從HPM的觀點考察高中數學函數的教材

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(1)國立臺灣師範大學數學系碩士班碩士論文. 指導教授：左台益博士洪萬生博士. 從 HPM 的觀點考察高中數學函數的教材. 研究生：萬晉宇. 撰. 中華民國一零五年七月. 0.

(2) 摘要如何運用數學史教授數學已是一種國際數學教學趨勢，然而，對於國內高中數學教育來說，相關的研究依然有限。本研究希望從函數發展的歷史資料與現今高中函數的教材內容作比較研究，以作為高中函數教材的另一種教學方向。研究方法採用內容分析法，針對民國 97 年教育部公布的 99 課綱，以及民國 102 年教育部公布的 103 課綱中的高中函數教材內容，挑選市占率最高的三個版本討論 HPM(History and Pedagogy of Mathematics)如何介入高中數學的函數課程之中。研究結果如下： 1. 根據文獻，有部分中學生學習函數的認知困難和函數概念發展時所遭遇的困難一致。 2. 目前這三本教科書，僅有一個版本的教師手冊在介紹函數發展史，其餘的版本皆是使用給予一個實例，然後定義名詞。 3. 三個版本的教科書均沒有介紹函數概念的起源，以及為了解決什麼問題才發展函數概念。 4. 三個版本的教科書僅有一個版本有統整這些特定函數(指對數函數、三角函數) 的一致性，並在這些特定函數中抽象化函數的定義。 5. 狄利克雷函數不管是在歷史上還是在現代高等數學都極具代表性，不過僅有甲版本的教師手冊有提到狄利克雷函數，三個版本的教科書完全沒有提到此函數。根據研究結果，研究者建議：在函數教材的設計上，可以循歷史的發展脈絡，完整呈現函數發展過程的每個階段。教材內容也應鋪陳歷史發展上所遭遇的問題，進而引起學生動機。另外提供教師的數學史進修課程以及發行「HPM」的相關刊物以落實數學史的教學，使 HPM 的精神、理念被更多人瞭解。關鍵字：函數、HPM. i.

(3) 目錄. 第一章緒論............................................................................................................ 1 第一節研究背景與動機................................................................................ 1 第二節研究目的及問題................................................................................ 2 第三節研究方法............................................................................................ 2 第四節研究限制............................................................................................ 3 第五節名詞解釋............................................................................................ 4 第二章文獻探討.................................................................................................... 8 第一節函數的歷史發展................................................................................ 8 第二節運用數學史教學的必要性.............................................................. 15 第三節數學史與數學教學的整合.............................................................. 19 第四節中學生學習函數所遭遇的認知困難及函數歷史發展的對照.... 22 第五節分析判準的制定.............................................................................. 25 第六節回顧 HPM 學界對於函數的教學方案 ........................................... 25 第三章從 HPM 觀點考察高中數學函數教材 ................................................... 31 第一節現今高中教科書中與函數相關內容之探討.................................. 31 第二節現今高中教師手冊中與函數相關內容之探討.............................. 40 第三節從 HPM 觀點看高中函數課程設計 ............................................... 42 第四章結論與建議.............................................................................................. 48 第一節結論.................................................................................................. 48 第二節建議.................................................................................................. 51 參考文獻...................................................................................................................... 53 附錄.............................................................................................................................. 57. ii.

(4) 第一章第一節. 緒論. 研究背景與動機. 民國 88 年公布的〈教育基本法〉第 11 條明訂：「國民基本教育應視社會發展需要延長其年限。」民國 92 年 9 月召開「全國教育發展會議」，達成「階段性推動十二年國民基本教育」之結論，希望延長國民基本教育年限，將高中、高職及五專前三年予以納入並加以統整，藉以提升國民素質與國家實力。十二年國教的想法，逐漸成為主流，因此教育部在 103 年 11 月編定了《十二年國教基本教育課程綱要》，此綱要以「自發」、「互動」及「共好」為理念，強調學生是自發主動的學習者，學校教育應善誘學生的學習動機與熱情，引導學生妥善開展與自我、與他人、與社會、與自然的各種互動能力，協助學生應用及實踐所學、體驗生命意義，願意致力社會、自然與文化的永續發展，共同謀求彼此的互惠與共好。在課程目標提到「啟迪學習的動機，培養好奇心、探索力、思考力、判斷力與行動力，願意以積極的態度、持續的動力進行探索與學習；從而體驗學習的喜悅，增益自我價值感。」黃俊瑋（2007）提出將數學史融入數學教學的其中一個優點就是「引發學生學習動機與興趣。」Barbin(2000)提出「數學史提供我們另一種思考的機會。」Furinghetti 和 Paola (2003)提出「數學史可以激發學生在數學上的興趣。」Tzanakis 和 Arcavi (2000)提出「數學史可以幫助數學學習，對於數學本質和數學活動的發展，可有另一個觀點，珍視數學為一項文化成果。」數學史正是引起學生學習動機與熱情的良好材料，學習數學史，也能理解數學是文化的產物，協助學生自然與文化的永續發展。自 99 課綱開始，課綱的編寫者開始強調了函數的重要性，內容如下：數學Ⅰ：函數數學 I 處理連續量相關的課題，包括度量連續量的實數，以及表現兩連續量關係的函數，函數也是數學與具體世界連結的媒介。近年來，由於許多學科的數 1.

(5) 量化與數學化的需求，使得各國的高中數學教育特別重視函數及其應用，在先進國家，學生除用描點繪圖外，還用電腦繪圖輔助函數的學習，以建立其函數與圖形的直觀連結。本次課綱修訂，也加強函數這個主題。在高一階段，學生要學習基本函數（多項式函數、指數、對數函數）的基本操作，認識其基本特徵與圖形以及基本的應用。因為其他學科普遍用到一次函數、二次函數，以及指數、對數函數，更應特別加強這些題材的學習。因此函數概念在中學時期是相當重要的概念，為了讓學生學習得更有效率，也為了不要讓概念如此冰冷，引起學生學習函數的興趣，瞭解數學是人類文化的一部分，就成為相當重要的課題了。數學史融入教學的想法，目前已經受到大家認可，因此本研究希望可以提供教學上一個不同的進路。. 第二節. 研究目的及問題. 本研究主要以「數學史」的角度，來關照高中課程各版本中的函數單元。藉由瞭解數學發展的過程，對函數有更深層的認識，並由歷史發展與多元社會文化觀點的滲透，為現今數學教科書提供具體建議。因此本研究的目的為：從 HPM 的觀點檢視高中數學函數單元的教材設計，以提供教學上的不同進路。而研究問題為： 1. 函數概念是如何演進的？ 2. 對於現今高中函數的教材針對教科書而言還可以提供哪些數學史題材以增進教學的不同進路？ 3. 對於現今高中函數的教材針對教師手冊而言還可以提供哪些數學史題材以增進教學的不同進路？. 第三節. 研究方法. 本研究採用內容分析法，針對 99 課綱（教育部，2008）及 103 課綱（教育部，2013）的內容、教科書、教師手冊進行分析與評論。至於立論，則採用 HPM 2.

(6) 觀點，檢視課綱設計、三個版本的編輯理念，以及其各自版本教材的函數單元內容，以便據以針對此一單元的教材教法提供具體意見。基於 HPM 觀點，我將在文獻探討中，說明函數概念的歷史發展，藉以更深刻理解數學家在函數概念發展時所遭受的困難，以及他們是如何突破。另一方面，我們也打算回顧中學生學習函數的認知特性等相關文獻，理解現今中學生學習函數時遇到的學習障礙。由於歷史上函數概念發展時所遭遇的困難，即使並非完全類似現今中學生所遭遇的困難，不過，由於歷史上的數學家早已提供了突破困難的進路，因此，利用這些寶貴的遺產，以及 HPM 專家學者的研究成果，我將試著擬定如下的函數教材的判準(criteria)，以作為分析及評論這三個版本相關內容的參考依據： 1.. 是否有提供函數概念的發展，包括為了什麼問題而演進。. 2.. 提供可以寫成關係式的函數。. 3.. 函數的引入是否使用啟發函數概念的運動學相關例子。. 4.. 是否有提供在有限個不同區間有不同定義的函數。. 5.. 是否有提供無法寫成有限個不同區間有不同定義的函數（如徒手畫）的曲線。. 6.. 是否有提供狄利克雷函數的案例。. 7.. 是否解釋函數的定義必須使用集合論才足夠抽象。. 8.. 是否有統整過去所學的特定函數並抽象化函數概念。. 第四節. 研究限制. 本研究旨在探討 99 課綱以及 103 課綱和函數有關的教材，分析範圍為依據教育部九十七年公布的 99 課綱和教育部一零二年公布的 103 課綱所編輯而成的高中教科書。其研究限制如下： 1. 依據教育部九十七年公布之 99 課綱，審定共有七個版本，依據教育部一零二年公布之 103 課綱，審定共有五個版本，本研究根據 2015 年南一書 3.

