中 華 大 學 碩 士 論 文
題目：分數階陳李系統電路實現與秘密通訊
Implementation of the fraction-order Chen-Lee system by electric circuit and secure communication
系 所 別：機 械 工 程 學 系 碩 士 班 學號姓名： M 0 9 6 0 8 0 2 7 陳思佑 指導教授：陳 俊 宏 博 士 陳 献 庚 博 士
中 華 民 國 九 十 八 年 六 月
摘 要
渾沌動力學在過去半世紀已被學者廣為研究，但對分數階渾沌系 統及其應用之研究卻相當少。本篇論文主要研究分數階 Chen-Lee 電 路系統之動態行為，並探討同步 Chen-Lee 渾沌系統其加密與解密之 電路模擬。首先，分別設計線形單元電路及樹形單元電路，來達成所 需的分數階數，接著實現完整分數階 Chen-Lee 電路系統，並且與數 值模擬分析互相比較，驗證其正確性。論文第二部份，主要設計電路 實現分數階同步 Chen-Lee 渾沌系統，應用此系統研究秘密通訊。研 究中，設計出一加密電路進行訊號加密，並設計另一解密電路，進行 訊號還原，再進行誤差值比較，與數值分析去比對驗證其一致性。研 究表明，分數階系統之電路模擬是可行的，且訊號加密解密之電路應 用亦是可行的。
關鍵詞：Chen-Lee 系統、分數微分、秘密通訊、電路實驗
Abstract
Chaos has been intensively studied in the past half century, but the research on the fractional-order systems is very less. This thesis investigates the dynamics of the fractional-order Chen-Lee system by using electronic circuits. First, two electronic circuit units, the line shape and the tree shape, are used to realize fractional-order chaotic Chen-Lee system. Then an electronic circuit to realize synchronization of Chen-Lee system is also designed in secure communication. In this thesis, the electronic circuit of chaotic drive system, chaotic response system, encryption function and decryption function, are designated to send the message function in the secure communication system. Results of this study show that the dynamical behaviors of the fraction-order Chen-Lee system can be verified by electronic circuits. Besides, the secure communication can also be accomplished by electronic circuits.
.
Keyword：Chen-Lee system, fraction-order, secure communication,
誌 謝
首先我要感謝我的指導老師陳俊宏博士，感謝在研究所這兩年來 不辭辛勞的指導我，除了教導了我學業上的問題，也教導了我做人處 事的道理。感謝陳献庚博士對於課業上的幫助與指導，讓我學到更多 專業領域的知識。感謝許隆結博士在課業上有問題時，適時的幫助與 解答，在此特地感謝三位老師這幾年來的照顧。
感謝我的口試委員，桃園縣中壢市南亞技術學院朱朝煌博士和桃 園縣中壢市陸軍專科學校車輛工程科陳鎮憲博士對於論文的細心指 導，並提供更好的意見改良，使論文更加完善充實。
感謝 95 級學長趙亦琦、黃宏業、王立夫、林于凱；感謝 96 級學 長施人豪、吳思諺及張偉麒對學弟的照顧；感謝同學蔡順安、王志豪、
尤信凱，以及學弟黃俊嘉、李安城、陳正文、龍治偉、許翔硯、董子 儀、藍煒智和張永杰，在於研究所這段日子所度過的美好時光。
最後感謝我的爸媽、妹妹在背後默默鼓勵我，感謝他們的支持與 付出，讓我順利完成學業。
目 錄
摘 要………...i
Abstract………..ii
