7-1. 馬可夫程序(Markovian Process) 的自我類似性質探討
7-1-1. 研究動機
在所有關於網路自我類似性質的研究中，決定其成因似乎是最具根本重要 性的。沒有一個對於訊務流量統計的正確的認識，網路設計上可能無法有效地紓 解其壅塞情況。例如，如果網路的自我類似性質乃是肇因於現有網路規約，利用 自我類似輸入訊務流來測試新的網路規約架構可能將導致錯誤的評估。
在文獻 [86] 中，Paxson 和 Floyd 發現 24 條網路流量紀錄中，由使用者啟 動的訊務流，如TELNET 和 FTP connection arrivals，相當適合以 Poisson processes 來加以描述並以之做為其訊務數學模型；然而，protocol-involved packet arrivals，
如SMTP、NNTP 與 FTP data transfers，卻更接近 self-similar processes [95] 的模 式 。 此 外 ， 非 自 我 類 似 模 式 ， 如 Poisson 模 式 ， 仍 為 circuited-switched telecommunication traffics [96] 的典型訊務源模式。值得注意的是此時一個連結 的開始與終止都是由用戶端所控制。雖然可能有多個因子影響在真實封包網路上 所觀察到的自我類似行為，上述量測似乎建議聚合訊務流的自我類似現象與訊務 源或端點在產生訊務流時受網路規約架構的影響有關。一個自然的猜想便是：受 網路規約架構的影響產生的訊務流，如重傳 ( re-transmission )，可能是整體流入 訊務流的自我類似統計特性的主要原因之一。
前述猜想已由Peha [97] 在數值模擬上確認。在他的研究中，他發現縱使是 以傳統的Poisson 封包抵達方式，一個簡單的重傳機制亦可導致聚合訊務流在工 程上有意義的各個尺度上表現出自我類似的性質。更進一步地，他發現傳統上用 來降低壅塞的技術，在壅塞發生時，會增強訊務流的自我類似性質，並可能反而 延長壅塞時間。這促使我們去尋求一種理論上的相關解釋。
在此研究方向上，我們首先發現 Markovian 模式乃是此類簡單網路架構的 共同模式。特別地，網路的流入量可以被模擬為一個先前系統狀態的隨機函數，
而此系統狀態可以用系統中被阻塞的封包數來描述。而系統的下一時刻的狀態乃 由現有的流入量及此刻的系統狀態來決定。因為此狀態相依的隨機流入量函數可 一般視為時間穩態的，因而可簡化此系統為一個一階的Markov Process。
我們接者注意到在 Markovian 架構與現有的自我類似定義上，存在兩個落 差。首先，在傳統的exact 與 asymptotic 離散時間二階自我類似定義上，廣義穩 態總是基本條件 [91]，此時自相關函數將是一個只與時刻差有關的函數。但此
廣義穩態條件在一般的first-order Markov-modeled network 中卻不能一般地假設 成立。雖然一般在模擬上決定網路流量的自我類似參數時，常假定所有可能的非 穩態行為都是只發生在短時間內，當模擬時間範圍夠長時，都可以忽略。但此種 假定的正當性仍值得懷疑。
其次，利用對初始分佈的適當選擇，可使一個齊次Markov 過程成為穩態過 程。然而，在模擬上最常見的初始分佈設定卻是空佇列設定。這兩種對初始分佈 的要求通常不會一致，特別當空佇列設定無法產生真正穩態的系統時。
因此，我們特別提出了一個針對Markov 過程，結合初始機率分佈的自我類 似推廣性定義。如果系統的初始機率分佈採用Markov 過程的穩態分佈，則此一 定義和傳統的二階自我類似定義是一致的。此定義如同傳統的二階自我類似定義 一樣，可與Markov-modeled network 的諸參數具體的結合。
7-1-2. 主要結果和討論
設有X1, X2, X3, …為一個 first-order Markov process 具有 stationary transition probability T=[pij], 在此， pij =Pr(X2 =xj |X1 =xi), 且 {x1, x2, x3, …} 為 Markov process 的狀態空間。我們設狀態空間大小事有限或可數的。並且，{Xi}∞i=1 的tth order transition probability為Tt。於是自相關函數 ( autocovariance function for the initial probability πρ ) 便是
, )
,
(t T x xT T x
b ρ tρ ρ ρρ tρ
T
XT ππ
π
π = −
在此，上標“T”表示取matrix的轉置matrix，而X為一個對角矩陣，其對角元素 為狀態參數x1, x2, … 且xρT
=[ x1, x2, …]。由上述關於一階Markov過程的自相關 函數的式子可以看出，其同時倚賴時刻差與 X1 上的初始機率。我們於是定義 asymptotic self-similarity for first-order Markov processes如下：
Definition 7-1-2-1 (Asymptotic self-similarity for Markov processes) 一個離散時間 的Markov process X1, X2, X3, … 是 asymptotic second-order self-similar 且具參數 H的條件為 (在此 1/2 < H ≤ 1, 且 πρ 為初始機率)
) , , 0 (
) , 0
lim ( 2(1 H)
j mj
j m
b
b − −
∞
→ =
π πρ
ρ
對於 m∈{1,2,3,...}.。由上述定義，我們可以得到
.
