99math6b

國立新營高中

99

課綱 數學科

自我

學習要點、 習題手冊

範圍

_:

數

學選修

₍

乙

下

₎

極限與函數

高

三

_:

班

號

姓

名

_:

指

導 教 師

_:

鄭國順

老師

參考版本

_:

南一

_,

翰林

_,

龍騰 版

新營高中

鄭國順 編

版本修訂

_:2013

年

₂

月

₂

日

目

次

1

極限與函數

1

1.1

數列及其極限

_{. . . .}

₁

1.2

無窮等比級數

_{. . . .}

₂

1.3

函數的概念

_{. . . .}

₅

1.4

函數的極限

_{. . . .}

₉

2

習題參考答案

18

2.1

第一章

_{. . . 18}

https://sites.google.com/site/hysh4math _·

第

₁

章

極限與函數

1.1 數列及其極限 數列的極限: 數列若只有有限項, 稱為有限數列, 否則稱為無窮數列。 若無窮數列 < an > 中, 當n愈來愈大, 數列< an >會愈趨近於定值L; 此時稱數 列 < an > 的極限是 L , 記為 lim n→∞an = L 。 即存在 n0 只要 n ≥ n0 必滿足 |an− L| < ε , 其中 ε 為任意正數。 收斂與發散數列: 若有一數列< an >其極限 lim n→∞an = α (定值), 稱數列為收斂數列, 否則稱發散數列。 無窮數列< rn _{> 的斂散性:}      收斂: ( −1 < r < 1, lim n→∞r n _{= 0} r = 1, lim n→∞r n _{= 1} 發散: r ≤ −1, r > 1 等比數列 < an = arn−1 > , 當 −1 < r ≤ 1 為收斂數列。 收斂數列:                            8, 4, 2, 1,1 2, 1 4, · · · , 2 n−4_{· · ·} 1, 1 2, 1 3, · · · , 1 n, · · · 1, −1 2 , 1 3, −1 4 , · · · , (−1)n+1 n , · · · 1 2, 2 3, · · · , n n + 1, · · · (1 − 1 2), (1 + 1 3), (1 − 1 4), (1 + 1 5), · · · , (1 + (−1)n n + 1), · · · 發散數列:        1, 3, 5, 7, · · · , (2n − 1), · · · −1, 1, −1, 1, · · · , (−1)n, · · · 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, · · · −2 1, 3 2, − 4 3, 5 4, · · · , (−1) n_× n + 1 n , · · · 收斂數列極限的四則運算: 若 < an >, < bn > 均為收斂數列, 且 lim n→∞an = α, limn→∞bn = β 則 1. lim n→∞(an ± bn) = limn→∞an ± limn→∞bn = α ± β 2. lim n→∞(can) = c limn→∞an = cα , c為常數 3. lim n→∞(anbn) = limn→∞an× limn→∞bn = αβ 4. lim n→∞(a n bn) = αβ = lim n→∞an lim n→∞bn , _{(β 6= 0)} 例題演練 例題_{1 判別下列無窮數列為收斂數列或發散數列, 若收歛數列求其極限:} 順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math 1.2 無窮等比級數 _· 表 _1-1: 數列四則運算的斂散性 斂散性 _\數列 和、 差 積 商 兩收斂數列 收斂 收斂 收斂 (分母極限_{6= 0)} 一收斂、 一發散數列 發散 斂散不一定 斂散不一定 兩發散數列 斂散不一定 斂散不一定 斂散不一定 (a) < 1 + 1 n > (b) < (1.01)n > (c) < 3 n+1 4n > (d) < 2 + n − 3 n2 _{+ 1} > (e) < sin nπ 2 > [Ans:1; 發散;0;2; 發散] 例題_{2 證明: 當 n ≥ 5時, 數列 < n}2 _{> 的一般項大於數列 < 4n + 1 > 的一般項。 數} 學歸納法: n ≥ 5, n2 _{− 4n − 1 > 0} 例題_{3 計算 lim} n→∞ 4n2 _{+ 3n − 1} n2 _{− 1} [Ans:4] 例題_{4 計算 lim} n→∞(3 n+1_{+ 4}n+1 3n+ 4n ) =? [Ans:4] 例題_{5 已知 lim} n→∞ an2 _{− bn + 3} 3n + 1 = 2 , 求常數 a, b 值? a = 0, b = −6 習題1-1 數列及其極限 1. 已知 lim n→∞ an2 + 4 2n2 _{− 3n} = 3 , 求常數 a 值? 2. 已知 lim n→∞ an2 + bn + 1 3n2 _{+ 1} = 2 , 求常數 a, b 值? 3. 求下列數列極限值? lim n→∞ 2n + 5 n2 + n =? n→∞lim 1 + 4 + 7 + · · · + (3n − 2) n2 =? 4. 判斷下列數列是否有極限, 如果有極限時, 求出它的極限: (1) an = 1 + 10_n (2) an = n 2 + n − 7 n2 1.2 無窮等比級數 無窮級數的值: P∞ k=1 ak = lim n→∞Sn 數列前n項的和 Sn = a1 + a2 + a3 + · · · + an 稱為級數 n P k=1 ak, 無窮數列的和 順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math 1.2 無窮等比級數 _· ∞ P k=1 ak稱為無窮級數, 即 a1 + a2 + a3 + a4 + · · · = ∞ P k=1 ak = lim n→∞Sn 1. 無窮級數收斂: 若 lim n→∞Sn = α (定值) 存在的級數為收斂級數。 2. 無窮級數發散: 若 lim n→∞Sn = α 不存在的級數為發散級數。 無窮等比級數: a1 + a2 + a3 + · · · = a + ar + ar2 + ar3 + · · · = ∞ P k=1 ak = ∞ P k=1 ark−1 , 其和為 lim n→∞Sn = limn→∞ a(1 − rn) 1 − r =    −1 < r < 1 lim n→∞Sn = a 1 − r為收斂級數。 |r| ≥ 1 lim n→∞Sn, 其值不存在, 為發散級數。 循環小數_{: 循環小數化為分數表達式, 可將循環小數表示成無窮等比級數並求其和。