誌 謝………...iii
目 錄………...iv
圖目錄………...…………vi
表目錄………...………..ix
第一章 緒論………..1
1.1 研究動機………1
1.2 文獻回顧………2
1.3 研究目的………3
1.4 研究方法………4
第二章 Chen-lee 系統電路模擬……….7
2.1 分數階 Chen-lee 系統………7
2.2 分數階微分與其近似值………7
2.3 分數階線形單元電路實現………8
2.4 分數階樹形單元電路實現………12
2.5 分數階 Chen-Lee 電路系統實現………15
第三章 分數階 Chen-Lee 渾沌同步系統加密電路模擬………29
第四章 結論………38 參考文獻………..39
圖 目 錄
【圖一】 總和放大器串接示意圖。………..4
【圖二】 積分器串接示意圖。………..5
【圖三】 類比乘法器-AD633。………..6
【圖四】 分數階sq
1
的線形單元電路實現形式。。………..9
【圖五】 分數階 0.9 1
s 的線形單元電路實現形式。………..9
【圖六】 分數階sq 1
的樹形單元電路實現形式。………..12
【圖七】 分數階 0.9 1
s 的樹形單元電路實現形式。………..13
【圖八】 Chen-Lee 渾沌系統電路結構圖。………..15
【圖九】 分數階 Chen-Lee 電路系統原理圖。………..16
【圖十】 q1 =0.9, q2 =0.9, q3 =0.9時，線形之分數階 Chen-Lee 渾沌..17
【圖十一】 q1 =0.9, q2 =0.9, q3 =0.9時，線形之分數階 Chen-Lee 渾沌 電路系統所呈現之相平面圖，(a xy) , ( ) b yz, ( ) c xz, ( )d 文獻 [12] xy相平面圖。………....18
【圖十二】 q1 =0.9, q2 =0.9, q3 =0.9時，樹形之分數階 Chen-Lee 渾沌 電路系統圖。………..19
=
=
=
電 路系統所呈現之相平面圖，(a xy) , ( ) b yz, ( ) c xz, ( )d
文獻[12] xy 相平面圖。………..20
【圖十四】 q1 =0.7, q2 =0.7, q3 =0.7時，線形之分數階 Chen-Lee 渾沌 電路系統圖。………..21
【圖十五】 q1 =0.9, q2 =0.9, q3 =0.9時，線形之分數階 Chen-Lee 渾沌 電路系統所呈現之相平面圖，( )a xy, ( ) b yz, ( ) c xz。……22
【圖十六】 q1 =0.9, q2 =0.9, q3 =0.9時，樹形之分數階 Chen-Lee 渾沌 電路系統圖。………..23
0.7
, 0.7
, 7 .
0 2 3
1 = q = q =
q 時，樹形之分數階 Chen-Lee 渾沌
【圖十七】
電路系統所呈現之相平面圖，( )a xy, ( ) b yz, ( ) c xz。……24
【圖十八】 q1 =1, q2 =1, q3 =0.6時，線形之分數階 Chen-Lee 渾沌電路 系統圖。………..25
【圖十九】 q1 =1, q2 =1, q3 =0.6時，線形之分數階 Chen-Lee 渾沌電路 系統所呈現之相平面圖，( )a xy, ( ) b yz, ( ) c xz 。…………26
【圖二十】 q1 =1, q2 =1, q3 =0.6時，樹形之分數階 Chen-Lee 渾沌電路 系統圖。………..………..27
【圖二十一】 q1 =1, q2 =1, q3 =0.6時，樹形之分數階 Chen-Lee 渾沌電 路系統所呈現之相平面圖，( )a xy, ( ) b yz, ( ) c xz 。……28
【圖二十二】 渾沌安全訊號傳遞系統圖解。………..29
) (t Se
【圖二十三】 分數階 Chen-Lee 渾沌同步系統加密解密電路示意圖.31
【圖二十四】 分數階 Chen-Lee 渾沌同步系統驅動系統電路圖。….32
【圖二十五】 分數階 Chen-Lee 渾沌同步系統響應系統電路圖。….33
【圖二十六】 分數階 Chen-Lee 渾沌同步系統密控制器電路圖。….34
【圖二十七】 分數階 Chen-Lee 渾沌同步系統加密電路圖。……….34
【圖二十八】 分數階 Chen-Lee 渾沌同步系統解密電路圖。……….35
【圖二十九】 分數階 Chen-Lee 渾沌同步系統加密解密誤差電路圖。 ……….35
【圖三十】 加密訊號 圖。……….36
【圖三十一】 資訊訊號S(t)圖。……….36
【圖三十二】 解密訊號Sd(t)圖。……….37
【圖三十三】 誤差值S(t)−Sd圖。……….37
表 目 錄
表 1 分數階 q
