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函數的極限

在文檔中 99math6b (頁 11-21)

13. 已知多項式函數 f (x) 在定義域 {x ∈ R| − 2 ≤ x ≤ 4} 的圖形如下: 選出正確的 選項?(1) f (0) = 10

3 (2)f (x) 的值域為 {y ∈ R|83 ≤ y ≤ 263 } (3) 在定義域範 圍下, 方程式 f (x) = 0 恰有一實根 (4) 在定義域範圍下, 方程式 f (x) = 4 有兩

相異實根 (5) 函數 f (x) 為3次多項式函數

x f (x)

(−1,92)

(0, 103 ) (2, 0)

(4, 263 )

(−2,83)

−2 4

1.4

函數的極限

函數極限的定義: 若實數函數 f (x) 在 x = a 附近有定義且當 x 趨近於 a 時,f (x) 趨 近於定數 L 。 稱函數 f (x) 在 x = a 的極限是 L , 以 lim

x→af (x) = L 表示。 與 x = a 點有無定義無關。

函數極限的意義:

ε 為任意給定正數, 存在 δ > 0 只要 |x − a| < δ 必滿足 |f(x) − L| < ε

即 |f(x)−L| 值會隨著 |x−a| 變小而逐漸愈來愈接近0

L

a

y = f (x)

函數 f (x) 在無窮遠處的極限與極限值無窮大:

數列的極限 : lim

n→∞an = L 表 an − L 值隨著 n 愈大而愈接近0。 而函數極限:

x→alimf (x) = L 表 f (x) − L 值隨著 |x − a| 愈小而愈接近0 函數在無窮遠的極限: 若 lim

x→∞f (x) = L 表 f (x) − L 值隨著x變大而愈接近0, 稱無窮遠處的極限值為 L; 否則f (x)在無窮遠處無極限值。

函數在x = a 點極限為無窮大 : 若 lim

x→af (x) = ∞ 表 f(x) 值隨著 |x − a| 愈小 而變的非常大, 稱f (x) 在 x = a 處為無窮大。

左極限與右極限:

x→alimf (x) = L: 限制 x < a 所得到的極限值稱為左極限 (x從a的左側趨近a的極 限值)

x→alim+f (x) = M: 限制 x > a 所得到的極限值稱為右極限 (x從a的右側趨近a的

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https://sites.google.com/site/hysh4math 1.4 函數的極限 · 函數圖形的漸近線:

1. 鉛直漸近線:

若 lim

x→a+f (x) = ∞, lim

x→a+f (x) = −∞ , lim

x→af (x) = ∞ , lim

x→af (x) =

−∞ 任一式成立, 則直線 x = a 為函數曲線 y = f(x) 的鉛直漸近線。

2. 水平漸近線:

若 lim

x→∞f (x) = b 或 lim

x→−∞f (x) = b , 任一式成立, 則直線 y = b 為函數曲 線 y = f (x) 的水平漸近線。

3. 一般的漸近直線:

若 lim

x→∞[f (x) − (mx + b)] = 0 或 limx→−∞[f (x) − (mx + b)] = 0 , 任一式成 立, 則直線 y = mx + b 為函數曲線 y = f (x) 的漸近線。

多項式函數與有理函數的極限性質: 函數 f (x) 在 x = a 的極限值就是函數值 f (a)。

若 f (x) = anxn+ · · · + a2x2 + a1x + a0,g(x) = bmxm + · · · + b1x + b0 為兩 實係數多項式函數

1. lim

x→af (x) = f (a)

2. 若 g(a) 6= 0 , 則 limx→a f (x)

g(x) = f (a) g(a) 3. 若 g(a) = 0, f (a) 6= 0 , 則 limx→a f (x)

g(x) 不存在。

4. 若 f (a) = g(a) = 0 , 求 lim

x→a

f (x)

g(x) 先將分子、 分母的共同因式 (x − a) 約 去後, 再依照函數極限性質2、3求極限。

連續函數的定義: 函數f (x)在x = a點連續 ⇔ limx→af (x) = L = f (a)

f (x) 為一實函數, 若 |f(x) − a| 值會隨著 |x − a| 變小而逐漸變小而愈接近0, 則 稱 f (x) 在 x = a 點連續。 即 lim