} 0.123 = 0.123123123123123_{· · ·} = 0.123 + 0.000123 + 0.000000123 + 0.000000000123 + · · · = 0.123 1 − 0.001, 即首項為 0.123, 公比為10 −3_{的無窮等比級數} = 123 999 極限夾擠原理: 若三數列 an, cn, bn 從某項起 n ≥ n0 恆使得 an ≤ cn ≤ bn , 且 lim n→∞an = lim n→∞bn = L 則 limn→∞cn = L 考慮數列 sin n n 的極限, 可找到數列 an = −1 n , bn = 1 n 恆有 − 1 n ≤ sin n n ≤ 1 n , 且 lim n→∞an = limn→∞bn = 0 , 故 limn→∞ sin n n = 0 2 4 6 8 10 12 −1 −0.5 0.5 1 1 n −1 n sin n n 例題演練 例題_{1 計算} P∞ n=1 2n + 1 3n 之和? [Ans: 52 ] 順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math 1.2 無窮等比級數 _· 例題_{2 試比較 0.9 與 1 的大小? [Ans: 0.9 = 1]} 例題_{3 將循環小數 0.1234 化為分數?} 1234−12 9900 例題_{4 利用夾擠定理求 an = √} 1 n2 _{+ 1} + 1 √ n2 _{+ 2} + 1 √ n2 _{+ 3} + · · · + 1 √ n2 _{+ n} 的極 限? [Ans: lim n→∞an = 1; n √ n2 _{+ n} < an < n √ n2 _{+ 1} 例題_{5 利用夾擠定理求 lim} n→∞ sin2n n 的極限? 0 例題_{6 利用 n ≥ 4, n}3 _{< 3}n _{求 lim} n→∞ n2 3n = [Ans:0 ≤ n2 3n ≤ 1 n] 習題1-2 無窮等比級數 1. 求下列無窮等比級數的和: (1) 45 + (45)2+ (45)3+ · · · (2) 23 − 49 + 27 −8 1681 + · · · + (−1)n−1_{· (23)}n + · · · 2. 求下列無窮級數的和: (a) 1 + 2 + 4 + 8 + · · · + 2n−1+ · · · (b) 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + · · · + 1 2n−1 + · · · 3. 將下列循環小數化為分數: (a) 0.17 (b) 2.345 4. 設 x ∈ R , 若數列 < x(2x − 3)n−1 > 收斂, 求x範圍? 及其極限值? 5. 求 P∞ n=1 5 − 3n 4n =? 6. 將循環小數 1.36 化成分數為? 7. 一皮球自離地面15公尺高處落下, 每次返跳高度是其落下高度的 25, 求此球至靜 止時, 總共所走的距離為多少? 8. 無窮等比級數 1 + (2x − 3) + (2x − 3)2 + · · · + (2x − 3)n−1+ · · · , 收斂且公 比不為0, 則實數 x 的範圍? 其和為? 9. 若 P∞ k=1 (3x_{2 )}k−1 = 4 , 求 x 值=? 10. 將 1139₃₃₃₃₃ 化為無窮小數, 則其小數後第100位數字為? 順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math 1.3 函數的概念 _· 11. 求無窮級數 _{1 × 3}1 + _{3 × 5}1 + _{5 × 7}1 _{+ · · · +} 1 (2n − 1)(2n + 1) + · · · 之和為? 12. 如圖: 最大的正方形A1, 若其邊長為1單位, 以A1的每一邊中點為頂點連接成四邊 形 A₂, 再以A2的每一邊中點為頂點連接成四邊形 A3, 依此規則, 形成一序列的正 方形 A1, A2, A3, · · · , , 求這些無窮多個正方形的面積和? 及周長和? 13. 邊長為2的正三角形T1, 連接各邊中點形成正三角形T2, 依此規則, 繼續下去, 得到 一序列的正三角形 T1, T2, T3, · · · , , 求這些正三角形的面積和? 1.3 函數的概念 函_{數的定義域與值域:} 函數 f : A → B 中, 自變數 x 取值的範圍 A 稱為函數 f 的定義域。 集合 B 稱為 f 的對應域。 所有函數值 f (x) 所形成的集合, 稱為函數 f 的值域, 記為 f (A); 值域 f (A) 是對應域 B 的子集。 若函數的定義域與值域皆為實數 _{R , 的子集, 稱此函數為實函數。} x f (x) y = f (x) x = a (a, f (a)) 定義域 A 值 域 f (A ) 常見的初等函數: 1. 常數函數 f (x) = c : 定義域為 R , 值域是 f (R) = {c} 。 2. 一次函數 f (x) = ax + b, a 6= 0 : 定義域為 R , 值域也是 R 。 順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math 1.3 函數的概念 _· 3. 二次函數 f (x) = ax2 + bx + c : 定義域為 R , 值域是    a > 0 , {y|y ∈ R, y ≥ −b2 − 4ac_4a } a < 0 , {y|y ∈ R, y ≤ −b2 − 4ac_4a } 4. 指、 對數函數: 指數 f (x) = ax _{>, a > 0, a 6= 1 的定義域為} R , 值域是 {y|y > 0} 。 對數 g(x) = logax, a > 0, a 6= 1 定義域為 {x ∈ R|x > 0} , 值域是 {y|y ∈ R} 。 5. 三角函數: 正弦 f (x) = sin x、 餘弦 g(x) = cos x 定義域均為 {x|x ∈ R} , 值域_{都是 {y| − 1 ≤ y ≤ 1} 。} 線性函數圖形 二次函數圖形 多項式函數圖形 −4−3−2−1 1 2 3 4 5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 高斯函數圖形 x y f (x) = 1/x 函_{數圖形的判別:} 對任意函數定義域內的 a , 若鉛直線 x = a 與函數圖形恰好有一交點; 若 a 不在定義域內, 則函數圖形與鉛直線沒有交點。 合成函數_: 給定兩個函數 f : D1 → R, g : D2 → R , 若滿足 f(D1) ⊂ D2 即 f 的值域包含於 g 的定義域, 則定義合成函數 g ◦ f 為 (g ◦ f)(x) = g(f(x)) 順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math 1.3 函數的概念 _· x f (x) −π 2 −π 0 1 π2 eπ f (x) = x f (x) = sin x f (x) = 1 20e x f (x) = 2x2 + 1 f (x) =√x x f (x) x f (x) x y 圖 _1-3: 函數圖形與非函數圖形 x f f (x) g g(f (x)) g ◦ f 若滿足 f (g(x)) = g(f (x)) = x , 且 f 函數的定義域為 g 的值域,f 的值域為函 數 g 的定義域, 則稱函數 f 、g 互為反函數。 