s
1 線形單元電路中的電阻值。………..10 表 2 分數階 q
s
1 線形單元電路中的電容值。……….11 表 3 分數階 q
s
1 樹形單元電路中的電阻值………..………14 表 4 分數階 q
s
1 樹形單元電路中的電容值………...………14
第一章 緒論
1.1 研究動機
渾沌其所擁有的各種特性，如對初始條件的高度敏感性，隱含於 複雜系統但又不可分解，以及呈現多種混亂無序卻又頗有規則的圖像 等，在物理、化學、生物學、地質學、技術科學、以及社會科學等各 種領域，都是被廣泛的探討研究。
隨著時代演進，計算機技術、資訊科技、通訊技術的快速發展，
藉由網路傳輸各種訊息已被世界各國所廣泛使用。因此資訊的保密越 來越受到人們的重視，大到國家機密，小到尋常百姓的生活，比如軍 事情報戰、保密電話、保密傳真、信用卡、自動取款機、internet 上 網資訊傳遞等，都需要有充分安全的保密措施。對於渾沌訊號所擁有 的非週期性連續寬帶頻譜，以及其類似噪聲的特性，都是天然的隱蔽 性。此外，渾沌訊號對於初始條件的高度敏感特徵(以正的 Lyapunov 指數為特徵)，即便是兩個完全相同的渾沌系統，在幾乎相同的初始 條件開始演化，所得的軌道結果卻會很快的變的互不相關，這表現出 渾沌訊號具有長期的不可預測性和抗截獲能力。並且渾沌系統本身又 是確定性的，可藉由非線性系統的方程、參數和初始條件所完全決 定，因此又使得渾沌訊號易於生產與複製。對於渾沌訊號所具有的隱 蔽性、不可預測性、高複雜、易於實現等特性都非常適用於保密通訊。
在讓渾沌系統應用於通訊保密前，必須透過渾沌控制產生同步的渾沌 軌道(在無任何控制情況下，兩個獨立的渾沌系統不可能產生同步的 渾沌通道)。相較於其他加密方法，渾沌加密為一種動態加密方法，
由於其處理速度和密鑰長度無關，因此具有高度的計算效率，適用於 訊號處理，亦適用於靜態加密的場合。並且利用渾沌同步所加密的資 訊很難破譯，具有很高的保密度。
而分數微分雖是一門古典學問，起源於 1695 年，羅畢達(L’Hopital) 於信中問萊布尼斯(Leibniz)關於微分二分之一次方的意義為何?從 此，許多學者致力於定義分數微分的概念。目前分數微分的應用也已 經廣泛延伸於許多領域，例如：熱傳、黏彈、動力學、經濟學、聚合 物理與控制等等[1,2]。如同 Miller 與 Ross 學者 [3]所指出「分數微 分應用在各個領域」。因此對於分數階渾沌系統研究，具有高度的探 討性。
1.2 文獻回顧
在 1963 年，大氣科學家 Lorenz[4]在具非線性項的普通微分方程 上，發現了渾沌現象，成為非線性科學研究的熱門話題，從此便有許 多學者不斷的投入心力去研究探討渾沌現象的理論研究和應用。於 1979 年，Rössler[5]首先發現了超渾沌系統，亦引領其他學者投入超
渾沌行為及其控制。
Chen 等人[6]在 2003 年，研究了渾沌系統在同步行為中的加密解 密現象。在 2004 年，Chen 和 Lee[7] 在剛體運動系統中，發現一個 能產生兩個渦漩的新渾沌系統。Tam 等人[8]稱其為 Chen-Lee 渾沌系 統。並於 2007 年，由 Chen 等人[9]研究 Chen-Lee 渾沌系統的同步與 反同步共存之行為。Chen 等人[10]，進一步研究 Chen-Lee 超渾沌系 統同步與反同步控制。
國內分數微分結合渾沌分析的研究亦相繼出現，Sheu 等人[11]
研究具分數階阻尼達芬方程式(Duffing equation)，亦詳細研究分數階 的 Chen-Lee 系統的動態行為[12]。
在 2005 年，Wang 和 Liu[13]研究了分數階臨界渾沌系統，設計 了其分數階電路結構。Chen 等人[14]也對分數階 Liu 渾沌系統進行研 究，並設計出樹形單元電路來實現分數階 Liu 渾沌系統。Sheu 等人[15]
於 2008 年，研究 Chen-lee 渾沌系統之平衡點分析，並設計出 Chen-Lee 渾沌系統模擬電路。
1.3 研究目的
由上述文獻探討中可知，目前對於渾沌系統理論為大家廣泛討 論，利用電路來實現渾沌系統實際應用更是首要目標。因此本論文採
3 2
1 0
用電路套軟Ｍultisim來進行模擬驗證分數階Chen-Lee系統，並對於同 步Chen-lee渾沌系統之加密與解密進行電路模擬實現。
1.4 研究方法
本篇論文之研究方法主要使用 Multisim 軟體來設計模擬電路，並 與文獻中之數值模擬互相比對，驗證是否一致。本文利用下列運算器 串接，來做加減法與積分之運算，並利用類比乘法器－AD633 來做 乘法之運算。
(1)總和放大器
總和放大器是一種由運算放大器與電阻所組成之電路，如【圖一】
所示。它可以結合不同的輸入值 ，產生出一個輸出值 ，其中
