4-1. 剪應力
此章節主要介紹底邊界層紊流相關研究的公式方法及基本理論，包 含各理論成立前提與計算公式。本研究計算剪應力的方法有渦流相關法 (EC) 、紊流動能法(TKE)、慣性消散法(ID)三種。
4-1.1. 渦流相關法 (eddy-correlation method，EC)
由於紊流具有高度非線性，所以紊流一般採用雷諾分解進行研究，
意即流速 (i 表示流速三個分量)可分解為:
(4-1)
將其流速代入 EC 法得出剪應力公式:
(4-2)
假設底床剪應力與雷諾應力相等時，在對數剖面中， 和 存在以 下關係(Tennekes and Lumley, 1972)：
(4-3)
其中， 為平均流與垂直流的變動速度， 為摩擦速度，κ=0.4 為 von Karma constant， 為海水運動黏滯係數。
對於完全發展的紊流，雷諾數 遠大於 1，則可得
，但當紊流發展不完全的情形下，結果可能會使得 呈複數 型態，故(Reidenbach et al., 2006)定義 。EC 法在摩擦速度的 計算上受到變動流速測量的限制，測量儀器的傾斜與震動會對計算產生 較大的誤差(Kim et al., 2000)。
4-1.2. 紊流動能法 (turbulent kinetic energy method，TKE)
TKE 法與 EC 法很相似，它是假設底床紊流動能和底床剪應力存在 一個相對關係，所以算出紊流動能後乘上一個係數則可得剪應力，下式 為紊流動能的計算公式：
(4-4)
底邊界層中 TKE 與底床應力的比例為一常數(Stapleton and Huntley, 1995)。
(4-5)
其中， 為常數，取 0.2(Soulsby and Dyer, 1981)、0.19(Stapleton and Huntley, 1995)或 0.21(Kim et al., 2000)。本研究以 為 0.19 來做剪應力 計算。
4-1.3. 慣性消散法 (inertial dissipation method，ID)
底邊界層觀測到的紊流擁有時間與空間上的廣闊結構，對此現象較 理想的觀察方式是採用能譜來做分析，發展程度較高且雷諾數大的紊流，
能譜一般由三個區間組成：Energy-containing subrange、Inertial subrange、
Dissipation subrange (魯遠征, 2011)。以圖 4-1 在 Hobi_1202 實驗中第 56 個 Burst 為例，僅利用慣性區間(inertial subrange)的頻率與能量來計算底 床剪應力(τ)與紊流動能消散率(ε)的方法稱為慣性消散法( inertial dissipation method)
對於充份發展的紊流邊界層，Kolmogorov 得到著名的一維能譜-5/3 定律，其公式如下：
(4-6)
其中 為第 i 個流速分量在波數 k 的能譜密度( i= 1, 2, 3)，ε為紊流
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動能消散率(turbulent kinetic energy dissipation)， 為一維 Kolmogorov 常 數，取 i = 1 對應於平均流方向，i = 2, 3 分別對應與平均流垂直的兩個 流速分量，根據( Green, 1992；Thorpe, 2005)，
。
本文所用的 ADV 觀測資料為單點流速時間序列，無法直接求得紊 流波數譜，因此利用 Taylor frozen 假說，取 ，並將頻率譜轉 成波數譜：
(4-7)
由 4-6 與 4-7 式得紊流動能消散率ε：
(4-8)
其中，橫線表示為在慣性區間內取平均值。
假設在對數層中，水流剪切生成(shear production, P)與能量消散擁有平 衡關係：
(4-9)
其中，P 為剪切生成，ε為紊流動能消散率。
以對數剖面法(logarithmic profile method)得 ，且由 EC 法得 ，將兩式代入 4-9 得：
(4-10)
將式 4-10 代入式 4-6 得到摩擦速度 ：
(4-11)
然而，當測量點不在常應力層內以及雷諾數低於臨界雷諾數(critical Reynolds number, )時，(Huntley et al, 1988)將式 4-11 修改為：
(4-12)
其中， 值採用 3000， 則由式 4-11 求得。
另一方面，(Lumley and Terray, 1983)指出當海域的橫向波浪速度大於垂 向波浪速度時，則將式 4-11 修改為：
(4-13)
其中， 為流速作 root mean square 處理， 則由式 4-11 求得。
本文利用 ID 法計算底床剪應力時，依據各實驗海域的特性，分別選 擇不同的 計算方式。Hobi_1202 考慮雷諾數較高(其值將於 5-4.1 做呈 現)，且橫向波浪速度與垂向波浪速度大小相近，故此實驗數據採用式 4-11 作計算；Hobi_1210 和 Howan_1212 兩實驗地點由於考慮雷諾數較 低，故兩者皆採用式 4-12 作計算。表 4-1 為(Huntley, 1988)在 Cow Bay 和 Sable Island Bank 分別以式 4-11 和式 4-12 兩種方法來求 值，觀察 其結果，修正前的 隨著測量點離底床位置越遠而越大，修正後則平緩 此趨勢，本文 修正前後的變化大小，清楚地與參考文獻雷同。
由於在底邊界層內垂直的變動速度 主要由紊流產生(Stapleton and Huntley, 1995)，故本文利用垂直變動速度畫能譜圖，若能譜趨勢符 合斜率-5/3 的頻率區間，則僅用此段能量來計算紊流特性。下式為底床 剪應力與摩擦速度的關係式：
ρ (4-14)
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表 4-1 本文與(Huntley and Hazen., 1988)摩擦速度結果之比較。
Site Water depth (m)
Height z(cm)
is measured by [Eq.(11)]
(cm/s)
is measured by [Eq.(12)]
(cm/s)
Increasing rate
Hobi_1210 3.6 15 0.87 1.45 68%
Howan_1212 17.54 15 1.14 1.78 57%
Cow Bay 25
52 52 22
0.42 0.38 0.28
0.64 0.59 0.58
64%
59%
58%
Sable Island Bank 45 44 21
0.58 0.48
0.83 0.89
83%
89%
圖 4-1 能譜分區(Hobi_1202 第 56 個 Burst 能譜圖)
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