記為 f−1 _{= g, g}−1 _{= f} Note: f (x) = x2, g(x) = √x, 雖然 f (g(x)) = x , 但 f, g 不是反函數 (因 g(f (x)) =√x2 _{= |x|)。} 例題演練 例題_{1 設 f (x) = x + 1, g(x) = x}2 − x − 2 x − 2 求函數 f (x) 與 g(x) 的定義域, 並問 f (x) 與 g(x) 相等嗎? [Ans: Df = R, Dg = {x|x ∈ R, x 6= 2} , 故 f 6= g] 例題_{2 若 f (x) =} √_{1 − x, g(x) =} √_{2 + x , 寫出 f + g 與} f g , 並列出各函數的定義 域? Ans: (f + g)(x) =√_{1 − x +}√2 + x, Df +g = [−2, 1] ; (f_{g )(x) =} √ 1 − x √ 2 + x, Df /g= (−2, 1] 例題_{3 設 f (x) = 3x}2 _{+ 2x − 7 , 求一次函數 g(x) , 使 (f ◦ g)(x) = 12x}2 _{− 8x − 6} [Ans: g(x) = 2x − 1 或 g(x) = −2x + 13 ] 例題_{4 描繪出函數 f (x) = |x}2 _{− 3x − 4| 的圖形?} −2 −1 1 2 3 4 5 −5 5 f (x) = |x2_{− 3x − 4| 函數圖形} 順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math 1.3 函數的概念 _· 例題_{5 若 f (x) = x}2_{, g(x) =} √_{x , 分別求合成函數 f (g(x)) 與 g(f (x)) 並說明其合成} 函數的定_{義域及值域? Ans: f ◦ g = x : D = {x ≥ 0}, R = {y ≥ 0}; g ◦ f =} |x| : D = {x ∈ R}, R = {y ≥ 0} 習題1-3 函數的概念 1. 分別求下列函數的定義域: (a) f (x) = cos 2x (b) f (x) = x x − 1 (c) f (x) = p_{(x − 1)(x + 3)} (d) f (x) = log₂(x2 _{− 2x − 3)} 2. 分別求下列函數的值域: (a) f (x) = 2 sin 3x _{(b) f (x) =} x − 1 x + 1 (c) f (x) = p_{−(x − 2)(x + 1)} 3. 若 h(x) = 7 − 3x 求 h(2x − 1) =? ; 又若 h(2x − 1) = −2 時,x =? 4. 試描繪函數 y = |x| + |x − 2| 的圖形? 5. 若 f (x) = 3x − 1, g(x) = x2 , 求 (f ◦ g)(x)=? 與 (g ◦ f)(x)=? 6. 若 f (x) = 2x, g(x) = log_{2x , 求 (f ◦ g)(x)=? 與 (g ◦ f)(x)=?} 7. 設 f (x) = x2+ x + 1 是多項式函數, g(x) = √_{x 是根式函數, 求合成函數 g ◦ f} ? 8. 若 f (x) = 1 x , 求 (f ◦ f)(x)=? 9. 已知自由落體下落 t 秒後的距離 h(t) = 12gt2 ,g 為重力加速度。 問 (1) 從物體下 落_{開始, 第1秒內, 第1秒 ∼ 第2秒, 第2秒 ∼ 第3秒, 第3秒 ∼ 第4秒, · · · 物體} 落下的距離比為? (2) 若有一物體, 自離地面高490公尺自由落下, 如果不計空氣 阻_{力, 求該物體從落下至著地須經多少秒?} 10. 若 x1 6= x2 則函數 f (x1) 6= f(x2), g(x1) 6= g(x2) 且已知部分函數值如表: 求下 列值: x _{−2 −1 0} 1 2 f (x) 1 _{−1 0 −2 2} g(x) ₋₂ 2 1 _{−1 0} (a) g(f (2)) =? 又 f (g(2)) =? (b) g(f (1)) =? 又 f (g(1)) =? (c) f (f (−2)) =? 又 g(g(−1)) =? (d) 若 f (g(a)) = 1,g(f (b)) = 1 則 a, b =? 11. 設 f (x) = 2x − 3 , 求一次函數 g(x) , 使 (g ◦ f)(x) = x 且 (f ◦ g)(x) = x ;(如 此函數 g(x) 稱為 f (x) 的反函數) 順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math 1.4 函數的極限 _· 12. 若 f (x) = 3x − 8_{x − 3 , x 6= 3 求 g = f}−1(x) =? 13. 已知多項式函數 f (x) 在定義域 {x ∈ R| − 2 ≤ x ≤ 4} 的圖形如下: 選出正確的 選項?(1) f (0) = 10 3 (2)f (x) 的值域為 {y ∈ R| 8 3 ≤ y ≤ 26 3 } (3) 在定義域範 圍下, 方程式 f (x) = 0 恰有一實根 (4) 在定義域範圍下, 方程式 f (x) = 4 有兩 相異實根 (5) 函數 f (x) 為3次多項式函數 x f (x) (−1,92) (0, 10₃ ) (2, 0) (4, 26₃ ) (−2,8₃) 4 −2 1.4 函數的極限 函_{數極限的定義: 若實數函數 f (x) 在 x = a 附近有定義且當 x 趨近於 a 時,f (x) 趨} 近於定數 L 。 稱函數 f (x) 在 x = a 的極限是 L , 以 lim x→af (x) = L 表示。 與 x = a 點有無定義無關。 函數極_{限的意義:} ε 為任意給定正數, 存在 δ > 0 只要 |x − a| < δ 必滿足 |f(x) − L| < ε 即 |f(x)−L| 值會隨著 |x−a| 變小而逐漸愈來愈接近0 L a y = f (x) 函_{數 f (x) 在無窮遠處的極限與極限值無窮大:} 數列的極限 : lim n→∞an = L 表 an − L 值隨著 n 愈大而愈接近0。 而函數極限: lim x→af (x) = L 表 f (x) − L 值隨著 |x − a| 愈小而愈接近0 函數在無窮遠的極限: 若 lim x→∞f (x) = L 表 f (x) − L 值隨著x變大而愈接近0, 稱無窮遠處的極限值為 L; 否則f (x)在無窮遠處無極限值。 函數_{在x = a 點極限為無窮大 : 若 lim} x→af (x) = ∞ 表 f(x) 值隨著 |x − a| 愈小 而變的非常大, 稱f (x) 在 x = a 處為無窮大。 左極限與右極限: lim x→a− f (x) = L: 限制 x < a 所得到的極限值稱為左極限 (x從a的左側趨近a的極 限值) lim x→a+f (x) = M: 限制 x > a 所得到的極限值稱為右極限 (x從a的右側趨近a的 順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math 1.4 函數的極限 _·