與 的關係式如下
3 2 1,v ,v
v v0
, ,v v
v v
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ + +
−
= 3
3 2 2 1 1
0 v
R v R R v R R
v Rf f f (1)
【圖一】 總和放大器串接示意圖。
(2)積分器
積分器是由運算放大器、電阻和電容所組成的電路，如【圖二】
所示。假定一個帶負回饋的運算放大器，其關係式如下
R t t v
iin in( ) )
( = (2)
∫
∫
== t in t in
C i t dt v t dt
t C
v 0 0 ( )
RC ) 1
1 ( )
( (3) 輸出電壓，可表示為下式
) ( )
(t v t
vo =− C (4)
∫
−
= t in
o v t dt
t RC
v 1 0 ( )
)
( (5)
【圖二】 積分器串接示意圖。
(3)類比乘法器－AD633
在此篇論文中我們所使用的乘法器為 AD633，如【圖三】所示。
其特性為輸出值是兩輸入值相乘的十分之一倍，其關係式如下 V Z
Y Y X
W X − − +
= 10
) )(
( 1 2 1 2
(6) 假定 Z 值為０時可改寫成
V Y WZ X
0 10
Δ
×
= Δ
= (7)
【圖三】 類比乘法器-AD633。
藉由上述電路串接方式，設計出Chen-Lee渾沌系統之電路模型，
在參考文獻[13][14]分別設計出線形單元電路及樹形單元電路的分數 階Chen-Lee系統電路模型。
最後參照文獻[9]，設計出同步Chen-Lee渾沌系統之電路模型，並 依據文獻[6]，設計出一加密解密電路系統，以模擬渾沌於加密解密 實際應用。
第二章 Chen-Lee 系統電路模擬
本章節首先介紹分數階 Chen-Lee 系統，以及線形單元電路和樹形 單元電路，來實現完整分數階 Chen-Lee 電路系統，最後再舉例驗證 其正確性。
2.1 分數階 Chen-Lee 系統
以 Chen-Lee 系統，微分方程式為[7]：
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+
= +
= +
−
=
, )
3 / 1 (
, ,
cz xy z
by xz y
ax yz x
(8)
其中x,y,z為狀態變數， 為系統的確定參數。當參數 時，方程(8)會呈現渾沌行為。
c b a ,,
) 8 . 3 , 10 , 5 ( ) , ,
(a b c = − −
由文獻[11]，我們可以得到分數階 Chen-Lee 系統的方程式：
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
+
= +
= +
−
=
, )
3 / 1 (
, ,
3 3
2 2
1 1
cz dt xy
z d
by dt xz
y d
ax dt yz
x d
q q
q q
q q
(9)
其中0<q1,q2,q3≤1。
2.2 分數階微分與其近似值
分數階微分常用的為 Riemann-Liouville 的積分運算[13]，數學式 如下
∫
− − +−
=Γ nn t q n
q q
t d f dt
d q n dt
t f d
0 1
) (
) ( )
( 1 )
( τ
τ
τ (10)
式中，Γ(•)為伽馬函數，n−1<q<n， 為分數， 為整數。利用拉普 拉斯轉換將(10)式改寫如下：
q n
{ }
0 1
0
1
1 ( )
) ) (
(
=
−
= −−
−
∑
− ⎥⎦
⎢ ⎤
⎣
− ⎡
⎭=
⎬⎫
⎩⎨
⎧
t n
k
k q
k q k q
q q
dt t f s d
t f L dt s
t f
L d (11)
當函數 f(t)的初始值為 時，可將方程式(11)改寫為 0
{
( ) )( s L f t
dt t f
L d q q
q =
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧
}
(12)目前，實施分數微分積分運算的求解方法有多種，但工程上常用 的是時域與複頻域轉換法。通過求解複頻域的 q
s
1，得到複頻域的展開
形式，再將複頻形式轉化為時域形式進行數值求解，在此介紹一種波 德圖形逼近法來確定 q
s
1 的展開式。
以q=0.1~0.9的 q s
1 展開式。在此採用近似誤差為 2 dB 的 q s
1 展開式
[16,17,18]。當q=0.9時
) 4 . 359 )(
154 . 2 )(
01292 . 0 (
) 4 . 215 )(
292 . 1 ( 2675 . 2 1
9 .