x→af (x) = L 存在且等於 f (a)。

函數 f (x) 在開區間 (a, b) 連續: 對任意 c ∈ (a, b), f(x) 在 x = c 都連續。

函數 f (x) 在閉區間 [a, b] 連續: 對任意 c ∈ (a, b), f(x) 在 x = c 都連續且對端 點滿足 lim

x→a+f (x) = f (a), lim

x→bf (x) = f (b) 。

如果 f (x) 在定義域中的每一點都連續, 則稱 f (x) 是一個連續函數。

連續函數的三要件: (1) x = a, f (a) 有定義 (2)lim

x→af (x) 存在 (3) lim

x→af (x) = f (a) 連續函數的圖形: y = f (x) 在 x = a 點連續, 是指其圖形在點 (a, f (a)) 不會斷 掉。

連續函數的充要條件: f (x) 在 x = a 連續⇔ lim

x→af (x) = f (a)

若 f (x) 在 x = a 有極限值 L 但 6= f(a) 則函數 f(x) 在 x = a 點不連續。(圖 形在a點移除; 型I)

例: f (x) = x sin 1x 在 x = 0 的極限值為0, 但f (0)不存在, 故在x = 0處不連續。

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654321 1 2 3 4 5 6

−6

−5

−4

−3

−2

−1 1 2 3 4 5 6

x y

f (x)\x = −3 −2 −1 1 3

a點極限 有 有, 但 有,= 沒有,左右極限 沒有

= f (3) 6= f(−2) f(−1) 存在但不相等 (發散)a點連續 是 不是 是 不是 不是

IIIIII 圖形特徵 平滑 移除 尖點 跳離 ±∞

有漸近線

1-4: 不連續函數的圖形:I移除、II 跳離、III 發散類型 (removable,jump,infinite)

例: 高斯函數 f (x) = [x] 在整數點 x = a, f (a) = a, 但 lim

x→af (x) = a − 1 6=

x→alim+f (x) = a ,f (x) 在整數點 x = a 均不連續。(圖形在a點跳離分開; 型II) 例: f (x) = tan x 在 x = kπ + π

2, k ∈ Z 極限值不存在 (發散), 函數 f(x) 在 x = kπ + π

2, k ∈ Z處, 均不連續。(圖形在a點發散; 型III) 連續函數的一些性質:

設函數f (x)與g(x)均在x = a連續, 則下列函數在x = a連續 1. f (x) + g(x)

2. f (x) − g(x) 3. f (x)g(x) 4. f (x)

g(x) , 若 g(a) 6= 0

5. pk f (x) , 其中 f(x) 在 a 附近恆不為負,k 為一正整數。

連續函數的一些觀念:

1. 函數在有定義的點不一定連續: f (x) = n x + 1 , x ≥ 0

x − 1 , x < 0 在 x = 0 時, 不 連續。

2. 函數在有定義且有極限值的點不一定連續: f (x) = n |x − 1| , x 6= 1 1 , x = 1 在 x = 1 時, 有極限值但不連續。

3. 若 |f(x)| 連續, f(x) 不一定連續: f(x) = n −1 , x ≤ 2

1 , x > 2 在 x = 2 時,

|f(x)| 連續, 但 f(x) 不連續。

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https://sites.google.com/site/hysh4math 1.4 函數的極限 · 12. 設 f : R → R 滿足 f(x) = n x − 1, x 6= 1

2x − 3, x < 1 ; 問 f (x) 在 x = 1 處是否連 續?

13. 設 f (x) =

( kx2 − x − k + 1

x − 1 , x 6= 1

5, x = 1

在 x = 1 處是連續, 試求 k 值?

14. 求出a值, 使得 g(x) =

( x2 − a2

x − a , x 6= a 8, x = a

是連續函數

15. 根據圖形回答下列問題:

3 21 1 2 3 4 5 6

−6

−5

−4

−3

−2

−1 1 2 3 4

x

(a) 求函數 f (x) 在點 x = −1 時的極限?

(b) 求函數 f (x) 在點 x = 0 時的極限與函數值?

(c) 求函數 f (x) 在點 x = 2 時的極限與函數值?

(d) 求函數 f (x) 在點 x = 5 時的極限?