極限值)

極限與左極限、 右極限的關係:

當函數在a點的左極限與右極限均存在且相等時 L = M , 則稱函數在a點的極限 值為L。 即 lim

x→af (x) = L ⇔ limx→a−

f (x) = L = lim

x→a+f (x)

NOTE: 極限值 L 未必 = f (a) 。 (∵ f (a) 可能無定義, 但仍有極限值 L , 與 x = a 點有無定義無關。 ) f (x) = n x − 1 , x < 0_{x + 1 , x ≥ 0 ⇒ lim} x→0−f (x) = −1, limx→0+ f (x) = 1 x = 0 時 f (x) 無極限值。 函_{數極限夾擠原理: 若三函數 f (x), g(x), h(x) 恆有 f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) , 且 lim} x→af (x) = lim

x→ah(x) = L 則 limx→ag(x) = L

lim

x→0

sin x

x = 1, lim_x→∞ sin xx = 0

面積 △OAB < 扇形 OAB < △OBC ⇒ sin θ_{2 < θ2 <} tan θ₂ ⇒ cos θ < sin θ θ < 1 y x O B C A θ 圖 _1-4: 利用夾擠定理求極限值 函_{數極限的運算性質:} 若兩實函數 f (x), g(x) 在 x = a 時有極限, 且 lim