0 + + +
+
≈ +
s s
s
s s
s (13)
2.3 分數階線形單元電路實現
根據文獻[13]可得一線形單元電路來實現 從q 0.1到0.9的 q s
1 展開
式，如【圖四】所示。
【圖四】 分數階 q s
1 的線形單元電路實現形式。
【圖四】中 A 與 B 之間的等效電路的複頻域表示式為
( )
1 1 3 3 1 13 2
2 2 1
1 1
+ + + +
+ + + +
=
n n
n
C sR
R C
sR R C
sR R C
sR s R
F … (14) 式中n為q從0.1到0.9的 q
s
1 展開式分母中 的最高階。 s
從文獻[13]可知，當q=0.9, n=3，線形單元電路如【圖五】所示
【圖五】 分數階 10.9
s 的線形單元電路實現形式。
可由方程式(14)得知為：
( )
1 1 3 3 13 2
2 2 1
1 1
+ + + +
= +
C sR
R C
sR R C
sR s R
F (15) 將方程式(13)、(15)互相比較可得：
01292 . ) 0 1(
1 1
C =
R (16) 154
. ) 2 1(
2 2
C =
R (17) 4
. ) 359 1(
3 3
C =
R (18)
2675 . 1 2
1 1
3 2
1
= +
+ C C
C (19) 0
. ) 631 (
( ) (
3 2 1 3 2 1 3 2
1+ + =
C C C R R R R R
R (20)
5474 . ) 496 (
) (
3 2 1 3 2 1 3 3 2 2 2 1 1 1 3
3 3 1 1 1 2 2 2 3
+ = +
+
+ +
C C C R R R C R R C R R C R R
C R R C R R C R R
(21)
經過計算得
Ω
= M
R1 62.840 ，R2 =0.2500MΩ，R3=0.0025MΩ。
F
C1 =1.232μ ，C2 =1.8400μF，C3 =1.100μF。
同理，當 取其他值時，得到分數階q q s
1 線形單元電路中的電阻值、
電容值分別如表 1、表 2 所示[13]。
表 1 分數階 q s
1 線形單元電路中的電阻值。
q n R1(MΩ) R2(MΩ) R3(MΩ) R4(MΩ) R5(MΩ) R6(MΩ) 0.1 3 0.636 0.3815 0.5672
0.2 4 1.130 0.6070 0.3500 0.425
0.3 5 2.050 0.9380 0.4830 0.262 0.2498 0.4 6 3.744 1.3920 0.6310 0.294 0.1430 0.106 0.5 6 6.824 1.9440 0.7440 0.296 0.1230 0.068 0.6 6 12.330 2.4480 0.7380 0.233 0.0754 0.030 0.7 6 21.900 2.6000 0.5260 0.113 0.0246 0.006 0.8 5 37.850 1.7540 0.1700 0.017 0.0018 0.9 3 62.840 0.2500 0.0025
表 2 分數階 q s
1 線形單元電路中的電容值。
q n C1(μF) C2(μF) C3(μF) C4(μF) C5(μF) C6(μF) 0.1 3 15.720 0.1572 0.0006335
0.2 4 27.990 2.9300 0.285 0.0132
0.3 5 22.640 5.5200 1.200 0.2460 0.029
0.4 6 15.020 5.9260 1.920 0.6050 0.183 0.036 0.5 6 9.246 5.1450 2.129 0.8480 0.324 0.925 0.6 6 5.527 4.0850 1.990 0.9260 0.420 0.156 0.7 6 3.284 3.1390 1.700 0.8860 0.454 0.207 0.8 5 1.980 2.4000 1.390 0.7800 0.420
0.9 3 1.232 1.8400 1.100
2.4 分數階樹形單元電路實現
根據文獻[14]可得一樹形單元電路來實現 從q 0.1到0.9的 q s
1 展開
式，如【圖六】所示。
【圖六】 分數階 q
s
1 的樹形單元電路實現形式。
文獻[14]可知，當q=0.9, n=3，樹形單元電路如【圖七】所示。
【圖七】 分數階 10.9
s 的樹形單元電路實現形式。
所表示的方程式如下：
( )
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
+