16. 下列敘述何者不恆為真?(1) 若 f(a) 沒有定義, 則 lim

x→af (x) 不存在 (2) 若 lim

x→af (x) 存在, 則f (x)在a點連續 (3) 若 0 ≤ f(x) ≤ 3x2 + 4x4 , 則 lim

x→0f (x) = 0 (4) 若 f(x) 在 a 點連續, 則 lim

x→af (x) 存在 (5) 若 lim

x→af (x) = L, 為一實數, 則

x→alim|f(x)| = |L|

17. 函數 f (x) = (x − 299)3(x − 301) + x , 求證: 至少有一實數c, 使得 f(c) = 300 18. 已知方程式 x3 + x − 64 = 0 恰有一實根, 求此實根介於哪兩連續整數之間?

19. 已知 x4 − x3 − 9x2 + 2x + 12 = 0 有四個相異實根, 求此四根位於哪些連續整 數之間?

20. f (x) = (x + 4)2(x − 3)2+ x , 證明在 −4, 3之間有一實數 c, 使得 f(c) = 1 近年試題

1. 假設兩地之間的通話費, 第一分鐘是5 元, 之後每半分鐘是2 元, 不滿半分鐘以半 分鐘計算, 則 t 分鐘的通話費 C(t) 公式如下 (單位元); C(t) = 5 − 2[1 − 2t], 其中 [x] 表示小於或等於 x 的最大整數, 例如 [3.5] = 3, [−3.1] = −4, [−5] =

−5 等。 則下列哪些選項是正確的? (1) 10 分鐘的通話費是43元 (2) 在 t ≥ 0 時,[1−2t] = −[2t−1] 恆成立 (3) lim

t→0.5C(t) = 45 (4) lim

t→11.2C(t) = 49 [100]

1, 4

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https://sites.google.com/site/hysh4math 1.4 函數的極限 · 2. 當n為正整數時, 令 x = an, y = bn, z = cn為三元聯立方程組

 x + y + z = 0 x + 2y + 3z = 0

−2nx + ny + 3z = 8n , 之唯一解, 則 lim

n→∞an =? [99] lim

n→∞

8n

−4n+3 = −2

3. 考慮雙曲線 y2 − x2 = 1 圖形的上半部 (如圖), 取此雙曲線上 x 坐標為 n 的點 與漸近線 x = y 的距離, 記為 dn , 其中 n 為正整數。 則 lim

n→∞(n · dn) =?(以四捨

五入取到小數兩位) 94a Ans:0.35

n dn

x y

4. 將 tan x = x 的所有正實根由小到大排列, 得一無窮數列 x1, x2, x3, · · · , xn, · · · , 則 lim

n→∞(xn+1 − xn) =?.?? (四捨五入到小數第二位)。 Ans:3.14 5. n 是大於1 的整數。 坐標平面上兩個橢圓區域 x2

n2+y2 ≤ 1 和 x2+y2

n2 ≤ 1 共同的 部分以 An 表示。 請選出正確的選項。 (1) An 的面積小於4 (2) An 的面積大於 π (3) An 的周長大於5 (4) 當 n 趨於無窮大時, An 的面積趨近於4 Ans:

1,2,3,4

6. 設 n 為正整數, 坐標平面上有一等腰三角形, 它的三頂點分別是 (0, 2) 、 ( 1n, 0) 、 (− 1n, 0) 假設此三角形的外接圓直徑長等於 Dn , 則 lim

n→∞Dn =? Ans:2 7. 設 α, β 為方程式 x2 − x − 1 = 0 之二根, 又令 f(n) = αn + βn , 試求

n→∞lim

f (n + 1)

f (n) =? 1 +√ 2 5

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https://sites.google.com/site/hysh4math 2.1 第一章 · 2. 1, −1, 2/√

3, 0 3. 1, 0

4. 2,√ 2/4 5. 8, 2 6. 1 7. 14

8. a = 4, b = 8

9. a = 0, b = 1, c = −2, d = 1 10. lim

x→1f (x)= lim

x→1+f (x)=lim

x→1f (x) = 4 = f (1)

11. x = k, k ∈ Z 12. 不連續

13. 3 14. a = 4 15a. 0

15b. 2; f (0) = 2 15c. −1; f(2) = 0 15d. 不存在

16. 1, 2

17. 利用中間值定理或令 g(x) = f (x) − 300 勘根定理

18. (3, 4)

19. −3, −2; −2, −1; 1, 2; 3, 4

20. 令 g(x) = f (x) − 1 , 再利用勘根定 理

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