x→af (x) = L, limx→ag(x) = M 則

1. lim

x→a[cf (x)] = c limx→af (x) = cL

2. lim

x→a[f (x) + g(x)] = limx→af (x) + limx→ag(x) = L + M

3. lim

x→a[f (x) − g(x)] = limx→af (x) − limx→ag(x) = L − M

4. lim

x→a(f (x) × g(x) = limx→af (x) × limx→ag(x) = L × M

5. lim x→a f (x) g(x) = lim x→af (x) lim x→ag(x) = L_{M ,} 其中 M 6= 0 6. lim x→a k p f (x) = k q lim x→af (x) = k √ L , (L > 0) 順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math 1.4 函數的極限 _· 若 f (x), g(x) 的某一點極限均不存在, 其和 f (x) + g(x) 或積 f (x)g(x) 的極限未必 不存在 f (x) = |x|_{x , g(x) = −}|x|_{x 在 x = 0 時, 均無極限值; 但 lim} x→0(f (x) + g(x)) = 0, lim x→0[f (x)g(x)] = 1 *羅必達法則 (L’Hospital Rule) : 設函數 f (x) 與 g(x) 於區間 I 中, 除點 a 外均可微, 當 x 6= a 時,f(x) 6= 0 且 g(x) 6= 0 , 若滿足下列條件 : lim_x→af (x) = lim

x→ag(x) = 0

或 lim

x→af (x) = limx→ag(x) = ±∞ 則 limx→a

f (x) g(x) = limx→a f′(x) g′(x) 數列極限的一些觀念例子: 數列遞增有上界或遞減有下界則必為收斂數列 1. 無限個無窮小量的和不一定是無窮小量: f1(n) = 1 n2, f2(n) = 2n2, · · · , fn(n) = nn2 但 lim n→∞ ∞ P n=1 fn(n) = lim n→∞ n + 1 2n = 12 2. 兩個無窮量的和未必是無窮量:(正負無窮大的和為不定型) fn = n + sin n, gn = sin n − n ⇒ lim

n→∞(fn+ gn) = 0 3. 兩個非無窮小量的和或積不一定是非無窮小量: 例: < an = 1_{n + 2 >, < b}n = 1_{n − 2 >⇒ lim} n→∞(an+ bn) = 0 例: fn = 1 + (−1) n 2 , gn = 1 − (−1) n 2 ⇒ lim_n→∞(fngn) = 0 4. 無限個無窮小量的積不一定是無窮小量: fk(n) =  1 n < k k n − k + 1 n ≥ k 每個 limn→∞fk(n) = 0 但是 lim n→∞f1(n)f2(n) · · · fn(n) · · · = 1n 2 n − 1 · · ·n1 = 1 1. lim n→∞ n √ a = 1;  a > 1 , 遞減有下界。 0 < a < 1 , 遞增有上界。 2. lim n→∞(1 + xn) n _{= e}x 3. 若 fn < gn 且 lim n→∞fn = a, limn→∞gn = b 未必 a < b 例: fn = 1 − 1n, gn = 1 + 1_n 函_{數極限的觀念: 若 lim} x→af (x) = L 1. x → a 是指 x從左、 右兩邊趨近 a, 但不一定等於 a 。 2. 函數 f (x) 在 x = a 處不一定要有定義, 即 f (a) 值可存在或不存在。 3. f (a) 值存在與否與極限值 lim x→af (x) = L 無關 (可能相等, 可能不相等)。 順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math 1.4 函數的極限 _·

函_{數圖形的漸近線:}

1. 鉛直漸近線: 若 lim

x→a+f (x) = ∞, lim_x→a+f (x) = −∞ , lim_x→a−f (x) = ∞ , lim_x→a−f (x) =

−∞ 任一式成立, 則直線 x = a 為函數曲線 y = f(x) 的鉛直漸近線。 2. 水平漸近線: 若 lim x→∞f (x) = b 或 limx→−∞f (x) = b , 任一式成立, 則直線 y = b 為函數曲 線 y = f (x) 的水平漸近線。 3. 一般的漸近直線: 若 lim x→∞[f (x) − (mx + b)] = 0 或 limx→−∞[f (x) − (mx + b)] = 0 , 任一式成 立, 則直線 y = mx + b 為函數曲線 y = f (x) 的漸近線。 多項式函數與有理函數的極限性質_{: 函數 f (x) 在 x = a 的極限值就是函數值 f (a)。} 若 f (x) = anxn+ · · · + a2x2 + a1x + a0,g(x) = bmxm + · · · + b1x + b0 為兩 實係數多項式函數 1. lim x→af (x) = f (a)

2. 若 g(a) 6= 0 , 則 lim_x→a f (x) g(x) =

f (a) g(a)

3. 若 g(a) = 0, f (a) 6= 0 , 則 lim_x→a f (x)_g(x) 不存在。 4. 若 f (a) = g(a) = 0 , 求 lim

x→a f (x) g(x) 先將分子、 分母的共同因式 (x − a) 約 去後, 再依照函數極限性質2、3求極限。 連續函_{數的定義: 函數f (x)在x = a點連續 ⇔ lim} x→af (x) = L = f (a) f (x) 為一實函數, 若 |f(x) − a| 值會隨著 |x − a| 變小而逐漸變小而愈接近0, 則 稱 f (x) 在 x = a 點連續。 即 lim x→af (x) = L 存在且等於 f (a)。 函數 f (x) 在開區間 (a, b) 連續: 對任意 c ∈ (a, b), f(x) 在 x = c 都連續。 函數 f (x) 在閉區間 [a, b] 連續: 對任意 c ∈ (a, b), f(x) 在 x = c 都連續且對端 點滿足 lim

x→a+f (x) = f (a), lim_x→b−f (x) = f (b) 。

如果 f (x) 在定義域中的每一點都連續, 則稱 f (x) 是一個連續函數。 連續函_{數的三要件: (1) x = a, f (a) 有定義 (2)lim}

x→af (x) 存在 (3) limx→af (x) = f (a)