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ +
+ + +
+
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ +
+ + +
+
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ + +
⎟⎟×
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ +
⎟⎟ +
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ +
=
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡ ⎟⎟
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝ +⎛
⎥⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡ ⎟⎟
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝ +⎛
=
c b a
b a c
a c
b a
b a
a c
b a
b a c
c
b a
b a
c b
a
R C R C R C
C s R C R C
C C R
C R C R C R C R
R R
C s R C
C C R C R C R
R s R
R C R s C
R C R
R s R
C C C C
C
R sC sC
R sC R
s H
3 2 1
3 3 1
3 1 3
1 3
2
2 3 1
3 1 3
2 3
3 1
2 3
0 1 0
0
3 1
2
1
1 1 1
1
// 1 // 1
// 1
(22) 式中C0為單位參數，令C0 =1μF， ( ) ( ) 0 10.9
C s s H s
F = × = 。將(22)式與(13) 式互相比較，可得【圖四】樹形單元電路的電阻電容值分別為：
Ω
= M
Ra 1.55 ，Rb =61.54MΩ，Rc =2.526MΩ。
F
C1 =0.7346μ ，C2 =0.5221μF，C3 =1.103μF。
同理，當q=0.1−0.8(間距為0.1)時，可以得到分數階 q s
1 樹形單元
電路中的電阻值、電容值分別如表 3、表 4 所示[14]。
表 3 分數階 q s
1 樹形單元電路中的電阻值
q n R1(MΩ) R2(MΩ) R3(MΩ) R4(MΩ) R5(MΩ) R6(MΩ) 0.1 3 0.9517 0.6332 1.363 0.2 4 0.5454 0.7553 3.307 1.211
0.3 5 0.3476 1.296 4.854 2.339 0.2196 0.4 6 0.1845 0.4294 2.080 5.698 0.7819 1.961 0.5 6 0.1749 0.4417 2.480 9.410 0.6957 2.354 0.6 6 0.08291 0.3202 2.594 15.45 0.5436 2.853 0.7 6 0.02169 0.1205 2.016 24.99 0.2806 3.247 0.8 5 0.008586 0.09269 6.325 39.69 0.4900
0.9 3 1.550 61.54 0.002526 表 4 分數階 q
s
1 樹形單元電路中的電容值
q n C1(μF) C2(μF) C3(μF) C4(μF) C5(μF) C6(μF) 0.1 3 0.02572 15.77 0.0006468
0.2 4 5.366 0.1814 0.01262 1.560
0.3 5 4.927 0.5417 0.02525 2.752 0.3098
0.4 6 5.023 0.4836 0.02834 0.1456 0.1428 4.854 0.5 6 3.793 0.5827 0.06416 0.1751 0.2292 4.441 0.6 6 2.741 0.5489 0.09585 0.1692 0.2442 3.247 0.7 6 1.917 0.4657 0.1131 0.1500 0.1964 2.019 0.8 5 0.9503 0.6139 0.2349 0.2337 0.2391
0.9 3 0.7346 0.5221 1.103
2.5 分數階 Chen-Lee 電路系統實現