二狀態的Markov Process的情況，我們可得：
1 1 degree of asymptotic self-similarity：
simple transition probability matrix 的Markov process，其區塊平均的變異大致延 續到區塊大小的程度，雖然degree of asymptotic self-similarity不受初始分佈的影 響，但time-finite self-similarity卻高度受到初始分佈的影響。
7-2. 自我類似特性之網路封包的產生
個稱為random midpoint displacement的演算法來產生自我類似訊流軌跡。我們隨
即注意到這些方法有兩個缺點。第一，需要的訊流長度必需在產生訊流前預先決 定，因而當需要產生一個較長的訊流序列時，必需從頭重新產生全部的序列。換 言之，訊流資料不能被即時地產生。其次，這些訊流產生器會生成負的整數值，
路的情形，以上諸點使我們發展出了可克服的產生模式。
由於濾波器 h[n]具有無限長的脈衝響應(Impulse Response)，而其係數呈冪 次率下滑，因而在實現上必須加上一長度為W的截斷窗戶(Truncation Window)， 即當n > W時則h[n] = 0。令具長度W截斷窗戶的m-aggregated 序列的變異數為 Cm(0;W)。下面圖 0 舉出了log[Cm(0;104)] 與 log[m]之間的關係。我們發現對0 ≤ log10[m] ≤ log10[W]，具斜率2H2的直線吻合log[Cm(0;104)] 對log[m] 的曲線。濾 波器輸出結果的H’表列在表 0。由這些資料，我們發現當平均窗戶長m小於或 等於截斷窗戶長W時，輸出結果的H’傾向略小於目標值H，儘管偏差率，定義
為(H’H)/H，於各種情況下是可接受地小。因此，對小的H值而言，自我類似的
圖 0: Variance-Time Analysis for W = 103. The slope of the blue line is equal to 2H −2 for m≤W, and −1 for m > W.
)
進一步由數值結果顯示，縱使H’被允許略小於H，上述結論仍然成立。
圖 0: Variance-Time Analysis for W = 103. The slope of the blue line is equal to 2H − 2 for m ≤ W, and −1 for m > W.
7-2-3. 結果和討論
在此報告中，基於濾波器理論，我們提出了一個用於自我相似訊流生成的 新模式。此模式是具有可調的暴流(burstiness) 及相關係數(correlation) 的長程相
依(Long Range Dependence) 模式。此模式具有極少的輸入參數，事實上，只需
要三個參數。H是自我類似參數，控制合成訊流的暴流及自我相關性質，λ 合成 訊流的平均流量，而W 定義了濾波器截斷窗戶長度以及合成訊流的最大自我類 似聚合尺度。雖然濾波器長度 W 限制了正確保持自我類似的最大聚合尺度，但 此恰與量測到的網路訊流行為相吻合，即自我類似的性質僅保持到一個超越實際 可控管的範圍，但當聚合尺度更大地增加時仍然消逝。此模式尚有其他優點，例 如即時地產生訊流與必產生非負整數值來代表網路封包。
我們利用對其 variance-time 關係的數學分析及對 V-T plot，R/S plot 及
periodogram plot（如表 0 所示）的統計測試驗證我們濾波器基礎的模式。而我
們推論我們的模式可在高的精確度下合成具自我類似參數H的隨機程序。
表 0: The resultant H’ versus the targeted H. Deviation = (H’－H)／H Window Length = 104
Targeted H Resultant H’ Deviation 0.5001 0.5000961 −7.7984E−006
0.55 0.5481199 −0.0034 0.6 0.5961926 −0.0063 0.7 0.6909921 −0.0129 0.8 0.7809945 −0.0238 0.9 0.8599458 −0.0445
7-3. 自我類似特性之訊務流在資訊理論上的特徵
7-3-1. 主要結果 (A) 序言
一個隨機程序，如果其邊際平均與自相關函數在時間移動下不變，就稱為 wild-sense stationary (WSS)。一個WSS隨機程序，如果其自相關函數為冪次遞減 (decreases with power law)，就稱為asymptotic second-order self-similar （Boris Tsybakov and Nicolas D. Georganas [91]）。一般asymptotic second-order self-similar
process 似乎不具有明顯的資訊理論上的意義，然而，我們發現在我們提出的濾
波器式自我類似訊務產生器輸出的自我類似訊務流，其不同時刻流量的相互關係 資訊(mutual information between two different instant values) 亦為冪次遞減。此 外，我們亦發現任何二值WSS或Gaussian process不同時刻流量的相互關係資訊 約為其自相關係數平方的一半。
(B) Nearly Independent
兩個隨機程序X1, X2, … , Xn 與 Y1, Y2, … , Yn 被稱為 nearly independent 如 當 n 趨近無限大，Xn 與 Yn 的相關係數趨近於零，且
表 0: H used versus H resultant Window Length = 104 H used H resultant
(V-T Plot) H resultant
(R/S Plot) H resultant (Periodogram) 0.5001 0.4913099 0.5423777 0.5149618
0.55 0.5243788 0.5839482 0.5433228 0.6 0.5661478 0.6248291 0.5953569 0.7 0.6860798 0.6991949 0.6902056 0.8 0.7558080 0.7792713 0.7968477
0.9 0.8662405 0.8784192 0.8822255
,
(C) 不同時刻的流量之相互關係資訊(Mutual Information)
Proposition 1：對兩個 nearly independent 隨機程序 X1, X2, …, Xn 和 Y1,
(D) 兩個Gaussian random variables所造成的序列(Sequence)之相互關係資訊 如 X1, X2, … , Xn與Y1, Y2, … , Yn are為兩個nearly independent隨機程序，且
如果 Xn 為asymptotic second-order self-similar Gaussian process且具參數H = 1 (β / 2), 0 < β < 1，且Yn= Xn+m, 則
asymptotically second-order self-similar且其自相關函數 b(n) 為冪次遞減。注意，
隨機程序、以及二元值(binary) 的asymptotic second-order self-similar隨機程序。
然而，自我類似訊流的兩個聚合區塊間的相互關係資訊的漸近行為仍是一個未解 決的問題，可做為未來一個可行且深具挑戰性的研究課題。