函數的歷史發展

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多數學想法，才讓函數的概念興起，例如：

1. 實數完備性的概念，還有一些複數的想法已經被接受了。

2. 代數符號的發展。

3. 因為科學上的問題而有了研究動力。

4. 代數和幾何的連結。(Israel Kleiner, 1989)

在十七世紀，許多科學家為了更透徹的研究科學，開始將科學數學化，並逐

然後逐漸被發展成代數形式。在 1692 年萊布尼茲(Leibniz)使用了函數這個詞表達 和曲線相關的物件，例如曲線上每一點的切線斜率和曲線上的點座標。在這之後，

曲線逐漸被表示為一種形式(formulas)或方程式(equations)。因此在後續的研究，

主要都是這些符號和形式或方程式的關係，此時這些曲線的代數形式研究已經獨 立於原來的幾何形式的研究。此時約翰·白努利(Johann Bernoulli)發現沒有一個共 同的詞彙可以表示一個變數依賴另一個變數的形式或方程式因此在 1718 約翰·白 努利定義了函數一詞：

函數是一個由變數和常數經過任何形式所組合成的一個變量。(Israel Kleiner, 1989)

其原文如下：

Here a function of a variable quantity denotes a quantity composed in any arbitrary manner from this variable quantity and constants.(Israel Kleiner, 1989) 這樣的定義看似沒有問題，不過約翰·白努利並沒有嚴謹的解釋經過任何形 式(composed in any manner whatever)是什麼意思。

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在十七世紀末時，分析開始漸漸地從研究幾何慢慢地變成研究如何使用變數 表示曲線，因此分析開始發展了相當多的代數形式的函數。歐拉(Euler)在 1748 出版了 Introductio in Analysin Infinitorum，內容為蒐集微積分所需要的分析概念、

分析辦法以及解析幾何。歐拉的 Introductio in Analysin Infinitorum，是第一本以 函數的角度出發所編寫的數學分析書。他也宣稱數學分析是變數還有該變數的函 數所形成的科學。並且使用解析展開式（在當時只是一種類似於關係式的一種形 式）去定義函數：

一個變數的函數，是可以被表示成這個變數和常數經由任一組合的解析展開 式(analytic expression)。

其原文如下：

A function of a variable quantity is an analytic expression which is composed in any manner of this variable and of numbers or constants. (Tinne Hoff Kjelden &

Jesper Lützen, 2015)

不過歐拉並沒有真正定義解析展開式，但是說明了這解析展開式的意義涉及 加減乘除四種代數運算以及根號，指數，對數，三角函數，微分和積分。歐拉也 將函數分類，主要分成代數函數、超越函數、單值函數、多值函數、隱函數等等。

而在 Introductio in Analysin Infinitorum 這本書也是最早使用代數方法求得三角函 數的比值，不過最重要的地方，在於大量的研究冪級數。

冪級數(power series)可以說是整個十八世紀分析代數化的最重要的工具。因 為冪級數是解析展開式函數的一個重要概念，所以在當時幾乎是數學分析的核心，

因此歐拉宣稱每個函數都可以被冪級數表示(If anyone doubts this,this doubt will be removed by the expansion of every function)。(Israel Kleiner, 1989)

在 1747 年達朗貝爾(D’Alembert)寫了一篇關於弦震動(Vibrating String)的文 章，這篇文章也是第一篇出現波動方程式(wave equation)的文章。達朗貝爾展示 了他解出來的弦震動方程式的一般形式：y(x, t) = {φ(x + at) + φ(x − at)}/2。在

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這個結果出來後，達朗貝爾進一步的認為φ是一個解析展開式。不過歐拉對此就 有一些爭議，歐拉認為如果φ是一個解析展開式那他就不夠一般化。達朗貝爾一 開始在推導弦震動(Vibrating String)時，他要求弦是要拉緊的。不過歐拉認為在 現實情況，弦是可以放鬆的，所以歐拉認為φ可以不必是一個解析展開式，他可 以是有限個在不同區間的解析展開式，亦或者是無法使用有限個在不同區間的解 析展開式像是徒手畫的一種曲線(curves)（即為我們現在所理解的連續函數），而 歐拉當時定義這兩種情況的函數為不連續函數（discontinuous）。因為這樣的衝擊，

使得歐拉對函數有更抽像的想法。在 1755 年 Institutiones calculi differentialis 一 書中，歐拉給了函數更一般化的定義：

如果某些變數依賴著另一個變數，如果後者改變前者也會跟著改變，那我們 就稱前者為後者的函數。

其原文如下：

If some quantities so depend on other quantities that if the latter are changed the former undergo change, then the former quantities are called functions of the latter.(Israel Kleiner, 1989)

不過歐拉在 Institutiones calculi differentialis 一書中並沒有解釋這個新定義的 好處，用的例子也和過去的解析展開式一樣，所以沒有多少人知道這個定義有多 一般化，對微分方程有多重要等等。(Tinne Hoff Kjeldsen • Jesper Lützen, 2015) 接下來，在 1822 年傅立葉(Fourier)研究熱傳導的過程中，傅立葉的想法和歐