(7) 局企業股份有限公司與龍騰文化事業股份有限公司所提供市占率資料以及大盟網路書店所提供的高中各校用書版本並挑選市占率最高的南一版，龍騰版，翰林版，三個版本進行深入研究。 2. 103 課綱的教科書目前只有出版到第四冊，因此無法分析 103 課綱選修部分的函數教材，因此本研究選修部分的函數教材為 99 課綱的，而 103 課綱是由 99 課綱修改而來的，在選修數學 II 的部分並沒有進行任何的修改，因此研究者認為 99 課綱與 103 課綱選修部分的函數教材差異並不大。 3. 此研究目的為提供教師教學另一面向的觀點，施行成效與否，可做為未來研究方向。. 第五節. 名詞解釋. HPM 觀點隸屬於國際數學教育委員會(ICMI)的一個研究群，專門推動數學史與數學教學之關聯。簡單地說，它是數學史學對數學教育的一種應用，目的當然是利用數學史的研究成果、以及數學史與數學教育的互動，來提升數學教師的教學品質與學生的學習成效（洪萬生，2000）。經過這四十多年來的努力與推展，HPM 漸漸地成為國際間發展數學課程的一大主流之一，主要目標則是希望能藉由結合數學家、數學史家、數學教師、社會科學家，以及數學的使用者們，刺激各學科間的研究與交流以及提供教師可使用的各種資源，並促進各種數學教學的研討（歐士福，2005；Fasanelli & Fauvel，2000；轉引自陳玉芬，2006）。而在本研究中所指的 HPM 觀點，則是從運用數學史教學得面向檢視高中數學函數教材，由認知、歷史與數學邏輯層面所獲得的啟發與感想。. 99 課綱全名為《普通高級中學必修科目「數學」課程綱要》及《普通高級中學選修科目「數學」課程綱要》（教育部，2008），本文簡稱 99 課綱。99 課綱各學年課 4.

(8) 程的定位如下：高一數學（數學 I、II）的定位為學習與生活關聯或其他學科需要用到的數學，以建立學生在各學科進行量化分析時所需要的基礎。高一上處理有關連續量的課題，包括由度量連續量所產生的實數，以及描述量與量關係的基本函數，如多項式函數與指數、對數函數。高一下處理有關離散量的課題，包括數列與級數、排列組合、生活中常見的古典機率，以及其他學科常用到的數據分析等。高二數學（數學 III、IV）的定位為社會組與自然組學生在學習上所應具備的數學知識，其主題為坐標、向量幾何與線性代數。. 99 課綱高中數學在高三的選修學分分為四個部分：選修數學提供學生適才適性的學習機會，針對不同學生的需要，選修課程共分四類：標準課程、基礎課程、統整課程和進階課程。各類課程的目標與對象如下：一、標準課程：名稱數學甲 I 數學甲 II 數學乙 I 數學乙 II 二、基礎課程名稱基礎數學 I 基礎數學 II. 目標提供將來要進入理、工、醫、農領域學生所需的數學基礎提供將來要進入工商管理領域學生所需的數學基礎. 建議對象自然組學生自然組學生社會組學生社會組學生. 目標. 建議對象數學基礎不足者數學基礎不足者. 補救數學基礎不足的部份. 三、統整課程名稱統整數學數學演習. 目標進行不同章節的連結以深化學習加強練習，從實作中掌握學習目標. 建議對象一般學生一般學生. 四、進階課程名稱微積分 I 微積分 II 選修代數選修幾何數學軟體數學建模. 目標定位為大一微積分，這是順應世界潮流，提供學生提前修習大學課程的管道加深加廣代數學的學習加深加廣幾何學的學習學習以數學軟體解決問題學習建立數學模型解決問題. 建議對象學習超前學生學習超前學生有興趣的學生有興趣的學生有興趣的學生有興趣的學生. 5.

(9) （教育部，2008） 103 課綱是經由 99 課綱微調而來，全名為《普通高級中學必修科目「數學」課程綱要》及《普通高級中學選修科目「數學」課程綱要》（教育部，2013）本文簡稱 103 課綱。其微調內容為：課程內容過量、過於艱深、課程安排的邏輯順序、橫向整合、縱向連貫、與大考中心考試內容的搭配等等困難與問題及適性教育與差異化教學的需求。然而，為避免「微調」失去控制，總計畫設定了一些範圍： 1.. 現行普通高中課程總綱不做更動。. 2.. 課程目標、各科學分數、教師授課節數不更動。. 3.. 進行各學習階段之間的縱向連貫，各學科之間的橫向統整，不同學制之間的聯繫整合，並滿足十二年國教實施後學生多元適性學習的需要。. 4.. 具有高度爭議或尚未凝聚共識的內容，不列入本次課綱微調的範圍。. 103 課綱各學年課程的定位如下：高一數學（數學 I、II）的定位為學習與生活關聯或其他學科需要用到的數學，以建立學生在各學科進行量化分析時所需要的基礎。高一上處理有關連續量的課題，包括由度量連續量所產生的實數，以及描述量與量關係的基本函數，如多項式函數與指數、對數函數。高一下處理有關離散量的課題，包括數列與級數、排列組合、生活中常見的古典機率，以及其他學科常用到的數據分析等。高二數學（數學 III、IV）的定位為社會組與自然組學生在學習上所應具備的數學知識，其主題為坐標、向量幾何與線性代數。. 103 課綱高三數學選修學分分為四個部分：選修數學提供學生適才適性的學習機會，針對不同學生的需要，選修課程共分四類：標準課程、基礎課程、統整課程和進階課程。各類課程的目標與對象如下：. 6.

(10) 一、標準課程：名稱數學甲 I 數學甲 II 數學乙 I 數學乙 II. 目標提供將來要進入理、工、醫、農領域學生所需的數學基礎提供將來要進入工商管理領域學生所需的數學基礎. 建議對象自然組學生自然組學生社會組學生社會組學生. 目標. 建議對象數學基礎不足者數學基礎不足者. 二、基礎課程名稱基礎數學 I 基礎數學 II. 補救數學基礎不足的部份. 三、統整課程名稱統整數學數學演習. 目標進行不同章節的連結以深化學習加強練習，從實作中掌握學習目標. 建議對象一般學生一般學生. 四、進階課程名稱目標微積分 I 定位為大一微積分，這是順應世界潮流，提供學生提前修習大學課程的管道微積分 II 選修代數加深加廣代數學的學習選修幾何加深加廣幾何學的學習數學軟體學習以數學軟體解決問題數學建模學習建立數學模型解決問題（教育部，2013）. 建議對象學習超前學生學習超前學生有興趣的學生有興趣的學生有興趣的學生有興趣的學生. 高中數學教科書在此指的是各家出版社根據教育部九十七年公布之 99 課綱以及根據教育部一零二年公布之 103 課綱所編輯而成的數學教科書。本研究中僅針對甲、乙、丙三個版本做函數教材上的分析與研究。. 狄利克雷函數一個函數𝐷，當自變量 𝑥 為有理數時，𝐷(𝑥) = 1；當自變量 𝑥 為無理數時， 𝐷(𝑥) = 0。在 1837 年由狄利克雷所創，不過當時狄利克雷還要求定義域必須被限制在[0,1]上，而非整個實數。. 7.

(11) 第二章. 文獻探討. 本研究主要目標在於從 HPM 觀點檢視 99 及 103 課綱高中數學函數單元的教材設計，以提供教學上的不同進路。因此在第一節探討函數歷史發展相關的文獻；在第二節將探討「運用數學史教學的必要性」的相關文獻；第三節則是探討「數學史與數學教學的整合」，利用這兩節的文獻做為檢視高中數學函數單元教材的依據；而在第四節我們將探討現在中學生學習函數時可能遭遇的認知困難，第五節則是觀察第四節所討論的認知困難和數學史發展時所遭遇的困難是否有相符之處，而歷史上，數學家早已提供解決這些困難的辦法，利用這些寶貴的資產，制定評論教科書及教師手冊的判準；第六節則是提供 HPM 學界對於函數單元的教學策略與實際課程。. 第一節. 函數的歷史發展. 在科學研究中，第一項數學收穫是得自運動學得研究；在十七世紀，刻卜勒的天文學顯然已被接受，尤其是在伽利略的觀察給出太陽中心論提供更多的佐證之後。發現單擺的週期與擺長還有振幅的關係，在當時代數符號已普遍的被使用，伽利略對於自由落體的敘述很快就被寫成𝑠 = 𝑘𝑡 2 ，關於斜面滑動的敘述也被寫成𝑡 = 𝑘𝑙。在函數觀念在完全認識之前，十七世紀所介紹的許多函數，大部分被當作曲線研究，諸如logx，sinx，𝑎 𝑥 等等的超越函數，均是如此。在希臘時代，少數的曲線如阿基米德螺線，是用運動的術語定義的；在那個時候，曲線是被擺在數學領域以外的，這種態度與十七世紀時截然不同，麥瑟尼在1615年將擺線定義為：在地面滾動的輪上某一點之軌跡；伽利略也曾證明：以一個角度拋射向空中的物體，其軌跡微拋物線。後來，這些曲線所代表的各種類型的函數，以文字或符號的方式逐漸被介紹出來，科學也就正式進入數學化了。（林炎全，1979）明確的函數形式一直到 18 世紀才出現，在這期間函數的概念一直遲遲未出現的原因，被認為有兩種情況，其一是代數能力的缺乏，其二是沒有夠多的函數例子，所以無法有效地將函數抽象化。而在 1450 到 1650 這兩百年中，發展了很 8.