連續函數的圖形: y = f (x) 在 x = a 點連續, 是指其圖形在點 (a, f (a)) 不會斷 掉。 連續函_{數的充要條件: f (x) 在 x = a 連續⇔ lim} x→af (x) = f (a) 若 f (x) 在 x = a 有極限值 L 但 6= f(a) 則函數 f(x) 在 x = a 點不連續。(圖 形在a點移除; 型I) 例: f (x) = x sin 1_{x 在 x = 0 的極限值為0, 但f (0)不存在, 故在x = 0處不連續。} 順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math 1.4 函數的極限 _· −6−5−4−3−2−1 1 2 3 4 5 6 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 x y f (x)\x = −3 −2 −1 1 3 在a點極限 有 有, 但 有,= 沒有,左右極限 沒有 = f (3) _{6= f(−2) f(−1)} 存在但不相等 ₍發散₎ 在a點連續 是 不是 是 不是 不是 型I 型II 型III 圖形特徵 平滑 移除 尖點 跳離 _±∞ 有漸近線 圖 _1-4: 不連續函數的圖形_:I移除、_II 跳離、_III 發散類型 _{(removable,jump,infinite)} 例: 高斯函數 f (x) = [x] 在整數點 x = a, f (a) = a, 但 lim x→a−f (x) = a − 1 6= lim

x→a+f (x) = a ,f (x) 在整數點 x = a 均不連續。(圖形在a點跳離分開; 型II)

例: f (x) = tan x 在 x = kπ + π 2, k ∈ Z 極限值不存在 (發散), 函數 f(x) 在 x = kπ + π 2, k ∈ Z處, 均不連續。(圖形在a點發散; 型III) 連續函_{數的一些性質:} 設函數f (x)與g(x)均在x = a連續, 則下列函數在x = a連續 1. f (x) + g(x) 2. f (x) − g(x) 3. f (x)g(x) 4. f (x) g(x) , 若 g(a) 6= 0 5. pk f (x) , 其中 f(x) 在 a 附近恆不為負,k 為一正整數。 連續函_{數的一些觀念:} 1. 函數在有定義的點不一定連續: f (x) = n x + 1 , x ≥ 0_{x − 1 , x < 0} 在 x = 0 時, 不 連續。 2. 函數在有定義且有極限值的點不一定連續: f (x) = n |x − 1| , x 6= 1_{1 , x = 1} 在 x = 1 時, 有極限值但不連續。 3. 若 |f(x)| 連續, f(x) 不一定連續: f(x) = n −1 , x ≤ 2_{1 , x > 2} 在 x = 2 時, |f(x)| 連續, 但 f(x) 不連續。 順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math 1.4 函數的極限 _· 4. 分段定義函數不一定有不連續點: f (x) = n _{3x − 2 , 1 ≤ x ≤ 2}x2 , 0 ≤ x < 1 , 在 x = 1 時, f (x) 為連續 5. 連續函數與不連續函數的乘積不一定不連續: f (x) = x, g(x) = n _{−1 , x < 0}1 , x ≥ 0 , 其中 f 為連續, g 在 x = 0 不連續, 但 f × g 為連續函數。 6. 兩不連續函數的乘積或和不一定不連續: f (x) = n x , x ≤ 0_{1 , x > 0 ,g(x) =} n −1 , x ≤ 0 x , x > 0 , 其中 f × g 在 x = 0 時, 為連續。 連續函_{數的中間值定理: 若 f (x)是定義在 [a, b] 的連續函數, 且滿足 f (a) 6= f(b), 則} 對於 f (a) 與 f (b) 之間的任意實數 M , 在區間 [a, b] 內至少存在一點 c , 使得 f (c) = M 連續函_{數的勘根定理:} 設 f (x) 是一定義在 [a, b] 的連續函數, 且滿足 f (a)f (b) < 0, 則至少存在有一根 介於a與b之間的實數c, 使得 f (c) = 0 例題演練 例題_{1 lim} x→0 3x 2x Ans: 32 例題_{2 設 f (x) = x}2 − 1

x − 1 , g(x) = x + 1 , 計算 limx→2f (x) 、 limx→1f (x) 與 limx→1g(x)