在實際進行分數階 Chen-Lee 電路系統模擬之前，先引進 Chen-Lee 電路系統如【圖八】所示[15]，將其中積分器電容部份如【圖九】修 改為( , , )，此時依照所需階數 的大小，將【圖四】所示之線 形單元電路結構加以取代，即可獲得線形之分數階 Chen-Lee 系統電 路。
1
F F2 F3 q
【圖八】 Chen-Lee 渾沌系統電路結構圖。
【圖九】 分數階 Chen-Lee 電路系統原理圖。
若將【圖六】所示之樹形單元電路取代【圖九】( , , )電容 部份，則得樹形之分數階 Chen-Lee 電路系統。
1
F F2 F3
以下利用三個例子模擬分析驗證分數階 Chen-Lee 電路系統，並呈 現其系統的動態行為。
例 1.由文獻[11]得知，當分數階 Chen-Lee 系統所選擇的參數給定 8
. 3 , 10 ,
5 =− =−
= b c
a 時會有渾沌行為。研究中系統初始條件為
。當階數 值為 2
. 0 ) 0 ( , 2 . 0 ) 0 ( , 2 . 0 ) 0
( = y = z =
x q q1 =0.9, q2 =0.9, q3 =0.9時，
參照 【圖九】可分別設計出線形之分數階 Chen-Lee 渾沌電路系統【圖 十】，其相平面圖如【圖十一】所示，另外實現樹形之分數階 Chen-Lee 渾沌電路系統【圖十二】，其相平面圖如【圖十三】。
【圖十】 q1 =0.9, q2 =0.9, q3 =0.9時，線形之分數階 Chen-Lee 渾沌電 路系統圖。
【圖十一】 q1 =0.9, q2 =0.9, q3 =0.9時，線形之分數階 Chen-Lee 渾沌
電路系統所呈現之相平面圖， 文
獻[12]
( ) a xy, ( ) b yz, ( ) c xz, ( )d
xy相平面圖。
【圖十二】 q1 =0.9, q2 =0.9, q3 =0.9時，樹形之分數階 Chen-Lee 渾沌 電路系統圖。
【圖十三】 q1 =0.9, q2 =0.9, q3 =0.9時，樹形之分數階 Chen-Lee 渾沌
電路系統所呈現之相平面圖， 文
獻[12]
( ) a xy, ( ) b yz, ( ) c xz, ( )d
xy
3 2
1
相平面圖。
例 2.相同地，對於階數 值為q q =0.9, q =0.9, q =0.9時，參照 【圖九】
可分別設計出線形之分數階 Chen-Lee 渾沌電路系統【圖十四】 ，其 相平面圖如【圖十五】，以及樹形之分數階 Chen-Lee 渾沌電路系統【圖 十六】，其相平面圖如【圖十七】。
【圖十四】 q1 =0.7, q2 =0.7, q3 =0.7時，線形之分數階 Chen-Lee 渾沌 電路系統圖。
【圖十五】 q1 =0.9, q2 =0.9, q3 =0.9時，線形之分數階 Chen-Lee 渾沌 電路系統所呈現之相平面圖，( ) a xy, ( ) b yz, ( ) c xz。
【圖十六】 q1 =0.9, q2 =0.9, q3 =0.9時，樹形之分數階 Chen-Lee 渾沌 電路系統圖。
【圖十七】 q1 =0.7, q2 =0.7, q3 =0.7時，樹形之分數階 Chen-Lee 渾沌 電路系統所呈現之相平面圖，( ) a xy, ( ) b yz, ( ) c xz 。
例 3 最後，設定階數 值為q q1 =1, q2 =1, q3 =0.6時，參照 【圖九】可 分別設計出線形之分數階 Chen-Lee 渾沌電路系統【圖十八】，其相平 面圖如【圖十九】，以及樹形之分數階 Chen-Lee 渾沌電路系統【圖二 十】，其相平面圖如【圖二十一】。
【圖十八】 q1 =1, q2 =1, q3 =0.6時，線形之分數階 Chen-Lee 渾沌電路 系統圖。
【圖十九】 q1 =1, q2 =1, q3 =0.6時，線形之分數階 Chen-Lee 渾沌電路 系統所呈現之相平面圖，( ) a xy, ( ) b yz, ( ) c xz 。
【圖二十】 q1 =1, q2 =1, q3 =0.6時，樹形之分數階 Chen-Lee 渾沌電路 系統圖。
【圖二十一】 q1 =1, q2 =1, q3 =0.6時，樹形之分數階 Chen-Lee 渾沌電 路系統所呈現之相平面圖，( ) a xy, ( ) b yz, ( ) c xz 。
) (t S
d
第三章 分數階 Chen-Lee 渾沌同步系統加密電路模擬
安全的訊號通訊在於渾沌同步系統中需要由三個要素所組成：(1) 訊號加密，(2)系統同步化，(3)訊號解密 。首先，將資訊訊號 和 渾沌狀態的訊號 所加密組合，設計出一個擁有複雜非線性函數
。使得資訊訊號 可以隱藏在一個加密訊號 之中，再傳遞
給其他接收者。接下來，實數函數的 x 波段設為渾沌訊號 。在接
下來的例子，挑選 。最後使用從響應系統所挑選出的函數