(12) 多數學想法，才讓函數的概念興起，例如： 1. 實數完備性的概念，還有一些複數的想法已經被接受了。 2. 代數符號的發展。 3. 因為科學上的問題而有了研究動力。 4. 代數和幾何的連結。(Israel Kleiner, 1989) 在十七世紀，許多科學家為了更透徹的研究科學，開始將科學數學化，並逐漸發展解析幾何。這兩種發展，提供了用動態與連續的觀點，去觀察並理解靜態與離散的物件。在十七世紀的數學分析起源於蒐集所有解決曲線問題的方法，包括切線，曲線下面積，曲線長度，沿著曲線移動的速度。所以微積分一開始並不是從函數出發，而是幾何。一個簡單的例子，在擺線的方程式被研究出來之前，他的幾何性質早已被廣泛的研究了。微積分因為幾何學和運動學而被大量的發展，然後逐漸被發展成代數形式。在 1692 年萊布尼茲(Leibniz)使用了函數這個詞表達和曲線相關的物件，例如曲線上每一點的切線斜率和曲線上的點座標。在這之後，曲線逐漸被表示為一種形式(formulas)或方程式(equations)。因此在後續的研究，主要都是這些符號和形式或方程式的關係，此時這些曲線的代數形式研究已經獨立於原來的幾何形式的研究。此時約翰·白努利(Johann Bernoulli)發現沒有一個共同的詞彙可以表示一個變數依賴另一個變數的形式或方程式因此在 1718 約翰·白努利定義了函數一詞：函數是一個由變數和常數經過任何形式所組合成的一個變量。(Israel Kleiner, 1989) 其原文如下： Here a function of a variable quantity denotes a quantity composed in any arbitrary manner from this variable quantity and constants.(Israel Kleiner, 1989) 這樣的定義看似沒有問題，不過約翰·白努利並沒有嚴謹的解釋經過任何形式(composed in any manner whatever)是什麼意思。. 9.

(13) 在十七世紀末時，分析開始漸漸地從研究幾何慢慢地變成研究如何使用變數表示曲線，因此分析開始發展了相當多的代數形式的函數。歐拉(Euler)在 1748 出版了 Introductio in Analysin Infinitorum，內容為蒐集微積分所需要的分析概念、分析辦法以及解析幾何。歐拉的 Introductio in Analysin Infinitorum，是第一本以函數的角度出發所編寫的數學分析書。他也宣稱數學分析是變數還有該變數的函數所形成的科學。並且使用解析展開式（在當時只是一種類似於關係式的一種形式）去定義函數：一個變數的函數，是可以被表示成這個變數和常數經由任一組合的解析展開式(analytic expression)。其原文如下： A function of a variable quantity is an analytic expression which is composed in any manner of this variable and of numbers or constants. (Tinne Hoff Kjelden & Jesper Lü tzen, 2015) 不過歐拉並沒有真正定義解析展開式，但是說明了這解析展開式的意義涉及加減乘除四種代數運算以及根號，指數，對數，三角函數，微分和積分。歐拉也將函數分類，主要分成代數函數、超越函數、單值函數、多值函數、隱函數等等。而在 Introductio in Analysin Infinitorum 這本書也是最早使用代數方法求得三角函數的比值，不過最重要的地方，在於大量的研究冪級數。冪級數(power series)可以說是整個十八世紀分析代數化的最重要的工具。因為冪級數是解析展開式函數的一個重要概念，所以在當時幾乎是數學分析的核心，因此歐拉宣稱每個函數都可以被冪級數表示(If anyone doubts this,this doubt will be removed by the expansion of every function)。(Israel Kleiner, 1989) 在 1747 年達朗貝爾(D’Alembert)寫了一篇關於弦震動(Vibrating String)的文章，這篇文章也是第一篇出現波動方程式(wave equation)的文章。達朗貝爾展示了他解出來的弦震動方程式的一般形式：y(x, t) = {φ(x + at) + φ(x − at)}/2。在. 10.

(14) 這個結果出來後，達朗貝爾進一步的認為φ是一個解析展開式。不過歐拉對此就有一些爭議，歐拉認為如果φ是一個解析展開式那他就不夠一般化。達朗貝爾一開始在推導弦震動(Vibrating String)時，他要求弦是要拉緊的。不過歐拉認為在現實情況，弦是可以放鬆的，所以歐拉認為φ可以不必是一個解析展開式，他可以是有限個在不同區間的解析展開式，亦或者是無法使用有限個在不同區間的解析展開式像是徒手畫的一種曲線(curves)（即為我們現在所理解的連續函數），而歐拉當時定義這兩種情況的函數為不連續函數（discontinuous）。因為這樣的衝擊，使得歐拉對函數有更抽像的想法。在 1755 年 Institutiones calculi differentialis 一書中，歐拉給了函數更一般化的定義：如果某些變數依賴著另一個變數，如果後者改變前者也會跟著改變，那我們就稱前者為後者的函數。其原文如下： If some quantities so depend on other quantities that if the latter are changed the former undergo change, then the former quantities are called functions of the latter.(Israel Kleiner, 1989) 不過歐拉在 Institutiones calculi differentialis 一書中並沒有解釋這個新定義的好處，用的例子也和過去的解析展開式一樣，所以沒有多少人知道這個定義有多一般化，對微分方程有多重要等等。(Tinne Hoff Kjeldsen • Jesper Lü tzen, 2015) 接下來，在 1822 年傅立葉(Fourier)研究熱傳導的過程中，傅立葉的想法和歐拉產生了一些衝突，由於歐拉的函數概念皆由運動學角度出發，因此歐拉的函數概念強調點和點的關係，歐拉認為前一個點會影響後一個點（當時歐拉的函數概念即為我們現在所認識的連續函數），不過傅立葉認為每個點都是獨立的，彼此互不影響（也就是傅立葉認為函數是可以不連續的）。因此傅立葉給予函數更新的定義：一般而言，對於每一個任意的𝑥，函數𝑓(𝑥)代表一個值或座標。每一個橫坐. 11.

(15) 標𝑥，都會對應到一個縱座標𝑓(𝑥)，這些座標不需要符合什麼規則，每一個都是獨立的量。其原文如下： In general, the function 𝑓(𝑥) represents a succession of values or ordinates each of which is arbitrary. An infinity of values being given to the abscissa x, there are an equal number of ordinates 𝑓(𝑥). All have actual numerical values, either positive or negative or nul. We do not suppose these ordinates to be subject to a common law; they succeed each other in any manner whatever, and each of them is given as it were a single quantity. (Tinne Hoff Kjeldsen & Jesper Lü tzen, 2015) 傅立葉也解決了熱傳導問題，他的解是用傅立葉級數(Fourier series)表達的。之後他進一步地宣稱，所有函數都可以用傅立葉級數表示。同時他也說明了歐拉的不連續函數定義有誤，有些不連續函數可以被表示成一條傅立葉級數，在歐拉的定義裡這又是連續函數，所以矛盾。接下來，傅立葉的學生狄利克雷(Dirichlet)接續解決他老師傅立葉級數的收斂問題。因為歐拉和傅立葉或者是當時的其他數學家，大家舉的例子永遠沒有離開解析展開式或曲線，儘管他們早已給予函數夠抽象的定義，在當時還是鮮少有人能夠理解為何函數定義必須如此抽象，直到狄利克雷創造了一個很特別的函數：狄利克雷函數(Dirichlet function)。狄利克雷函數是第一個不是解析展開式（或在有限個不同區間的解析展開式），也不是徒手畫的出來的函數，也是第一個處處不連續的函數，及第一個定義域在[0,1]上而非整個實數域的函數。狄利克雷函數可以說是提升函數概念一個非常重要的例子，儘管概念已經非常抽象化了，但沒有實際的例子我們還是無法想像，也無法更理解。狄利克雷表示函數的概念是任意的配對。在狄利克雷函數中，狄利克雷也有明確的指出定義域而非整個實數。在十七世紀，數學分析研究的是所有函數的共同特性，但到了十九世紀後，數學. 12.

