安全的訊號通訊在於渾沌同步系統中需要由三個要素所組成：(1) 訊號加密，(2)系統同步化，(3)訊號解密 。首先，將資訊訊號 和 渾沌狀態的訊號 所加密組合，設計出一個擁有複雜非線性函數
。使得資訊訊號 可以隱藏在一個加密訊號 之中，再傳遞
給其他接收者。接下來，實數函數的 x 波段設為渾沌訊號 。在接
下來的例子，挑選 。最後使用從響應系統所挑選出的函數
，來設計一個解密函數 ，使其重新產生一個精確估計的秘密
訊號 。經由同步化的驅動系統及響應系統，初始的訊號 與解
密後所獲得的訊號 幾乎是一致的。整體的圖解過程如【圖二十二】
所示。
) (t S
) (t x
) (t
M Se(t)
) (t h
3 ) (t x h = )
(t
y D(t)
) (t
Sd S(t)
) (t S
【圖二十二】 渾沌安全訊號傳遞系統圖解。
根據文獻[19]可知，分數階 Chen-Lee 渾沌同步系統其驅動系統方 程式和響應系統如下所示：
驅動系統
1 1
2 3 1
1
1 2
1 3 2
1
1 3
1 2 3
1
(1/ 3)
q
q
q
q
q
q
d x x x ax dt
d x x x bx dt
d x x x cx
dt
⎧ = − +
⎪⎪
⎪ = +
⎨⎪
⎪ = +
⎪⎩
， (23)
響應系統
1 1
2 3 1 1
1
1 2
1 3 2 2
1
1 3
1 2 3 3
1
u u (1/ 3)
q
q
q
q
q
q
d y y y ay dt
d y y y by dt
d y y y cy u
dt
⎧ = − + +
⎪⎪
⎪ = + +
⎨⎪
⎪ = + +
⎪⎩
， (23)
其中x,y,z為狀態變數， 微系統的確定參數。設定參數為
。誤差變數為 c b a ,,
) 8 . 3 , 10 , 5 ( ) , ,
(a b c = − − e1 =y1−x1，e2 = y2−x2， ，控
制器型態為 ， ，
3 3
e = y −x3
e1 e2
1 1
u = −k u2 = −k2 u3 =0。初始條件x1(0)=0.000001，
， and
2(0) 0.000001
x = x3(0)=0.000001 y1(0)=0.000002， ，
。 ，
2(0) 0.000002
y =
3(0) 0.000002 1 2
y = k =5.1 k =244。階數 值為q q1 =0.9, q2 =0.9, q3 =0.9。 接下來設計加密解密方程如下：
加密函數
) ( ) ( ) (
)
(t x3 x3 x33 S t S t
M = + + = e (24) 解密函數
) (
) (
)
( 3
3 3 3
3 3
3
y y
S y
y t y
D e
+ +
− +
= (25)
並再分數階 Chen-Lee 渾沌同步系統經過三十秒後，再給定秘密訊息 函數S(t)=0.1sin(5πt)，將其隱藏於 之中再傳遞給接收者。最後再 經由響應系統將其還原解密為 訊號。
) (t Se
) (t S
接下來設計出如【圖二十三】所示電路，其包含了驅動系統【圖二十 四】、響應系統【圖二十五】、控制器【圖二十六】、加密函數【圖二 十七】、解密函數【圖二十八】、加密解密兩者誤差【圖二十九】。
【圖二十三】 分數階 Chen-Lee 渾沌同步系統加密解密電路示意 圖。
【圖二十四】 分數階 Chen-Lee 渾沌同步系統驅動系統電路圖。
【圖二十五】 分數階 Chen-Lee 渾沌同步系統響應系統電路圖。
【圖二十六】 分數階 Chen-Lee 渾沌同步系統密控制器電路圖。
【圖二十七】 分數階 Chen-Lee 渾沌同步系統加密電路圖。
【圖二十八】 分數階 Chen-Lee 渾沌同步系統解密電路圖。
【圖二十九】 分數階 Chen-Lee 渾沌同步系統加密解密誤差電路 圖。
d d
設定取樣時間間距為[ ]秒，所產生的加密訊號 如【圖二
十四】，觀看其間隔在[170 ]時，可看到資訊訊號 【圖二十五】
與解密訊號 【圖二十六】相當接近，並且其誤差值 【圖
二十七】也非常趨近於零。由此結果可推斷，使用渾沌同步系統所做 的加密解密功能，是可實行的。
0, 200 Se(t)
,180 S(t)
) (t
S S(t)−S
【圖三十】 加密訊號Se(t)圖。
【圖三十一】 資訊訊號S(t)圖。
【圖三十二】 解密訊號Sd(t)圖。
【圖三十三】 誤差值S(t)−Sd圖。
第四章 結論
近年來，渾沌系統在各個領域上皆有相當多的研究與探討，但實 際應用上卻尚有一段距離。
本篇論文首先利用電路套裝軟體(Multisim)，模擬分數階 Chen-Lee 系統，並利用兩種不同串接方式：線形單元電路、樹形電路單元，來 實現分數階 Chen-Lee 系統電路。
最後利用分數階 Chen-Lee 系統渾沌同步，設計出加密和解密控制 電路，成功實現，研究得知分數階 Chen-Lee 渾沌同步系統的加密解 密功能是有實際應用價值。