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標𝑥，都會對應到一個縱座標𝑓(𝑥)，這些座標不需要符合什麼規則，每一個 都是獨立的量。

其原文如下：

In general, the function 𝑓(𝑥) represents a succession of values or ordinates each of which is arbitrary. An infinity of values being given to the abscissa x, there are an equal number of ordinates 𝑓(𝑥). All have actual numerical values, either positive or negative or nul. We do not suppose these ordinates to be subject to a common law; they succeed each other in any manner whatever, and each of them is given as it were a single quantity. (Tinne Hoff Kjeldsen & Jesper Lützen, 2015)

狄利克雷函數(Dirichlet function)。狄利克雷函數是第一個不是解析展開式（或在 有限個不同區間的解析展開式），也不是徒手畫的出來的函數，也是第一個處處

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分析開始著重於某些特別的函數，例如：

連續函數(continuous functions)、部分連續函數(semi-continuous functions)、可微 函數(differentiable functions)、不可積分函數(functions with nonintegrable

derivatives)、可積分函數(integrable functions)、單調函數(monotonic functions)等 (Israel Kleiner, 1989)。

到了1872年，魏爾斯特拉斯(Weierstrass)建構了一個到處連續但到處不可微 的函數。這大大的違反當時當時的幾何直觀(U. Bottazzini, 1986)。

在1870年，大部分微積分的書都說連續函數只有有限個點是不可微的，而且 柯西(Cauchy)也深信不疑。魏爾斯特拉斯建構出到處連續但到處不可微的函數後，

大家開始重新研究數學分析上的連續和可微函數，魏爾斯特拉斯開始審核分析的 基礎，然後讓分析算數化。反例對數學分析是相當重要的，經過這麼多的反例，

函數的概念已經很少建立在幾何直觀上了(Kleiner, 1989)。

在狄利克雷定義完狄利克雷函數之後，函數這個概念也已經脫離瞭解析展開 式。那到底是什麼樣的函數他不是解析展開式呢？為瞭解決這樣的問題，也該好 好定義解析展開式到底是什麼樣的函數。在這時期的分析，主要目標都是研究特 定的函數，也就是說函數的分類是相當重要的。

貝爾(Baire)在1898年的博士論文中，他用了Weierstrass Approximation

Theorem收斂的想法，將函數做了有效的分類。第零類函數是所有的連續函數；

第一類函數就是收集不屬於第零類的函數，且是由第零類函數逐點收斂的函數；

第N類函數就是收集不屬於任何之前第N類以前的函數，且是由第N-1類函數逐點 收斂的函數。只要屬於任何一個貝爾的函數分類，那就稱那個函數為「可解析展 開」(analytically representable)。也確定了過去的解析展開式的概念是包含在可解 析展開內的。勒貝格(Lebesgue)在1905年證明了每一類都是非空的，也證明了存 在某些函數他不屬於可解析展開，而且也舉出實際的例子。

在 19 世紀狄利克雷舉出函數的定義域是可以有範圍的，而不是整個實數域。

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值域的範圍在哪？在康托(Cantor)建構好集合論之後，他認為函數只是在兩個集 合之間一種特別的映射(mapping)。但是這個映射要怎麼被定義，就是一個大問 題。這個答案是由策梅洛(Zermelo) 和弗倫克爾(Fraenkel)用集合論的公設去解 答：

在 A 和 B 之間的映射或函數，是 A×B 的一個子集合。其中每一個在 A 裡面 的 x 都會對應到唯一一個在 B 裡面的 y 使得(x,y)是在 A×B 裡面。

其原文如下：

A mapping or function between A and B is a subset of A × B with the property that for each x in A there is precisely one y in B such that (x, y) is in A × B. In this way, the question of the means of constructing functions was reduced to the means of building sets, and they are described in the axioms of set theory.(Tinne Hoff Kjeldsen & Jesper Lützen, 2015)

布爾巴基(Bourbaki)在 1939 相當支持這個新的函數概念。並使用了這個概念 先去定義了函數關係(functional relation)：

E 和 F 為兩的集合，如果一個有一個 E 和 F 關係(relation)，其中每一個 x 屬 於 E 都可以對應到唯一一個在 F 裡面的 y，那我們就稱這個關係為函數關係 (functional relation)。並且如果兩個函數關係是相同的，那就表示它們是相同 的函數。

其原文如下：

Let E and F be two sets, which may or may not be distinct. A relation between avariable element x of E and a variable element y of F is called a functional relationin y if, for all x ∈ E, there exists a unique y ∈ F which is in the given relation with x.We give the name of function to the operation which in this way associates with every elementx ∈ E the element y ∈ F which is in the given relation with x;y is said to be the value of the function at the element x, and the function is said to be determined by the given functional relation. Two

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equivalent functional relations determine the same function. (Israel Kleiner, 1989)

布爾巴基的函數定義為：函數就是某個笛卡兒積(Cartesian product)E × F的子集合。

以這樣的抽象定義，不管是定義域還是值域還是對應關係，都算是講得非常清楚，