(16) 分析開始著重於某些特別的函數，例如：連續函數(continuous functions)、部分連續函數(semi-continuous functions)、可微函數(differentiable functions)、不可積分函數(functions with nonintegrable derivatives)、可積分函數(integrable functions)、單調函數(monotonic functions)等 (Israel Kleiner, 1989)。到了1872年，魏爾斯特拉斯(Weierstrass)建構了一個到處連續但到處不可微的函數。這大大的違反當時當時的幾何直觀(U. Bottazzini, 1986)。在1870年，大部分微積分的書都說連續函數只有有限個點是不可微的，而且柯西(Cauchy)也深信不疑。魏爾斯特拉斯建構出到處連續但到處不可微的函數後，大家開始重新研究數學分析上的連續和可微函數，魏爾斯特拉斯開始審核分析的基礎，然後讓分析算數化。反例對數學分析是相當重要的，經過這麼多的反例，函數的概念已經很少建立在幾何直觀上了(Kleiner, 1989)。在狄利克雷定義完狄利克雷函數之後，函數這個概念也已經脫離瞭解析展開式。那到底是什麼樣的函數他不是解析展開式呢？為瞭解決這樣的問題，也該好好定義解析展開式到底是什麼樣的函數。在這時期的分析，主要目標都是研究特定的函數，也就是說函數的分類是相當重要的。貝爾(Baire)在1898年的博士論文中，他用了Weierstrass Approximation Theorem收斂的想法，將函數做了有效的分類。第零類函數是所有的連續函數；第一類函數就是收集不屬於第零類的函數，且是由第零類函數逐點收斂的函數；第N類函數就是收集不屬於任何之前第N類以前的函數，且是由第N-1類函數逐點收斂的函數。只要屬於任何一個貝爾的函數分類，那就稱那個函數為「可解析展開」(analytically representable)。也確定了過去的解析展開式的概念是包含在可解析展開內的。勒貝格(Lebesgue)在1905年證明了每一類都是非空的，也證明了存在某些函數他不屬於可解析展開，而且也舉出實際的例子。在 19 世紀狄利克雷舉出函數的定義域是可以有範圍的，而不是整個實數域。. 13.

(17) 值域的範圍在哪？在康托(Cantor)建構好集合論之後，他認為函數只是在兩個集合之間一種特別的映射(mapping)。但是這個映射要怎麼被定義，就是一個大問題。這個答案是由策梅洛(Zermelo) 和弗倫克爾(Fraenkel)用集合論的公設去解答：在 A 和 B 之間的映射或函數，是 A×B 的一個子集合。其中每一個在 A 裡面的 x 都會對應到唯一一個在 B 裡面的 y 使得(x,y)是在 A×B 裡面。其原文如下： A mapping or function between A and B is a subset of A × B with the property that for each x in A there is precisely one y in B such that (x, y) is in A × B. In this way, the question of the means of constructing functions was reduced to the means of building sets, and they are described in the axioms of set theory.(Tinne Hoff Kjeldsen & Jesper Lü tzen, 2015) 布爾巴基(Bourbaki)在 1939 相當支持這個新的函數概念。並使用了這個概念先去定義了函數關係(functional relation)： E 和 F 為兩的集合，如果一個有一個 E 和 F 關係(relation)，其中每一個 x 屬於 E 都可以對應到唯一一個在 F 裡面的 y，那我們就稱這個關係為函數關係 (functional relation)。並且如果兩個函數關係是相同的，那就表示它們是相同的函數。其原文如下： Let E and F be two sets, which may or may not be distinct. A relation between avariable element x of E and a variable element y of F is called a functional relationin y if, for all x ∈ E, there exists a unique y ∈ F which is in the given relation with x.We give the name of function to the operation which in this way associates with every elementx ∈ E the element y ∈ F which is in the given relation with x;y is said to be the value of the function at the element x, and the function is said to be determined by the given functional relation. Two 14.

(18) equivalent functional relations determine the same function. (Israel Kleiner, 1989) 布爾巴基的函數定義為：函數就是某個笛卡兒積(Cartesian product)E × F的子集合。以這樣的抽象定義，不管是定義域還是值域還是對應關係，都算是講得非常清楚，也是目前高等數學最喜愛使用的定義了。函數的概念主要是由十七世紀開始，到了二十世紀才逐漸完善，前前後後經歷了將近三百年。其中每一次的演進，幾乎都是為解決物理問題，抽象化概念後，在漸漸地與物理直觀分離。函數的概念主要可以分為三個階段：幾何、代數、邏輯（圖2-1）。而學生在教科書上看到的函數，主要從常見的函數出發，在常見的函數介紹完之後，鮮少有統整性的說明這些函數的共通性。因此學生其實對於函數的概念極為陌生，甚至搞不清楚函數和數的差別，以及函數和方程式的差別。教科書上的函數說法，主要都是先給予一些基本的函數想法，再去說明一般常見的函數。這樣學生難以感受為何數學家努力地創造反例，以及為何給予函數這樣的定義，當然也就無法對此有著求知慾。所以接下來，我們將討論為何要將「數學史融入教學」，而又該如何達到這個目標。. 幾何 {. 代數. 曲線. {. 方程式. 萊布尼茲（曲線上的物件）歐拉（解析展開式）. 圖2-1. 第二節. 邏輯 {. 狄利克雷（給予夠特殊的函數例子）布爾巴基（利用集合去定義）. 函數的概念演化. 運用數學史教學的必要性. 在本節我們將討論「數學史融入數學教學」的相關文獻，說明數學的教學不應只是被視為嚴謹、形式化的學科訓練，而是在更廣泛的脈絡架構觀點下的一門學科（Fried,2003；轉引自陳玉芬，2006），首先將探討運用數學史教學的必要性。 15.

(19) 1.. Barbin（2000；轉引自蘇意雯，2005）提出：數學教學中融入歷史維度最常見的兩個理由是： (1) 對於「數學究竟為何？」的觀點，數學史提供了我們另一種思考的機會。 (2) 數學史讓我們對於概念和理解有更好的瞭解。. 2.. Furinghetti & Paola（2003；轉引自蘇意雯，2005）則認為：在課堂上融入歷史可能達到兩個取向： (1) 「歷史主要的功能在於激發學生在數學上的興趣」 (2) 「整合歷史進入數學教學，就是以數學為主體，安排實行的課程，探討教育的議題、數學的脈絡，從一個新的觀點以及布置一個新的工作環境，以幫助達成數學的目標。」. 3.. 黃俊瑋（2007）也提出將數學史融入數學教學至少有以下四個優點： (1) 引發學生學習動機與興趣：數學對於大部分學生而言，除了升學、考試的目的外，制式化的教材往往難以引起學生的興趣或動機，若能適時地引入數學發展史上的相關故事、軼聞趣事，數學家的不同觀點及想法，亦或是知名的數學問題等等，來做為數學課堂上的潤滑劑，為數學課注入活力，有效引發學生學習動機。 (2) 透過對於數學史料的探討，發展更有意義的數學教材：許多數學問題與數學概念，皆具有社會文化脈絡上的深層意義，透過探討、學習相關數學問題的出現與發展，能引領學生對當時社會文化背景，以及實用目的上的瞭解與認識。當我們從教材內容的精進以及有效教學的角度來看，許多數學教材或數學式子，皆可以透過數學史相關文本、史料的認識與探討，賦予直觀上、連結上或者不同表徵上的意義，不再讓學生感到如此生冷，故數學史的融入，不僅有助於引領學生從學習過程中發現知識的脈絡，並且可以達到有意義的學習效果。. 16.

(20) (3) 瞭解數學與數學史本身的價值：數學課程培養我們解決問題、抽象思考的能力。我們過去所經驗的數學課堂或數學教科書的內容，大多數都是數學概念的引介及例題習題的反覆練習。課程設計者及數學教師，總是以讓學生在短時間內學會很多「有結構的」、「重要的」、幾千年來人類文明逐漸累積發展而形成的數學知識與數學概念為主要目標，並且能綜合融會貫通的應用這些概念與算則，來解決各種數學問題。他們似乎把所有學生當作未來的科學家、數學家來培養。然而，對於「數學學科」而言，什麼才是最有價值的知識？除了理性的數學知識外，數學在文化層面上的意義呢？身為數學教師，大可不必要求學生編年或記傳地為數學家與數學大發現歌功頌德，但至少藉由學生對數學發展的認識中，瞭解數學之於科學，數學之於人類文明發展的意義與價值，例如：人們從生活經驗中抽象出數的概念，對於人類文明的意義與重要性，人們利用數學方法來尋求瞭解大自然運行的規則，數學之於日常生活以及社會文化上的實用意義，以致近代西方數學的蓬勃發展，對於科技上的突破與發展帶來種種影響，以及數學演繹論證方法上的客觀性與絕對性等。數學史本身即是有意義的知識，數學發展之於人類的重要性，絕不亞於科學發展、文學發展或朝代版圖的變遷或典章制度的演進。 (4) 數學史的認識，可帶給教師在教學上許多不同的啟發。在許多調查研究中顯示，數學是學生最感到痛苦、挫折、恐懼的學科，數學概念的抽象艱深。從數的發展過程中，我們不難發現，即使是過去諸多偉大的大數學家們，也都曾經對於無理數、負數、零、複數的出現與使用感到困擾與無法理解。此外，函數概念的發展與演變、數學家對於無窮小數的處理與無窮概念的發展過程等，也著實曾令數學家們頭疼不已，又由當時康熙皇帝對於未知數的使用上，所產生的迷惑。無. 17.