[Ans:lim x→2f (x) = 3,limx→1f (x) = 2,limx→1g(x) = 2] 例題_{3 設函數 f (x) =} x |x| , 討論 f (x) 在 x = 0 的極限值是否存在? Ans: limx→0− f (x) = −1 6= lim x→1+f (x) = 1 例題_{4 設函數 f (x) =} ( 3x + 2 , 當x > 0 1 , x = 0 −2x + 2 , 當x < 0 , 求 limx→0f (x) 值? 函數值 f (0)與 limx→0f (x) 是否相等? Ans: lim x→0f (x) = 2 6= f(0) = 1 例題_{5 求下列各極限:} (a) lim x→0 √ 1 + x − 1 x Ans: 1 2 (b) lim x→1 x3 _{− 1} x − 1 Ans:3 (c) lim x→2 x + 1 x − 2 Ans: 不存在 (d) lim x→1(x 2 _{− 3x + 1) Ans:−1} (e) lim x→−1 2 (2x + 3)3 Ans:8 (f) lim x→0( 1 + x x − 1 + 3x − 1 x2_{+ 3x − 4}) Ans:−3₄ 例題_{6 實數a滿足 lim} x→2 x2 + ax + 2 x2 _{− x − 2} = L 存在, 求a值? 及此極限值? a = −3; L = 1 3 順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math 1.4 函數的極限 _· 例題_{7 設 f (x) =} 2x + 1 x2 _{+ x − 6} , 求 f (x) 在哪些區間連續? [Ans:(−∞, −3), (−3, 2), (2, ∞)] 例題_{8 設 a 是實數, 函數 f (x) 的定義為 f (x) =}  x2 _{− x + 47 , 當x ≥ 1} x + a , 當x < 1 , 求 a 值, 使 f (x) 是一連續函數。 [Ans:a = 46] 例題_{9 設 f (x) = x}5 _{+ 3x}2 _{, 試證: 存在一實數 c 介於 1與2之間, 使得 f (c) = 27} [Ans: 利用勘根定理, 令 g(x) = f (x) − 27 , 則 g(1)g(2) < 0] 習題1-4 函數的極限 1. 求 lim x→4 x2 _{− 16} x − 4 =? ; 求 limx→0 (x + 2)2 _{− 4} x =? 2. 設 f (x) = √ x + 1

x2 _{+ x + 1}, x ∈ R 求 lim_x→∞f (x) =? lim_x→−∞f (x) =? lim_x→1f (x) =

? lim x→−1f (x) =? 3. 試求極限值 lim x→1+[x] =?, lim_x→1−[x] =? 4. 試求極限值 lim x→1 x2 _{− 1} x − 1 =?, limx→2 √ x − √2 x − 2 =? 5. 設 lim

x→af (x) 與 limx→ag(x) 皆存在, 且 limx→a[f (x)+g(x)] = 6, limx→a[f (x)−g(x)] = 2,

求 lim

x→af (x)g(x) =? limx→a

f (x) g(x) =? 6. 試求極限值 lim x→1( 3 1 − x3 − 1 1 − x) =? 7. 試求極限值 lim x→4 √ x − 2 x − 4 =? 8. 實數a, b滿足 lim x→1 a√_{x + 3 − b} x − 1 = 1, 求 a, b 值? 9. 設 f (x) = ax 3 _{+ bx}2 _{+ cx + d} x2 _{+ x − 2} , 若 lim_x→1f (x) = 0, lim_x→∞f (x) = 1 , 求 a, b, c, d 之值? 10. 設函數 f (x) =  x2 + 3 , 當x > 1 2x + 2 , 當x ≤ 1 , 求 limx→1− f (x)、 lim x→1+f (x) 值? 又函數值 f (1)與 lim x→1f (x) 是否相等? 11. y = [x] , 在那些地方不連續? 順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math 1.4 函數的極限 _· 12. 設 f : R → R 滿足 f(x) = n _{2x − 3, x < 1}x − 1, x 6= 1 ; 問 f (x) 在 x = 1 處是否連 續? 13. 設 f (x) = ( kx2 _{− x − k + 1} x − 1 , x 6= 1 5, x = 1 在 x = 1 處是連續, 試求 k 值? 14. 求出a值, 使得 g(x) = ( x2 _{− a}2 x − a , x 6= a 8, x = a 是連續函數 15. 根據圖形回答下列問題: −3 −2−1 1 2 3 4 5 6 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 x (a) 求函數 f (x) 在點 x = −1 時的極限? (b) 求函數 f (x) 在點 x = 0 時的極限與函數值? (c) 求函數 f (x) 在點 x = 2 時的極限與函數值? (d) 求函數 f (x) 在點 x = 5 時的極限? 16. 下列敘述何者不恆為真?(1) 若 f(a) 沒有定義, 則 lim

x→af (x) 不存在 (2) 若 limx→af (x)

存在, 則f (x)在a點連續 (3) 若 0 ≤ f(x) ≤ 3x2 _{+ 4x}4 _{, 則 lim}

x→0f (x) = 0 (4)