，來設計一個解密函數 ，使其重新產生一個精確估計的秘密
訊號 。經由同步化的驅動系統及響應系統，初始的訊號 與解
密後所獲得的訊號 幾乎是一致的。整體的圖解過程如【圖二十二】
所示。
) (t S
) (t x
) (t
M Se(t)
) (t h
3 ) (t x h = )
(t
y D(t)
) (t
Sd S(t)
) (t S
【圖二十二】 渾沌安全訊號傳遞系統圖解。
根據文獻[19]可知，分數階 Chen-Lee 渾沌同步系統其驅動系統方 程式和響應系統如下所示：
驅動系統
1 1
2 3 1
1
1 2
1 3 2
1
1 3
1 2 3
1
(1/ 3)
q
q
q
q
q
q
d x x x ax dt
d x x x bx dt
d x x x cx
dt
⎧ = − +
⎪⎪
⎪ = +
⎨⎪
⎪ = +
⎪⎩
， (23)
響應系統
1 1
2 3 1 1
1
1 2
1 3 2 2
1
1 3
1 2 3 3
1
u u (1/ 3)
q
q
q
q
q
q
d y y y ay dt
d y y y by dt
d y y y cy u
dt
⎧ = − + +
⎪⎪
⎪ = + +
⎨⎪
⎪ = + +
⎪⎩
， (23)
其中x,y,z為狀態變數， 微系統的確定參數。設定參數為
。誤差變數為 c b a ,,
) 8 . 3 , 10 , 5 ( ) , ,
(a b c = − − e1 =y1−x1，e2 = y2−x2， ，控
制器型態為 ， ，
3 3
e = y −x3
e1 e2
1 1
u = −k u2 = −k2 u3 =0。初始條件x1(0)=0.000001，
， and
2(0) 0.000001
x = x3(0)=0.000001 y1(0)=0.000002， ，
。 ，
2(0) 0.000002
y =
3(0) 0.000002 1 2
y = k =5.1 k =244。階數 值為q q1 =0.9, q2 =0.9, q3 =0.9。 接下來設計加密解密方程如下：
加密函數
) ( ) ( ) (
)
(t x3 x3 x33 S t S t
M = + + = e (24) 解密函數
) (
) (
)
( 3
3 3 3
3 3
3
y y
S y
y t y
D e
+ +
− +
= (25)
並再分數階 Chen-Lee 渾沌同步系統經過三十秒後，再給定秘密訊息 函數S(t)=0.1sin(5πt)，將其隱藏於 之中再傳遞給接收者。最後再 經由響應系統將其還原解密為 訊號。
) (t Se
) (t S
接下來設計出如【圖二十三】所示電路，其包含了驅動系統【圖二十 四】、響應系統【圖二十五】、控制器【圖二十六】、加密函數【圖二 十七】、解密函數【圖二十八】、加密解密兩者誤差【圖二十九】。
【圖二十三】 分數階 Chen-Lee 渾沌同步系統加密解密電路示意 圖。
【圖二十四】 分數階 Chen-Lee 渾沌同步系統驅動系統電路圖。
【圖二十五】 分數階 Chen-Lee 渾沌同步系統響應系統電路圖。
【圖二十六】 分數階 Chen-Lee 渾沌同步系統密控制器電路圖。
【圖二十七】 分數階 Chen-Lee 渾沌同步系統加密電路圖。
【圖二十八】 分數階 Chen-Lee 渾沌同步系統解密電路圖。
【圖二十九】 分數階 Chen-Lee 渾沌同步系統加密解密誤差電路 圖。
d d
設定取樣時間間距為[ ]秒，所產生的加密訊號 如【圖二
十四】，觀看其間隔在[170 ]時，可看到資訊訊號 【圖二十五】
與解密訊號 【圖二十六】相當接近，並且其誤差值 【圖
二十七】也非常趨近於零。由此結果可推斷，使用渾沌同步系統所做 的加密解密功能，是可實行的。
0, 200 Se(t)
,180 S(t)
) (t
S S(t)−S
【圖三十】 加密訊號Se(t)圖。
【圖三十一】 資訊訊號S(t)圖。
【圖三十二】 解密訊號Sd(t)圖。
【圖三十三】 誤差值S(t)−Sd圖。
第四章 結論
近年來，渾沌系統在各個領域上皆有相當多的研究與探討，但實 際應用上卻尚有一段距離。
本篇論文首先利用電路套裝軟體(Multisim)，模擬分數階 Chen-Lee 系統，並利用兩種不同串接方式：線形單元電路、樹形電路單元，來 實現分數階 Chen-Lee 系統電路。
最後利用分數階 Chen-Lee 系統渾沌同步，設計出加密和解密控制 電路，成功實現，研究得知分數階 Chen-Lee 渾沌同步系統的加密解 密功能是有實際應用價值。
本論文將渾沌同步的研究推向實際應用，又跨進了一大步。
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