(21) 怪乎許多學生在學習數學的過程中充滿疑惑，又總是無從問起，被抽象的數學概念搞得團團轉，而教師們卻又總以達朗貝（d’Alembert）式的口吻告誡學生：「努力不懈，自然會生出信心」。於是，學生只能機械式地反覆練習與記憶，為了考試而「背多分」，往往失去了真正理解數學概念的機會。透過對數學概念發展的認識，數學教師們更能瞭解數學教材與諸多概念之中，最難以理解、容易產生困惑之處，適時地放慢教學步調，加強說明，以助益於學生的學習，同時，也從中學會同理地體諒並包容學生們在數學上失敗的學習經驗。另外，在數學的發展上，往往自由創造必需先於形式化和邏輯基礎，過於制式而嚴格地規定，反而容易壓抑了創造性的思維與先知卓見，數學史家 M. Kline 曾提及：「幸好當時（17 世紀）數學家如此輕信乃至天真，而不是在邏輯上認真窮究，數學於是進入創造成最輝煌時期。」「推動數學最大進步的，是有傑出直覺能力的人，而非具有構造嚴格證明的人。」數學課堂中，學生的創意想法、學生天馬行空的想像力，學生對於知識的好奇與熱情，都不該受到任何壓抑。也因此，透過對數學史的研討與融入教學的過程，相信亦能帶給教師們在教學上以及看待學生的學習上，有更多不同面向的啟發與想法。並引領學生有開擴的數學觀與更深刻的數學價值觀。 4.. Tzanakis & Arcavi(2000；轉引自陳玉芬，2006)針對數學史融入教學的必要性則有下列描述： (1) 藉由數學史整合，能揭開「我們所一直探討的數學概念、結構、想法」究竟是什麼？ (2) 數學史可作為相關主題探討的資源 (3) 數學史可做為其他主題連結的橋樑 (4) 藉由歷史提升更一般化的價值 18.

(22) 5.. 在 Historical topics for the mathematics classroom 的第一章指出：「數學史可是為一種教學的工具。」並說道「適當地使用它，將它與現在的數學知識與應用聯結在一起，那麼數學史會是一個讓老師如何教出『為什麼』的重要工具之一。」同時也將所謂的『為什麼』分成以下三類： (1) 時間演進所產生的為什麼(Chronological whys)，意指以時間為主軸發展下，數學知識的變化。 (2) 邏輯上的為什麼(Logical whys)，歷史能為學生提供大量發展邏輯洞察的能力，因為它包含了公理系統本質的瞭解、邏輯推理以及定理的證明，對於學生發展數學結構性的瞭解是很重要的。 (3) 教法上的為什麼(Pedagogical why)，此種程序或策略，並不像是前述兩種有著完備的獨斷性定義或唯一性的邏輯觀，而是一種在問題中抽絲剝繭後的逆向思考，並藉由歷史中學習，幫助學生的瞭解或減少學生所犯的錯誤。. 第三節. 數學史與數學教學的整合. 綜觀第二章第二節的觀點，數學史融入數學的確有其必要性，但該如何確實達到這個目的？ 1.. Siu & Tzankis(2004)指出將數學史融入教學至少有三個不同面向：數學邏輯知識面向(mathematics)、歷史面向(history)、教法的運用(didactics)（即學生的認知面向）。若要同時給出如此豐富的數學教學，可以從以下觀點出發： (1) 透過適當地使用與數學某主題相關的歷史資料剖析，對數學知識重新認識；或是回顧數學的發展中，發現其是個體的成長其實與歷史是平行的。如同 Kline(2004；轉引自陳玉芬，2006)所說「學習數學的過程與數學發展的歷程有一定的類似性，及遵從生物發生學的一個基本規律：個體的成長要經歷種族成長的所有階段順序相同，只是所經歷的時間縮短。」 19.

(23) (2) 豐富各階段教師的專業發展，教師可以藉由歷史層面的思考，改善教學技巧。Schubring(2000；轉引自蘇意雯，2005)也提出透過教師的數學史培訓，能有以下功能： I.. 讓教師知道過去的數學，也就是數學史的直接傳授。. II.. 促進教師對於他們即將教授之數學的瞭解，這是方法論以及認識論的功能。. III.. 授予教師融入歷史素材於教學的方法和技能，亦即在課堂中運用數學史。. IV. 促進教師對於他們的專業以及課程發展的瞭解，這涵蓋了數學教學史的部分。 (3) 透過數學史建構並發展適當的教學工具，用以改善教師的教學方法以及明白學生學習的困難之處。 (4) 提供一些特別的例子，引起學生學習的動機、或豐富它們的數學觀點並深化對數學知識的瞭解。 2.. Historical topics for the mathematics classroom 的第一章對數學史的教學給了以下詮釋：「歷史的觀點可以幫助教師決定『現代的數學』是什麼樣子，歷史說明了當代的數學其實是許多新舊知識的綜合體－就像畢氏定理雖然古老，但仍然重要，而新概念，則如：集合(set)，公理(axiomatics)，結構(structrue) 這些重要系統。因此對於這些新舊知識概念的澄清所形成的新面向將更有意義於對原本知識內容的敘述，就像如果在一個舊系統中利用結構的洞察，使得某部分的知識更異於綜合與延伸，或是利用新的符號與專業術語整合一個難以理解的知識使其系統化。然而這些新的結構即符號的洞察將使得數學的教與學更容易。『現代化的數學』也許只不過是一些舊觀點的新洞察。因此，既不是要揚棄舊的知識，也不是一味的增加新內容，而是要發展並傳遞給我們學生舊想法的新觀念，並介紹適當的新概念。所以，若能洞察一個概念的. 20.

(24) 歷史發展，將能改善課程設計者的選擇性及教師對於連結洞察及引起學習動機的能力。」. 3.. 洪萬生（2006）所著的《此零非彼０：數學、文化、歷史與教育文集》一書中，對數學史可以如何融入數學教育也有非常豐富的說明，並給出具體的方法，如圖 2-2。從圖示中可以瞭解到，課室中的教與學是由（a）、（b）的數學史與（c）教學材料共同支援，而在數學史的滋潤下，讓教學內容更加豐富。. 數學史 (a) 史料文獻. 歷史的滲透. (c) 教學教材. (b) 二手資料. 課室中的教與學. 圖 2-2 運用數學史教學的架構（洪萬生，2006）. 藉由上述方法，簡要的數學史全貌、說明概念的起源或發展過程，能讓學生更明白今日的數學架構建立在某些重大事件的發生，甚至引發學生的好奇心，想. 21.

(25) 更深入瞭解其他細節。數學教育的結果不應讓學生眼中的數學原貌如此絕對， (Kline, 2004)當我們以數學史的觀點回顧教學時，應瞭解到數學知識的多元性，避免以傳遞這些知識與方法為重心，忽略了數學的本質是在創造性思考的活動與經驗，故我們再以培養學生創造力及解決問題的能力為首要教學目標的前提下，應憑藉數學史的洞察，讓數學知識的學習不僅僅建立在數學本質的結構上，更要奠基在其歷史脈絡上。從本研究第二章第一節，我們發現，函數概念的發展並非立竿見影，而是經歷了無止盡的挑戰及困難才發展成形。而學生在學習函數時，時常因為各種原因而產生困難及迷思，而這些困難及迷思是否在發展函數概念時就出現過了？根據這個問題，下一節我們將探討中學生學習函數時所遭遇的認知困難，並和歷史上函數概念發展時所遭遇的困難做比較。. 第四節. 中學生學習函數所遭遇的認知困難及函數歷史發展的對照. 本節我們將探討及歸類中學生學習函數時認知上所遭遇困難，並討論這些困難和歷史上發展函數概念時所遭遇的困難是否雷同，並利用歷史上解決這些困難的辦法，制定評論教科書及教師手冊的分析判準。以下我們總共歸納出七個國內外學者共同認同的學習困難及迷思，進而比較在歷史上函數概念的演進以及現代中學生的學習困難及迷思是否有雷同之處。根據 Markovits, Eylon & Bruckheimer(1988)、Walton(1988) 、Norman(1993)、 Vinner(1983)、Markovits 等人(1986)、Markovits(1988)、邱芳津（1990）、吳玫瑤（2001）、陳盈言（2001）、吳佳起（2003）、呂永聰（2003）、葉明達（2000）、等研究，皆有提到以下五種學習函數所遭遇的困難及迷思： 1.. 函數關係是一種一定可以列出方程式的對應關係。. 2.. 函數圖形是平滑的、連續的，有缺口的圖形就不是函數。 22.

