩徑向邊界條件相同)，將利用問題 之對稱性，設對稱軸為0，則函數 f_j()



j1,2,....,6



可表示成 ) 2 1 ( ) 2 1 ( ) (        k kj j f j (3.7) 其中，決定k_j之原則與m_j相同。 式(3.4)中角函數的表示如下所示： ))] , , ( Im( )) , , ( Re( [ ) ( ) , (

ˆ

1 1 







 _k rk k k rk K k k rc r

g

r



B



r

B



r



   (3.8a) ))] , , ( Im( )) , , ( Re( [ ) ( ) , (

ˆ

1 2 







 _{ }  k k k k k K k k c r

g

r



C



r

C



r



   (3.8b) ) , , ( ) ( ) , ( 1 3 



 _k l L l l c r g r AW r W  _ (3.8c) 其中，rk，k及Wl由上章之漸近解(Huang [2003])所建構，而rk與k取自表 2.2 並刪 掉待定係數，W_l則取自表 2.3。表 2.2 中之值若為複數函數，則_rk和_k亦為複變數。 因為一直是實數，所以W_l就是實數函數。為了符合 r=0 處之正規情況，及之實部必 須大於 0。_rk和_k通常比 和_rp  中的代數-三角多項式函數更加複雜。_p 利用 Ritz 法解決自由振動問題時，須將式(3.4)，式(3.5)及式(3.8)代入式(3.2)與式(3.3)

中，並且將式(3.1)之能量函數對各係數Aij，Bij，Cij，Aij ~ ，Bij ~ ，Cij ~ ，Al，Bk，Ck，Bˆk 及Cˆ偏微分後，以得到能量最小值。如此可得一組線性代數方程式，並可表示成一標準特k 徵根問題。此特徵值對應於振動頻率，特徵向量則可用於描述振動模態。

3.2

收斂性分析

Ritz 法總是提供振動頻率之上限(upper-bound)解。當允許函數之項數足夠大時，數值 解將收斂至正確解。本文將以收斂性分析證明解之準確性以及在數值解中角函數之影響。 以下結果之波松比()為 0.3 且剪力修正因子 為2 12 / 2  。 此處與下一節將考慮不同的徑向與環向邊界條件組合，該邊界條件組合含 F-F-F， C-F-F，S-F-F，C-C-F，S-C-F 及 C-C-C。如符號 S-C-F 代表圖 3.1 中扇形板邊 1、2、3 分 別為簡支承端、固定端、自由端之邊界條件。其餘之符號意義類推。 表 3.1-3.3 中，藉由使用不同允許函數之項數於 C-F-F 之邊界條件下，列出薄板 (h/a 0.001)扇形角()分別為 90°、270°及 355°之無因次化頻率(a2 h/D)。在r0附 近，角度愈大將導致更嚴重的應力奇異性。數值結果顯示若只使用代數-三角多項式時，對 扇形角為 90°之解能適度地收斂；相對的，對扇形角為 270°及 355°則否。增加角函數至允 許函數確實加速數值結果之收斂，特別是對造成更大的應力奇異性的大扇形角。式(3.4)中 對 ，_rc  及_c W 分別使用 20 個角函數並設定_c I₂ I₄ I₆ I₈ 22及I₁ I₃ I₅ I₇ 21 可得至少三位有效位數的精確結果。值得注意的是，使用比表 3.1-3.3 大之Ij可能會因奇 異矩陣(ill-conditioned matrix)造成數值上之困難。McGee 等人 [2003]以薄板理論為基礎所 得的一些結果也列於表 3.1-3.3 中。將本研究(h/a0.001)與薄板理論之結果比較，發現前 者仍明顯地小於後者。此差異可能超過 4%。 表 3.1-3.3 已顯示出角函數確實能夠加速數值結果之收斂速度。然而，角函數非常地複 雜，我們是否能使用一簡化且與原來相同奇異階數之角函數，並得到精確之結果? 為回答 此問題，我們利用一簡單的收斂性分析，針對 F-F-F 及 C-F-F 且扇形角為 355°，h/a0.1 之扇形板。表 3.4 與 3.5 之結果，乃使用表 2.2 及表 2.3 之角函數，或者如下所定義之簡化 的角函數所獲得之結果。

當徑向邊為固定一自由端時，取















    K k K k K k rc r g r r B B K 1 ] Re[

1( ) sin Re[ ] ˆ cos Re[ ]

) , (        (3.9a)















    K k K k K k c r g r r C C K 1 ] Re[

2( ) sin Re[ ] ˆ cos Re[ ]

) , (         (3.9b)

 



  K k K k c K r A r g r W 1 3( ) sin ) , (    (3.9c) 當徑向邊為自由端-自由端時，取







   K k K k S rc K r B r g r 1 ] Re[ 1 , ( ,) ( ) ˆ cos Re[]  (3.10a)







   K k K k S c K r C r g r 1 ] Re[ 2 , ( ,) ( ) sin Re[]   (3.10b)

 



  K k K k S c K r A r g r W 1 3 , ( ,) ( ) ˆ cos  (3.10c) 和







   K k K k A rc K r B r g r 1 ] Re[ 1 , ( ,) ( ) sin Re[]  (3.11a)







   K k K k A c K r C r g r 1 ] Re[ 2 , ( ,) ( ) ˆ cos Re[]   (3.11b)

 



  K k K k A c K r A r g r W 1 3 , ( ,) ( ) sin   (3.11c) 此處下標“ S, ”與“ A, ” 分別表示對稱與反對稱模式。這些簡化的角函數確實在r0含 正確的彎矩與剪力奇異階數。 與_rc  之簡化角函數較原角函數簡化很多，特別是在徑向_c 邊界為固定端-自由端的情況下。 在表 3.4 與 3.5，對於 ，rc  及c W 各使用一個角函數，表示只有將正確的彎矩及剪c 力奇異階數引入至允許函數。當(k=1)為複數，若在允許函數中使用一角函數，則只使用_k 複數角函數的實數部份。在邊界完全自由之扇形板，簡化的角函數與原本的角函數(列於表 2.2-2.3)導致非常接近的結果。雖然後者得到較佳的解，但其差異小於 0.5%。在邊界條件 為 C-F-F 的扇形板(表 3.5)，簡化的角函數的確也改善了數值結果之收斂性。然而，使用原 角函數仍獲得較大的改善，其差異可能多達 4%。簡化的角函數在改善結果精確性(表 3.4 與 3.5)，因不同邊界條件而有不同。其原因為在固定端-自由端徑向邊界條件時，一開始之