本論文將渾沌同步的研究推向實際應用，又跨進了一大步。
參考文獻
1. Oldham KB and Spanier J, “The Fractional Calculus, ” Academic Press, New York, NY. 1974.
2. Podlubny I, “Fractional differential equations, ” Academic Press, New York, NY. 1999.
3. Miller KS and Ross B, “An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations, ” Wiley, New York, 1993.
4. Edward N. Lorenz. “Deterministic Nonperiodic Flow.” J Atmos Sci 1963;20:130-41O.E. Rössler, “An equation for hyperchaos,” Phys.
Lett. A, Vol. 71, pp. 155–157, 1979.
5. Hsien-Keng Chen, Tsung-Nan Lin and Juhn-Horng Chen, “The stability of Chaos Synchronization of the Japanese Attractors and its Application, ” Jpn. J. Appl. Phys. Vol. 41 (2003) pp. 7603-7610 6. Hsien-Keng Chen, Ching-I Lee. “Anti-control of chaos in rigid body
motion.” Chaos,Solitons and Fractals 21 (2004) 957-965.
7. Lap Mou Tam, Wai Meng Si tou. “Parametric study of the
fractional-order Chen-Lee system.” Chaos, Solitons and Fractals 37 (2008) 817-826.
8. Juhn-Horng Chen, Hsien-Keng Chen, Yu-Kai Lin. “Synchronization and anti-synchronization coexist in Chen-Lee chaotic systems.”
Chaos, Solitons & Fractals (2007), doi:10.1016/j.chaos.2007.01.104.
9. Cheng-Hsien Chen, Long-Jye Sheu, Hsien-Keng Chen, Juhn-Horng Chen, Hung-Chih Wang, Yi-Chi Chao, Yu-Kai Lin, “A new
hyper-chaotic system and its synchronization.” Nonlinear Analysis:
Real World Applications (2008), doi:10.1016/j.nonrwa.22008.03.015 10. Long-Jye Sheu, Hsien-Keng Chen, Juhn-Horng Chen, Lap-Mou Tam,
“Chaotic dynamics of the fractionally damped Duffing equation.”
Chaos, Solitons and Fractals 32 (2007) 1459-1468
11. Long-Jye Sheu, Hsien-Keng Chen, Juhn-Horng Chen, Lap-Mou Tam.
“Chaos in a new system with fractional order.” Chaos, Solitons and Fractals 31 (2007) 1203-1212.
12. Fa-Qiang Wang, Chong-Xin Liu. “Study on the critical chaotic system with fractional order and circuit experiment.” ACTA PHYSICA SINICA 1000-3290/2006/22(08)/3922-06.
13. Xiang-Rong Chen, Chong-Xin Liu, Fa-Qiang Wang, Yong-Xun Li,
“Study on the fractional-order Liu chaotic system with circuit experiment and its control.” ACTA PHYSICA SINICA