(26) 3.. 函數一定要有規律（包括成比例、對稱及單調等）。. 4.. 函數例子大多以式子表徵呈現，無形中促使學生將關係式與函數概念做過度的連結。. 5.. 多項式的教學讓學生誤以為函數一定是多項式。. 而根據 Markovits, Eylon & Bruckheimer(1988)、Lovell(1971)、Norman(1993)、 Markovits 等人(1986) 、葉明達（2000）、呂永聰（2003）等研究皆有提到以下兩種學習函數所遭遇的困難及迷思： 6.. 誤認為每個函數都是線性關係，對常數函數(例如f(x)=10)、分段定義函數 (例如狄利克雷函數)和以離散點呈現的函數特別感到困難。. 7.. 對函數相關術語感到困惑，包含定義域、值域、對應域等，學生無法迅速瞭解書面方式所下的定義（定義域、值域、對應規則）與圖形表徵各部分的聯結。. 因此，將上述七點做為本研究將學習函數所遭遇的認知困難。當然除此之外還有許多學習函數所遭遇的認知困難，例如：函數概念具備多重表徵而導致學生難以學習、學生無法解釋函數圖形的相關問題、學生在處理具有生活情境相關的函數問題時，會感到困難、學生對於表徵之間的轉換，代數轉換到圖形會比圖形到代數容易等等。本研究主要針對上述七點學習函數所遭遇的困難及迷思進行討論，至於而外的困難及迷思，不在本研究的範圍內。而上述的七點困難，在不同時期及不同地區皆有學生發生這些困難及迷思，更有趣的是，這七點困難，在發展函數概念時皆有出現。這些困難及迷思不管是在過去還是現在，都一直頻頻出現，超越了時間、區域以及人種的限制，至於這些困難是不是人類固有的困難，不在本研究的範圍內，有待未來更進一步研究。以下我們將探討上述七個困難及迷思是如何出現於歷史上，以及過去的數學家是用什麼樣的技術以及什麼樣的問題或反例讓數學家們一一克服這些困難。在17世紀，科學活動的本質以和過去不同，科學牢固的、安穩的建立在數學. 23.

(27) 得基礎上。運動學上有很多關係式也被表達出來，在17世紀我們見證了科學數學化的過程，而函數正是科學數學化的重要工具。在歐拉的時代，他認為可以被表達成一種關係式（解析展開式）的才是函數，和我們的困難 1、3、4、5 皆相符。一直到弦震動問題的出現，歐拉才發現函數的概念其實不夠抽象（他認為函數也可以是有限個在不同區間的解析展開式，亦或者是無法使用有限個在不同區間的解析展開式像是徒手畫的一種曲線），這個反例解決了困難 1、3、4、5，因此擴大了函數的定義，把函數想成一種對應關係，在此我們可以看見，歐拉也試圖修正他過去的錯誤，不過卻又因為他沒有在他的書中提供夠抽象的例子，所以沒有人瞭解這個新定義的好處，因此這個定義就逐漸的付諸流水了。在當時歐拉得想法還停留在解決運動學的問題，他認為這一刻和下一個瞬間都有一定程度的關係，所以歐拉的函數概念並沒有脫離函數的連續性和我們的困難 2、6 相符。但傅立葉認為每個點都是獨一無二的對應，不需要有任何關係，我們可以看出傅立葉盡其可能的突破困難 2、6，但是傅立葉在這個時期一樣沒有提供有力的證據證明這樣的定義更好，直到狄利克雷創造出狄利克雷函數。這個強而有力的反例，和世人說明了函數定義有如此抽象的必要性，在此我們可以發現狄利克雷解決了困難 2、6。雖然狄利克雷成功的發揚函數是一種「對應」，不過是從誰對應到誰？這點他並沒有說明清楚，而這個問題正是我們的困難 7，最後經由康托，策梅洛，弗倫克爾到布爾巴基使用了集合的觀點，發展了函數概念相關的元素（定義域，對應域，值域等），至此，我們的困難 7 也解決了。這個概念及想法沿用至今，已經是我們目前承認幾乎是最抽象的函數定義了。概念的演進過程都脫離不了統整過去的例子，因此推動演進的這些反例是相當重要的。根據歷史發展，我們發現讓函數概念演進的最重要推手，就是反例，這些學生面臨的困難，在歷史上皆出現過，而歷史上的數學家也突破了這些困難，這些寶貴的歷史資產應當好好的使用於教學上。Gottlib(1998)將函數的演進分成數個. 24.

(28) 階段並在教師工作室及課程中使用，他們也探討了學生學習函數時所遭遇的困難及產生的迷思，最後他們認為，產生困難與迷思的最主要原因其實是不理解「為什麼」，而這些重要的「原因」，我們皆可以在歷史找到答案。下一節，我們將利用中學生學習函數的認知困難以及歷史發展制定分析教科書的分析判準 (criteria)。. 第五節. 分析判準的制定. 我們可以看出學習函數的認知困難以及函數演進的發展是有一致性的，這些困難與迷思在過去都是重大的挑戰，不過歷史上的數學家早已提供了突破困難的進路，因此，利用這些寶貴的遺產，以及 HPM 專家學者的研究成果，我將試著擬定如下的函數教材的判準(criteria)，以作為分析及評論這三個版本相關內容的參考依據，分析判準如下： 1.. 是否有提供函數概念的發展，包括為了什麼問題而演進。. 2.. 提供可以寫成關係式的函數。. 3.. 函數的引入是否使用啟發函數概念的運動學相關例子。. 4.. 是否有提供在有限個不同區間有不同定義的函數。. 5.. 是否有提供無法寫成有限個不同區間有不同定義的函數（如徒手畫）的曲線。. 6.. 是否有提供狄利克雷函數。. 7.. 是否解釋函數的定義必須使用集合論才足夠抽象。. 8.. 是否有統整過去所學的特定函數並抽象化函數概念。. 第六節. 回顧 HPM 學界對於函數的教學方案. Gottlib(1998)將函數的演進分成數個階段並在教師工作室及課程中使用，他們也探討了學生學習函數時所遭遇的困難及迷思，最後他們認為，產生學生學習困難及迷思的最主要原因是不理解「為什麼」，包括：為什麼定義要如此的抽象， 25.

(29) 為什麼必須用這樣的方法學函數，為什麼我們必須學函數等等的問題。在第二章第二節我們也提到 Jones(1998；轉引自陳玉芬，2006)在 Historical topics for the mathematics classroom 的第一章指出：「數學史可是為一種教學的工具。」並說道「適當地使用它，將它與現在的數學知識與應用聯結在一起，那麼數學史會是一個老師如何教出『為什麼』的重要工具之一。」同時也將所謂的『為什麼』分成以下三類： 1.. 時間演進所產生的為什麼(Chronological whys)，意指以時間為主軸發展下，數學知識的變化。. 2.. 邏輯上的為什麼(Logical whys)，歷史能為學生提供大量發展邏輯洞察的能力，因為它包含了公理系統本質的瞭解、邏輯推理以及定理的證明，對於學生發展數學結構性的瞭解是很重要的。. 3.. 教法上的為什麼(Pedagogical why)，此種程序或策略，並不像是前述兩種有著完備的獨斷性定義或唯一性的邏輯觀，而是一種在問題中抽絲剝繭後的逆向思考，並藉由歷史中學習，幫助學生的瞭解或減少學生所犯的錯誤。. 在 History in Mathematics Education(Fauvel and van Maanen, 2000)的 7.4.2 提到歷史給予為什麼函數要使用這麼抽象定義的理由。包括狄利克雷函數這個有名的反例，導致函數的定義必須更加抽象。而在本研究的第二章第二節 Kline(2004；轉引自陳玉芬，2006)也提到「數學學習數學的過程與數學發展的歷程有一定的類似性，及遵從生物發生學的一個基本規律：個體的成長要經歷種族成長的所有階段順序相同，只是所經歷的時間縮短。」在 History in Mathematics Education(Fauvel and Jan van Maanen, 2000)的 4.3.2.3 中提到希望教師們放棄直接用集合去定義函數，不過學生該學到的函數概念也不能變少。取而代之的是制定了四個階段，其中數學史扮演著數學教學最重要的角色。而四個階段如下： 1. 複習函數的發展 26.

(30) 2. 討論一些促使演進為現代數學的一些想法 3. 在數學教學中呈現數學史 4. 討論在中學及大學學到的函數概念而各階段皆有詳細的說明，說明如下： 1.. 複習函數的發展：我們建議一開始先使用歐拉的定義，但如此一來，教科書上的例子還是函數嗎？接下來我們開始研究歐拉之後函數概念的演進，直到狄利克雷－布爾巴基的定義。在這個階段還不是一個課程，而是教師的課前準備工作。. 2.. 討論一些促使演進為現代數學的一些想法：我們應該理解為什麼函數最後是使用集合論的方法去定義的，因此我們需要去瞭解這個概念的抽象化過程，而目前的教科書往往以現代化數學的角度出發，因此建議教師在更舊的教科書或文獻上找一些過渡函數的例子。. 3.. 在數學教學中呈現數學史：將之前的準備工作整理好，並呈現現代數學函數定義的重要性，最後比較教科書的例子還有函數的概念。. 4.. 討論在中學及大學學到的函數概念：再去尋找一些可以呈現函數概念的例題與練習，促使學生練習定義與例子的相關性。. 而 Petersen 在 2011 年在丹麥的教學研究中，發展了一套實際的課程「在通過歷史與現代的角度看函數概念」。這課程的目的在於驗證歷史可以是學習數學的核心。這個課程在丹麥的高中實施，他們掩蓋了所有函數課程，並專注於歐拉在 18 世紀的函數概念發展，遇到弦振動怎麼演進函數概念，直到法國大革命，以及 19 世紀的狄利克雷的函數概念。而對象是高二的學生 17-18 歲之間。學生. 27.