若 f(x) 在 a 點連續, 則 lim

x→af (x) 存在 (5) 若 limx→af (x) = L, 為一實數, 則

lim x→a|f(x)| = |L| 17. 函數 f (x) = (x − 299)3(x − 301) + x , 求證: 至少有一實數c, 使得 f(c) = 300 18. 已知方程式 x3 _{+ x − 64 = 0 恰有一實根, 求此實根介於哪兩連續整數之間?} 19. 已知 x4 _{− x}3 _{− 9x}2 + 2x + 12 = 0 有四個相異實根, 求此四根位於哪些連續整 數之間? 20. f (x) = (x + 4)2_{(x − 3)}2_{+ x , 證明在 −4, 3之間有一實數 c, 使得 f(c) = 1} 近年試題 1. 假設兩地之間的通話費, 第一分鐘是5 元, 之後每半分鐘是2 元, 不滿半分鐘以半 分鐘_{計算, 則 t 分鐘的通話費 C(t) 公式如下 (單位元); C(t) = 5 − 2[1 − 2t],} 其中 [x] 表示小於或等於 x 的最大整數, 例如 [3.5] = 3, [−3.1] = −4, [−5] = −5 等。 則下列哪些選項是正確的? (1) 10 分鐘的通話費是43元 (2) 在 t ≥ 0 時,[1−2t] = −[2t−1] 恆成立 (3) lim t→0.5C(t) = 45 (4) limt→11.2C(t) = 49 [100] 1, 4 順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math 1.4 函數的極限 _· 2. 當n為正整數時, 令 x = an, y = bn, z = cn為三元聯立方程組  x + y + z = 0 x + 2y + 3z = 0 −2nx + ny + 3z = 8n , 之唯一解, 則 lim n→∞an =? [99] limn→∞ 8n −4n+3 = −2 3. 考慮雙曲線 y2 _{− x}2 = 1 圖形的上半部 (如圖), 取此雙曲線上 x 坐標為 n 的點 與漸近線 x = y 的距離, 記為 dn , 其中 n 為正整數。 則 lim n→∞(n · dn) =?(以四捨 五入取到小數兩位) 94a Ans:0.35 n dn x y 4. 將 tan x = x 的所有正實根由小到大排列, 得一無窮數列 x1, x2, x3, · · · , xn, · · · , 則 lim n→∞(xn+1 − xn) =?.?? (四捨五入到小數第二位)。 Ans:3.14 5. n 是大於1 的整數。 坐標平面上兩個橢圓區域 x2 n2+y 2 _{≤ 1 和 x}2₊y2 n2 ≤ 1 共同的 部分以 An 表示。 請選出正確的選項。 (1) An 的面積小於4 (2) An 的面積大於 π (3) An 的周長大於5 (4) 當 n 趨於無窮大時, An 的面積趨近於4 Ans: 1,2,3,4 6. 設 n 為正整數, 坐標平面上有一等腰三角形, 它的三頂點分別是 (0, 2) 、 ( 1_{n, 0) 、} (− 1n, 0) 假設此三角形的外接圓直徑長等於 Dn , 則 lim n→∞Dn =? Ans:2 7. 設 α, β 為方程式 x2 _{− x − 1 = 0 之二根, 又令 f(n) = α}n + βn , 試求 lim n→∞ f (n + 1) f (n) =? 1 + √ 5 2 順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math _·

第

₂

章

習題參考答案

高_{中數學選修乙下習題參考答案:} 2.1 第一章 習題_1-1 1_{. a = 6} 2_{. a = 0, b = 6} 3_{. 0, 32} 4_{. 1; 1} 習題_1-2 1_{. 4; 25} 2a_{. 發散} 2b_{. 2} 3a_. 17−1 90 3b_{. 2}345−3 990 4_{. 1 < x ≤ 2; 0或2} 5_{. −43} 6_{. 41} 30 7_{. 35公尺} 8_{. 1 < x < 2, x 6= 3/2;} 1 2(2 − x) 9_{. x = 12} 10_{. 7} 11_{. 12} 12_{. A = 2; l = 4(2 +}√₂₎ 13_{. A =} 4√3 3 習題_1-3 1a_{. {x|x ∈ R}} 1b_{. {x|x 6= 1}} 1c_{. {x|x ≥ 1, x ≤ −3}} 1d_{. {x|x < −1, x > 3}} 2a_{. {y| − 2 ≤ y ≤ 2}} 2b_{. {y|y 6= 1}} 2c_{. {y|0 ≤ y ≤} 3 2} 3_{. h(2x − 1) = 10 − 6x; x = 2, h(2x −} 1) = −2 4_. -2 -1 1 2 3 -2 -1 1 2 3 4 5_{. 3x}2_{− 1; (3x − 1)}2 6_{. x; x} 7_. √_x2 _{+ x + 1} 8_{. x} 9_{. 1 : 3 : 5 : 7 : · · · ; t = 10} 10a_{. 0; 0} 10b_{. −2; −1} 10c_{. −2; 0} 10d_{. a = 1; b = 0} 11_{. g(x) = x + 3} 2 12_{. g(x) =} 3x−8 x−3 13_{. 1, 3, 6, 7, 8, 10} 習題_1-4 1_{. 8; 4} 順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math 2.1 第一章 _· 2_{. 1, −1, 2/}√_{3, 0} 3_{. 1, 0} 4_{. 2,}√_2/4 5_{. 8, 2} 6_{. 1} 7_{. 14} 8_{. a = 4, b = 8} 9_{. a = 0, b = 1, c = −2, d = 1} 10_{. lim} x→1− f (x)= lim x→1+f (x)=lim_x→1f (x) = 4 = f (1) 11_{. x = k, k ∈ Z} 12_{. 不連續} 13_{. 3} 14_{. a = 4} 15a_{. 0} 15b_{. 2; f (0) = 2} 15c_{. −1; f(2) = 0} 15d_{. 不存在} 16_{. 1, 2} 17_{. 利用中間值定理或令 g(x) = f (x) −} 300 勘根定理 18_{. (3, 4)} 19_{. −3, −2; −2, −1; 1, 2; 3, 4} 20_{. 令 g(x) = f (x) − 1 , 再利用勘根定} 理 順伯的窩