(31) 在數學的文獻中，提煉出數學資源。他們討論函數概念的發展，並與現代的函數概念進行比較，把教學的重點放在培養學生對歷史的認識，並由學生自己去揭示函數的發展。在這課程中包含 13 堂，一堂有 50 分鐘的課，分成兩個階段。在第一階段分成四個基礎組，每一組都有特定的主題，並有不同的引導問題還有目標，學生在第一階段會進行五堂課，各組的主題如下：第一組：函數定義的歷史第二組：弦振動的爭辯第三組：歐拉和狄利克雷的社會背景第四組：現代化的函數概念每一組都必須想一份報告並完成特定的工作表所制定的問題。第一、二、三組是用不同的歷史觀點去看函數發展。在第二階段，分成更專業的四個專家組。而這四個專家組的成員必須要有四個基礎組的成員，因此每一個專業組都包含了第一階段的所有知識。每一組內的每個成員，必須各自分享他在基礎組所做的報告以及學到的知識。每一個專家組的任務皆是寫一篇論文，論文內容包含他們在第一階段所得到的知識，兩派數學家的爭辯，以及數學概念是如何出現，背後的驅動力為何？在這個階段會耗費四堂課。接下來的兩節課用來課堂討論，主要用來討論專家組完成了什麼任務以及討論學生如何組合基礎組的知識以致完成專家組的任務。專家組的四堂課中的最後一堂要討論他們的工作進度。在最後會要求每一個專家組提供一個簡短的演說，強調一個或兩個他們想討論的問題。老師也提供很多資源供學生參考如：Victor Katz’s (1998) A History of Mathematics，以及一些文章，以幫助學生處理整個過程。在第一個基礎組與第三個基礎組，更是給予學生明確的問題，以幫助學生完成任務，其問題如下：第一個基礎組的任務為主要遵從的以下八個問題：(Petersen, 2011). 28.

(32) 1. 歐拉定義的核心概念是什麼？ 2. 歐拉是用什麼東西表達這些變量之間的關係，而那東西稱為什麼？ 3. 在更一般化的變量之間的關係是什麼？ 4. 比較 2 和 3 的例子，並說明 3 為什麼是更一般化的？ 5. 歐拉為什麼要拓展它的函數概念，和它一開始的函數概念有何不同？ 6. 找出三個狄利克雷的函數概念與歐拉的函數定義之異同。 7. 回顧任務 3，是什麼原因導致狄利克雷認為必須要更一般化。 8. 觀察以提供的四個圖片，哪些是符合歐拉拓展的定義，哪些是符合狄利克雷的函數概念。. 第三個基礎組的任務，學生的報告至少要回答以下 8 個問題。(Petersen, 2011) 1.. 簡短的介紹歐拉和狄利克雷的生平，他們是誰？他們住哪？等等。. 2.. 在 1789 年發生了什麼大事件導致整個歐洲特別是法國的社會有重大改變。. 3.. 在 1789 年之前以及在 1793 年之前研究數學與教授數學的據點在哪，地點是否相同。. 4.. 在 1789 之前是誰贊助院校以及為什麼贊助？. 5.. 在 1793 年院校發生了什麼事？. 6.. 在 1793 年後研究和教授數學的地方為何？. 7.. 有哪些新的數學結果在 1789 及 1793 年前後出現？是什麼原因導致官方必須修改數學家所出版的刊物？. 8.. 在 1793 年之後，是什麼原因導致數學活動的改變，包括教學及研究數學，以及是用什麼方式發表最新的數學結果？. 根據 Petersen 等人的研究，發現在這實驗課程內，這些歷史和這些摘錄的原始資料，幫助學生函數概念的學習以及培養他們的歷史意識。整理這些史料的工. 29.

(33) 作，並不是學生熟悉的數學環境，無法使用標準的解題方法去解決這一類的問題。這樣的歷史問題，學生被要求討論函數的概念以及從不同的面向去看函數概念。在實際的教學觀察上，學生討論狄利克雷的文本，研究指出學生對符號以及其涵義產生無法分裂的連結。並在類似的教學觀察中，根據歐拉的例子，學生能深刻的體認函數一般化的重要性。而歐拉提供的在不同區間有不同解析展開式的函數例子，成功得讓學生瞭解其重要性，而這也是現代函數的重要概念，這也說明數學史在教學上是有很大幫助的。根據教學實驗，我們發現歷史可以幫助學生克服一部分的學習困難及迷思，例如學生無法清晰的理解自變數，應變數及常數，以及學生舊經驗都是處理線型函數導致對函數產生誤解。學生會誤會能寫出解析展開式的才是函數，這很有可能是受到過去的教學影響，直到這個教學實驗修正了他的基模。要求學生完成這項作業可以讓學生反思函數的概念，學生在一開始因為舊經驗導致認為函數一定可以寫成解析展開式，不過這跟狄利克雷的概念衝突，而狄利克雷的函數概念比較接近我們目前所知的函數概念，學生在處理這份作業時，他們會反思自己的函數概念，並強化其概念，修正其基模。這種教學也幫助學生理解函數概念的結構，因此學習數學史可以幫助學生瞭解其數學意義。也就是說，如果他們調查過去數學家在開發數學概念時的動機及概念還有因為什麼條件而必須一般化，是有助於學生學習概念的。在這次實驗，我們用多個角度去看一段數學史並分成不同的小組，然後把不同觀點的小組，再重新組合成專家組，討論數學概念的發展，使其產生火花，導致函數概念更加完善。研究顯示，經過專家組的討論，學生對於函數的發展已有具體的見解，他們意識到歐拉一開始的函數概念以及連續的定義和現今不同，學生也意識到科學的發展和社會發展有很大的關係並且瞭解概念的形成是歸功於許多歷史事件或歷史成員。用這樣的數學史融入教學，學生可以更理解我們的教學目標，並讓學生用比較具體的方式去學習數學概念，在這個意義上，數學史是數學學習相當重要的核心。. 30.

(34) 第三章從 HPM 觀點考察高中數學函數教材第一節現今高中教科書中與函數相關內容之探討本節將探討甲乙丙三個版本的教科書，引入函數的第一個例子，定義，幫助學生過渡學習函數抽象化定義的例子，以及函數的抽象化定義。首先，我們先觀察三個版本介紹函數的第一個例子，如表 2-2-1. 引入函數的第一個例子函數是描述兩個變量（變數）間的“對應變化＂關係，在高中數學裡，他是一個既重要又基本的概念。例如： (1)“距離與時間”的關係。乘“高鐵”從起站出發，車行 10 公里後開始計時，以均速 250 公里／時飛馳，車行的“距離”S ( 公里 ) 與“時間”t ( 時 ) 有下列關係：. 甲版本. S＝250t＋10 ( 0 t 1.6 ) (2)“面積與半徑”的關係。圓盤面積 A 與半徑 r 的關係為 A＝πr2 ( r 0 ) (3) 氣體的“體積與氣壓”的關係 ( 波義耳定律 )。常溫下的氣體，它的體積 V 與氣壓 p 成反比，即 1 V＝k． p. ( k 是常數，p＞0 ). 汽車以每小時 60 公里的速度等速行駛了 2 小時﹒在這個過程裡﹐設汽車行駛的時間為 x 小時﹐行經的路程為 y 公里﹐則 y 與 x 的關係﹐可以用數學式表示如下：. 乙版本. ﹒ y  60 x （ 0  x  2 ）由上式作 x 與 y 兩變數的對應表﹐如下： x. 0.5. 1. 1.5. y. 2. 30 60 90 120 顯然﹐當 x 的值給定時﹐都有一個且只有一個對應的 y 值﹐像這種對應關係就是函數的概念﹒. 31.

(35) 某次數學段考因為成績太差，老師決定每位同學各加 5 分，如果原始的成績為 x，加分過後的成績為 y，則可以列表如下：. 丙版本. x. 40. 54. 60. 75. y. 45. 59. 65. 80. 注意每個原始成績 x 必能且只能對應到一個加分後的 y 值。兩者之間的關係為 y=x+5。這就是一個函數。表 2-2-1 我們可以發現甲、乙兩個版本的引入是用運動學的例子，這樣的例子非常符合歷史發展，更進一步的甲版本還有使用面積與半徑和體積與氣壓的關係，其本質上也符合課綱的要求「函數也是數學與具體世界連結的媒介。近年來，由於許多學科的數量化與數學化的需求，使得各國的高中數學教育特別重視函數及其應用」，也展現了函數是科學的數學化的重要工具。丙版本則是使用了調整分數的方式，建立一個表格，讓學生看見他們的對應關係，然後描寫出他們的關係式。接下來我們將考察在第一冊學習多項式之前，三個版本教科書所給予的函數定義：. 32.

(36) 函數的定義(第一冊) 設 x 與 y 是兩個變數，若 y 的值隨 x 所取的值依某一種“對應法則 f” 而唯一確定時，則說 y 是 x 的函數，用記號 y＝f (x) 表示。. 在函數關係 y＝f (x)中，x 叫作自變數，y 叫作應變數（或因變數）。自變數 x 取值的範圍稱作函數 f 的定義域，x 依對應法則 f 所對應的 y. 甲版本. 值叫作 x 的函數值，記作 f (x)。當 x 遍取定義域內每一個值時，全體函數值 f (x)的範圍，稱作函數 f 的值域。. 函數的概念由三部分構成：. 對應法則 f 定義域 ─────→ 值域. 定義域是“自變數”取值的範圍。當“定義域”與“對應法則”確定後，應變數 y 取值的範圍（值域）也就隨著確定。設 x 與 y 是兩個變數﹒當 x 的值給定時﹐y 的值也隨著 x 的值而唯一確定﹐我們稱這種對應關係為 y 是 x 的函數﹐而 x 稱為自變數﹐y 稱. 乙版本. 為應變數﹒若此函數命名為 f ﹐則用記號 y  f  x  表示﹐並以 f  a  表示當 x  a 時所對應的函數值﹒ 設 x，y 為兩個變數。若對於每一個 x 所取的值，都可以找到唯一一個 y 值與之對應，則我們稱 y 是 x 的函數。若用 f 代表這個函數，則此函數可寫成 y=f(x)。. 丙版本. 在這個函數概念中甲、x 稱為此函數的自變數，y 稱為應變數。自變數 x 所有可能值的全體稱為這個函數的定義域。乙、給定 x=a，代入函數後得到 f(a)稱為函數在 x=a 的函數值。所有函數值的全體稱為這個函數的值域。. 33.

(37) 表 2-2-2 由數學史的角度出發，我們不難發現，從引入到目前給定的函數定義，其中間有很大的差距。引入是 17 世紀的問題，不過這麼嚴謹的定義幾乎是 19 世紀的結論。以這樣的引入，馬上就要提到函數是一種「對應」，研究者認為，還需要進一步的澄清，不過由於在這個階段，並沒有學到夠多的函數，而是初步的介紹函數，因此我們期望在第六冊正式介紹函數時可以給予更進一步的澄清。在定義完之後，教科書馬上就按照課綱的順序開始介紹多項式函數，指對數函數，三角函數等等。在之後每個章節，都只介紹特定函數的性質，並沒有指出這些特定函數為什麼是函數，也沒有使用函數定義去確認他們確實為函數。接下來我們將探討介紹函數的抽象定義之前將函數概念從具體到抽象的過渡。在第六冊裡，三個版本在 1-2 函數的概念，分別用了不同的方式，幫助學生過渡抽象化函數概念的過程。過渡過程如下表 2-2-3 函數的過渡甲版本. 本書在第一冊曾介紹過函數的概念：設 x 與 y 是兩個變數，若 y 的值隨著 x 所取的值依某一種“對應法則 f”而唯一確定時，我們稱這種對應法則為 y 是 x 的函數，並用符號 y＝f (x) 表示。從前面的敘述，可以得知函數的概念是由三部分構成：定義域－－－－－－－→對應域對應法則f 一般來說，對應法則 f ( 函數 ) 的表現方式有幾種類型： 1.. 用映射圖表示函數：. 例如：上述映射圖表示 1，2，3，4，5 分別對應它們除以 3 所得的餘數。 34.

(38) 2.. 用數學式子表示函數：. 例如：本書前幾冊所介紹的一些函數： f (x)＝3x2－5x－6，( 多項式函數 ) f (x)＝2x，( 指數函數 ) f (x)＝log3x，( 對數函數 ) f (x)＝sin x。( 正弦函數 ) 3. 用圖表來表示函數：設 an ( n＝1，2，…，10 ) 表示 5n 除以 4 所得的餘數，下表可以用來表示 n 對應 an 的函數關係： n. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. an. 1. 2. 3. 0. 1. 2. 3. 0. 1. 2. 右圖是 2009 年 10 月 8 日，臺北股票市場的大盤走勢圖，這個圖代表了當日加甲版本. 權指數的漲跌點數與時間的函數關係。. 4. 用敘述來表示函數：克卜勒 ( Johannes Kepler，1571～1630，德國 ) 行星運動的第三定律：“行星公轉時間 ( T ) 的平方與行星到太陽的平均距離 ( R ) 的立方成正比。”這段話描述行星公轉時間 ( T ) 與行星到太陽的平均距離 ( R ) 的函數關係。 ▲克卜勒. 本書的內容是以函數為主體，探討函數的極限、函數的微分、積分及函數圖形的描繪，學習這些題材就需要更豐富的函數知識做為基礎。我們熟悉的函數中，所涉及的都是自變數 ( 量 ) x 和應 35.

(39) 變數 ( 量 ) y 之間的一種對應關係，而 x 和 y 變動的範圍都可用 “集合”來描述。例如： (1) 如表 1-2，設函數 f 代表 n 對應 an 的函數，即 f ( n )＝an。自變數 n 變動範圍所成的集合為 { 1，2，3，4，5，6，7，8，9， 10 }，應變數 an 變動範圍所成的集合為 { 0，1，2，3 }。 (2) 正方形面積 A 與邊長 x 的關係為 A＝x2 ，x 對應到 A 為一個函數關係。自變數 x 變動範圍所成的集合為 { x | x＞0 }，應變數 A 變動範圍所成的集合為 { A | A＞0 }。 (3) 設 A＝{ 1，2，3，4 }，B＝{ a，b，c，d }，可以定義函數 f：A→B 如右的映射圖所示。自變數變動範圍所成的集合 { 1，2，3，4 }，應變數變動範圍所成的集合 { a，b，c }。 (4) 正弦函數 f (x)＝sin x：R→R 。自變數 x 變化的範圍所成的集合為 R ( 全體實數集 )，應變數變動範圍所成的集合 { y |－1 y 1 }。甲. (5) 擲二個均勻銅板一次，設隨機變數 X 代表出現正面的次數，. 版本. 則 X 是定義在樣本空間 S 上的函數。其中 S 為 { ( 正，正 )，( 正，反 )，( 反，正 )，( 反，反 ) }。自變量變化的範圍所成的集合為樣本空間 S，應變量變化範圍所成的集合為 { 0，1，2 }。. 圖 1-17. 36.

(40) 在後面的課程﹐我們將介紹微積分的基本概念﹒由於微積分中對於問題的探討以函數的型態最多﹐因此需要把函數的概念在此作更進一步的介紹﹒ 甲﹑函數的概念. 乙版本. 某水缸起初存水 10 公升﹐如果以每分鐘 2 公升的等速率將水排出﹐那麼時間 x （分鐘）與缸內水量 y （公升）的關係﹐可以用數學式表示如下﹕ y  10  2 x ﹐ 0  x  5 ﹒ 顯然﹐當時間 x （分鐘）給定時﹐對應的水量 y. ▲圖 1. （公升）也隨著唯一確定﹒例如﹐當 x  1 時﹐ 對應的 y  8 ﹔當 x  2 時﹐對應的 y  6 ﹐像這種對應關係就是函數﹒ ▲圖 2. 函數是重要的數學概念之一，在前幾冊我們學過許多函數，例如多項式函數，指數函數，對數函數，三角函數等。本節將統整函數的概念，並介紹函數的合成及四則運算。. 丙版本. 現實生活中常有某一個變數值取決於另依個變數值得現象。例如：直線移動物體，位置坐標會隨著時間變化；計程車的車資會隨著里程變化。像這樣兩個變數之間，變數 y 隨著變數 x 而變化，我們就稱 y 是 x 的函數，記為 y=f(x)，並稱 x 為自變數，y 為應變數。我們可以把一個函數想像成一台機器 f，輸入 x 後，產出一個 y，這個函數就記為 y=f(x)。表 2-2-3，過渡函數抽象化概念的過程. 在處理過渡時，甲版本使用了四個例子，第一個是映射，這個例子在歷史上也有出現，第一個提出函數是兩個集合間的映射的是康托(Cantor)，在康托建構好集合論之後，他認為函數只是在兩個集合之間一種特別的映射(mapping)。第二種是過去有介紹到可以寫成關係式的函數，相當於歐拉的解析展開式。第三種是用圖和表所呈現的函數，此例子的圖看似無法輕易的寫成關係式，所以對照數學史，這張圖的地位相當於在有限個不同區間的解析展開式，亦或者是無法使用在有限個不同區間的解析展開式像是徒手畫的一種曲線(curves)，而表的地位就 37.